4.7 三角函数中有关ω的范围问题-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第四章三角函数与解三角形 §4.7三角函数中有关ω的范围问题 【重点解读】在三角函数的图象与性质中，ω的求解是近几年高考的一个热点内容，但因其求法复杂，涉 及的知识点多，历来是我们复习中的难点. 题型一三角函数的单调性与ω的关系 题型二三角函数的对称性与ω的关系 [例1](2026·湖南长沙市第一中学月考（七）)定义[例2](2026·杭州模拟)已知w≠0，函数(x) [a,a≤b, min(a,b) b,a>≥b.设函数f(x)=min{sina, =sin(ox+)在(0，受)上有三条对称轴和两个 极小值，则 ( os)(w>0),若f(x)在区间（管，）上单调 19 递减，则ω的取值范围为 C. 17 3 9≤w<- 3 A[号2U3UIg6 [听课记录] B.3U.6] cI号2]U33uIg6 D别 +/思维升华/+++++++++++++ 三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称 [听课记录] 中心之间的“水平问隔”为了，相邻的对称轴 和对称中心之间的“水平间隔”为T。 ,这就说 明，我们可根据三角函数的对称性来研究其 +/思维升华/++++ 周期性，解决问题的关键在于运用整体代换 确定函数的单调区间，根据区间之间的包含 的思想，建立关于的不等式组，进而可以 关系建立不等式，即可求ω的取值范围. 研究w的取值范围。 跟踪训练1(2026·安康模拟)已知函数f(x) 跟踪训练2(2026·呼和浩特模拟)已知函数 =sin(ou+)w>0)在（受）上单调递减，则m fx)=sin(or-）(w>0)在区间[0，x]上有且 的取值范围是 仅有两条对称轴，则ω的取值范围是 A.(1,2] B导引 A信) B(别 c(,】 层 c传别 D.[) 91 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 题型三三角函数的最值与ω的关系 题型四三角函数的零点与ω的关系 [例3](1)已知函数∫(x)=2sinw.x在区间[例4](2026·银川模拟)已知函数∫(x)= 【一背，]上的最小值为一2，则实数ω的取值范 Acos(wx十g)(A,w>0,l9≤)，若x=于为 围是 f(x)的零点，直线x=一T是f(x)图象的对称 6 (2)(2026·天津模拟)已知偶函数f(x)=sin(ωz +p)-5cos(x+p)w>0,p<5)在[0,1]上 轴，且)在区间（需需）上单调，则当实数 7π 取得最大值时，9等于 恰有2个最大值点，则实数ω的取值范围为 A晋 c D.一 3 [听课记录] 听课记录] +/思维升华/+++++++++++++ +/思维升华/++++++一 利用三角函数的最值与对称轴或周期的关 系，可以列出关于仙的不等式（组），进而求 三角函数丙个零点之同的“水平何局”为子，根 出ω的值或取值范围」 据三角函数的零点个数，可以研究ω的取值. 十+++十+++++++十++十十+十+ 跟踪训练4已知函数f(x)=cosw.x-1(w>0) 跟踪训练3已知函数f(x)=sin(or十)(w> 在区间[0,2π]上有且仅有3个零点，则w的取值 0),若）=f()且(x)在区间(，)内 范围是 有最大值，无最小值，则= 温馨提示 请做课时分层检测（三十二） 精品教辅·智慧人生 92[例3](1)解析设f(t)=Asin(wt+p)十h, §4.7三角函数中有关w的范围问题 候题意A=20h=25,1=10所以w一二=若 :[例1]解析令sin wr=cosx,即tanz=l, 又f0)=5,所以9=一2 则au=kx+子∈Z, 所以f()=20sim1-）+25=25-20c0s 解得工=红+无，k∈乙. w Aw 依题意25-20m若1≥35， y=sin ox与y=cOs w的周期均为T=2r 当x【0,]时，在一个周期内，根据inar与oswr的大小关 又0<≤10，解得号≤<碧 系来确定f(x)的解析式. 则摩天轮转功一月内，有9一9=（分钟）会有莱佳视觉效果 当0≤≤无时，osr≥nurf)=sina,)单销递增： 答案C 当元<K流时，ina>c0s,)=cosa,单谓递减区间为 (2)解①由题意，得风机的角速度为u-2rad/s,当t=0时， 5 (): h=60, A+B=140, A=40, 当活≤r<径时，o3o≥mowr,x)=sinr,单调述减区问为 则)一A十B=60, 解得B=100, (Asin +B-60, =-受 [ 所以h(t)=40si (-）+1000≤. 所以画数八)的单洞递减区同为（无+2您，吾+）4∈刀不 ②令h≥80，则40sin(号1-）+100≥80，即os [5x+2kx,3π+2kx] (k∈Z).(不要忘记加周期) 5 4w 2w 又0t≤5， 所以<警解得<≤所以-吾= )在区问（受，受）上单调道减，进行分类诗论： 所以当风机叶片端，点P从离地面最低位置开始，在转动一周的过 情形1 4w (k∈Z), 程中，点P高地面的高度不纸于80m的时长为号、 {<+ 跟踪训练3)ACD[根据题意可得g(x)=m(受x十9 每得2售+号<o≤2+（∈ZD, 5 号)因为g)的最小正周期为，所以 2π =元，因为w>0,1 由。>0得2+6>0，>-子 2 由售+号<2+，解得长子 所以a=4,即R)=c0s2z+g一智)，又(x)为奇画数，所以 所以k=0或k=1, 所以是<o<2或彩<w<0: 5π+2kr≤5π】 所以当=-2时9=-吾，所以g《)=m(2x-吾-) 情形2： 4 +。2'k 元3π12kπ -sin2x,f)=co(4红-吾)对于A,当x=吾时，f(若） (22w c0(4×吾-吾）=0，所以点（答，0）是）图象的一个对称中 解得+<<3十，（∈0 由w>0得3十4k>0,解得>-3 心，故A正确：对于B令2x<一晋<x+2,k∈Z解得员+受 尚誉+3<3十4，解得k长0， ≤≤经+经k∈易知(0，）不是[贤+经+引 所以k=0,所以w=3. ∈Z的子条，放B错误：对于C,g(x)≥号，即-sim2x≥合，得 综上w的取值范图号，2]U3U号小故选N m2x-子则-要+2张≤2x<-吾+2：k∈7：解得kx- 答案A 晋≤x-音：长，就C正确：对子D, 跟踪训练1B[令受+2x≤x十吾≤要+2kx,k∈乙.则 2 y=⑤ 在同一直角坐标系中分别画出1=（受） (受+2<<（号+2e.所以）[（晋+ /T o(2x-看）与%=g(x)=-sin2x在[0， 2(弩+2x)门∈z上单调递减，因为x)在区同（受， y2=g(x) π]上的图象，如图所示，通过图象可知，两函数图象在(0，π)上共！ 2十4k, 有2个交点，故D正确.] π上单调递减，所以有 2=n(合-受）+6（答案不唯一）[设y=Asin(+g+ (+≥ o+26. B以A0,w>0),由题意得A=1,B=6,T=4,因为T=2,所以a= 长乙，又0>0，所以当=0时，号<<分] 受，所以y=im(受x十9十6，因为当x=1时y=6,所以6= [例】解析x∈(0，受 sin+9)十6，结合表中数据得2十9=2x,k∈，可取g= 0指>0时+音∈（管·受+） 至，所以y=s血（受x-）+6.] 若)在(0，受）上有两个极小值，则fx)至少有4条时称轴， 不满足题意： 423 ②当K0时a+苔∈（受+音，） 得p=友'x+(E∈ZD, 6 又高数代)=m(+晋）在(0：受)上有三条对称物和两个 又≤受，故取=-2，得9=-否 极小值， 此时fx)=Aosz-若）A>0). 31 验证当需<<需时0<1 6 答案C 满足f八)在区间品，需)上单调递减， 跟踪训练2A[x∈[0，x]w>0,则aa- [-吾m-] 故实数。的最大值为1山，此时9=一云 画数)=sm,一音）w>0)在区间[0，]上有且仅有两条 答案B 跟踪训练4[2,3)[因为0≤x≤2x,所以0≤z≤2wm,令f(x)= 对特轴，则受<0一晋<受故。的取值范固是[唱昌）门 cos an-一1=0，则cos w=1有3个根，令t=wx,则cost=1有3 个根，其中t∈[0,2wπ]，结合余弦函数y=cost的图象性质可得 [例3](1)解析显然w≠0. 4π2wr<6π， "cos,4 72m 因为函数fx)=2nr在区同[-吾，牙]上的最小值为一2， 故2≤w<3.] 所以-宁≤-·解得> §4.8正弦定理、余弦定理 若0，当[-景]时，7≤u≤-音u, :必备知识·整合 1.sin B sin C+2bccosA +a-2cacos B 因为高数)=2n哑在区问[-音哥]上的装小值为-2， 2abcos C 2Rsin B 2Rsin C 2R2R b sin A:sin B:sin C 所以Tw≤-，解得≤-2. b2+c2-a22+a2-b2a2+F-2 26c 2ac 2ab 综上所述，符合条件的实数w的取值范围是（一∞，一2]U 3.(2)absin Cacsin B hesin A (3 +∞ :[自主诊断] 11.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.A[由余弦定理6=a2+c2-2 accos B,得=4十16-8=12， 所以b=25.] (2)解析f(x)=sin(wz十p)一√3cos(wx十p)=2 sin wr+9- 3B[对于D:mA=之，因为A∈0，，所以A=吾或钙：故0 错误：对于四：0A=一了因为y=60s在0上单调，所以 由)为偶函数，得g一吾=受+x∈D,即=吾+a便∈刀， 角A被唯一确定，故②正确：对于@：0sB=一子，b=30,因为 又p<受，故g=-吾，即f(x)=2sm(x-吾-吾）= osB=-<0,B∈(0，x),所以B∈（登，，所以A∈(0： 4 2si(r-受） 受）所以sinB=V一oB=平，又6=3a,由正弦定显得 当x[0,1时，-∈[-受w引即函教y=血z在区 nB=3snA,所以snA==臣所以角A孩一骑完， 3 问[-受受上格有2个最大植点， 故③正确：对于④：C=千，b=2,c=原，因为bsin C=2Xsin年 故有<。吾<，即3<5m √2，所以bsin C.<c<b,如图，△ABC不唯一，故④错误.故选B.] 答案[3π，5x) 跟踪训练3号[由题意知当x=吾时，)取得最大值，即受。叶 b=2 =2x+受D,解得=6+0，又号-=< C=3 c=W3/ 不，即2西>至，所以u<6,又w>0,所以w=2] 。1 C< B 3 3157 [例4幻解析因为f()的最小正周期T=2红，且f(x)在区间：4. 4 [依题意得cosA=+c2-a2 2bc 圣，所以sinA= 3 (品·需)上单调所以哥-≥语-品品 66'66 V个-co子A=兵，所以△ABC的西积为安ein A=15.] 4 4 又w>0,故0w11, ①关键能力·突破 又用为x=音为f)的套点，直线x=一后是f)图象的对[例于人《解玩设ABC的对边分别为@ 对于A,由cos2A+cos2B+2sinC=2得1-2sin2A+1-2sin2B+ 称轴， 2sinC=2,化简得sinC=sin2A十sinB,故A正确： 所以音一()=+-2.-，类理 对于B,由A及正弦定理得c=asin A十bsin B, 4 又c=acos B十bcos A,(三角形中的射影定理) 得w=2k十1(k∈Z). ② 由①②得0<w≤11且w为奇数， 所以snA=c0sB,sinB=c0sA,则A十B=受，所以C=受. 当w=11时，将x=-否代入oz十p, 所以由oAcos Bin C- 令1x(-若）十9=∈D. 得osAcos B=子， 424