4.1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第四章 三角函数与解三角形 §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 【课标要求】1.了解任意角的概念和弧度制.2.能进行弧度与角度的互化，体会引入弧度制的必要性. 3.借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的定义， 。必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 1.角的概念 (2)三角函数值在各象限内的符号：一全正、二正 角可以看成一条射线绕着它的 旋 弦、三正切、四余弦，如图 定义 转所成的图形 y ++ (1)按旋转方向分为 和 分类 sin a cos a tan a (2)按终边位置分为 和轴线角 (3)定义的推广 把射线OA绕端点O按不同方向旋转相同 设P(x,y)是角a终边上异于原点的任一点，它 相反角 的量所成的两个角叫做互为相反角.角α 到原点的距离为r(r>0),那么sina= 的相反角记为一a cos a= ,tan a= (.x≠0)】 所有与角a终边相同的角，连同角a在内， 终边相 【自主诊断】 构成的角的集合是{3B=a十k·360°，k∈ 同的角 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 Z}或 “X”) 2.弧度制的定义及公式 (1)小于90°的角是锐角. 长度等于 的圆弧所对的圆 (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角. 定义 心角叫做1弧度的角，记作1rad () lal= (弧长用1表示，半径 (3)若a为第一象限角，则sina十cosa>1.() 弧度数公式 用r表示) (4)角α的三角函数值与其终边上点P的位置 角度与弧 1°= rad;1 rad 有关 () 180 度的换算 2.(人教A版必修第一册P180例3改编)若sina 57.3 () 弧长公式 弧长= <0,且tana>0,则角a是 A.第一象限角 扇形面 B.第二象限角 积公式 C.第三象限角 D.第四象限角 3.一钟表的秒针长12cm,经过25s,秒针的端点所 3.任意角的三角函数 走的路线长为 () (1)定义：设a是一个任意角，a∈R,以它的顶点 A.20 cm B.14 cm 为原点，以它的始边为x轴的非负半轴，建立直 C.10rcmD.8元cm 4.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知 角坐标系，它的终边与单位圆交于点P(x,y),那 角a的终边经过点P(2,一3)，则sina= 么y=sina,x=cosa,义=tana(x≠0). cos a= tan a= 精品教辅·智慧人生 72 第四章三角函数与解三角形 【微点提醒】 (3)若角a∈(0，），则sina<a<tana 1.熟记以下常用结论 (1)象限角 (④)。所在象限与？所在象限的关系 第一象限角a2km<a<2kπ+受，kEZ a所在象限 二 三 四 第二象限角{a2kπ+受<<2kπ+T,kEZ 角的集 第三象限角{a2km+π<a<2km+3四，kEZ 受所在象限 、三 一三 二、四 二、四 第四象限角a2km+3”<a<2kr+2.kE乙 2 2.谨防三个易误点 (1)角度与弧度换算的关键是πrad=180°，在同一 (2)轴线角 个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用： 终边落在x轴上的角{aa=km,∈z》 (2)利用表中的扇形弧长和面积公式解题时，要 线 终边落在y轴上的角{@a=受+m,k∈乙 注意角的单位必须是弧度； 的集合 (3)已知三角函数值的符号确定角的终边位置， 终边落在坐标轴上的角a=,kEZ 2 不要遗漏终边在坐标轴上的情况， 口关键能力·突破 分类讲练以例求法>> 题型一角及其表示 /思维升华/+++ [例1](1)(2026·宁波模拟)若a是第二象限角， (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某 则 些条件的角，方法是先写出与这个角的终边 A.一a是第一象限角 相同的所有角的集合，然后通过集合中的参 数k(k∈Z)赋值来求得所需的角. B号是第三象限角 (2)确定如，是(k∈N)的终边位置的方法 C.3π+a是第二象限角 2 是先写出如或号的范图，然后根据k的可能 D.2α是第三或第四象限角或终边在y轴非正半 轴上 取值确定如或是的终边所在的位置， ++ (2)集合{kx十<a≤m+，k∈Z中的角所表 跟踪训练1(1)（多选）下列命题正确的是 示的范围（阴影部分）是 ( A.终边落在x轴的非负半轴的角的集合为{α 卡六头者 a=2kπ，k∈Z B.终边落在y轴上的角的集合为{aa=90°十 kπ，k∈Z 听课记录] C.第三象限角的集合为{ax十2x<a≤经+ 2kπ，k∈Z} D.在一720°~0范围内所有与45°角终边相同的 角为-675°和-315° 73 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 (2)已知a为第三象限角，则号是第 跟踪训练2(1)(2026·杭州模拟)半径为2的 圆上长度为4的圆弧所对的圆心角是() 象限角；2a是 A.1 rad B.2 rad 的角 C.4 rad D.6 rad 题型二 弧度制及其应用 (2)(2026·沈阳调研)成都大运会官方体育图 [例2](1)《掷铁饼者》取材于希腊的体育竞技活 标 “十八墨宝”以大熊猫“奇一”为原型，将中 动，刻画的是一名强健的男子在掷铁饼过程中最 国体育与中国书画、中国国宝的融合做到了极 具有表现力的瞬间.现在把掷铁饼者张开的双臂 致.如图1所示，射箭的“水墨熊猫”以真实的射 近似看成一张拉满弦的“弓”，掷铁饼者的一只手 箭运动为原型，生动形象.在如图2所示的弓形 臂长约为牙米，整个肩宽约为君米.“弓”所在圆 中，弧中点到弦中点的距离为2cm,弦长为8cm, 则弓形的面积约为（参考数据：sin74°≈0.96， 的半径约为1.25米.则掷铁饼者双手之间的距 π≈3.14) 离约为（参考数据：√2≈1.414，√3≈1.732） A.1.612米 B.1.768米 C.1.868米 D.2.045米 B (2)(2026·阜阳模拟)已知一扇形的圆心角为a 图1 图2 (a>0),弧长为l,周长为C,面积为S,半径为r A.8.2cm2 B.9.1cm2 ①若a=35°，r=8cm,求扇形的弧长； C.11.1cm2 D.4.1 cm2 ②若C=16cm,求S的最大值及此时扇形的半 题型三 三角函数的概念 径和圆心角 [例3](1)（多选）(2025·湖北部分学校联考)若 [听课记录] 角a的顶点在坐标原点，始边为x轴的非负半轴 且sina·sin(a+)>0,则a的终边可能在 ( A.第一象限 B.第二象限 C,第三象限 D.第四象限 (2)(2026·深圳模拟)若角α的终边过点(4,3)， 则sin(e+)等于 +/思维升华/+++++ 应用弧度制解决问题的思路 A.5 B.- D.- 3 5 5 (1)求扇形面积最大值的问题时，常转化为 听课记录 利用二次函数或基本不等式求最值问题。 (2)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要 合理地利用圆心角所在的三角形 精品教辅·智慧人生 74 第四章三角函数与解三角形 +/思维升华/++++++++++++++ 的非负半轴，终边上A点坐标为(sin石， (1)利用三角函数的定义，已知角a终边上一 点P的坐标，可以求出α的三角函数值：已 cos )则a= 知角α的三角函数值，也可以求出其终边与 A B c D.号 单位圆交点P的坐标 (2)已知一角的三角函数值(sina,cosa,tana) (2)已知角α的顶点为坐标原点，始边为x轴的 中任意两个的符号，可分别确定出角的终边 非负半轴，若点P(sina,tana)在第四象限，则角 所在的可能位置，二者的交集即为该角的终 a的终边在 ( 边位置。 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 跟踪训练3(1)(2026·鸟鲁木齐模拟)已知角 请做课时分层检测（二十六） a(0<a<2π)的顶点在坐标原点O,始边为x轴 温馨提示 §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 【课标要求】1.理解同角三角函数的基本关系式sin2a十cos2a=1 ,n=tana个a≠受+kr,k∈ cos a 2.掌握诱导公式，并会简单应用. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材>》》 1.同角三角函数的基本关系 (2)若a,3∈R,则sina+cos23=1. (1)平方关系： (3)若a∈R,则tana=sina恒成立. cos a (2)商数关系： 1 2.三角函数的诱导公式 (4)若sin(kr一a)三3(k∈Z),则sina=3: 公式 一 二 三 四 五 六 2kx+a 角 元十a 2.(多选)已知x∈R,则下列等式恒成立的是 (k∈Z) ( 正弦 sin a 余弦 A.sin(-x)=sin cos a 正切 tan a -tan a B.sin()-cos r 口诀 奇变偶不变，符号看象限 C.cos(+r)=-sin 【自主诊断】 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 D.cos(x-x)=-cos x “X”) :3.(人教A必修一P195T5改编)已知sin +a) (1)sin(π十a)=一sina成立的条件是a为锐角. 三，那么cosa月 75 精品教辅·智慧人生令f(x)=e十x,则f(a)>f(lnb), 因为f(x)在R上是增函数， f(色）因为u>1,可得>e,又因为6以1n6-D>0,6>1,所以 所以a>lnb,即e>b. 1nb>1,即b>c,所以名>1，易知当x>1时，f(x)=lnx+1> 方法二由ea十a>b+lnb, e 可得ea+lne>b+lnb, 0,可得函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以e<b,即 令g(x)=x十lnx,则g(e)>g(b), 因为g(x)在(0，十∞)上是增函数， b>e+1.] 所以ea>b,即a>lnb. 第四章三角函数与解三角形 答案AC (2)解析由恒等式x=lner可得a.x=In ear, §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 所以a.x+ear>ln(bx)+bx可变形为 :必备知识·整合 In ear +ear >In(bz)+bx, :1.端点正角负角零角象限角{B到B=a十2kx,k∈Z 构造函数f(x)=lnx十x, 可得f(eax)>f(bx). 2.半径长1 同理，由恒等式x=ehx可得bx=e(m), 所以a.x十ear>ln(bx)十bz可变形为ax十er>ln(bx)十enr), 3.(3)义 x 构造函数fx)=x十e,可得fax)>fn(bx). :[自主诊断] 答案AC 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 跟踪训练2e8[对ae-2=e4两边取自然对数， :2.C[若sina<0,则角a在第三或第四象限或终边落在y轴负半 得lna十a=6, 轴上，若tana>0,则角a在第一或第三象限，所以当sina<0且 对b(lnb-2)=e3以-1两边取自然对数， tana>0时，角a在第三象限.故选C.] In 6+In(In 6-2)=3-1, 3,C[秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的孤度数为三×】 即lnb-2+ln(lnb-2)=3入-3， ② 因为方程①②为两个同构方程， 2x=吾因北，秒针的瑞点所走的路线长为爱×12=10x(cm.门 所以3入-3=6，解得入=3， 设F)=nx+x且x>0,别F()=+1>0. .-3西2-号[因为=2y-3,所以点P到原 13 13 所以F(x)在(0，十o)上单调递增，故F(x)=6的解只有一个， : 点的距离r=√2+(-3)7=V3.于是sina=义=一是 所以a=lnb-2, r√/13 ab=b(In b-2)=e3x3-1 =e8. : 3√/13 2_2W13 13 [例3]1)解析将2ae2-nx+lna≥0支形为2ae2≥ln二，关键能力·突破 2e2≥日n若，两边同时乘x得2z2>≥名n名，即2xe2:≥[例1]（1)解析因为a是第二象限角，可得受+2x<a<x十 ln工=cln乙ln工（米）.设g(x)=xc,则g(x)=(1+x)e> 2x,∈，对于A,可得-元一2kx<-a<-交-2kx,k∈乙，此时 a 一a的终边在第三象限，所以一a是第三象限角，A错误：对于B, 0,g(x)单调递增，故由(*)得2x≥n工，na≥nx-2x,再令 a 可得平+x<号<受十m,k∈，当质为偶数时，号的终边在第 ha)=lnx一2，尉c)=子-2，易知xx=A(分）=-h2-1, 一象限：当友为奇数时，号的终边在第三象限，所以号是第一或 所以na≥-ln2-1,即a>2e 1 第三象限角，B错误：对于C,可得2红十2x<警十。<受+2x, 答案「， k∈Z,即2(k+1)x<3+a<受+2(k+1x,k∈Z,所以3经+a的 (2)解析xe-3+(e-1)nx=2台elnx+x-2+dnx十x-2=x十 终边在第一象限，所以+a是第一象限角，C错误：对于D,可得 In z=ex+In z, 设f(t)=e+t,则f(t)=e+1>0恒成立，故f(t)单调递增， π十4kπ<2a<2π十4kπ，k∈Z,所以2a是第三或第四象限角或终 由f(enx+x-2)=flnx)得enx+x-2=lnx,即(e-l)lnx=i 边在y轴非正半轴上，D正确. 2一x. 答案D 因为m是方程xe'2十(e-1)lnx=2的一个根， (2)解析当取偶数时，比如k=0,此时平≤®≤受，故角的终 所以(e-1)lnm=2-m, 所以m=导， 边在第一象限浅y轴正半轴；当长取奇教时，比知=1，此时严≤ 所以e号+(e-1)nm=m十(e-1)lnm=m+2-m=2. a<,故角的终边在第三象限或y轴的负半轴。综上，角的终边 答案B 跟踪训练3(1)C[因为ewa≥lnx十a,所以exa十x一a≥x十： 在第一象限或第三象限或y轴上. lnx,所以e-a+x-a≥enr+lnx.设f(t)=e+t,则了(t)=} 答案C e+l>0,所以f(t)在R上单调递增，故e-a十x-a≥enr+ 跟踪训练1(I)AD[A项显然正确；B中，终边落在y轴上的角 lnx,即f(x-a)≥f(lnx),即x-a≥lnx,即x-lnx≥a.设 的集合为aa=受十x,∈Z,角度与孤度不能混用，故错误，C g(x)=x-lnx,则g(x=1- 1=1,令g'(x)>0,则x>1 中，第三象限角的集合为{ax+2x<a<受+2kx,k∈，故错 令g'(x)<0,则0<x<1,所以g(x)在(1，十∞）上单调递增，在： 误；D中，所有与45°角终边相同的角可表示为B=45°+k·360°， (0,1)上单调递减，故g(x)min=g(1)=1,故a≤1.故选C.] (2)B[由aea+1+b<blnb,可得aea+1<blnb-b=b(lnb-1)= k∈么.令-720<45+6·360<0∈刀，解得-吕<6<-日 bin名，即elne<色n名，设f)=ln,可得fe)< (k∈Z),从而当夷=一2时，B=-675°；当k=一1时，B=-315°， 故正确.] 415 (2)二或四终边落在第一或第二象限或y轴非负半轴上：α！ 哈 是第三象限角，即2kx十《a<2x+受，k∈么x十吾<号< 象限角，又0<a<2x,所以0<a<受，又1ana 1 =√3.所以a= kx十3平，k∈Z,4kx十2x<2a<4kx+3m,k∈乙.当人为偶数时，受 为第二象限角：当k为奇数时，号为第四象限角，而2a的终边落 (2)B[因为点P(sina,tana)在第四象限，所以sina>0,tana< 在第一或第二象限或y轴非负半轴上.] 0,所以角a的终边在第二象限.] [例21)解折由题意得，“号“所在的孤长1=受十子十+营- §4.2同角三角函数基本关系式及诱导公式 晋（来），所在国的半径R=1.25=受（来），所以共所对的圆心角 必备知识·整合 5 .a)n2a+co3a=1(28-1anae≠受+k,k∈ cos a o090000ms”,g。2×=+2=P罩蜜国专g冬=各=兰 cos a 一cos a sin a一sin a tan a-tana 4 [自主诊断] 1.25≈1.768（米）. 1.(1)× (2)×(3)×(4)× 答案B (2)解①a=35”=35×0rad-需ad. 2CD[n(一)=-sinx,故A不成主：n(受-x=-cos 扇形的孤长1=ar=需×8=1号(m,。 故B不成立o(十z=-sin,故C成立c0s(6红-x) 9 -cosx,故D成立.] ②方法一由题意知2r十1=16，所以1=16-2r(0<r<8), 3.B[因为sm(经+a)=-csa=是，所以c0sa=-号J 则S=。1=号16-2)r=-2+8r=-(-4)2+16, 4. 当r=4cm时，Smax=16cm2,1=16-2×4=8(cm),a= 2 [因为子<a<登，所以sin>cos,而(cos&--sin a)- 2 rad, 1-2 sin=1-2X=,所以cosa-sin=-] 所以S的最大值是16cm,此时扇形的半径是4cm,圆心角a=:关键能力·突破 2 rad. 方法=由题意知2十1=15，所以S==1·2≤} 1 [例】1)解析方法-a一c0s。=9, 2 1 sin a-cos a)2=1-2sin acos a=2 =16, 1 当且仅当l=2r,即r=4cm时，S的最大值是16cm2, 解得sin acos a=4' 此时扇形的圆心角a=2rad. tan a a cos a sin'atcos'a 1 跟踪训练2(1)B[半径为2的圆上长度为4的圆孤所对的圆心 tan a cos a sin a sin acos a sin acos a 角是号=2rad.] 方法二（对偶式） (2)C[设弦AB的中点为D,AB的中，点为C,圆孤 7 设cosa+sina=t, 所在圆的圆心为O,连接AO,BO,CO,则CD= 则cos2a十2 sin acos a十sin2a=t2, ① 2cm,AB=8cm,AD=4cm,如图，设圆的半径为 Rcm,∠AOC=0,0°<9<90°，在△AOD中，R2= (R-22+4,解得R=5,则n=专6as9=是 则sinm7a-2 sin acos十cos2a=7: ② 显，然sin>cos日，则45°<0<90°，90°<29<180°， 所以in20=2 2sin cos0==0.96,于是20≈180°-74°≈ ①@相加可得产=号中1-或= 21 2 25 sin a-cos a= 2 L.85rad,因此扇形AOB的面积S1≈2 ×1.85×53≈ √6 23.1(em2),又△A0B的面积52=之×8×3=12(em2),所以号 cos a+sin a=， 形的面积为S1-S2≈11.1(cm2).] 可得sina=6+ 4 ,cos a=6-2 4 [例3](1)解析因为sima·sina+)=sins>0,若 所以ama=5+巨=2十5， √6-2 sina>0,cosa>0,则a的终边在第一象限；若sina<0,cosa<0, 则α的终边在第三象限 所以1ana十，L=2+5+1 =2+√3+2-√3=4， tan a 2+√3 答案AC (2)解析，角a的终边过点(4,3)， 同理，当t= 2 4 4 cos a= 答案D √42+32 5 (2)解析：2sin9-cos92tan0-1 1 .4 sin 0+2cos 0 lan 2an 3 :'. 4 =cos a=5 则os61-2simr0-1-2对m9 9㎡0+cos01-2 tan29 1-2× sin6 答案A tan20+1 sin cos tan 0+1 tan 0+1 tan 0++1 跟踪训练3(1B[由题意A点业标为（合，号），因此。是第一 116 1-tan0 9 (tan0+1)(tan0+1) (台+×（+ 25 答案C 416