4.2 同角三角函数基本关系式及诱导公式-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第四章三角函数与解三角形 +/思维升华/++++++++++++++ 的非负半轴，终边上A点坐标为(sin石， (1)利用三角函数的定义，已知角a终边上一 点P的坐标，可以求出α的三角函数值：已 cos )则a= 知角α的三角函数值，也可以求出其终边与 A B c D.号 单位圆交点P的坐标 (2)已知一角的三角函数值(sina,cosa,tana) (2)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的 中任意两个的符号，可分别确定出角的终边 非负半轴，若点P(sina,tana)在第四象限，则角 所在的可能位置，二者的交集即为该角的终 a的终边在 ( 边位置。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪训练3(1)(2026·鸟鲁木齐模拟)已知角 请做课时分层检测（二十六） a(0<a<2π)的顶点在坐标原点O,始边为x轴 温馨提示 §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 【课标要求】1.理解同角三角函数的基本关系式sin2a十cos2a=1 ,n=tana个a≠受+kr,k∈ cos a 2.掌握诱导公式，并会简单应用. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>》》 1.同角三角函数的基本关系 (2)若a,3∈R,则sina+cos23=1. (1)平方关系： (3)若a∈R,则tana=sina恒成立. cos a (2)商数关系： 1 2.三角函数的诱导公式 (4)若sin(kr一a)三3(k∈Z),则sina=3: 公式 一 二 三 四 五 六 2kx+a 角 元十a 2.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是 (k∈Z) ( 正弦 sin a 余弦 A.sin(-x)=sin cos a 正切 tan a -tan a B.sin()-cos r 口诀 奇变偶不变，符号看象限 C.cos(+r)=-sin 【自主诊断】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 D.cos(x-x)=-cos x “X”) :3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin +a) (1)sin(π十a)=一sina成立的条件是a为锐角. 三，那么cosa月 75 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 A-普 B.-3 (3)sin2a=- sin2a sna+cosa ta(a≠受+ka, c D吉 k∈Z: 4.(人教A版必修第一册P185习题5.2T12改编) sin2a+cos a tan'a十(a≠+kx, cos2a 1 cosa 已知sina·cosa= ，且<<受则cos。 k∈Z: sin a= 2.谨防两个易误点 【微点提醒】 (1)在利用同角三角函数的平方关系时，若开方， 1.熟记同角三角函数的基本关系式的几种变形 要特别注意判断符号 (1)sin2a=1-cos2a=(1+cos a)(1-cos a); (2)“奇变偶不变，符号看象限”，其中的奇、偶是 cos2a=1-sin2a=(1+sin a)(1-sin a); (sina士cosa)2=1±2 sin acos a. 指的奇数倍和偶数倍，变与不变指函数名称的 (2)sina=tan aco≠受+kx,k∈Z）, 变化，应用时要注意 口关键能力·突破 分类讲练以例求法>》> 题型一同角三角函数基本关系式 +/思维升华/++++++++++++++ [例1](1)(2026·广州模拟)已知sina-cosa= X t (1)利用sin2a十cos2a=1可以实现角a的正 2,则ana千an。的值为 弦、余弦的互化，利用&=tan aa≠受十 cos a A一司 kπ，k∈Z可以实现角a的弦切互化. B.-4 (2)形如asin a十bcos a csin a+dcos a asin2a+bsin acos a c D.4 十ccos2a等类型可进行弦化切. 2)2026·济南质检)若2sin0cos92,则 (3)对于sina十cosa,sin acos a,sina-cosa sin 0++2cos 0 这三个式子，利用(sina士cosa)2=1士2sina cos 0(1-2sin20) cosa,可以知一求二」 sin 0+cos 0 A.一25 4 4 跟踪训练1(1)(2025·衡水联考)已知x∈（一受， c-是 D是 0）,sinx+cosr=2,则sinx-cosr=( A.2 B.-√2 [听课记录] c号 D.、2 (2)(2026·贵阳模拟)已知tana=2,则，。 sin 2a 精品教辅·智慧人生 76 第四章三角函数与解三角形 题型二诱导公式 题型三同角三角函数基本关系式和诱导公式 [例2]()(2026·长沙调研)已知c0s(答-a)= 的综合应用 [例3](1)(2026·烟台调研)已知a为锐角，且 3则sin+a·cos(-a) sin(a+ ,则a= A-8 B. C.-2② D.22 sin(a-3) taa+ 9 9 (2)(2025·湖南九校联盟第二次联考)在平面直 A.12 B. c D. 角坐标系xOy中，P(3,4)为角a的终边上一点， (2)已知a∈(0，)ge(3x小，且sin(+a) 将角α的终边绕原点O按顺时针方向旋转琴后 3cos(B-),3sin(x+a)=sin(B)B-a 得到角B,则tanB的值为 ( A号 c D.3 4 [听课记录] (3)(2026·沧州模拟)已知co(+x=3,则 sin(平-等于 A司 B司 D. 22 +/思维升华/+ (1)利用同角三角函数基本关系式和诱导公 [听课记录] + 式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间 的联系，灵活使用公式进行变形。 (2)注意角的范围对三角函数值符号的影响。 跟踪训练3 +/思维升华/++++++++++++++ (1)(2026·丽水模拟)已知sin(2 诱导公式的两个应用 +a=那么an-) 1 () (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了. (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了. A.-5 B.士2√6 C.26 D.26 5 跟踪训练2(1)(2026·泗水调研)已知a∈R, 则下列等式恒成立的是 (2(多选尼知sm+）=-侣r∈（受小 ( A.sin(3x-a)=-sin a 则 ( Bsin2=-os号 2 A.cos+）=-2 5 Cos(+3a）=sin3a B.tan(+)-2 D.cos(-2a)--sin 2a C(骨-小=-看 tan(x-a)eos(2x-a)sin(-a+ (2) 的值为 Dn肾-25 cos(-a-r)sin(一π-a) 温馨提示 请做课时分层检测（二十七） 77 精品教辅·智慧人生(2)二或四终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上：α！ 哈 是第三象限角，即2kx十《a<2x+受，k∈么x十吾<号< 象限角，又0<a<2x,所以0<a<受，又1ana 1 =√3.所以a= kx十3平，k∈Z,4kx十2x<2a<4kx+3m,k∈乙.当人为偶数时，受 为第二象限角：当k为奇数时，号为第四象限角，而2a的终边落 (2)B[因为点P(sina,tana)在第四象限，所以sina>0,tana< 在第一或第二象限或y轴非负半轴上.] 0,所以角a的终边在第二象限.] [例21)解折由题意得，“号“所在的孤长1=受十子十+营- §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 晋（来），所在国的半径R=1.25=受（来），所以共所对的圆心角 必备知识·整合 5 .a)n2a+co3a=1(28-1anae≠受+k,k∈ cos a o090000ms”,g。2×=+2=P罩蜜国专g冬=各=兰 cos a 一cos a sin a一sin a tan a-tana 4 [自主诊断] 1.25≈1.768（米）. 1.(1)× (2)×(3)×(4)× 答案B (2)解①a=35”=35×0rad-需ad. 2CD[n(一)=-sinx,故A不成主：n(受-x=-cos 扇形的孤长1=ar=需×8=1号(m,。 故B不成立o(十z=-sin,故C成立c0s(6红-x) 9 -cosx,故D成立.] ②方法一由题意知2r十1=16，所以1=16-2r(0<r<8), 3.B[因为sm(经+a)=-csa=是，所以c0sa=-号J 则S=。1=号16-2)r=-2+8r=-(-4)2+16, 4. 当r=4cm时，Smax=16cm2,1=16-2×4=8(cm),a= 2 [因为子<a<登，所以sin>cos,而(cos&--sin a)- 2 rad, 1-2 sin=1-2X=,所以cosa-sin=-] 所以S的最大值是16cm,此时扇形的半径是4cm,圆心角a=:关键能力·突破 2 rad. 方法=由题意知2十1=15，所以S==1·2≤} 1 [例】1)解析方法-a一c0s。=9, 2 1 sin a-cos a)2=1-2sin acos a=2 =16, 1 当且仅当l=2r,即r=4cm时，S的最大值是16cm2, 解得sin acos a=4' 此时扇形的圆心角a=2rad. tan a a cos a sin'atcos'a 1 跟踪训练2(1)B[半径为2的圆上长度为4的圆孤所对的圆心 tan a cos a sin a sin acos a sin acos a 角是号=2rad.] 方法二（对偶式） (2)C[设弦AB的中点为D,AB的中，点为C,圆孤 7 设cosa+sina=t, 所在圆的圆心为O,连接AO,BO,CO,则CD= 则cos2a十2 sin acos a十sin2a=t2, ① 2cm,AB=8cm,AD=4cm,如图，设圆的半径为 Rcm,∠AOC=0,0°<9<90°，在△AOD中，R2= (R-22+4,解得R=5,则n=专6as9=是 则sinm7a-2 sin acos十cos2a=7: ② 显，然sin>cos日，则45°<0<90°，90°<29<180°， 所以in20=2 2sin cos0==0.96,于是20≈180°-74°≈ ①@相加可得产=号中1-或= 21 2 25 sin a-cos a= 2 L.85rad,因此扇形AOB的面积S1≈2 ×1.85×53≈ √6 23.1(em2),又△A0B的面积52=之×8×3=12(em2),所以号 cos a+sin a=， 形的面积为S1-S2≈11.1(cm2).] 可得sina=6+ 4 ,cos a=6-2 4 [例3](1)解析因为sima·sina+)=sins>0,若 所以ama=5+巨=2十5， √6-2 sina>0,cosa>0,则a的终边在第一象限；若sina<0,cosa<0, 则α的终边在第三象限 所以1ana十，L=2+5+1 =2+√3+2-√3=4， tan a 2+√3 答案AC (2)解析，角a的终边过点(4,3)， 同理，当t= 2 4 4 cos a= 答案D √42+32 5 (2)解析：2sin9-cos92tan0-1 1 .4 sin 0+2cos 0 lan 2an 3 :'. 4 =cos a=5 则os61-2simr0-1-2对m9 9㎡0+cos01-2 tan29 1-2× sin6 答案A tan20+1 sin cos tan 0+1 tan 0+1 tan 0++1 跟踪训练3(1B[由题意A点业标为（合，号），因此。是第一 116 1-tan0 9 (tan0+1)(tan0+1) (台+×（+ 25 答案C 416 跟踪训练1(1)B[因为sin'x十cosx=(sin2x十cos2x)2- 2 sin2x=1-2sim2xcos2x=之，所以sin2x=子，又x 又a∈(0，受）所以na=号则。=吾 将a=否代入①，得sinB2, 1 ∈(-受，0），所以sinx<0,msx>0,inx-cosx<0,所以 2 sin x-cos 因为e(三，x,所以日=，则B-a= sin zcos z = √(sinx-cosx)z 1-2x()=-.] 答案 √1-2 sin xcos z= 跟踪训练3a)B[因为m(答+a=分，所以co(行-a) ②an=2,则n9a十ina=1+ane=十 1 2sin acos a 2tan a o登-（停+a川-im(+a=方，则s如（语-e） [例2](1)解析由题意可知，将角进行整体代换并利用诱导公式！ 得m(紧+a)=n-(答-]-sim(答-o( 习信小 如(- =o受+（后-门-im(后-）小所以m(答+） ±26.] o(肾-a小-㎡(--os(答-d-1=号-1- (2)C[因为z(受所以x计至∈（要，）又m( 故选A )=-,所以+吾∈(，)小所以(+) 答案A (+)=-5故AE确：所以(+） (2)解析 由题意可知1ana=，=a-受 sin(+) 所以tam=tan(-受） cos a sin a o(+) 2故B错误：又o(骨-）-o[受-( coa-） 、1 )门-(+)=-得故c玉确：n(任-)=号 tan a 故选D 3 答案D (+)=o(+) 25,故D错误，] 5 (3)解析方法一 因为cos(至+=子 §4.3两角和与差的正弦、余弦和正切公式 必备知识·整合 所以sn(要-=+（管-] 1.(1)cos acos B+sin asin B (2)cos acos B-sin asin B (3)sin acos B-cos asin B (4)sin acos B++cos asin B =-sm(---(+川 6)a6品品6"号 tan a++tan B =-o(+=-者 2. √Ja2+Fsin(a+p) [自主诊断] 方法二令1=+，则=1一 1.(1)/(2)/(3)×(4)× 所以n(要-刘=要-(-)门=n(受-小 !2.C[因为a是第三象限角，所以sina=一√1-cos2a= 吾所 =-cos1=-c0(+=-3 5 % 答案A 101 跟踪训练2(1)D[sim(3x-a)=sin(x-a)=sina,sin, 3.B[因为2cosa-sina=0,则sina=2cosa,故tana=2,因此， sim(受-号）=cs号，os(受+a）=cas(受+3a） 工方 sin3,os(-2o）=-sin2a.] (2)-1 [原式=-tana·cosa·(-cosa）=tana·cos2a 4 2+⑥ [cos15°=cos(60°-45)=cos60°cos45°+sin60°sin45 4 cos(r+a)·[-sin(π十a)] cosa·sina sin a,cos a -1.] 2+67 sin a 关键能力·突破 im(a+）n(a+) :[例1](1)解析 由cos(a+B)=m得cos acos3-sin asin B=m. [例3](1)解析由条件得 又因为a ① (a-）e sfa+) 由tan atan月=2得sin asin里 cosa0os月2， ② 为能角，所以sim(a-晋）=co(a+晋，即m(a-登) 由①②得了c0 s acos B=-一m, {sin asin B--2m, 所以cos(a-B)=cos acos B+sin asin B=-3m. 答案A 故选C (2)解析因为cos(140°-a)+sin(110°+a)=sin(130°-a), 答案C 所以-sin(50°-a)+cos(20°+a)=sin(50°+a), (2)解析 由题意得∫cosa=√3sinR, 即-sin50°cosa+cos50°sina+cos(20°+a)=simn50°cosa+ cos50°sina, -3sina=cos月，② 所以cos20°cosa-sin20°sina=2sin50°cosa, 由①2+3×②2得，cos2a+9sin2a=3, 即(cos20°-2sin50°)cosa=sin20°sina, 又cos2a十sm2a=1,所以sim2a=子， 所以tana=cos20-2sin50 sin20° 417