3.5 指对同构问题-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 +/思维升华/++++++++++++++ A.a>b>c B.c>a>b 通过研究或变形，使所研究的式子具有鲜明 C.c>b>a D.a>c> 的结构特点，然后依据此特点构造新函数 (2)(2026·南昌调研)设a=999ln1001,b= 常用的不等式：sinx<r<ianx(0<r<) 1000·1n1000,c=1001ln999,则下列选项正 ln(x+1)<x(x>0),lnx≤x-1≤x2-x(x> 确的是 ( 0),e≥x+1(x>0),er≥ex>x(x>0). A.a>c>b B.c>b>a 跟踪训练2(1)(2026·九江模拟)已知a= C.b>a>c D.a>b>c 3 sinb=ln，c=2,则 1 ( 温馨提示 请做课时分层检测（二十四）》 §3.5 指对同构问题 【重点解读】把一个等式或不等式通过变形，使左右两边结构、形式完全相同，构造函数，利用函数的单 调性进行处理，找到这个函数模型的方法就是同构法.同构法主要解决含有指数、对数混合的等式或不等 式问题. 题型一 双变量地位同等同构 题型二指对同构法的理解 [例1] 若对0<x1<2<a都有ln( ∠2x2 指对同构的常用形式 (1)积型：ae“≤blnb,一般有三种同构方式： 一2x1成立，则a的最大值为 ( ①同左构造形式：aca≤In beln,构造函数f(x) A.1 B.2 C.e D.2e =xe; [听课记录] ②同右构造形式：e“lne≤blnb,构造函数f(x) =xln x; ③取对构造形式：a十lna≤lnb+ln(lnb)(a>0, b>1),构造函数f(x)=x十lnx. +/思维升华/+++++++++ (2)商型：c≤，b a≤nb一般有三种同构方式： 含有地位同等的两个变量x1,x2或x,y或 a,b的等式或不等式，如果进行整理（即同 、①同左构造形式。≤n构造函数/z)二e 构)后，等式或不等式两边具有结构的一致 性，往往暗示应构造函数，应用函数单调性 ②同右构造形式： nc≤6构造函数fr 解决. ln元 跟踪训练1（多选）(2025·河北名校联考)已知 ③取对构造形式：a-lna≤lnb-ln(lnb)(a>0, a,b∈R,且24>2>1，则 ( b>1),构造函数f(x)=x-lnx. A.ea-e<In a-In b B.bln a<aln b (3)和、差型：e“士a>b士lnb,一般有两种同构 C.b<ea-b D.sin a-sin a a-b 方式： 精品教辅·智慧人生 70 第三章一元函数的导数及其应用 ①同左构造形式：c“士a>enb士lnb,构造函数；题型三同构法的应用 f(x)=er土x; [例3](1)(2026·兖州诊断)对于任意实数x> ②同右构造形式：e“士lne“>b士lnb,构造函数 0,不等式2ae2x-lnx+lna≥0恒成立，则实数a f(x)=x士lnx. 的取值范围为 [例2](1)（多选）若ea十a>b十lnb(a,b为变量) (2)(2026·衡阳模拟)已知m是方程xer-2十 成立，则下列选项正确的是 ( (e-1)1nx=2的一个根，则e+(e-1)1nm A.a>In b B.a<In b 等于 ( C.e>b D.ea<b A.1 B.2 C.3 D.5 (2)(多选)对不等式a.x+ear>ln(bx)+bx进行 [听课记录] 指对同构时，可以构造的函数是 ( A.f(x)=In x+x B.f(x)=xln x C.f(x)=x+e* +/思维升华/++++++ D.f(r)= e 常见的同构函数有：①f(x)=n工；②f(x) [听课记录] =lnx:③fr)=e:④fx)=号 其中①④可以借助lnx=ln'=,②③可以 借助xer=(lner)er=(lnt)t=lnt进行指 对互化. +/思维升华/+++++++ 跟踪训练3(1)(2026·威海模拟)若关于x的 利用恒等式x=lner和x=enr,通过暴转指 不等式er一a≥lnx十a对一切正实数x恒成立， 或幂转对进行等价变形，构造函数，然后由 则实数a的取值范围是 () 构造的函数的单调性进行研究」 A.（-∞) B.(-∞，c] 跟踪训练2(2026·宜春模拟)在数学中，我们 C.(-∞，1] D.(-∞，2] 把仅有变量不同，而结构、形式相同的两个式子 (2)已知e为自然对数的底数，a,b均为大于1的 称为同构式，相应的方程称为同构方程，相应的 实数，若ae4+1十b<blnb,则 () 不等式称为同构不等式.若关于a的方程ae4-2 A.b<ea+l B.b>ea+1 =e4和关于b的方程b(lnb-2)=e-1(a>0, C.ab<e D.ab>e b>e2)可化为同构方程，则ab的值为 温馨提示 请做课时分层检测（二十五） 71 精品教辅·智慧人生b=In 2.f(In 2)=g(In 2), 设f(x)=e-x-1(x>0),f(x)=e一1， c=log号·f(ogs司）=gog:号）=g(-2 当x∈(0，十∞)时，f(x)>0,f(x)单调递增， 所以f(x)=ex-x-1>f(0)=0, -2<0<ln2<lne=1=30<3.2, 所以e>x+1(x>0). 所以g(-2)<g(ln2)<g(30.2),即a>b>c. 因为x2+2x+1>1+2x(x>0), 答案A 所以x+1>√1+2x(x>0), [例2]解析因为f(x)-f(x)>0,所以(）二f四>0.令 得e>√1+2x(x>0), e 8）=1巴，则g)=四>0，所以g(田在R上单 所以e0.142857>√个+2X0.142857,即a>c: e 由ex十1(x>0),得x>ln(x+1)(x>0), 调递增.e23f(x+1)>c+1f(2x-3)台fx十1f2x-3) 、 所以x-1>lnx(x>1),即x>lnx+1(x>1), e+ e2r-3 所以个.285714>1n√1,285714+1=血1.285714+1，即c≥ 台g(x十1)>g(2.x-3)台x十1>2x-3台x<4,所以“x<2”是 2 “e2x-3f(x+1)>e+1f(2x一3)”的充分不必要条件.故选A. b.综上，a>c>b. 答案A 答案D [例3】解析令F)=x子受+x,ke乙 跟踪训练21D[方法-a=sin号>n音=子-6 故r()=f()cosx+fx)sin>0恒成立， 设f(x)=lnx+1-x,x>1, cosx 则f(x)=11<0, x 故a)=巴在(-受+，受+∈Z上单调通增， 故f(x)在(1，十o)上单调递减， 故f(x)<f(1)=0,即l1nxx-1(x>1), 所以6=ln是<是-1=c,故a>>6 故)<F()即 sc 方法二a=sin晋>sin晋=号-c,6=n多<n6=号=c,所 2 以ac>b.] ()f() (2)B[设f(x)=(1000-x)ln(1000+x),x∈[-1,1].当 答案B e[-1,时，/e=-1h10+0+H0800.所以西款fa 跟踪训练】(I)C[令g()=巴，因为f()为偶函数，即f(-x)= 单调递减，所以f(-1)=1001ln999≥>f(0)=1000ln1000> cOS f(1)=999ln1001,所以c>b>a.故选B.] f,所以g(一x)=-=巴=g(x.周为当0<x<号 cos(-z)cosz 2 §3.5指对同构问题 时，有f(x)cosx十f(x)·sinx>0成立，所以g'(x)= m士0.放故口在0，号上单消递棉，例解折由h习 <2x2-2x1,0<1<x2<a, cos'T (In z2-In z1)<2z2-21, 根据偶函数的对称性可知，g()在（一受，0）上单调道减，由 则n-lh<2-2a Z1 T2 x)>2f(）·casx可得 () 即n4-ln4<2-2 cos 2f(）所以 1x2 cos 3 有1n2+2<n1+2。 1 g)>(）所以>或K-音即<<吾 2 令fx)=1nx+2(>0),则f2)<f(1), K-吾故选C] 所以fx)=1-2==2 2, (2)C[方法-设g()=f ∈(0，+oo. 令(x)>0→x>2,令(x）<0→0x<2, 所以函数f(x)的单调递增区间为(2，十©○)，单调递减区间为 zf(z)<2f(x), (0,2) ÷g)=f()=2fD<0. 所以当0<1<x2<2时，f(x2)<f(x1)恒成立， x 所以0<a≤2，故a的最大值为2. 则g(x)在(0，十∞)上单调递减， 答案B ∴.g(2)>g(e)g(4), 跟踪训练1CD[由2a>2>1,得a>b>0.对于A,设y=e .f22>fe>f④， 4 e2 16 nx且x∈0，+o),则y=e-子款y1,=号=E-2<0, 即4e2f(2)>16f(e)>e2f(4).故C正确. 1 方法二设f(x)=1,又e2<16<4e2,C正确.] y11=e-1>0,即y=e-子在（合上存在零点且 (3)A[由f(x)>el,可得f2⊥=f c-1在(0，十o∞)上单调递增，所以y=e-lnx在(0，十∞)上 e e 令g()=CD,结合fx)-f(x>0,则g(x)=()=fm 不单调，则ea-lna<-lnb不一定成立，排除A:对于B,设 e e <0, y=2且x∈(0，+6o),则y=1-h工，当x∈(0，e时，y>0 所以g(x)在R上单调递减， 故g(x)>g(1)→x<1, y=n2单调递增，当x∈(e,十co)时，y<0,y=血单调递减， 则原不等式的解集为（一∞，1）.] 故y=血严在(0，十o©)上不单调，则e<血不一定成立，排除 [例4幻(1)解析由ae=e,bcl.2=1.2e,ce.6=1.6e,得a= b B:对于C,设y=xe且x∈(0，十o),则y=er(x十1)>0，即 号=品品◆f)=是周f)号，事 y=xe在(0，十∞)上单调递增，所以aea>bd,即b<e-b,C 时，f(x)>0,当x>1时，f(x)<0,所以f(x)在(-o,1)上单： 正确：对于D,设y=x一sinx且x∈(0，十o),则y=1一cosx 调递增，在(1，+∞)上单调递减，于是f(1)>f(1.2)>f(1.6), 0,即y=x-sinx在(0，十o)上单调递增，所以a一sina>b 即f(a)>f(b)>f(c),又a,b,c∈[0,1]，所以a>b>c. 答案C sinb,即ina-inb<1,D正确.] 0-b (2)解析由题意知，a=e0.12857, :[例2](1)解析方法一由e+a>b+lnb, c=√/1.285714=√1+2×0.142857， 可得e&十a>enb+lnb 414 令f(x)=e十x,则f(a)>f(lnb), 因为f(x)在R上是增函数， f(色）因为u>1,可得>e,又因为6以1n6-D>0,6>1,所以 所以a>lnb,即e>b. 1nb>1,即b>c,所以名>1，易知当x>1时，f(x)=lnx+1> 方法二由ea十a>b+lnb, e 可得ea+lne>b+lnb, 0,可得函数f(x)在(1，+∞)上单调递增，所以e<b,即 令g(x)=x十lnx,则g(e)>g(b), 因为g(x)在(0，十∞)上是增函数， b>e+1.] 所以ea>b,即a>lnb. 第四章三角函数与解三角形 答案AC (2)解析由恒等式x=lner可得a.x=In ear, §4.1任意角和弧度制、三角函数的概念 所以a.x+ear>ln(bx)+bx可变形为 :必备知识·整合 In ear +ear >In(bz)+bx, :1.端点正角负角零角象限角{B到B=a十2kx,k∈Z 构造函数f(x)=lnx十x, 可得f(eax)>f(bx). 2.半径长1 同理，由恒等式x=ehx可得bx=e(m), 所以a.x十ear>ln(bx)十bz可变形为ax十er>ln(bx)十enr), 3.(3)义 x 构造函数fx)=x十e,可得fax)>fn(bx). :[自主诊断] 答案AC 1.(1)×(2)×(3)√(4)× 跟踪训练2e8[对ae-2=e4两边取自然对数， :2.C[若sina<0,则角a在第三或第四象限或终边落在y轴负半 得lna十a=6, 轴上，若tana>0,则角a在第一或第三象限，所以当sina<0且 对b(lnb-2)=e3以-1两边取自然对数， tana>0时，角a在第三象限.故选C.] In 6+In(In 6-2)=3-1, 3,C[秒针的端点旋转所形成的扇形的圆心角的孤度数为三×】 即lnb-2+ln(lnb-2)=3入-3， ② 因为方程①②为两个同构方程， 2x=吾因北，秒针的瑞点所走的路线长为爱×12=10x(cm.门 所以3入-3=6，解得入=3， 设F)=nx+x且x>0,别F()=+1>0. .-3西2-号[因为=2y-3,所以点P到原 13 13 所以F(x)在(0，十o)上单调递增，故F(x)=6的解只有一个， : 点的距离r=√2+(-3)7=V3.于是sina=义=一是 所以a=lnb-2, r√/13 ab=b(In b-2)=e3x3-1 =e8. : 3√/13 2_2W13 13 [例3]1)解析将2ae2-nx+lna≥0支形为2ae2≥ln二，关键能力·突破 2e2≥日n若，两边同时乘x得2z2>≥名n名，即2xe2:≥[例1]（1)解析因为a是第二象限角，可得受+2x<a<x十 ln工=cln乙ln工（米）.设g(x)=xc,则g(x)=(1+x)e> 2x,∈，对于A,可得-元一2kx<-a<-交-2kx,k∈乙，此时 a 一a的终边在第三象限，所以一a是第三象限角，A错误：对于B, 0,g(x)单调递增，故由(*)得2x≥n工，na≥nx-2x,再令 a 可得平+x<号<受十m,k∈，当质为偶数时，号的终边在第 ha)=lnx一2，尉c)=子-2，易知xx=A(分）=-h2-1, 一象限：当友为奇数时，号的终边在第三象限，所以号是第一或 所以na≥-ln2-1,即a>2e 1 第三象限角，B错误：对于C,可得2红十2x<警十。<受+2x, 答案「， k∈Z,即2(k+1)x<3+a<受+2(k+1x,k∈Z,所以3经+a的 (2)解析xe-3+(e-1)nx=2台elnx+x-2+dnx十x-2=x十 终边在第一象限，所以+a是第一象限角，C错误：对于D,可得 In z=ex+In z, 设f(t)=e+t,则f(t)=e+1>0恒成立，故f(t)单调递增， π十4kπ<2a<2π十4kπ，k∈Z,所以2a是第三或第四象限角或终 由f(enx+x-2)=flnx)得enx+x-2=lnx,即(e-l)lnx=i 边在y轴非正半轴上，D正确. 2一x. 答案D 因为m是方程xe'2十(e-1)lnx=2的一个根， (2)解析当取偶数时，比如k=0,此时平≤®≤受，故角的终 所以(e-1)lnm=2-m, 所以m=导， 边在第一象限浅y轴正半轴；当长取奇教时，比知=1，此时严≤ 所以e号+(e-1)nm=m十(e-1)lnm=m+2-m=2. a<,故角的终边在第三象限或y轴的负半轴。综上，角的终边 答案B 跟踪训练3(1)C[因为ewa≥lnx十a,所以exa十x一a≥x十： 在第一象限或第三象限或y轴上. lnx,所以e-a+x-a≥enr+lnx.设f(t)=e+t,则了(t)=} 答案C e+l>0,所以f(t)在R上单调递增，故e-a十x-a≥enr+ 跟踪训练1(I)AD[A项显然正确；B中，终边落在y轴上的角 lnx,即f(x-a)≥f(lnx),即x-a≥lnx,即x-lnx≥a.设 的集合为aa=受十x,∈Z,角度与孤度不能混用，故错误，C g(x)=x-lnx,则g(x=1- 1=1,令g'(x)>0,则x>1 中，第三象限角的集合为{ax+2x<a<受+2kx,k∈，故错 令g'(x)<0,则0<x<1,所以g(x)在(1，十∞）上单调递增，在： 误；D中，所有与45°角终边相同的角可表示为B=45°+k·360°， (0,1)上单调递减，故g(x)min=g(1)=1,故a≤1.故选C.] (2)B[由aea+1+b<blnb,可得aea+1<blnb-b=b(lnb-1)= k∈么.令-720<45+6·360<0∈刀，解得-吕<6<-日 bin名，即elne<色n名，设f)=ln,可得fe)< (k∈Z),从而当夷=一2时，B=-675°；当k=一1时，B=-315°， 故正确.] 415