3.3 导数与函数的极值、最值-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第三章 一元函数的导数及其应用 §3.3 导数与函数的极值、最值 【课标要求】1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大 值、极小值.3.掌握利用导数研究函数最值的方法.4.会用导数研究生活中的最优化问题. 巴必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.函数的极值 (2)函数的极小值一定小于函数的极大值， (1)函数的极小值 函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在 (3)函数的极小值一定是函数的最小值.() 点x=a附近其他点处的函数值都小，f(a)=0; 1 (4)函数的极大值一定不是函数的最小值： 而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)2.(人教B选修三P100 4 叫做函数y=f(x)的极小值 练习AT1改编)如图 (2)函数的极大值 是f(x)的导函数 3-2五1012 函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在 f(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为( 点x=b附近其他点处的函数值都大，∫'(b)=0; A.1 B.2 C.3 D.4 而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则b叫做函数y=f(x)的极大值点，f(b) 3.函数了)=3-2-1c的极小值点为 叫做函数y=f(x)的极大值. ;极大值为 (3)极小值点、极大值点统称为 ,极小值4.（人教A版选择性必修第二册P93例6改编）若 和极大值统称为 函数f(.x)= 3x3-4x十m在[0,3]上的最大值 1 2.函数的最大（小）值 为4，则m= (1)函数f(x)在区间[a,b]上有最值的条件： 【微点提醒】 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线，那么它必有最大值和最小值. 解题时灵活应用转化以下几个关键点 (2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大（小） (1)极值点不是点，若函数∫(x)在x1处取得极 值的步骤： 大值，则x1为极大值点，极大值为f(x). ①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 (2)极值是个“局部”概念，最值是个“整体”概念。 ②将函数y=f(x)的各极值与 (3)有极值的函数一定不是单调函数， 比较，其中最大的一个是最大值， (4)“f(xo)=0”是“x0为可导函数f(x)的极值 最小的一个是最小值， 点”的必要不充分条件.例如f(x)=x3,f广(0)= 【自主诊断】 0,但0不是极值点. 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 (5)对于一般函数而言，函数的最值必在下列各 “X”) 点中取得：导数为零的点、导数不存在的点、 (1)函数的极值可能不止一个，也可能没有.( 端点. 65 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一利用导数求解函数极值问题 (2)已知函数f(x)=lnx一2x(其中a∈R,e为自 命题点1根据函数图象判断极值 然对数的底数)存在极大值，且极大值不小于1，则 [例1](2026·淄博 a的取值范围为 模拟)设函数∫(x)在 R上可导，其导函数 [听课记录] 为(x),且函数y (x十1)f(x)的图象如图所示，则下列结论中正 确的是 ( A.函数f(x)有极大值f(一3)和f(3) B.函数f(.x)有极小值f(-3)和f(3) C.函数∫(x)有极小值f(-3)和极大值f(3) D.函数(x)有极小值f(3)和极大值（一3） [听课记录] +/思维升华/+++++++++++++ 根据函数的极值（点）求参数的两个要领 (1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两 命题点2求已知函数的极值 个条件列方程组，利用待定系数法求解， [例2](2026·沈阳模拟)已知函数f(x)=2lnx (2)验证：求解后验证根的合理性】 -2(a-1)x-a.x2(a>0),讨论f(x)的极值. [听课记录] 跟踪训练1(1)已知函数f(x)=ae+bx在x=0 处取得极小值1，则(2)等于 () Ae2-2 B.2-e2 C.e2-1 D.e2 (2)(2026·长沙调研)已知函数f(x)=(1nx)2 ax2有两个极值点，则实数a的取值范围是 题型二利用导数求函数的最值 命题点1不含参函数的最值 命题点3已知极值（点）求参数 [例4](2026·宁波调研)函数f(x)=e-x十2在 [例3](1)(2025·全国Ⅱ卷，13,5分，易)若x=2 [-2,2]上的值域为 () 是函数f(x)=(x-1)(x-2)(x一a)的极值点，则 A.[3,e2] B.[3,e-2+4] f(0)= C.[e-2+4,e2] D.[e+1,e2] 精品教辅·智慧人生 66· 第三章一元函数的导数及其应用 听课记录] 跟踪训练2(1)已知函数f(x)=x一√2sinx,x∈ [0,元]，则f(x)的最大值为 (2)(2025·福建名校联考)已知函数f(x)=x3 3x2十3在区间(a,a十6)上存在最小值，则实数a 的取值范围为 () A.[-1,2) B[- 命题点2含参函数的最值 c【-2,别 D.[-1,1) [例5](2026·德州调研)已知函数f(x)=a.x+ 【微拓展】 lnx,其中a为常数. 三次函数的性质 (1)当a=-1时，求f(x)的最大值： 三次函数是一类重要的函数，其规律性强，内容 (2)若f(x)在区间(0，e]上的最大值为一3，求a 相对独立，且有一些独有的结论和技巧，如果能 的值 得当运用三次函数的有关结论，可以大大简化解 听课记录] 题过程。 [典例]（多选）已知三次函数f(.x)=a.x3十bx2十 cx十d(a≠0)，则下列选项正确的是 () A.三次函数的对称中心是（品（一急） B.若函数f(x)关于点(m,n)对称，则y=f(x)的 图象关于直线x=m对称 C.若函数y=f(x)有极值，则对称中心是两个取极 值的点的中点 +/思维升华/+++++++++++++ D.若f(x)=0的三个根分别为x1,x2,x3,则x1十 求含有参数的函数的最值，需先求函数的定 b x2十x3= 2a 义域、导函数，通过对参数分类讨论，判断函 数的单调性，从而得到函数f(x)的最值. 温馨提示 请做课时分层检测（二十三） 67 精品教辅·智慧人生故C中函数不是“F函数”； :关键能力·突破 对于D,g(x)=zsin z,g'(x)=sinx十xcos x, [例1]解析由题图可知，当x<一3时，x十1<0，则f(x)<0, 当x∈（-受0）时，g'(x)<0, 当-3<x<一1时，x十1<0，则f(x)>0,当一1<x<3时， x十1>0，则(x)>0,当x>3时，x十1>0，则f(x)<0,所以函 “g()在(-受0）上单调递减， 数f(x)有极小值f(一3)和极大值f(3).故选C. 答案C 故D中函数不是“F函数” :[例]解函数f(x)的定义域为(0，十∞)， 答案ACD 求导得f(x)=2-2(a-1)-2ax [例41解1)g(x)=2z+nx-名(x>0),g()=2+ 1 x 2(x+1)(a.x-1) 号u>0). 因为函数g(x)在[1,2]上单调递增， 因为>0，则z(0,）时，f(x)>0, 所以g'(x)≥0在[1,2]上恒成立， 当xe(日+o∞）时fx)<0, 即2++8≥0在[1,2]上恒成立， x 所以a≥-2x2-x在[1,2]上恒成立， 因此f)在(0，）上单调递增，在(+∞）上单调递减， 所以a≥(-2x2-x)mx,x∈[1,2]. 所以当x= 是时，)取得板大值（日）=2n日+ 1一2，无 在[1,2]上，(-2x2-x)mx=-3, 极小值 所以a≥-3， 例3](1)解析由题意，得f'(x)=3x2一(2a+6)x+3a十2，由 所以实数a的取值范围是[一3，+∞). x=2是函数f(x)的极值点，得(2)=3×22-2(2a+6)+ (2)g(x)在[1,2]上存在单调递增区间， 3a十2=0，解得a=2,则f(x)=(x-1)(x-2)2,所以f(0)= 则g'(x)>0在[1,2]上有解， (0-1)×(0-2)2=-4. 即a>-2x2-x在[1,2]上有解， 答案一4 所以a>(-2z2-x)min (2)解析由已知可得，函数f(x)的定义域为(0，十○)， 又(-2.x2-x）min=-10,所以a>-10. 所以实数a的取值范围为（一10，十∞）. f(x)=1-a x e 跟踪训练3(1C[徐超可知，f)=a心-子0在(1,2)上超 ①音a<0时)=士->0在0十e上极成立： 成立，显然a>0,所以xe≥在1,2)上恒成立，设g()=ze, 所以f(x)在(0，十○)上单调递增，此时函数f(x)无极值： x∈(12)，所以g'(x)=(x十1)c>0,所以g(x)在(1,2)上单调 ②当>0时，f(x)=a2, 递增g>g=c故c≥即a≥日=e,即a的接小位 由(x)=ea=0可得x= ex a 为e1.] 当0<x<时，(x)>0, (2D[构造函数f(x)=n,x∈(0，+o),则f(x)= 所以f(x)在(0，）上单调递增： 1=n工，令/(x)>0,得0<x<e,令f(x)<0,得x>e,因此： 当x>e时，f(x)<0, a f(x)=血在(0，e)上单调递增，在(e,十∞)上单调递减，而a= 2-n4=f(40,b=1=e=f(c),c=n3=f(3),因为4> 所以)在（日，+∞）上单调递减， 2 4 e e 3 于是函数f()在x=二处取得极大值. 3>e,所以f(e)>f(3)>f(4),即b>c>a.] a §3.3导数与函数的极值、最值 由已知()≥1， 必备知识·整合 即n分-1≥1n≥2=he2, 1.(1)f(x)<0f(x)>0(2)(x)>0f(x)<0(3)极值点： 极值 因为函数y=lnx在(0，十o∞)上单调递增， 2.(1)连续不断(2)①极值②端点处的函数值f(a),f(b) 所以≥e2,即a≤，又>0， [自主诊断] 1 1.(1)√(2)×(3)×(4)/ 所以0<a多 e 2.A「由题意知在x=一1处f(一1)=0，且其两侧导数值符号左 负右正，门 于是a的取值范国为(0，] 3.子18[由f)=2-号2-14x得，f(x=3x2-x-14= 蜂上所选ú的取值范周为(0，门。 (z+2)(3x-7),令f(x)>0,解得x>子或x<-2,令f(x)< 答案 ( 0,解得-2<r<子故f)在(-©，-2，（子+e）上单满跟踪训练C由a十6，得了(）=ae+6: 因为f(x)在x=0处取得极小值1， 递增，在(-2子)上单调递减，故)在x=号处取得报小位， 所以{f0)=ae+6=0, wf0)=ae0+b.0=1>{6=1→f(x)=c-1, 在x=-2处取得极大值，故f(x)板大值=f(-一2)=一8一2+28= 当x>0时，f(x)>0,f(x)单调递增， 18.J 当x<0时，f(x)<0,f(x)单调递减， 4.4[f(x)=x2-4,x∈[0,3]，当x∈[0,2)时，f(x)<0,当 所以f(x)在x=0处取得极小值，故a=1,b=一1满足题意，于 x∈(2,3]时，f(x)>0,所以f(x)在[0,2)上单调递减，在(2,3] 是有f(2)=e2-1.] 上单调递增.又f(0)=m,f(3)=一3十m,所以在[0,3]上， f(x)max=f(0)=4,所以m=4.] 2(,动) [函数f(x)=(lnx)2-ax2的定义域为(0，+o), 412 导函数f(x)=2n工-2ax,由已知2n2-2ax=0有两个不相等： 的图象如图.当x3-3x2+3=-1时，(x十1)(x-2)2=0,解得x =一1或x=2,故要使函数f(x)=x3一3x2十3在区间(a,a十6) 的正实数根，所以口=血严有两个不相等正实数根，令g(x)= 上存在最小维省有12.解得-1<2.脚安线。的职 h,则g(=1-2n工.由g(m=0,得x=6.当x∈(0,6) 值范围为[一1,2).门 【微拓展】解析对于A,设f(m一x)十f(m十x)=2m,得[a(m 时，g(x)>0,函数g(x)在(0，W)上单调递增；当x∈(E,十∞) x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+ 时，g(x)<0,函数g(x)在(W,十o)上单 y↑ c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm十 调诞减.又81)=0，g0=,当>1 2e 2d)=2m.根据多项式恒等对应系教相等，可得m=一 时，g(x)>0,当0<x<1时，g(x)<0,当 0 712 am3十bm2十cm+d,从而三次函数是中心对称曲线，且由n= x+∞时，g(x)0,所以函数g(x)的图 f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.故对称中心为 象如图，所以实数a的取值范围是0， (品(-品)A正： )门 对于B,由y=f(x)的图象关于点(m,n)对称，得f(x)+f(2m x)=2n.求导可得f(2mx)=f(x),即y=f(x)的图象关于直 [例4]解析由题意得'(x)=e-1,当一2x<0时，f'(x)< 线x=m对称，B正确： 0,当0<x≤2时，广(x)>0,故f(x)在[-2,0)上单调递减，在 对于C,设f(x)=3aa2+2hr十c=0的两根分别为1,2，则1十 (0,2]上单调递增.所以f(x)在x=0处取得极小值，也是最小 2b 值，故f(x)mn=f0)=3.因为f(-2)=e2+4<f(2)=e2,所 =一治，一品设f()的两个取极值的成为A(1 以f(x)mx=e2. f(1),B(x2,f(x2), 故f(x)的值域为[3，e2]. f()+f(z)=(axi+bi+ca+d)+(ax+b2+c2+d)= 答案A a(.+)+b(x+x号)+c(1+x2)+2d=a(1+x2)[(1十 [例5]解(1)易知f(x)的定义域为(0，+∞)， x2)2-31x2]+b[(x1+2)2-2x1x2]+c(x1+x2)+2d= 当a=-1时，f(x)=-x+lnx, f()=-1+1=1-x ((警-）+签)路+=器 令f(x)=0,得x=1. 2b+2d. 3 当0<x时，f(x)>0:当x>1时，f(x)<0. 所以f(x)在(0,1)上单调递增，在(1，十∞)上单调递减. r(品)=(-)+(-品)+()+小 所以f(x)ax=f(1)=-1. 463 所以当a=一1时，函数f(x)在(0，十o∞)上的最大值为一1. 27a2- +2 2r)=a+2aeod,2[+） 所以f)+1)=2f(会)AB的中点P(专 ①若a>-,则了()≥0，从而x)在0]上单河递增， 2 所以f(x)max=f(e)=ae十1≥0，不符合题意 )=(会一)即为对格中心C压： D.ax3+b22+cx+d=a(x-z1)(z-z2)(z-zs)=axs- 巴若a<-令了)>0，得a+>0,结合x∈0，解择 a(x1十x2+x3)z2+a(1x2十x2x3十x3x1)x-a.1x2x3.比较系 0<x<- 数可得1十2十x,=一b,D错误」 a 令f(x)<0,得a+<0,结合x∈(0，d,解得-是<r≤c 答案ABC §3.4函数中的构造问题 从而)在(0，一日）上单调递路在(-日上单调递减， [例1】(1)解析令g(x)=f,则g(x)=f)f卫，所 所以=（日）=-1+h() 以当x>0时，g(x)<0,所以g(x)在(0，十o∞)上单调递减.又 f(x)为奇函数，所以g(x)为偶函数，所以g(x)在（一0,0）上单 令-1+n(日）=-3，得a=-2. 调递增.又f(1)=-f(-1)=0,即g(1)=g(-1)=0.而f(x)> {g)>0=ga支{C0: 0等价于>0， 因为-e2<-是，所以a=-. (x<0, 08-1.中{9发 {1,所以<-1或0<x<1.所以f)>0的解集为(-o, 跟踪训练2(1)x[由f(x)=x-√2sinx,x∈[0，]，可得f(x) 1)U(0,1).故选A. =1-EszE[0,,令了(0=0可得eosx-号又x长[0， ],所以x=,当z[0,）时，f(x)<0,)单调递减：当 x∈（牙时f(x)>0,fx)单调递增：易知f0)=0f(x)= 答案A (2)解析令g(x)=xf(x),x∈R, x,因此f(x)的最大值为元.] 因为f(x)=f(一x),所以g(一x)=一xf(一x)=一xf(x)= (2)A[由题意得f(x)=3z2-6x=3(x-2).当 -g(x), 所以g(x)为奇函数， f(x)0时，得x0或x>2,当f(x)<0时，得0a y=f(x) 又因为当x∈（一∞，0]时，f(x)十xf(x)>0, 2,故函数(x)的单调递增区间为（一∞，0）， 所以当x∈(-∞，0]时，g(x)=f(x)+xf(x)>0,所以g(x)在 (2,十○)，单调递减区间为(0,2)，即x=2时， (一∞，0]上单调递增， 函数f(x)取得极小值f(2)=一1，画出f(x) 又g(x)为奇函数，所以g(x)在R上单调递增， 又因为a=30.2·f(30.2)=g(30.2), 413