2.2 函数的单调性与最值-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

高三总复习·数学 §2.2函数的单调性与最值 【课标要求】1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数 单调性的简单应用， 。必备知识·整合 夯实基础回归教材>> 1.函数的单调性 【自主诊断】 (1)单调函数的定义 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 增函数 减函数 “X”) 一般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I (1)若函数f(x)满足f(一3)<∫(2)，则f(x)在 D,如果x1x2∈I [-3,2]上单调递增 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 (2)若函数f(x)在（一2,3）上单调递增，则函数 f(x)的单调递增区间为（一2,3）. () 那么就称函数f(x)在 那么就称函数f(x)在 (3)若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在 区间I上单调递增， 区间I上单调递减， 区间[a,b们上一定有最值， () 特别地，当函数f(x)在 特别地，当函数f(x) 它的定义域上单调递增 在它的定义域上单调 (4)函数y=的单洞递减区间是(-000U0. 时，我们就称它是增 递减时，我们就称它 十∞). 函数 是减函数 2.(人教A版必修第一册P85 y=f(x) y=f(x) 习题3.2T1改编)如图是函 图 f(x2) ft) if(x2) 数y=f(x),x∈[-4,3]的 象 fx月 Ox1 x2 x 图象，则下列说法正确的是 描 ( 述 自左向右看图象是 自左向右看图象是 的 的 A.f(.x)在[-4，-1]上单调递减，在[-1,3]上 单调递增 (2)单调区间的定义 B.f(x)在区间（一1,3）上的最大值为3，最小值 如果函数y=f(x)在区间I上 或 ,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严 为-2 格的)单调性，区间I叫做y=f(x)的单调区间. C.f(x)在[-4,1]上有最小值-2，最大值3 2.函数的最值 D.当直线y=t与f(x)的图象有三个交点时，一1< t<2 一般地，设函数y=f(x)的定义域为D,如果 前提 3.(2026·山东聊城期末)设函数f(x)=log3(x2- 存在实数M满足 ax十3)在区间(0,1)上单调递减，则a的最大 (1)Hx∈D, (1)Hx∈D, 值为 ( 都有 都有 条件 A.3 B.4 C.5 D.6 (2)3x。∈D, (2)3x∈D, 4.函数f(x)是定义在[0，+∞)上的减函数，则满 使得 使得 M是函数y=f(x) M是函数y=f(x)的 足f(2x-1)>∫(3）的x的取值范围是 结论 的最大值 最小值 精品教辅·智慧人生 22 第二章函数 【微点提醒】 : (3)在区间I上，两个增函数的和仍是增函数，两 1.熟记与函数单调性有关的常用结论 个减函数的和仍是减函数， (1)若Vx12∈I(x1≠x2),则 (4)函数f(g(x))的单调性与函数y=f(u)和 0)-fx2>0(或(m1-2)[f(1) u=g(x)的单调性的关系是“同增异减” x1一x2 :2.解题时谨防以下易误点 f(x2)]>0)台f(x)在区间I上单调递增 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示. ②f)-fx2<0(或(x1-2)[f(）- (2)求函数单调区间或讨论函数的单调性时，必 x1-x2 须先求函数的定义域。 f(x2)]<0)台f(x)在区间I上单调递减， (3)一个函数的同一种单调区间用“和”或“，”连 接，不能用“U”连接。 (2y=x+上的单调递增区间为(-∞，一1]和 (4)“函数的单调区间是M”与“函数在区间N上 [1,十∞)，单调递减区间为（一1,0）和(0,1). 单调”是两个不同的概念，显然N二M. ☑关键能力·突破 分类讲练以例求法>》> 题型一确定函数的单调性 跟踪训练1(1)(2026·唐山模拟)函数f(x)= 命题点1函数单调性的判断 1og(2x2一3x一2)的单调递增区间为 [例1](2026·哈尔滨诊断)设函数∫(x)= 1,x>0, (2)已知函数y=x十”+2(m∈R).若函数在区 0,x=0,g(x)=x2f(.x-1),则函数g(x)的 间[2，十∞)上单调递增，利用函数单调性的定 -1,x<0, 义，求实数m的取值范围， 单调递增区间是 [听课记录] 命题点2利用定义证明函数的单调性 题型二 函数单调性的应用 [例2]试讨论函数f(x)=ax(a≠0)在(-1,1) 命题点1比较函数值的大小 x-1 [例3](2026·包头诊断)已知函数f(x)的图象 上的单调性 关于直线x=1对称，当x2>x1>1时，[f(x2) [听课记录] f(m1)](x2-x1)<0恒成立，设a=f(-),b= f(2),c=f(e),则a,b,c的大小关系为() A.c>a>b B.c>b>a C.a>c>b D.b>a>c 听课记录] +/思维升华/++++++++++ 确定函数单调性的四种方法 (1)定义法.(2)导数法.(3)图象法.(4)性质法。 十++++++十+十+十”+++4+十+十++“十 23 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 命题点2求函数的最值 命题点4求参数的值（范围） e-1,r≤1 [例6](2026·东莞摸底)已知函数f(x)= [例4]已知函数f(x) 则 lg(.x2-4x一5)在(a,+o∞)上单调递增，则a的 x十1，x> 取值范围是 () ∫(x)的最大值为 A.(-∞，-1] B.(-∞，2] [听课记录] C.[2,+o∞) D.[5,+o∞) [听课记录] 【微拓展】 求函数的值域（最值）的常用方法 +/思维升华/+++++++ (1)配方法：主要用于和一元二次函数有关的函数 (1)比较函数值的大小时，先转化到同一个 求值域问题 单调区间内，然后利用函数的单调性解决. (2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义 (2)求解函数不等式时，由条件脱去“∫”，转 域来确定函数的值域」 化为自变量间的大小关系，应注意函数的定 (3)数形结合法. 义域. (4)换元法：引进一个（几个）新的量来代替原来的 (3)利用单调性求参数的取值（范围）.根据 量，实行这种“变量代换” 其单调性直接构建参数满足的方程（组）（不 (5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配 等式（组）)或先得到其图象的升降，再结合 凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式 图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的 和的形式 取值. [典例]（多选）下列函数中，值域正确的是( A.当x∈[0,3)时，函数y=x2一2x+3的值域为 跟踪训练2(1)（多选）函数∫(x)的定义域为 [2,6) R,对任意的实数x1,x2(x1≠x2),满足x1f(x1) B函数y=号的值城为R 十x2f(x2)>x1f(x2)十x2f(x1),下列结论正确 的是 C.函数y=2x--的值域为背+∞ A.函数f(x)是减函数 D.函数y=√x+I十√x-1的值域为[√2，十∞) B.f(-5)<f(0)<f(1) 命题点3解函数不等式 C.f(0)=0 [例5]已知函数f(x)=lnx十2r,若f(x2-4)< D.不等式f(2x-1)<f(3-x)的解集为-∞， 2,则实数x的取值范围是 ) [听课记录] (2)若函数f(x)=+a一 在(a,十∞)上单调递 x-1 增，则实数a的取值范围为 温解提示 请做课时分层检测（八） 精品教辅·智慧人生 24关键能力·突破 [例1门1)解析对子A,由题意1≠0·解得x≥0，A正确； 16,ab+b=5,解得a=4,b=1或a=-4,b= 号（不合题高，含 .x≥0， 去).因此f(x)=4x十1. 对于B,由函数的定义知，函数图象至多与y轴有一个交点，B解析由分段函数的定义知，(x)的定义城是（一1， 正确； 十o),所以a>0.①当0<a<1时，-1<a-1<0,则f(a)= 对于C画数y号的定义城为(-0，-1DU(-1,十)画 fa-1D可化为2a=瓜，解得a=子，所以(）=40=8 数y=x一1的定义域为R,故这两个函数不是同一个函数，C! ②当a≥1时，a-1≥0，则f(a)=f(a一1)可化为2a=2(a一1)， 错误； 方程无解.故选D. 对于D,函数中一个x值只能对应一个y值，如果y值不同，则x! 答案D 的值一定不同，D正确. (2)解析方法一当x≤一1时，x十1≤0,2x≤一2，f(x十1)= 答案ABD 1,f(2x)=1,则f(2x)>f(x+1)不成立；当一1<x0时，x+ (2)解析因为一2≤x3,所以一8≤3x一2≤7，所以f(x)的定 1>0,2x≤0，f(x+1)=3x+1,f(2x)=1,由f(2x)>f(x+1),得 义域为[一8,7]，要使f(2x十3)有意义，需满足一82x十37， 3+1<1=3°，则x<-1,与-1<x≤0矛盾，舍去；当x>0时， 解得-号<x≤2，所以函数2x+3)的定义接为[一号，2] x+1>1,2x>0,f(x+1)=3x+1,f2x)=32x,由f(2x)>f(x+1), 答案【] 得32x>3+1,则2x>x+1,得x>1.综上，满足f(2x)> f(x十1)的x的取值范围是(1，十o). 跟踪训练1(1)C[对于A,值域为[0,2]，不符合题意：对于B,值 方法二画出f(x)的大致图象，如图所示.若f(2x) y /f(x) >f(x+1),则2x>0>x+1或2x>x+1>0,解 域为1,2]，不符合题意；对于C,值域为1,2}，符合题意；对于D, 一个自变量对应两个函数值，不符合函数定义，不符合题意.故· 得x>1.] 答案B 选C. (2)ABC[对于A,因为函数y=2x(x∈N)的定义战为N,所以 跟踪训练3(1)B[当f(x)=2时，若x0,则有 其图象是由离散的点（整点，横坐标和纵坐标都是整数）组成的，· 2x=2,解得x=一1；若x>0,则有lnx=2,解 A错误；对于B,因为要使√2一x与√x一3有意义，则 得x=e.即由f(x)=2可得x=一1或x=e2,不一定能推出x= 一1，故“f(x)=2”不是“x=一1”成立的充分条件；反之，当x=一1 2之0不等式组无解，所以由函数的定义可得f(x)= 时，代入解析式可得f(一1)=2，即“f(x)=2”是“x=一1”成立的必要 x-3≥0， 条件，综上，“f(x)=2”是“x=一1”成立的必要不充分条件.] √x一3+√2一x不是函数，B错误：对于C,由f(x)的定义域为 (-1,2)可得-1<x+1<2,即一2<x<1,故f(x+1)的定义域 2(-+） [由题意知，当x≤0时，x十1≤1，f(x)<f(x 为(-2,1)，C错误；对于D,两函数的定义域都是(-0,0)U(0, 十○)，且对应关系相同，故这两个函数是同一个函数，D正确.] +1)曰2-1<(x+1)2-1,解得-号<≤0.当0<≤1时z [例2]解(1)（换元法）设1-sinx=t,t∈[0,2]， 则sinx=1一t, +1>1,此时f(x)=x2-1≤0，f(x+1)=log2(x+1)>0.所以 'f(1-sin z)=cos2x=1-sinz. 当0<x1时，恒有f(x)<f(x十1).当x>1时，f(x)< ∴.f(t)=1-(1-t)2=2t-t,t∈[0,2] f(x+1)曰log2x<1log2(x+1)恒成立.综上可知，f(x)<f(x+1) 即f(x)=2x-x2(0x2). 的解集为(-2，+∞）] ②配法)f(2+）=+=(2+)-2 §2.2函数的单调性与最值 又2+2=2 必备知识·整合 11.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)上升 当且仅当x2=,即x=士1时等号成立. 下降(2)单调递增单调递减 22 2.f(r)<M f(zo)=M f(z)M f(o)=M 设1=2+3，则≥2∴0)=-2≥2. :「自主诊断] 11.(1)×(2)×(3)/(4)X .f(x)=x2-2(x≥2). 2.C[f(x)在[一4，一1门上单调递减，在[一1,1]上单调递增，[1， (3)(待定系数法)，f(x)是一次函数， 3]上单调递减，故A不正确：f(x)在(-1,3)上的最大值为3，无 可设f(x)=ax十b(a≠0)， 最小值，故B不正确：f(x)在[一4,1]上有最小值一2，有最大值 .3[a(x+1)+b]-2[a(x-1)+b]=2x+17, 3,故C正确：当直线y=t与y=f(x)的图象有三个交点时， 即a.x+(5a十b)=2x+17, 一1t2,故D不正确.门 ∫a=2, }5a+b=17,解得二2， b=7. 3.B[令1=x2-ax+3,易知1在(-0，受）上单调递减，在[受， .f(x)=2z+7(x∈R). (4)(解方程组法)，f(x)一2f(一x)=9x+2, ①4 十c∞】上单调递增， ∴.f(-x)-2f(x)=9(-x)+2, ② 由①十2×②得一3f(x)=一9x+6, 因为y=logt为增函数，所以根据复合函数的单调性得%≥1， ∴.f(x)=3x-2(x∈R). 且1一a十3≥0（注意区间端点取不到），解得2≤a≤4，故a的最 跟踪训练2(1)x2一4x十3(x≥1)[方法一（换元法）：令t=√x+1, 大值为4.故选B.门 则t≥1，x=(t-1)2, 代入原式有f(t)=(t-1)2-2(t-1)=t2-4t+3, 4合号)的定义战是o,+ej2x-1≥0，即x≥ 所以f(x)=x2-4x十3(x≥1). 又f是定义在[0，十0)上的减画数，“2x-1<号，即x< 方法二（配凑法）：fW+1)=x十2√+1-4√元-4+3=（√+1）2 一4(W/x+1)+3, 子则的取位花周为合号)门 因为√五+1≥1，所以f(x)=x2一4x十3(x≥1).] 关键能力·突破 2)-号-[为)-2(2）-=2,0 4 ,x2,x>1, [例1]解析由题意知g(x) 0,x=1,该 以代中的x,得f(）-2x)=回 -x2,x<1, 函数图象如图所示，由图象知，函数g(x)的单 ①+②×2得-3f(x)=2x+立 4 调递增区间（一∞，0），(1，十∞). 答案(-0,0)，(1，十0) 所以)=子] 2 :[例2]解方法一定义法 设-1<x1<x2<1, (3)4x十1[因为f(x)为单调递增的一次函数，所以设f(x)=a.x十 b,a>0,故ffx)=a(a.x+b)+b=a2x+ab+b=16z+5,所以a2=i 周为=a中=+小 x-1 396 a(x2-y1) 所以)--(1+)(+-6 1[例6]解析由x2-4x-5>0,解得x>5或x<-1,所以函数 f(x)的定义域为(-∞，-1)U(5,+∞).又函数y=x2-4x-5 由于-1<x1<x2<1, 在(5，十○)上单调递增，在（一∞，一1）上单调递减，所以函数 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2一1<0， f(x)=lg(x2一4x一5)在（5，+o)上单调递增，所以a≥5.故 故当a>0时，f(x1)一f(x2)>0, 选D. 即f(x1)>f(x2),函数f(x)在（一1,1）上单调递减； 答案D 当a0时，f(x1)-f(x2)<0, !跟踪训练2(I)BD[由1f)+2f(x2)>1f(x2)+x2f(x1), 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增. 得(x1一x2)[f八1)-f(x2门>0，因此f(x)是增函数，A错误： 方法二导数法 由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1),B正确：不一定有f(0)= (x）=ax)'(x-1)-ax(x-1Dy'=a(z-1)-ax a 0,如f(x)=2在R上为增函数，f(0)=1,C错误：由f(2x一1) (x-1)2 (x-1)2 (x-1)2 故当a>0时，f(x)<0,函数f(x)在（一1,1)上单调递减： <f(3-x),得2x-1<3-x,解得x<3,D正确.] 当a<0时，(x)>0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增. (201,2》[f(x)=+a3=-1+a-2=1+0-. x一1 x一1 :f()在 跟踪训练1少(-0，） [令2x2-3.x-2>0,解得x>2或1 (a,十∞上单调递增，8二<0→1≤a<2.] (a≥1 <-2,则f八x)的定义城为-oo,- §2.3函数的奇偶性 10g5x在(0，十co)上单调递减，y=22-3x-2在(-©，-之）必备知识·整合 1 f(一x)=f(x)y轴f(一x)=一f(x)原点 上单调递减，在(2，十○)上单调递增，根据复合函数的单调性可！[自主诊断] 知，)的单调递增区间为(-，一专)门 1.(1)×(2)×(3)×(4)/ !2.C[A中，f(x)=-x2在(0，十∞)上单调递减，A错误；B中， (2)解任取12∈[2，+∞)且1<x2,设f(x)=x+m+2, f(x)=x的定义城为[0，十∞)，定义城不关于原，点对称，不是偶 函数，B错误；C中，f(x)=x|的定义域为R,又f(一x)=|一x 期)-)-（+g+）-（+要+2）--) =|x=f(x),故f(x)=|x为偶函数，当x>0时，f(x)=|x|= x在(0，十o)上单调递增，满足要求，C正确：D中，f(x)=2x的 1-">0,因为2-4>0,12>0，所以2122-m>0,即m 定义域为R,且f(一x)=2x≠2，故f(一x)≠f(x),f(x)=2 T172 不是偶函数，D错误.故选C.] <x1x2.因为x2>x1≥2，所以x1x2>4,所以m≤4，即实数m的3.ABC[因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(x)+f(-x) 取值范围为（一。，4. =0,且f(0)=0,A,B正确：因为f(一x)=一f(x),所以f(x)· [例3]解析因为f(x)的图象关于直线x=1对称.由此可得 f(-x)=-[f(x)]2≤0，当x=0时，等号成立，C正确；当x=0 -）=(引当>>1时，[x)-fx]- 时，f(-x)=0,此时f)无意义，D错误.] f(-x) 1)<0恒成立，可知f(x)在(1，十)上单调递减.因为1<2<4.[0，+∞)[令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0),所以f(0)=0, 吾<c,所以K2>f(）>e)所以6>a 令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)一2.x2, 又函数f(x)为偶函数，所以f(z)=f代一x), 答案D 所以0=2f(x)一2x2,即f(x)=x2, [例4幻解析x∈(-o,1]时，f(x)=e-1单调递增，f(x)f1) 则f(x)的值域为[0，十∞).] =e1=1z1,+o)时，)=是-z+1单调递减)< 关键能力·突破 一1十1=1.所以f(x)的最大值为1. [例1门解1)由3之0得2=3，解得x=士5. {x2-3≥0， 答案1 即函数f(x)的定义域为{-√3，W3, 【微拓展】解析对于A,(配方法)y=x2一2x十3=(x一1)2十2， 由x∈[0,3)，再结合函数的图象（如图①所示），可得函数的值战 从而f(x)=√3-x2+√x2-3=0. 因此f(一x)=一f(x)且f(一x)=f(x), 为[2,6). 所以函数f(x)既是奇函数又是偶函数. (2)函戴了)=1+人√层的定义战满足≥0，则 1+x =x2-2r+3 y=2+1)-1 (1+x)(1-x)≥0今-1<≤1， x≠一1 由于定义城不关于原，点对称，所以f(x)为非奇非偶函数. (3)显然函数f(x)的定义域为（一o,0)U(0,十∞），关于原，点 对称 01234x 01234i 当x<0时，-x>0,则f-x)=-(-x)2-x=-x2-x=-fx); D 2 当x>0时，一x<0, 对于B(分房含数法y=-2一别士=2+品显然 则f(-x)=(-x)2-x=x2-x=-f(x). x一3 x-3 ≠0，.y≠2 综上可知，对于定义战内的任意x,总有f(一x)=一f(x)成立，所 故函数的值域为(-0∞，2)U(2,十o∞)， 以函数f(x)为奇函数. 对于C,(换元法)设t=wx一1，则x=十1，且t≥0，∴.y=2(P十1)1 (4)显然函数f(x)的定义战为R,f(一x)=log[-x+√一x)2+1] =log(√2+1-x)=log2(√+1+x)-1=-log2(√2+1+x)= -f(x),故f(x)为奇函数. 由t≥0，再结合函数的图象（如图②所示），可得函数的值战为[例2]解析对于B,因为f(x十y十1)=f(x)十f(y),令x=y= [9+ -1,可得f(-1)=f(-1)+f(-1),所以f(-1)=0.令y -2-x,则f(-1)=f(x)+f(-2-x)=0,故f(x)的图象关于 对于D,函数的定义域为[1，十∞)， 点（一1,0）对称，则f(x一1)的图象关于点(0,0)对称，即f(x一1) 是奇函数，故B正确；对于C, .y=√x+1与y=W√x一1在[1，十o)上均单调递增，.y= √x+I十√x一I在[1，十o)上为增函数， 方法一 令x=y=0,可得f1)=f0)+0),则f0)=号f),当 当x=1时，ymin=√2，即函数的值战为[√2，十co). f(1)≠2时，f(0)一1≠0，此时f(x)一1不可能是奇函数，由于无 答案ACD 法确定f(1)的值，故f(x)一1不一定是奇函数 [例5]解析因为函数f(x)=lnx十2在定义战(0，十o∞)上单 方法二 取f(x)=-x-1,满足f(x十y+1)=f(x)+f(y),但 调递增，且f(1)=ln1+2=2,所以由f(z2-4)<2,得f(x2- f(x)一1=一x一2，不是奇函数，故C错误； 4)<f1),所以0<x2-4<1,解得-√5<x<-2或2<x<5. 对于A,D,取f(x)=x+1,满足f(x十y十1)=f(x)+f(y),但 f(x)+1=x十2与f(x十1)=x十2都不是奇函数，故A,D错误. 答案（一√5，-2）U(2,√5) 答案B 397