第10讲 勾股定理的逆定理8大题型（暑假预习讲义）新八年级数学新教材苏科版

第10讲 勾股定理的逆定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断三边能否构成直角三角形 题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型3 在网格中判断直角三角形 题型4 利用勾股定理的逆定理求边长 题型5 利用勾股定理的逆定理求面积 题型6 勾股定理逆定理的实际应用 题型7 勾股定理逆定理的拓展问题 题型8 勾股定理的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 判断是否是直角三角形 勾股定理的逆定理 1. 理解并掌握勾股定理逆定理的内容，明晰其与勾股定理的区别与内在联系。 2. 了解勾股定理逆定理的证明过程，提升几何逻辑推理与严谨论证的能力。 3. 熟练运用逆定理判断三角形是否为直角三角形，掌握基础解题方法步骤。 4. 结合逆定理精准判定勾股数，灵活运用知识解决各类基础几何题型。 5. 学会将实际问题转化为几何模型，运用逆定理解决生活中的数学问题。 学习重点：掌握勾股定理逆定理内容，运用定理判定直角三角形及辨别勾股数。 学习难点：理解勾股定理逆定理的证明逻辑，灵活建模解决综合性几何实际问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 易错点： 1. 判定直角三角形时，未用最长边平方验证，计算顺序颠倒导致判断失误。 2. 混淆勾股定理与逆定理，分不清已知、结论，误用定理解答题目。 3. 忽略三边为正数的前提，随意套用逆定理，判定三角形形状出现错误。 4. 仅满足两边平方和相等，忽略三角形三边关系，盲目判定直角三角形。 5. 复杂图形中找错对应边长，代入数据错误，导致逆定理判定结果出错。 即时即练 1．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 2．如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（   ） A．96 B．78 C．108 D．120 3．如图，中，点D为的中点，，，，求：的长． 知识点02 勾股数 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（n是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（n＞1，且n是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 易错点： 1. 误将非整数边长数组当作勾股数，不清楚勾股数必须是正整数的核心条件。 2. 不会利用倍数规律判断勾股数，遗漏基础勾股数的整数倍仍为勾股数。 3. 判断时不找最大数，随意平方求和，导致勾股数判定结果出现错误。 4. 混淆勾股数与勾股关系式，小数、分数组合满足等式也不算勾股数。 5. 死记硬背勾股数，不会推导，陌生数组无法快速验证是否为勾股数。 即时即练 4．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 5．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是________． 6．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为_____． 题型1 判断三边能否构成直角三角形 1．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（     ）． A． B．，， C．， D．，， 2．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 4．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 5．如图，是的中线，且，，． (1)判断的形状； (2)求点D到边的距离． 【易错警示】 判断三边是否构成直角三角形时，学生常未选取最长边平方验证，随意套用公式对比平方和。容易混淆勾股定理及其逆定理，忽视边长为正整数的要求，不会结合三边关系检验，最终造成判断错误。 题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点 6．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 7．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 8．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 9．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 题型3 在网格中判断直角三角形 11．如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 12．如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（   ） A．，8 B．40，8 C．，16 D．40，16 13．如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 14．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则_______，_______，_______，判断的形状为________三角形． 15．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 【易错警示】 网格中判断直角三角形，学生易数错网格格数、算错线段平方长度，仅凭直观目测直角。常未选取最长边验证平方关系，计算网格斜线边长方法有误，缺乏严谨推理，导致判定结果出错。 题型4 利用勾股定理的逆定理求边长 16．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 17．如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 18．如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 19．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为______．    20．如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【易错警示】 运用勾股定理逆定理求边长时，学生常混淆最长边，胡乱套用平方和公式计算。容易记错变形公式、计算失误，不会根据三边关系取舍边长，忽视分类讨论，解题逻辑不严谨，最终导致答案出错。 题型5 利用勾股定理的逆定理求面积 21．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 22．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 23．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 24．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 25．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 题型6 勾股定理逆定理的实际应用 26．如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 27．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 28．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 29．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 30．某地要开发一块三角形植物园，如图，测得，，． (1)若入口在边上，且，求从入口到出口的路线的长； (2)若线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠造价为元，则点在距离多远处，此水渠造价最低，并求出水渠的最低总造价． 题型7 勾股定理逆定理的拓展问题 31．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是______． 32．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 33． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 34．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    35．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 题型8 勾股定理的新定义问题 36．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长_______． 37．定义：在中，若，，，且，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 38．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 39．定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 40．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 1．下列各组数为勾股数的是（     ） A． B．6，8，10 C．8，24，25 D．，， 2．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 4．小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（   ） A．13 B．12 C．8 D．6 5．已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（   ） A． B．1 C． D．无法确定 6．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 7．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 8．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 10．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 11．已知的三边，，满足，则的形状为________． 12．在中，，，，则的度数为______． 13．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 14．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 15．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 16．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 17．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 18．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 19．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 20．如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 21．如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 23．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 24．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 25．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 26．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 27．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 28．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 29．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 30．如图，在中，是上的高，平分，已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的长． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第10讲 勾股定理的逆定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断三边能否构成直角三角形 题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点 题型3 在网格中判断直角三角形 题型4 利用勾股定理的逆定理求边长 题型5 利用勾股定理的逆定理求面积 题型6 勾股定理逆定理的实际应用 题型7 勾股定理逆定理的拓展问题 题型8 勾股定理的新定义问题 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 判断是否是直角三角形 勾股定理的逆定理 1. 理解并掌握勾股定理逆定理的内容，明晰其与勾股定理的区别与内在联系。 2. 了解勾股定理逆定理的证明过程，提升几何逻辑推理与严谨论证的能力。 3. 熟练运用逆定理判断三角形是否为直角三角形，掌握基础解题方法步骤。 4. 结合逆定理精准判定勾股数，灵活运用知识解决各类基础几何题型。 5. 学会将实际问题转化为几何模型，运用逆定理解决生活中的数学问题。 学习重点：掌握勾股定理逆定理内容，运用定理判定直角三角形及辨别勾股数。 学习难点：理解勾股定理逆定理的证明逻辑，灵活建模解决综合性几何实际问题。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 勾股定理的逆定理 勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长分别为a、b、c，且，那么这个三角形是直角三角形. （1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一个三角形是否是直角三角形； （2）勾股定理的逆定理是把“数”转为“形”，是通过计算来判定一个三角形是否为直角三角形. 2.如何判定一个三角形是否是直角三角形（不知道角度的情况下） （1）在△ABC中，首先确定最大边（如c）； （2）验证与的关系，若，则△ABC是∠C＝90°的直角三角形，若，则△ABC不是直角三角形. 注意：当时，三角形为钝角三角形，当时，三角形为锐角三角形，其中c为三角形的最大边. 3.勾股定理与勾股定理的逆定理的区别与联系 勾股定理 勾股定理的逆定理 条件 在Rt△ANC中，∠C＝90° 在△ABC中， 结论 ∠C＝90° 区别 勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“”，即由“形”得到“数” 勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”得到“形” 联系 两者都与三角形的三边有关系 易错点： 1. 判定直角三角形时，未用最长边平方验证，计算顺序颠倒导致判断失误。 2. 混淆勾股定理与逆定理，分不清已知、结论，误用定理解答题目。 3. 忽略三边为正数的前提，随意套用逆定理，判定三角形形状出现错误。 4. 仅满足两边平方和相等，忽略三角形三边关系，盲目判定直角三角形。 5. 复杂图形中找错对应边长，代入数据错误，导致逆定理判定结果出错。 即时即练 1．的三条边分别为a，b，c，下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理、三角形内角和定理等知识．勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长满足，那么这个三角形就是直角三角形．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； B、∵，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意； C、设，，， ∵， ∴，解得， ∴，，， ∴此三角形不是直角三角形，故本选项符合题意； D、∵，，， ∴， ∴此三角形是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：C． 2．如图，已知四边形中，，则这块图形的面积为（   ） A．96 B．78 C．108 D．120 【答案】A 【分析】本题考查的是勾股定理的逆定理及勾股定理，连接，根据勾股定理得到的长，然后根据勾股定理的逆定理，可以判断出的形状，然后根据即可得到四边形的面积． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，， ∴四边形的面积． 即这块四边形空地的面积是96． 故选：A． 3．如图，中，点D为的中点，，，，求：的长． 【答案】 【分析】延长到点G；使，连接．利用勾股定理的逆定理，勾股定理，三角形全等的判定和性质，求解即可． 【详解】解：延长到点G；使，连接． ∵点D为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，． ∵，，， ∴，， ∵， ∴． ∴． ∴． 知识点02 勾股数 勾股数 1.满足关系的3个正整数a、b、c称为勾股数. 2.勾股数需要满足的两个条件：①这三个数均是正整数；②两个较小数的平方和等于最大数的平方. 3.勾股数组的特点 （1）毕达哥拉斯发现的勾股数组：（n是正整数）； （2）柏拉图发现的勾股数组：（n＞1，且n是正整数）. 4.勾股数有无数组，常见的勾股数组如下： ①3，4，5；②6，8，10；③8，15，17；④7，24，25；⑤5，12，13；⑥9，12，15…… 5.一组勾股数的相同正整数倍是一组新的勾股数，如3，4，5是勾股数，6，8，10和9，12，15也是勾股数，即如果a、b、c是一组勾股数，那么ma、mb、mc（m为正整数）也是一组勾股数. 易错点： 1. 误将非整数边长数组当作勾股数，不清楚勾股数必须是正整数的核心条件。 2. 不会利用倍数规律判断勾股数，遗漏基础勾股数的整数倍仍为勾股数。 3. 判断时不找最大数，随意平方求和，导致勾股数判定结果出现错误。 4. 混淆勾股数与勾股关系式，小数、分数组合满足等式也不算勾股数。 5. 死记硬背勾股数，不会推导，陌生数组无法快速验证是否为勾股数。 即时即练 4．据《周髀算经》记载，我国古人早就发现了“勾股数”并用于生产生活．下列各组数中，是“勾股数”的是（    ） A．2，3，5 B．7，8，9 C．6，8，10 D．5，12，11 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股数的定义，三个正整数满足两较小数的平方和等于最大数的平方，这样的三个数是勾股数． 根据勾股数的定义逐项验证即可解答． 【详解】解：A．，不符合勾股数的定义，不符合题意； B．，不符合勾股数的定义，不符合题意； C．，符合勾股数的定义，符合题意； D．，不符合勾股数的定义，不符合题意． 故选C． 5．有一组勾股数，已知其中的两个数分别是20和15，则第三个数是________． 【答案】25 【分析】本题主要考查勾股数，勾股定理，分第三个数是直角边和斜边两种情况解答求出第三个数，再根据勾股数判定即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：设第三个数为x， 分两种情况：当x为直角边时， 有， 解得， 不是正整数，需舍去； 当x为斜边时， 有， 解得． 综上所述，第三个数为25． 故答案为：25． 6．如图，所有阴影部分四边形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，若正方形B、C、D的面积依次为8、6、18，则正方形A的面积为_____． 【答案】4 【分析】本题考查了勾股定理，要熟悉勾股定理的几何意义，知道直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方． 根据勾股定理、正方形的面积公式计算即可． 【详解】解：由勾股定理，得正方形E的面积=正方形B的面积+正方形A的面积，得正方形E的面积=正方形D的面积-正方形C的面积， 则正方形A的面积， 故答案为：4． 题型1 判断三边能否构成直角三角形 1．下列四组线段中，可以作为直角三角形三边的是（     ）． A． B．，， C．， D．，， 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的逆定理判断，找出每组中的最长边，计算两条短边的平方和，与最长边的平方比较，若相等则可构成直角三角形． 【详解】解：根据勾股定理的逆定理，若三角形三边满足两短边的平方和等于最长边的平方，则该三角形为直角三角形， A选项：∵，，， ∴不能构成直角三角形； B选项：∵最长边为，，，， ∴不能构成直角三角形； C选项：∵最长边为，，，满足， ∴可以构成直角三角形； D选项：∵最长边为，，，， ∴不能构成直角三角形． 2．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，找出不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、 ，且， ，得， 是直角三角形，不符合要求； B 、，设，，， 则，解得， 最大角， 不是直角三角形，符合要求； C 、，整理得，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合要求； D 、，设，，， 则，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合要求． 3．设a，b，c是的三条边，且，则这个三角形是______． 【答案】等腰三角形或直角三角形/直角三角形或等腰三角形 【分析】对已知等式移项分组后进行因式分解，得到，根据多个因式乘积为零则至少一个因式为零，可得或，结合三角形的定义即可判断三角形形状． 【详解】解： ∴ ∴ ∴ 或 ∴或 又∵a，b，c是的三条边， 是等腰三角形或直角三角形． 4．如图，，，，，，则四边形的面积是______． 【答案】24 【分析】连接，根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，再根据四边形的面积求解即可． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， 是直角三角形，且， 四边形的面积． 5．如图，是的中线，且，，． (1)判断的形状； (2)求点D到边的距离． 【答案】(1)等腰三角形 (2) 【分析】（1）计算三边的平方和，根据勾股定理，得出是直角三角形，即，证明，所以是等腰三角形； （2）运用三角形的面积公式，即可求出． 【详解】（1）解：是等腰三角形，理由如下： 是的中线， 点D是的中点，即， ， 是直角三角形，， 即， ， , ， 是等腰三角形． （2）解：过点D作，交于点E，如下图 ， 即， ， 点D到边的距离为． 【易错警示】 判断三边是否构成直角三角形时，学生常未选取最长边平方验证，随意套用公式对比平方和。容易混淆勾股定理及其逆定理，忽视边长为正整数的要求，不会结合三边关系检验，最终造成判断错误。 题型2 图形上与已知两点构成直角三角形的点 6．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 7．如图，，点A是延长线上的一点，，动点P从点A出发沿以的速度移动，动点Q从点O出发沿以的速度移动，如果点同时出发，用表示移动的时间，当_________s时，是等腰三角形；当_________s时，是直角三角形． 【答案】 或5 4或10 【分析】根据是等腰三角形，分两种情况进行讨论：点在上，或点在上；根据是直角三角形，分两种情况进行讨论：，或，据此进行计算即可． 【详解】解：如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是等腰三角形， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得； 如图，当时，是直角三角形，且， ，， 当时，， 解得：t=10． 故答案为：或5；4或10． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质以及直角三角形的性质，解决问题的关键是进行分类讨论，分类时注意不能遗漏，也不能重复． 8．如图，在中，，，，．是边上的一个动点，点与点关于直线对称，当为直角三角形时，的长为________． 【答案】7或17 【分析】分当E在线段AD上时，当E在线段BD上时分别求解即可． 【详解】解：当E在线段AD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接AF，EF，CF， ∵∠AEF=90°， ∴∠AEC=∠FEC==135°， ∴∠CED=45°， ∴CD=ED=5， ∴AE=AD-ED=12-5=7； 当E在线段BD上时， 连接CE，作A关于CE的对称点F，连接EF，CF，AF， ∵∠AEF=90°， ∴∠CEF=∠CEA=45°， ∴ED=CD=5， ∴AE=AD+DE=17， 故答案为：7或17． 【点睛】本题考查了等腰三角形三线合一的性质，等腰直角三角形的性质，轴对称的性质，解本题的关键是注意运用数形结合的思想解决问题． 9．如图，在中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且 (1)求证：； (2)若，，求CE的长． 【答案】(1) 证明：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形， ∴； (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理的逆定理，勾股定理，根据定理以及线段垂直平分线的性质解题即可． （1）连接，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求证； （2）设，在（1）的结论上，利用勾股定理列出方程计算即可求解． 【详解】（1）略 （2）∵，， ∴， 设，则， ∵，， ∴， 解得， ∴ 10．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，动点P从点B出发沿射线BC以3cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒． (1)求BC边的长； (2)当△ABP为直角三角形时，求t的值； (3)当△ABP为等腰三角形时，请直接写出此时t的值． 【答案】(1)3cm (2)t=1或 (3)t=或2或 【分析】（1）根据题意，在△ABC中，利用勾股定理求解即可； （2）由题意可知，分两种情况：①；②，代值求解即可； （3）由题意可知，分三种情况：①；②；③，分别结算求解即可． 【详解】（1）解：∵在△ABC中，，，， ∴BC=； （2）解：由题意可知，分两种情况：①；②， 设BP=3tcm，∠B≠90°： ①当∠APB=90°时，易知点P与点C重合， ∴BP = BC，即3t=3， ∴； ②当∠PAB=90°时，如下图所示： ∴CP=BP－BC=（3t－3）cm， ∵AC2＋CP2=AP2=BP2－AB2，即42＋（3t－3）2=（3t）2－52，解得：t=， 综上所述：当为直角三角形时，t=1或； （3）解：由题意可知，分三种情况：①；②；③， ①当时，如图所示： ； ②当时，如图所示： 根据等腰三角形“三线合一”可知，是边上的中线， ， ； ③当时，如图所示： 设，则， 在中，，，，，则由勾股定理可得，即，解得， ， ， 综上所述：t=或2或． 【点睛】本题考查三角形中的动点问题，涉及到勾股定理求线段长、三角形为直角三角形的讨论和三角形为等腰三角形的讨论等知识，熟练掌握相关知识点及分类情况是解决问题的关键． 题型3 在网格中判断直角三角形 11．如图，在的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点、、都在格点（网格线的交点）上，是的高线，则的长为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理得到，，，证明出为等腰直角三角形，再由等腰三角形三线合一的性质和直角三角形斜边上的中线为斜边一半解答即可． 【详解】解：，，， ∴ ∴为等腰直角三角形， ∵为的高， ∴是斜边上的中线， ∴． 12．如图，每个小正方形的边长为1，则的长和的面积分别为（   ） A．，8 B．40，8 C．，16 D．40，16 【答案】A 【分析】根据勾股定理，找到、、的长分别为、、，由勾股定理的逆定理可判断是直角三角形，然后根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：；；； ∴， ∴是直角三角形，， ∴的面积． 13．如图，每个小正方形的边长都为1，A，B，C是小正方形的顶点，则___________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，，再结合勾股定理逆定理得出为等腰直角三角形，且，从而即可得出结果． 【详解】解：如图：连接， 由勾股定理可得：，， ∵， ∴为等腰直角三角形，且， ∴． 14．如图，已知正方形网格中的，若小方格边长为1，则_______，_______，_______，判断的形状为________三角形． 【答案】 8 32 40 直角 【分析】本题考查勾股定理及逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形就是直角三角形． 根据勾股定理可以计算出的长，然后根据勾股定理的逆定理可以判断的形状． 【详解】解：由图可得，，，， ∴， ∴是直角三角形． 故答案为：8，32，40，直角． 15．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 【答案】(1) (2)如图：点C即为所求的格点；是直角三角形；点A到BC的距离为2． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理画出线段，，并根据勾股定理的逆定理判断的形状，再利用等面积法求点A到BC的距离即可． 【详解】（1）解：． （2）解：作图略； ∵，，， ， 是直角三角形． 设点A到BC的距离为h， ∵， ∴，解得：， ∴点A到BC的距离为2． 【易错警示】 网格中判断直角三角形，学生易数错网格格数、算错线段平方长度，仅凭直观目测直角。常未选取最长边验证平方关系，计算网格斜线边长方法有误，缺乏严谨推理，导致判定结果出错。 题型4 利用勾股定理的逆定理求边长 16．如图，在中，，，边的垂直平分线分别交、于点、，连接，若的周长为28，则的长为（   ） A．3.5 B．4 C．4.5 D．5 【答案】A 【分析】本题考查的是线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理．根据线段垂直平分线的性质得到，根据三角形的周长公式计算，得到，再利用勾股定理的逆定理求得，设，在中，利用勾股定理列式计算即可求解． 【详解】解：∵是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为28， ∴， ∴，又， ∴， 设，， ∵，，，， ∴， ∴， 在中，，，， 由勾股定理得，即， 解得， 即， 故选：A． 17．如图，在四边形中，，是边上的点，连接．已知，．现要在边上找一点，使得是以为腰的等腰三角形，则的长为（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，直角三角形的性质，等腰三角形的定义，利用勾股定理可得，进而由勾股定理的逆定理得是直角三角形，得到，即得，再分和两种情况解答即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， 当点是的中点时，如图， ∵， ∴，此时是以为腰的等腰三角形； 当时，是以为腰的等腰三角形； 综上，的长为或， 故选：． 18．如图，在中，，，．点分别为边上一点，将沿折叠，使点落在边的中点处，则___________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股逆定理以及勾股定理，折叠的性质．首先根据勾股定理逆定理判定为直角三角形，且；由中点的定义求出的长；根据折叠的性质可得；设，则，在 中利用勾股定理建立关于的方程，解方程即可求解． 【详解】解：， ， 是直角三角形，且． 点是边的中点， ． 由折叠的性质可知，． 设， 则， ． 在中，由勾股定理得 ， 即 ， 解得 ， ． 19．如图，在中，，以点为圆心，长为半径作圆弧，交边于点，若，，则的长为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据题意可知，利用勾股定理可求出的长，利用即可求解． 【详解】解：由题意得：， 在中，， ， ； 故答案为：． 20．如图，在中，，，D是上一点，，． (1)求证：； (2)求长． 【答案】(1)证明：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明得到，则可证明； （2）设，则，由勾股定理可得方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得， ∴； 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 【易错警示】 运用勾股定理逆定理求边长时，学生常混淆最长边，胡乱套用平方和公式计算。容易记错变形公式、计算失误，不会根据三边关系取舍边长，忽视分类讨论，解题逻辑不严谨，最终导致答案出错。 题型5 利用勾股定理的逆定理求面积 21．如图，在四边形中，，，，，，则四边形的面积为（   ） A．108 B．114 C．122 D．158 【答案】B 【分析】连接，勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再利用分割法求出四边形的面积即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴， ∵， ∴为直角三角形，且， ∴四边形的面积． 22．如图，，，，，，则的面积为（    ） A． B．45 C． D．18 【答案】C 【分析】勾股定理求出的长，勾股定理逆定理得到为直角三角形，再求面积即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴的面积为. 23．如图，在中，点D是内一点，连接．已知，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】24 【分析】在中，利用勾股定理可得，再利用勾股定理逆定理可得为直角三角形，且，然后根据图中阴影部分的面积为，即可求解． 【详解】解：在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴图中阴影部分的面积为． 24．如图，四边形中，，，，，． (1)判断是直角三角形吗？并说明理由； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)是直角三角形， 理由如下： 如图所示，连接， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形． (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，熟知勾股定理及其逆定理是解题的关键． （1）利用勾股定理可求出的值，则可证明，据此可得结论； （2）根据列式计算即可． 【详解】（1）略 （2）解： ． 25．如图1，在四边形中，，取边的中点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)如图2，连接，当，，时，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据平行线的性质及中点的定义得出，，，利用即可证明； （2）根据全等三角形的性质得出，，进而可得，根据勾股定理的逆定理得出，利用三角形面积公式即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∵是边的中点， ∴， 在和中，， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴， ∴是直角三角形，， ∵， ∴， ∴． 题型6 勾股定理逆定理的实际应用 26．如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（   ） A．北偏西方向上 B．北偏东方向上 C．北偏西方向 D．北偏西方向上 【答案】A 【分析】先用勾股定理的逆定理推出，再结合方位角和平行线的性质求出的度数，即可确定C相对于B的方位角． 【详解】解：如图，由题意，得，，，，． ，， ， 是直角三角形， ． ， ， ， ∴此时甲船位于岛的北偏西方向上． 27．如图，李伯伯家有一块四边形田地，其中，，，，，则这块地的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理和三角形的面积，勾股定理的逆定理，连接，运用勾股定理逆定理可证为直角三角形，可求出两直角三角形的面积，此块地的面积为两个直角三角形的面积和． 【详解】解：如图，连接， 在中，，，， 由勾股定理得：， ∴（负值已舍去）， 在中，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：A． 28．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 【答案】 【分析】作，交于点，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，从而求出，再根据等腰三角形的性质和勾股定理，可求，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点， ，，，即， ，则是的直角三角形， ， ，，， ， 在中，， ， ， 则阴影部分面积为． 29．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．某地要开发一块三角形植物园，如图，测得，，． (1)若入口在边上，且，求从入口到出口的路线的长； (2)若线段是一条水渠，且点在边上，已知水渠造价为元，则点在距离多远处，此水渠造价最低，并求出水渠的最低总造价． 【答案】(1)从入口到出口的路线的长为 (2)水渠的最低总造价为元 【分析】（1）先根据勾股逆定理，证明为直角三角形，且，再根据斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解； （2）根据垂线段最短，当时，最短，水渠造价最低，由等面积法可得，由勾股定理可得，即可求解． 【详解】（1）解：，，， ， 为直角三角形，且， ， 为的中点，即为边上的中线， ， 答：从入口到出口的路线的长为； （2）解：当时，最短，水渠造价最低， ， ， 在中，， 此时，总造价为（元）， 答：点在距离处，此水渠造价最低，水渠的最低总造价为元． 题型7 勾股定理逆定理的拓展问题 31．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形、、、的面积分别是2，3，5，4，则最大的正方形的面积是______． 【答案】14 【分析】根据勾股定理的几何意义，可得的面积为A、B的面积和，的面积为C、D的面积和，E的面积为F、G的面积之和． 【详解】由题意可知，的面积为2，的面积为3，的面积为5，的面积为4， ∴的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为5， 故的面积由勾股定理可得为与的面积之和， ∴的面积为9， 同理可得：的面积为：． 故答案为：14． 【点睛】本题考查了勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键． 32．阅读下列内容：设，，是一个三角形的三条边的长，且最大，我们可以利用，，之间的关系来判断这个三角形的形状：①若，则该三角形是直角三角形；②若，则该三角形是钝角三角形；③若，则该三角形是锐角三角形．例如：若一个三角形的三边长分别是，，，则最长边是，，故由③可知该三角形是锐角三角形． （1）若一个三角形的三边长分别是，，，则该三角形是__________； （2）若一个三角形的三边长分别是，，，且这个三角形是直角三角形，则的值为__________； （3）带一个三角形的三边长，，，其中是最长边长，则该三角形是__________三角形． 【答案】 锐角三角形 或 钝角 【分析】（1）直接利用定义结合三角形三边得出答案； （2）直接利用勾股定理得出x的值； （3）直接利用已知结合三边关系得出答案． 【详解】解：（1）∵72+82=49+64=113＞92， ∴三角形是锐角三角形， 故答案为：锐角三角形； （2）∵这个三角形是直角三角形，当x为斜边， ∴52+122=x2， ∴x=13， 当12是斜边， 则52+x2=122， 解得：x=， 综上所述：x=13或． 故答案为：13或； （3）∵a2-b2-c2=x2+3z2-x+y2-2y+=(x-)2+(y-1)2+3z2+＞0， ∴a2＞b2+c2， ∴该三角形是钝角三角形． 【点睛】此题主要考查了勾股定理以及勾股定理的逆定理，正确进行相关计算是解题关键． 33． 如图1， 在三角形中，为边上的高． (1)若， ， ， 求证： ； (2)根据（1）中的结论，小明发现：当满足 时，一定为直角三角形．小明的判断正确吗？为什么？ (3)如图2是某木质房梁的侧面图，其整体结构关于竖梁成轴对称，将其一侧抽象成如图3所示的图形，已知斜梁于点 D．经测量，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁垂直则为安全房梁．请判断该房梁是否安全，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)正确，理由见解析 (3)这个房梁安全，理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理及其逆定理进行求解即可； （2）根据勾股定理得，，得：，结合，化简得，即，即可得出结论； （3）根据勾股定理得，再得到，再进一步即可得出结论． 【详解】（1）解：∵在中，为边上的高， ∴， ∵， ， ， ∴，， ∴， ∴， ∴； （2）解：正确，理由如下： ， ∴在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， 得：， ， ， ∴， ∴，即， 为直角三角形； （3）解：安全，理由如下： ， ，， 在中，根据勾股定理得， ∴， ∴， ∴， 是直角三角形， ∴这个房梁安全． 34．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 35．在中，，设为最长边，当时，是直角三角形；当时，利用代数式和的大小关系，探究的形状（按角分类）． (1)当三边分别为6、8、9时，为________三角形；当三边分别为6、8、11时，为________三角形； (2)猜想：当________时，为锐角三角形；当________时，为钝角三角形；（填“>”或“<”或“=”） (3)判断：当时， 当为直角三角形时，则的取值为________； 当为锐角三角形时，则的取值范围________； 当为钝角三角形时，则的取值范围________． 【答案】(1)锐角；钝角 (2) (3)①；②；③ 【分析】本题主要考查勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）当两直角边为6、8时，利用勾股定理可得斜边的长度，当三角形最长的边小于所求边为锐角三角形，反之为钝角三角形； （2）根据勾股定理的逆定理即可得出结论； （3）当为直角三角形时，可求出，再根据勾股定理的逆定理求出下面情况的取值范围． 【详解】（1）解：当两直角边为6、8时，斜边 当三边分别为6、8、9时，为锐角三角形 当三边分别为6、8、11时，为钝角三角形 （2）解：由勾股定理逆定理可得， 当时，为锐角三角形； 当时，为钝角三角形； （3）解：当为直角三角形时，； 当为锐角三角形时，， ； 当为钝角三角形时，， 则的取值范围为， 两边之和大于第三边， ． 题型8 勾股定理的新定义问题 36．定义：如果一个点能与另外两个点构成直角三角形，则称这个点为另外两个点的勾股点．当这个点是直角的顶点时，这个点又称为强勾股点．在中，，D是的中点，P是射线上一个动点，当P是中A、C两个顶点的强勾股点时，则写出的长_______． 【答案】4或16 【分析】本题是三角形综合题，考查了勾股定理及逆定理的应用，新定义“强勾股点”，直角三角形斜边中线的性质等知识；解题关键是对新定义概念的性质运用，并注意运用分类讨论的思想． 分两种情况：点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，由新定义“强勾股点”画出图形，根据勾股定理可得出答案； 【详解】解：∵是的中点， ， 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在内，如图， ∵为的中点，， ， ， ， ； 若点是两个顶点的强勾股点时，且点在外，如图， ∵为的中点， ， ， 综上所述，的长为4或16． 故答案为：4或16． 37．定义：在中，若，，，且，，满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”请根据以上定义解决下列问题： (1)判断等边三角形是否为“类勾股三角形”，并说明理由； (2)如图，若等腰三角形是“类勾股三角形”，其中，，求的度数； 【答案】(1)等边三角形不是“类勾股三角形”，理由见解析； (2)的度数为． 【分析】本题是三角形综合题，考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识． （1）根据“类勾股三角形”的定义、勾股定理计算，得出直角三角形是等腰直角三角形，根据假命题的概念判断即可； （2）根据题意得到，根据“类勾股三角形”的定义得到，得到是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的定义求出． 【详解】（1）解∶ 等边三角形不是“类勾股三角形”， 理由：设等边三角形的三边长分别为，，，则， ， 等边三角形不是“类勾股三角形”； （2）证明：等腰三角形是“类勾股三角形”，，， ， ， 是直角三角形，且． ， ， 的度数为． 38．定义：在中，若，，，且a，b，c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”． 请根据以上定义解决下列问题： (1)如图1，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，求的度数． (2)如图2，在中，，且，D是AB上的点，连接CD，满足，过点作，垂足为．求证：为“类勾股三角形”． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定及性质，勾股定理等知识点，熟悉掌握各性质是解题的关键． （1）设，，，根据类勾股三角形的特征，把代入运算求解即可． （2）设，，，利用角的等量代换证出，得到，利用等腰三角形的性质得到，再利用勾股定理列式求解即可． 【详解】（1）解：设，，， ∵是“类勾股三角形”， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴； （2）证明：设，，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴为“类勾股三角形”． 39．定义∶ 在中， 若，a、b、c满足，则称这个三角形为“类勾股三角形”．请根据以上定义解决下列问题： (1)如图 1所示，若等腰三角形是“类勾股三角形”，，，请求的度数． (2)如图2所示， 在中，， 且， 求证：为“类勾股三角形”．志明同学想到可以在上找一点 D 使得，再作 ，请你帮助志明完成证明过程． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查等腰三角形的判定、勾股定理、“类勾股三角形”的定义等知识，理解题意、灵活运用勾股定理进而数形结合思想是解题的关键． （1）由类勾股三角形的定义判断出此三角形是等腰直角三角形，即可得出结论； （2）先求出，，，，，两个直角三角形中利用勾股定理建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：，， ，， 是类勾股三角形 ， ， 是等腰直角三角形， ， （2）解：如图：以在上找一点使得，再作，   ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， 在中，， ， ， 是“类勾股三角形”． 40．定义：若连接三角形一个顶点和对边上一点的线段能把该三角形分成一个等腰三角形和一个直角三角形．我们称这条线段为该三角形的机灵线，这个三角形叫做机灵三角形． (1)如图，在机灵三角形中，，为该三角形的机灵线，，，则长为___________，的度数为___________； (2)如图，中，，，，为斜边中点，连接并延长至点．当时，．求证：是的机灵线； (3)如图，中，，．若是机灵三角形，且为机灵线，求的长． 【答案】(1)，； (2)见解析； (3)或． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理，等腰三角形的性质，含有直角三角形的性质等知识，熟练掌握相关知识是解题的关键． （）利用勾股定理求出，再根据等腰直角三角形的性质求出即可； （）由题得，则，进而可证是等边三角形，所以，即为等腰三角形，再利用勾股定理逆定理证明为直角三角形，即，即可得证； （）由题可知为直角三角形，进而分类讨论，利用含有的直角三角形求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵是机灵三角形， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 故答案为：，； （2）证明：在中，，， ∴，， ∵为中点， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴为等腰三角形， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，即， ∴为直角三角形， ∴是机灵三角形， ∴是的机灵线； （3）解：∵是机灵三角形，且为机灵线， ∴为直角三角形， 当时，如图， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，； 当时，如图， ∵， ∴， ∴ ∴， 在中，， 综上，的长为或． 1．下列各组数为勾股数的是（     ） A． B．6，8，10 C．8，24，25 D．，， 【答案】B 【分析】勾股数是满足两较小数的平方和等于最大数平方的三个正整数，先根据"正整数"要求排除不符合选项，再验证剩余选项即可得到结果. 【详解】解：∵勾股数要求三个数都是正整数，选项A的数都是小数，选项D的数不是正整数，∴排除A、D； 对选项B，∵，， ∴，三个数都是正整数，是勾股数，符合题意； 对选项C，∵，，，∴不是勾股数，不符合题意; 2．若一个三角形的三边长分别为，，，且满足等式，则该三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判定 【答案】B 【分析】利用完全平方公式展开等式，整理得到三边的平方关系，再根据勾股定理的逆定理即可判断三角形形状 【详解】解：∵ ， ∴ ， 整理得：， ∴该三角形是直角三角形． 3．下列由线段a，b，c组成的三角形是直角三角形的是（   ） A． B． C． D．，， 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理，验证每组线段中两小边的平方和是否等于最长边的平方，即可判断是否为直角三角形． 【详解】解：A、选项中最长边为6，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． B、选项中最长边为17，，，，∴该三角形是直角三角形，故本选项符合题意． C、选项中最长边为15，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． D、选项中最长边为，，，，∴该三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 4．小明准备选用一些小棒作为三角形的边长制作直角三角形模型．现有长度为和的小棒，能与它们制成直角三角形模型的小棒长度可以是（   ） A．13 B．12 C．8 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，熟练掌握定义，勾股定理的逆定理是解题的关键． 利用直角三角形的定义，勾股定理的逆定理，进行计算逐一判断即可解答． 【详解】解：设第三根小棒长度为 ∵ 直角三角形中，（c为斜边）， 情况1：当为斜边时，， ∴ 解得：（取正值） 情况2：当12为斜边时，， ∴ ，解得：，不在选项中 ∴ 只有满足条件， 故选：A. 5．已知一个三角形的三边长分别为2，3，，则该三角形最长边上的中线长为（   ） A． B．1 C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理和直角三角形的性质，证明出该三角形是直角三角形是解题的关键．根据勾股定理逆定理得到三角形是直角三角形，再根据斜边上的中线等于斜边的一半即可得解． 【详解】解：由题知， ∴该三角形是直角三角形，3是斜边长， ∴最长边上的中线长为， 故选：C． 6．如图，四边形中，．则四边形的面积是（    ） A．72 B．66 C．42 D．36 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理及直角三角形面积计算，解题的关键是通过连接对角线将四边形分割为两个直角三角形，利用勾股定理及其逆定理分析三角形形状． 连接，先在中用勾股定理求；再通过勾股定理逆定理判断为直角三角形；最后分别计算两个直角三角形的面积并求和，得到四边形面积． 【详解】解：连接，如图： 在中， ， ， ， 在中， ， ， ， ∴是直角三角形， ， ∴四边形的面积为． 7．如图是一种“羊头”形图案，其做法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②'，…，然后依此类推，若正方形①的面积为64，则第4个正方形的边长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股树问题，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 根据正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积，求得正方形②的面积为32，同理，正方形③的面积为，正方形④的面积为，即可求出第4个正方形的边长． 【详解】解：根据勾股定理得： 正方形①的面积=正方形②的面积+正方形的面积正方形②的面积， ∵正方形①的面积为64， ∴正方形②的面积为， 同理，正方形③的面积为， 正方形④的面积为， ∴正方形④的边长为，即第4个正方形的边长． 故选：C． 8．如图，每个小正方形的边长为1，在中，点D为的中点，则线段的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判定是直角三角形，再用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半计算即可． 【详解】解：由图可得，， ， 为直角三角形．， 又为中点， ， ． 9．如图，在中，，点是的中点，连接，则的长为（   ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】先利用勾股定理的逆定理判定为直角三角形，再根据中点的定义求出的长度，最后在中用勾股定理计算的长． 【详解】解：∵，，， ∴， ， ∴， ∴． ∵点是的中点， ∴． ∴在中， ． 10．如图，在四边形中，，，，，，四边形的面积为（   ） A．12 B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，可知，由勾股定理的逆定理得到是一个直角三角形，则四边形面积可求． 【详解】解：连接，如图所示： 在 中， ， ∴ 在中，， 即， ∴为直角三角形， ∴. 11．已知的三边，，满足，则的形状为________． 【答案】直角三角形 【分析】根据勾股定理的逆定理判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形． 12．在中，，，，则的度数为______． 【答案】 【分析】可证明，则由勾股定理逆定理即可求解的度数． 【详解】解：∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴ 13．如图，在中，，，，根据尺规作图痕迹，线段的长为______． 【答案】 【分析】由勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，由作图可知，，再结合等面积法求解即可． 【详解】解：在中，，，， ， 是直角三角形，， 由作图可知，， ， ． 14．为增长学生自然科学知识，培养学生的劳动技能与责任感，实验中学分给各班级一块地，让学生学习种菜．八（1）班分得一块三角形菜地，测得三角形菜地的三边长分别为，则三角形菜地的面积是________． 【答案】7.5 【分析】根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，再利用直角三角形的面积公式计算面积即可． 【详解】解：. 该三角形为直角三角形，两条直角边长分别为和. 三角形菜地的面积为． 15．如图，学校前面有一条笔直的公路，学生放学后走，两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为______． 【答案】24 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．手工课上，小明做了一个如图①所示的剪刀套，抽象成模型如图②所示．已知，，，，且．若连接，则的度数为______． 【答案】/90度 【分析】首先根据勾股定理得出的长，再利用勾股定理的逆定理得出是直角三角形即可． 【详解】解：∵ ∴， ∵ ∴， ∴是直角三角形， 且． 17．如图是某品牌婴儿车及其简化结构示意图．根据安全标准需满足，现测得，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即），则该车_____（填“符合”或“不符合”）安全标准． 【答案】符合 【分析】先在中利用勾股定理求出，然后由以及勾股定理的逆定理得即可得答案． 【详解】解：在中，，dm，dm， 由勾股定理，得 因为dm，dm， 所以， 所以， 所以，即， 所以该婴儿车符合安全标准． 18．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 19．如图，阴影部分是八年级某班的班级菜园的示意图，经测量，，，，，则阴影部分面积为_________． 【答案】 【分析】作，交于点，根据勾股定理的逆定理，可得是直角三角形，从而求出，再根据等腰三角形的性质和勾股定理，可求，进而求出，最后根据，即可求解． 【详解】解：如图，作，交于点， ，，，即， ，则是的直角三角形， ， ，，， ， 在中，， ， ， 则阴影部分面积为． 20．如图，在中，，，为的中点，已知． （1）如图①，____________； （2）如图②，将沿折叠，使点落在外点处，连接，则线段的长为___________． 【答案】 90 7.2 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理求得是直角三角形，即可求得； （2）连接交于O．由折叠的性质得到，从而得到是线段的垂直平分线，即有，．由的面积，求出的长，得到的长．再由证明是直角三角形，利用勾股定理即可得出结论． 【详解】解：（1）∵为的中点， ∴， ∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∴； （2）连接交于O． ∵，为的中点， ∴． ∵（折叠的性质）， ∴， ∴是线段的垂直平分线， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 21．如图，在的网格中，已知格点线段（格点为网格线的交点）． (1)利用网格画出格点线段，使（点不在网格的边框上）； (2)在（1）的条件下，_____°，并证明此结论． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 【分析】（1）结合网格与勾股定理的性质列式计算，作图即可； （2）运用勾股定理与勾股逆定理得又因为，则，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∴． （2）证明：连接， 由画法知， 由勾股定理得， 是直角三角形，且 ∵， ． 22．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小方格的顶点叫格点，以格点为顶点按下列要求画三角形： (1)以格点为顶点画一个三角形，使三边长分别为2，3， (2)判断（1）中的三角形是否为直角三角形？ 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形 【详解】解：（1）如图：即为所求， （2）由勾股定理可知，三边正好为勾股弦，即， （1）中的三角形是直角三角形． 23．如图，在四边形中，． (1)连接，求的长； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)15 (2) 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，再根据列式求解即可． 【详解】（1）解：∵在中，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 24．为落实教育部中小学生劳动教育要求，某学校将校内如图所示的四边形空地改造成校园劳动实践基地．为了精准规划种植区域，需先测算空地相关数据．经测量，米，米，米，米，． (1)为方便分区管理，学校计划在、两点之间搭建篱笆，至少需要多少米的篱笆． (2)请计算出这块劳动实践基地的总面积，为后续的种植规划提供数据支持． 【答案】(1)至少需要米的篱笆 (2)这块劳动实践基地的总面积为平方米 【分析】（1）在中利用勾股定理求即可； （2）先由勾股定理逆定理证明是直角三角形，即可以为底，为高计算面积，再计算面积，最后把两个面积相加即为总面积． 【详解】（1）解：如图，连接， 在中，， ∵，， ∴； 答：至少需要10米的篱笆； （2）解：∵，，， ，， ∴， ∴是直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 答：这块劳动实践基地的总面积为平方米． 25．如图，在三角形支架中， (1)求的长； (2)判断支架外框的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)为直角三角形，理由如下： 由（1）知，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴ ∴是直角三角形． 【分析】（1）对和运用勾股定理求解即可； （2）证明三边长满足，由勾股定理的逆定理可知，为直角三角形． 【详解】（1）解：∵， ∴， 在中，，， ∴ 在中，， ∴ ∴的长为； （2）略 26．如图，在四边形中，，，，，． (1)求证：； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明：，，． 由勾股定理，得， ，， ， 为直角三角形， (2)36 【分析】（1）利用勾股定理求出的长，进而可证明，据此可证明结论； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：． 27．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 28．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 29．【问题情境】如图①，在中，为边上的高． 【特例研究】 (1)若，，，求证：； 【问题解决】 (2)如图②是某木质房梁的侧面图，小华照此结构设计出右侧房梁示意图如图③，已知斜梁，斜梁，，横梁．若横梁与竖梁不垂直则为不安全房梁，请判断小华设计的房梁是否安全？并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不安全，理由见解析 【分析】（1）先利用勾股定理求得、，然后求得，即；最后根据勾股定理逆定理可得是直角三角形，从而证明结论； （2）由勾股定理可得，进而得到，再利用勾股定理逆定理进行判断即可． 【详解】（1）解：∵． ∴， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴是直角三角形，且． （2）解：小华设计的房梁不安全，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，即， ∴与不垂直， ∴小华设计的房梁不安全． 30．如图，在中，是上的高，平分，已知，，． (1)求证：是直角三角形． (2)求的长． 【答案】(1)证明：是上的高， ． 在中，， 在中，， ， ， ， ， 是直角三角形； (2)． 【分析】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理以及角平分线的性质． （1）根据勾股定理可知，即可求出的值，当时，根据勾股定理逆定理即可求证是直角三角形； （2）利用角平分线的性质可知，根据三角形面积得出，即可求出的值． 【详解】（1）略； （2）如图，过点作于点． 平分，由（1）得， ， ， ， ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $