2.13 函数与方程的综合应用-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第二章函数 §2.13函数与方程的综合应用 【重点解读】函数与方程的综合应用是历年高考的一个热点内容，经常以客观题出现，通过分析函数的 性质，结合函数图象研究函数的季点或方程的根的分布、个数等，题目难度较大，一般出现在压轴题位置， 题型一由零点分布求值（范围） A.[3.5,4) B.(3.5,4] 命题点1二次函数的零点分布 C.(5,5.5] D.[5,5.5) [例1](1)若a<b<c,则函数f(x)=(x-a)(x- (2)已知函数f(x)=logar十x-b(a>0且a≠ b)十(x-b)(x-c)十(x-c)(x-a)的两个零点 1).当2<a<3<b<4时，函数f(x)的零点xo∈ 分别位于区间 ( (n,n+1),n∈N*,则n= A.(a,b)和(b,c)内 [听课记录] B.(-o∞，a)和(a,b)内 C.(b,c)和(c,+o∞)内 D.(-∞，a)和(c,十∞)内 (2)(多选)已知函数f(x)=x2+(m一3)x十m的 两个零点分别为x1,x2,且x1<x2,则下列结论 正确的是 +/思维升华/++++++ A.当x1>0且x2>0时，0<m<1 对于二次函数零点分布的研究一般从以下 B.当x1<1且x2>1时，m<1 几个方面入手 C当-2<<0且0<<4时m<-着 (1)开口方向； (2)对称轴，主要讨论对称轴与区间的位置 D.当x1<2且x2>4时，m<-4 关系； [听课记录] (3)判别式，决定函数与x轴的交点个数； (4)区间端点值。 十十+++++++++n++++++十+++++ 跟踪训练1(1)设方程x2-2ax-a=0的两 实根满足x1<x2<1,则实数a的取值范围为 () A.（-3) 命题点2其他函数的零点分布 B.-,-3)U(0,1) [例2](1)已知定义在R上的奇函数满足f(2一 x)十f(x)=0,当x∈(0,1]时，f(x)=-log2x, C.(-∞，-)U(0,g) 若函数F(x)=f(x)一sin元x在区间[一1，m]上 有10个零点，则m的取值范围是 D.(-1,) 53 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 4x+6,x≤0， 一4)f(x)十2(2一m)=0有五个不同的实数根， (2)已知函数∫(x)= 若g(x)）= 则实数m的取值范围是 f(x)一m恰有3个零点x1,x2x3,则x1x2x3的 A.[1,3) B.(0,2) 取值范围是 C.[1,2) D.(0,1) A(-2o B(-0 [听课记录] C.(-∞，0] D.(-∞，0) 题型二复合函数的零点 命题点1复合函数的零点个数判定 /x2-k.x十1，x≤0， [例3](1)（多选）已知函数f(x)= log20, 下列关于函数y=f(f(x))十1的零点个数的说 法中，正确的是 A.当k>1时，有1个零点 B.当k>1时，有3个零点 +/思维升华/++++++++ C.当k<0时，有9个零点 对于复合函数y=∫(g(x)的零点个数问 D.当k=一4时，有7个零点 题，求解思路如下： (2)(2026·威海模拟)已知函数∫(x)= (1)确定内层函数u=g(x)和外层函数y= f(u); 1-xx<0, 则函数F(x)=f儿f)]-忘f(x) (2)确定外层函数y=∫(u)的零点u=u;(i= In xl,>0, 1,2,3,…,n); 一1(e为自然对数的底数)的零点个数为( (3)确定直线u=u;(i=1,2,3,…,n)与内层 A.3 B.5 函数u=g(x)图象的交点个数分别为a1, C.7 D.9 a2,a3,…,au,则函数y=f(g(x)的零点个 [听课记录] 数为a1十a2十a3十…十an ++++++++++++十…+++++++…++…+ 跟踪训练2(1)(2026·漳州质检)已知函数 ,x>0, f(x)= 则函数g(x)= |x+1|+1,x≤0， f(f(x)-1)的零点个数为 A.3 B.5 C.6 D.8 ln(-x-1),x<-1, 命题点2根据复合函数零点求参数 (2)函数∫(x) 若函数 2x+1,x≥-1， [例4](2026·常州模拟)已知函数∫(x)= g(x)=f(f(x)一a有三个零点，则实数a的取 [x+1,x≤0， 值范围是 若关于x的方程[∫(x)]十(m 温馨提示 请做课时分层检测（十九） 精品教辅·智慧人生 54§2.13函数与方程的综合应用 因此当k>1时，函数y=f(f(x))十1的零，点个数是1，A正确，B 错误； [例1](1)解析函数y=f(x)是图象开口向上的二次函数，最多 (x2+4x+1,x≤0， 有两个零点，由于a<b<c,则a-b<0,a一c<0,b一c0,因此 当k=-4时，f(x)= logz,>0, f(a)=(a-b)(a-c)>0,f(b)=(b-c)(b-a)0,f(c)=(c-a) 作出函数f(x)的图象，如图， (c一b)>0.所以f(a)f(b)<0,f(b)f(c)<0,即f(x)在区间 yt y=f(x) 由图象知函数f(x)的值域为R, (a,b)和区间(b,c)内各有一个零点. 令t=f(x),则f(t)=一1有3个根， 2 答案A =-2+/2 0十22=3-20， 当>0时l0g:=-1,解得1=子： (2)解析对于A,由题意得=m>0, =-2-2 当t0时，t2+4t+1=一1，解得t= （△=(7m-32-4m0, -2±√2， 解得0m<1,A正确； 对于B,f(1)=2m-2<0,解得m1,B正确： 当1=名即0)=之时， 对于c{”0≥ 解得一专<m<0.C错送： 若x>0,则10g2x=2,解得x=√2， (f(4)=5m+4>0, 对于D=m+0:解得m<-青D正璃 1f(4)=5m+4<0, 若<0，则2十4红十1=子解得=-2士四此时共有3 答案ABD 个解； [例2](1)解析由f(2-x)十f(x)=0→f(x)=-f(2一x)= 当t=-2十反，即fx)=-2+2时，若x>0,则logx=-2+√2有1 f(x一2)，得f(x)是一个周期为2的奇函数， 个解， 当x∈(0,1]时，f(x)=一log2x, 若x≤0，则x2+4x+1=-2+√2，即(x+2)2=1十√2有2个解， 因此(2）=-1g: -=1,f(1)=0, 此时共有3个解； 当t=-2-√2，即fx)=-2-√2时，若x>0,则log2x=-2-√2有1 所以0)=05(-）=-1-1=0. 个解， 若x≤0，则x2十4x十1=-2一√2，即(x十2)2=1一√2<0无解， 且g(x)=sin元x的周期为T=2x=2, 此时共有1个解. 因此当k=一4时，函数y=f(f(x))十1的零点个数是7，D正 且g-1D=0g2 1=-1g0)=0g(） =1,g(1)=0, 确，C错误 求F(x)=f(x)一sin xx的零，点个数， 答案AD 即求f(x)与g(x)图象的交点个数， 如图为f(x)与g(x)在区间[-1,1]的图象， (2)解析设f(x)=,令F(x)=0可得f0=言t+1,对于y= 因为f(x)与g(x)均为周期为2的周期函数， 1 2气故二在x=0处切线的斜率值为1 因此交点也呈周期出现， 若在区间[一1，m]上有10个零点，即两函数图 1.设y=k2x十1与y=lnx相切于点(x2,lnx2),因为(lnx)'= 象在[一1，m]上有10个交点， 则第10个交点坐标为(3.5，一1)，第11个交点 是所以切线斜年：=子则切线方程为y一n车=口一小 坐标为(4,0)，因此3.5≤m<4. 答案A 即y 1 (2)解析对于函数y=log x,当x=2 ·x+n西-1，所以，= 12=e2, 解得 1由于 ↑y (nx2-1=1, )k2= e21 时，可得y1,当x=3时，可得y>1,在 同一坐标系中画出函数y=log。x,y= 3 、y=-x+b 2 吉<<1，故作出f)与yx十1的图象如图所示， 一x十b的图象，判断出两个函数图象的交 点的横坐标在(2,3)内，所以函数f(x)的 y 1 零，点xo∈(n,n十1)时，n=2. -3-2-10f234 -1 答案2 -2 跟踪训练1(1)C[设f(x)=x2一2ax y=logx y=f(x) a,则其图象的对称轴方程为x=a, a1, 由1<x2<1可得f1)=1-3a>0, 所以y子+1与)有四个不同交点，即y=己+1与f0) △=4a2+4a>0, 有四个不同交点.设四个交点为t,t2,t专t4(t1<t2<t3<t4),由 解得a<-1或0<a<号.] 图象可知t1<0t21<t<t4,作出函数 y=fa (2)B[不妨设x1<2<x3,由图可知，当 y=t,y=f(x)的图象如图，由此可知f(x) 0m≤6时，直线y=m与函数f(x)的图 6 与y=1无交点，与y=t2有三个不同交 y=2 象有三个交点，且有-号<≤0,0< 点，与y=ty=t4各有两个不同交点，所 以F()=儿f(x)门-之fx)-1的零点 -= <1<x3,由f(x2)=f(x3),即|lnx2| e Ilnx,得lnx3=-lnx2,所以lnx2+ y=m 个数为7.故选C lnx3=ln（x2x3)=0,即x2x3=1,故 3O21x 答案C 2 w=∈(-是门 ;[例4)解析设h(x)=z- ,x>0,则h(x)= x fx) [例3](1)解析由f(f(x))+1=0,得f(f(x))=一1， 则函数y=f八f(x)+1的零点个数即为方程f(f(x)=-1解 1千0，则h(x)在(0，+∞)上单调递增 的个数， h(1)=0,作出f(x)的大致图象如图所示.令 设t=f(x),则f(t)=一1，二次函数y=x2一kx十1的图象开口： t=f(x),则t2+(m一4)t+2(2一m)=0,则 向上，过点(0,1)，对称轴为直线x=2, y t1=2,t2=2一m.由图可知，直线y=2与f(x)的图象有2个交 点，所以直线y=2一m与f(x)的图象必须有3个交点，则0<2 当>1时，y=x2-kx十1在(-o∞，0]上单调 y=f(x) m1,解得1m2. 递减，且y≥1，如图， 答案C 1 由f()=-1,得log2t=-1,解得t=2, 跟踪训练2(1)B[依题意，函数g(x)=f(f(x)一1)零点的个数， 即为方程f(f(x)-1)=0根的个数，令f八x)-1=t,则f八t)=0,当 由=1，得1ogx=号，解得=厄. >0时，ln1-}=0,令A()=n1->0,因为高数)=1n, t 408 y=一均在(0，十∞)上单调递增，所以画数h)在(0，十∞)上单 服用1单位该药物4小时后与再次服用1单位该药物1小时 后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中 调递增，又h(1)=-1<0,(e)=1- 1>0,则存在t1∈(1，e),使得 毒，D错误. 答案ABC h(t1)=0.当t≤0时，令-|t+1十1=0，解得t=0或t=一2，作出：跟踪训练1(1)D[依题意知，当0≤x≤4时，f(x)=2x;当4< 函数f(x)= (mx-子，>0，的大数图 x≤8时，f(x)=8:当8<x≤12时，f(x)=24-2x,观察四个选 项知D项符合要求.] -1x+1+1,x≤0 (2)B[由题意，运输效率逐步提高，即函数增长速率逐渐加快， 象，如图.又f(x)-1=t,则f(x)=t十1.当 选项B满足，] t=0时，f(x)=1,由y=f(x)的图象知，方程 f(x) [例3](1)解析f(x)=log。[k(x+1)2]=logk+2loga(x+1), f(x)=1有2个根：当t=一2时，f(x)= 一1，由y=f(x)的图象知，方程f(x)=一1有2个根：当t=t1, 由f(2)=2,f(8)=3,得logk+2log.(2+1)=2,logk+2log(8+1) t1∈(1，e)时，f(x)=t1十1∈(2，e+1),由y=f(x)的图象知，方 =3,两式相减得logn9=1,则a=9,所以logk十2=3，k=9.该住 房装修完成后要达到安全入住的标准，则0.48一0.1f(x)≤ 程f(x)=t1+1有1个根.综上所述，函数g(x)=f(f(x)一1)的 零点个数为5.] 0.08,则f(x)≥4，即1+2log（x+1)≥4，解得x≥26，故至少需 (2)[一1，十oo)[设t=f(x),则t∈R, 要通风26周.故选D. 令g(x)=f(f(x)一a=0,则a=f(t). y=f(t) 答案D 在同一平面直角坐标系内作出直线y= 0 (2)解析根据题意，可得4[ln(m十x)一ln(W2m)]+2ln2=12, a,y=f(t)的图象，如图所示. y=a- ①当a≥-1时，直线y=a与y=f(t)的 所以lnm+2) +ln4=12, √2m 图象有两个交点， 设交点的横坐标为t1,t2(不妨设t2>t1), 即（点 =In el2, 则t1<-1,t2≥-1. 当t1<一1时，t1=f(x)有一个解： 可得+)=e, 当t2≥一1时，t2=f(x)有两个解， 此时g(x)=f(f(x))一u有三个零，点，满足题意； 而1+>0，则1+工=e, 17m 72 ②当a<-1时，直线y=a与y=f(t)的图象有一个交点.设交点 的横坐标为t,则t<一1， 所以工=e3-1, 此时名=f(x)有一个解，不满足题意， 即燃料质量与火箭质量的比值是e3一1。 综上所述，当a≥一1时，函数g(x)=f(f(x))一a有三个零，点.]！ 答案e3-1 $2.14函数模型的应用 跟踪训练2(1)B「根据题意，得个超导量子比特共有2种叠加 必备知识·整合 态，所以当有1024个超导量子比特时共有N=21024(种)叠加态. 1.y轴x轴 两边取以10为底的对数得lgN=lg21024=1024g2≈1024× [自主诊断] 0.301=308.224,所以N≈10308.224=10.24X10308.由于1< 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 10.224<10,故N是一个309位的数，即m=309.] 2.D[依据常函数、一次函数、对数函数、指数函数的性质可知随着 (2)D[令北极星与牛郎星的亮度分别为I1,12,依题意， x的增长，y=1000e的增长速度最快.] {2=- 11 3.C[作出散点图如图所示， 得 12 y 0.8=-号六： 两式湘流得-吾5行-号解特宁-10台。 0 故选D.门 [例4幻解(1)根据题意，d=d4+d+d2+d=30+0.8u+0.2u+ 由散点图可知，散点图和对数函数图象接近，可选择y=a十log6x! 2 2 20k-30++200≤≤3.3》 反映x,y函数关系.] (2)根据题意，对任意的k∈[0.5,0.9]，d<90恒成立，即对任意 4.506[日销售金额y=(-t+35)(t+10)= (-) +350+ 的k∈[0.5,0.9]，30+u+20<90恒成立. 625,:t∈N,t=12或13时，ymx=506.] 易知当0=0时，满足题意； 当0<0<38.3时，有<9-号对任意的∈[0.5,0.9]福 160 关键能力·突破 [例1]解析画出函数f(x)=x2,g(x)= 成立， 2,h(x)=log2x的图象，如图所示，结合图 fx) 16 象，可得三个函数f(x)=x2,g(x)=2x, 由∈[0.501，得∈] h(z)=log2x中，当x∈(4，十o∞)时，函数 g(x)=2增长速度最快，h(x)=log2x增 h() 所以601、1 gx)八1 ->10 长速度最慢.所以选项B正确. 0/24x 即2十100-600<0，解得一30<0<20， 答案B 所以0<020. [例2](1)解析由题图可知水深h越大，水的体积0就越大，故 综上，0≤<20. 函数=f(h)是个增函数，故排除A,C项，由鱼缸形状可知，下面， 所以汽车的行驶速度应限制在20m/s以下 细中间粗，上面较细，所以随着水深的增加，体积的变化的速度是跟踪训练3C[设x年后，该公司全年投入的研发资金开始超过 先慢后快再慢的，所以B正确.故选B. 答案B 200万元，则160(1+10%)>200，即1.1>号，取常用对数得 (2)解析从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10· 分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1 单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知， 1Cg5-263>k2_号-2g2 1-3lg2 lg1.1 g1.1= 1g1.1 当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正 确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服： ≈1-3X0.3=2.5,故该公司全年授入的研发资金开始超过200 0.04 药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次 万元的年份是2026年.] 409