2.7 指数运算与对数运算-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §2.7指数运算与对数运算 【课标要求】1.理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质.2.理解对数 的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数.3.掌握指数、对数运算在实际 问题中的应用. 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.根式 :5.对数的性质与运算性质 (1)一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方 (1)对数的性质：log。1= logaa= 根，其中n>1,且n∈N*. a log,N (a>0,且a≠1，N>0). (2)式子a叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做 (2)对数的运算性质 被开方数 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么： (3)性质：① 没有偶次方根。 ①loga(MN)= ②0的任何次方根都是0，记作6 ②loga N ③(a)”= ③log M"= (n∈R). 当n为奇数时，√a” (3)①对数换底公式：logb= logb (a>0,且a≠ log a 当n为偶数时，a”=|a= 10,a≥0， -a,a<0. 1;b>0:c>0,且c≠1). ②换底公式的两个重要结论 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：a”= 1 (a>0,m,n logab= (a>0,且a≠1：b>0,且b≠1). logia ∈N*,n>1). loga"-=”l0gb(a>0,且a≠1；b>0;m,n∈R, 正数的负分数指数幂：a”= m 且m≠0). >0,m,n∈N*,n>1). 【自主诊断】 0的正分数指数幂等于 ,0的负分数指 :1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“√”或 数幂没有意义. “X”) 3.指数幂的运算性质 (1)√（-4)=-4. a'as= ；(a')s= :(ab)= (2)分数指数幂a兰可以理解为”个a相乘。 (a>0,b>0,r,s∈R). 77 4.对数的概念 () 一般地，如果ax=N(a>0,且a≠1)，那么数x叫 (3)24·2b=2b () 做以a为底N的对数，记作x= ,其中 (4)若MN>0,则log.(MN)=log。M+log N. 叫做对数的底数， 叫做真数. () 以10为底的对数叫做常用对数，记作 2.(人教A必修一P127T5改编)设a=1g2,b= 以e为底的对数叫做自然对数，记作 1g3,则1og1210= 精品教辅·智慧人生 36· 第二章函数 1 1 B.2b+a (2)a=(a)m,a÷=(a)"(式子有意义)； A.2a+ (3)1的代换，如1=ala(a>0),l=aa(a> C.2a+b D.2b+a 0)等： 3.若a=者a>0且a≠1).则1g号等于( (4)乘法公式的常见变形，如(a言十b)(a-b) A要 =a-b(a,b>0), B.2 C. D.5 (a章士b)2=a士2ab3+b(a,b>0), 4.计算：0+22×(2) +log2 3-log26= (a寸+b)(a号干ab+b)=a士b(a,b>0). 2.谨防两个失误点 (1)凡涉及对数，其真数与底数的取值范围一定 【微点提醒】 不能忽略。 1.灵活应用化简指数幂常用的技巧 (2)在使用运算公式时，注意指数和对数中的和 1()=(号)P(ab>0: 积之间的转化。 巴关键能力·突破 分类讲练以例求法>》> 题型一指数运算 /思维升华/+++++ [例1](1)（多选）下列各式正确的是（式中字母均 ; (1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数 是正数) 指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用 A.at=a 法则计算，还应注意： B.VaT-a ①必须同底数幂相乘，指数才能相加 C.(62)E=36 ②运算的先后顺序 (2)运算结果不能同时含有根号和分数指 D.a号=-a2 数，也不能既有分母又含有负指数。 (2)(多选)下列运算正确的是（式中字母均是 正数) ( 跟踪训练1化简： A.0.25+(元)0-2-1=0 a-8ab (1) B()手-（）5+0.08)× 25 +(π (2)0.0081)-3×(3)']×[810.5+ 1)0=1 (38)」-片-10x0.0271 C.(2a·b)(-6a·b)÷(-3a·丽) =1 D.若x+x=6,则，十 1 x2+x-2-23 听课记录] 37 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 题型二对数运算 (2)(2026·贵阳模拟)电动汽车逐渐成为当今世 [例2](1)(2026·丹东模拟)若24=3,3=5， 界的乘用车的发展方向.1898年Peukert提出铅 5c=4,则log4(abc)= 酸电池的容量C(单位：Ah)、放电时间t(单位：h) B司 c 和放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式： A.-2 D.1 C=,其中入为与蓄电池结构有关的常数（称为 (2)(多选)(2026·焦作模拟)下列等式成立的是 Peukert常数)，在电池容量不变的条件下，当放 电电流为7.5A时，放电时间为60h;当放电电 A.g2+lg5-1g8=1 流为25A时，放电时间为15h,则该蓄电池的 1g50-1g40 Peukert常数入约为（参考数据：lg2≈0.301，lg3 B.g4十g5=2 2lg0.5+lg8 ≈0.477) ( C.g14-2lg子+g7-g18=0 A.1.12 B.1.13 C.1.14 D.1.15 [听课记录] D.(Ig 2)2+lg 2.Ig 5+lg 5=2 听课记录] /思维升华/++++ 利用指数、对数运算解决实际问题时认清所 +/思维升华/+++…+++ 给函数模型、变量、参数，利用待定系数法确 解决对数运算问题的常用方法 定参数的值，然后解决问题！ (1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简. (2)将同底对数的和、差、倍合并. 跟踪训练3(1)(2026·张家口、保定模拟)根据 (3)利用换底公式将不同底的对数式转化成 有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M约为 同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆 3361,而可观测宇宙中普通物质的原子总数N约 用及变形应用 为10，则下列各数中与兴最接近的是（参考数 跟踪训练2(1)(2026·杭州质检)已知x,y∈ 据：lg3≈0.48) (0,十∞)，若3r=4y且2x=ay,则a=( A.1033 B.1053 C.1073 D.1093 A.2logs2 B.logs2 C.2log23 D.4logs2 (2)(2026·恩施模拟)区块链作为一种革新技 (2)(2025·八省联考)已知函数f(x)=ar(a> 术，已经应用于许多领域，在区块链技术中，若密 0,a≠1)，若f(ln2)f(ln4)=8,则a= 码的长度设定为256比特，则密码一共有2256种 题型三指对运算的应用 可能，因此为了破解密码，最坏情况需要进行 [例3](1)(2026·青岛检测)果农采摘水果，采摘 2256次运算.现在有一台机器，每秒能进行2.5× 下来的水果会慢慢失去新鲜度.已知某种水果失 101次运算，假设机器一直正常运转，那么在最 去新鲜度h与其采摘后时间1（天）满足的函数关 坏情况下这台机器破译密码所需的时间大约为 系式为h=m·a.若采摘后10天，这种水果失去 (参考数据：lg2≈0.301,100658≈4.5)( 的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的 A.4.5×1065秒 B.4.5×1083秒 新鲜度为20%.那么采摘下来的这种水果多长时 C.4.5×1017秒 D.4.5×107秒 间后失去40%新鲜度 ( A.25天 B.30天 C.35天 D.40天 温馨提示 请做课时分层检测（十三） 精品教辅·智慧人生 38A≥2B,则B≤1，令f(x)=1,解得1=3 解析由2=3,30=5,5=4，可得a=log23,b= 3,2=2,飞=4，x4=3十3.由图可得，要使 fx)=r2-6x+7 函数f(.x)=|z2-6.x+7|在[m,2m-1]上的 1g56=l0g4,所以k=loe3X1g5×1og4=0号×03× 最大值为B,且B≤1，则{m≥35：或 1123445 12m-1≤2 g号-2，则1bg,abc=log:2=子 Ig 5 (≥4， 答案B {m1<3+E,解得3≤m≤号. fx)=x2-6x+7/ 2+g5-g8_18g=1,A成立： 10 当m>5时，由图可得，f(x)=|x2-6x 2 (2)解析 +7|在[1，m](m>1)上的最大值A= 1 /2m-1 80g0s需 f(m)=m2-6m+7>0,在[m,2m-1] 01234 56 上单调递增，最大值B=f(2一1)> g4+1g5=1=g20-1=1+g2-1=1,B不成立： f(m)=A>0,A≥2B不可能成立.综上，实数m的取值范围 2g0.5+lg81g0.25+g8lg2 是[3-，2]门 1g14-2g了+1g7-1g18=g7+lg2)-(2g7-2g3)+lg7- (2lg3+lg2)=0,C成立； S2.7指数运算与对数运算 (Ig 2)2+1g 2.Ig 5+lg 5=lg 2(lg 2+Ig 5)+lg 5=lg 2+1g 5= 必备知识·整合 1,D不成立 1.(3)①负数②0③aa 答案AC 2.vam 0 跟踪训练2(1)D[由3=4>0，得n3=ln4,即xln3=yln4, 3.ats an a'b 又2=a.放学n8=h4,则a==2加g4=4og,2】 4.log,N a N Ig N In N 5.(1)01N(2)①log,M+logN②log.M-logn (2)e [f(In 2)f(In 4)-aln2ah-aln+-a- ③nlog M 8,.dn2=2,∴.a=e.] 自主诊断 1.(1)×(2)×(3)×(4)× [例3](1)解析 超金年%。年样一动 2.A1og1210= g12ig3+2lg22a+b:」 a0=2, 42 1 当h=40%时，40%=20·d, 2 22 即40%=0·a·。0, 解得ad-10=4=(a10)2=a20, 4. [原我=1+×() +log2 3-log2 2-log2 3=1+ 1 8 于是得t-10=20,解得t=30(天)， 所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度， -1=] 3 答案B 关键能力·突破 (2)解析由题意知C=7.51×60=25入×15， [例1】(1)解析对于A,a=a导=√a匠，故A正确； 对于B,√a=a=a,故B正确； 以()-（胃》器=4 对于C,(65)5=65×5=62=36,故C正确： 两边取以10为底的对数，得g曾-21g2 对于D,a=1 元，故D错误。 1 所以=品81.5 答案ABC 答案D (2)解析 对于A,0.25+(页°-21=0.5+1-2=1，A错误： 跟踪训练3D[方法一设兴-=测两边取对教得 1gx=1g3361=1g3361lg1080=361×1g3-80≈93.28，所 号+（）×+1=号子+25×+1=-号+2= 10,即兴最接近10。 号B正痛： 方法=周为1g3=g9%号g10=号，361×1g3-80≈10， 对于C,原式=(2a子b)(-6a*b)÷(-3a6)=[2×(-6)÷ （一3]u产+宁合·6片专==a,C错误： 故与兴最接近的是10.] 6 2256 对于D,当x寸十x寸=√6时，(x÷+x)2=x十2+x1=6,得 (2)A[由题意知所需时间1一2.5X10（秒)心lg1=256lg2 x+x1=4,由(x+x1)2=2+2+x2=16,得x2+x2=14,所 以点日0E商 4 4g2.5+1)=256lg2-(s9+1川）=258g2-12≈65.658. ∴t1065.658=100.658X1055≈4.5X1065(秒).] 答案BD a(a-8b)·a-2b §2.8指数函数 跟踪训练1解(1)原式= -Xa 4b+2ab京+a 必备知识·整合 -a中(a-2b)a+2a立6+4b)× (1)R(2)R(0,+∞)(0,1)y>10<y<1y>10<y<1 增减 4b÷+2a寸b寸+a3 a-2b :[自主诊断] aXa=a. :1.(1)×(2)×(3)/(4)X ②)原=（是）]-(x)1×[31+(受)】 :2.C[因为指数函数的形式为y=a(a>0且a≠1)，所以y=x 是指数函数，即C正确；而A,B,D中的函数都不满足要求，故A, B,D错误.] 10x[0.3中=（品）-言×（号+号） -10×0.33.C[因为f(2)=a2=81,又a>0,所以a=9,从而f(x)=9, =--3=0 ()=9=打 402