2.2 函数的单调性与最值-【创新教程】2027年高考数学总复习大一轮讲义（人教A版）

(3(构造法)已知2f)+f()=3x-1,① 以代替①中的z(x≠0， 得2(）十f)=2-1,@ ①×2-②，得3f(x)=6x-3-1, 故九)=2-}日0. 跟踪训练 1.BCD[对于A,设f(x)=kx十b, 则f(f(x)=k(kx十b)十b=kx十kb+b, 因为f()=4红+3，所以二4： 1b+b=3, 解件公五合 故函数f(x)的解析式为f(x)=2x十1或f(x)=-2x 3,A错误；对于B,令t=3,则x=logt(t>0),则f(t) (ogt)十4logt,t>0,故函数的定义域为(0，十o∞)，B正确； 对于c(-）- （-)(e+1+)-(-)[(-)+3] 且x一的取值范围是R 所以f(x)=x(x2十3)=x3十3x,C正确；对于D,由f(x) +2f(日）3，得f(）+2rx)=是 联立解号)=兰-D正璃】 2.解析：（待定系数法）设f(x)=ax十b(a≠0)，则f(f(x) =f(a.x十b)=a(a.x+b)+b=a2x+ab+b,又f(f(x)= 4红十8，所以az十ab十6=4红+8，即0二4。解得 1ab+b=8, /a2, .或{88：所以f()=2x十号成f(x) 6=3,{6=-8, =-2x-8. 答案：2x+号或-2x-8 3.解析：（解方程组法）在)=2f(）·丘-1中，将x换 成，则士换成得f()=2f)√F-1 [x)=2f(）丘-1， 由 -1, ()=2f√ 解得f(x)= 号+ 答案：号反+ 题型3 [例3](1)[解析]由题意知函数f(x)的定义域为 （-∞，2)，故A错误； 当x≤-1时，f(x)的取值范围是(-o∞，1]，当一1<x<2 时，f(x)的取值范围是[0,4)，因此∫(x)的值域为 (一∞，4)，故B正确； 当x=1时，f(1)=1=1,故C错误； 当x≤-1时，f(x)=x十2=1→x=-1,当-1<x<2 时，f(x)=x2=1→x=1,故D正确. [答案]BD ·36 参考答案 (2)[解析]对于A,根据狄利克雷函数定义可知 D(D(2)=D(1)=1,D(D(√2)=D(0)=1,即A正确； 对于B.易知函数f(x)=十工的定义城为（一0,0）U 2x (0,∞)， 当x∈(-60,0)时，f(x)=+工=0：当x∈(0，十o) 2x 时，fx)=+2=1: 2.x 即函数f(x)三2的值域为0,1，所以B正确； 对于C,若x∈Q,则-x∈Q,则D(x)=D(-x)=1, 若x∈RQ,则-x∈CRQ,则D(x)=D(-x)=0,综上 可得：D(x)=D(一x),故C错误： 对于D,当x∈Q时，x十1∈Q, 此时D(x十1)=D(x)=1; 当x任Q时，x十1任Q,此时D(x十1)=D(x)=0,所以 D正确. [答案]ABD 跟踪训练 1.C[当m≥0时，f(m)=2m=4,解得m=2; 当1<0时，f(m)=m2-m-2=4,解得m=3(舍) 或m=-2, 所以m=2或-2.] 2.A[当x≤3时，设t=√3-x,t≥0，则x=3-t, f(x)=g(t)=2(3-2)十4t=-2(t-1)2+8, 因t≥0，则f(x)=g(t)≤8； 当x>3时，设u=√x-3,u>0,则x=2十3， f(x)=h(u)=-2(2+3)十4u+12=-2(u-1)2+8 因u>0,则f(x)=h(u)8. 综上，函数f(x)的值域为(-∞，8].] §2.2函数的单调性与最值 复盘·必备知识必备知识掌握 1.(1)f(x1)<f(x2)f(x1)>f(x2)(2)单调递增 单调递减2.f(x)Mf(x。)=Mf(x)≥M f()=M 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)× 2.BCD[函数f(x)满足“对任意x1,x2∈(0，十o∞)，且西≠ ,都有）-f西>0，则有画数)在0，十∞)止单 X1一x2 调递增， 函数f(x)=一3x十1在(0，十o∞)上单调递减，A不是； 函数f(x)=-2在(0，十oo)上单调递增，B是； 函数f(x)=x十4x十3在(0，十∞)上单调递增，C是； 函数人x)=一士在(0，十0)止单拥递增，D是.] 3.B[要使y=(2m-1)x十b在R上是减函数， 则2m-1<0,即m<] 4,解析：该函数在[2,3]上单调递减，故当x=2时，函数取 得最大值，最大值为2. 答案：2 跃升·关键能力题型1 [例1-1][解析]因为f(x)在[a,b们上单调递增，对于 任意的x1,x2∈[a,b](x1≠x2),x1-x2与f(1)- f(x,)的符号相同，故A,B,D都正确，而C中应为若 x1<x2,则f(a)≤f(x1)<f(x2)≤f(b). [答案]ABD 高考总复习数学 [例1-2][解]设-1<x1<x2<1, w=a兕-) 则f(x1)-f(x2)= 由于-1<<x,<1, 所以x2-x1>0,x1-1<0,x2-1<0, 故当a>0时，f(x1)-f(x2)>0, 即f(x1)>f(x2), 函数f(x)在(-1,1)上单调递减： 当a<0时，f(x1)-f(x2)<0, 即f(x1)<f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递增， 跟踪训练 1.ABD[对于A,若对任意，∈1，)》0， x1一x2 显然1卡x2, 当x1<x2时，则有f(x1)<f(x2);当1>x2时，则有 f(x1)>f(x2); 由函数单调性的定义可知y=f(x)在I上是单调递增， 故A正确. 对于B,作出函数y=2x十1 的图象，如图所示， 由图象可知：函数y=2x十1的 y=2lx+10 递减区间是(-∞，一1]，故B 正确； 0 对于C,由判断复合函数的单 调性的方法“同增异减”可得单调递增区间为（一∞，1]， 故C错误； 对于D,y'=2-2sinx≥0，所以y=2x十2cosx是R上 的增函数，故D正确.] 2.解析：令t=2x2-3x-2>0, 1 解得x>2或x<-2' 则fx)的定义战为(-0，-令)U2,+), 由f(t)=log号t在(0，十o∞)上单调递减， 根据复合函数的单调性：同增异减，函数t=2x一3x一2的 单调递减区间，即为f(x)的单调递增区间，再结合f(x)的定 义城可知，)的单调适增区间为（一6©，一号）】 答案（∞，-）】 题型2 [例2一1][解析]由题意知y=f(x)的图象关于直线 x=1对称，且当x>1时，y=f(x)单调递减， a=f(是)）=f(侵）f2)>f(2)）>f3. 即b>a>c. [答案]D [例2-2][解析]设t=x-1,t≥2， 1 1 则y=与1十x=十 又函最y=1叶上在[，中)上单弱道培， 所以当t=2,即x=3时， 函数y=4十布最小值2叶名-号 5 [答案] [例2一3][解析]函数y=e为增函数，函数y=ex为 减函数， 所以函数f(x)=e一e为增函数， ·31 所以f(x)f(-3.x2十4)曰x<-3x2十4， 即3x2+|x-4<0, (x-1)(3x十4)<0， 得0≤x<1, 解得-1<x1, 所以实数x的取值范围为（一1,1）. [答案]C L例2一4][解析]由题意知，当a>1时，若a'>a,则s >1, 当0<a1时，若a'>a,则s<1,D正确. [答案]D 跟踪训练 1,B[若f(=-20x十3x≤1在R上单调递减， 1(a-4)x+1,x>1 1a≥1， 解得1≤a≤3' .7 则{a一4<0， （1-2a+3≥a-4+1, 所以“a<4”是“f(x)在R上单调递减”的必要不充分 条件.门 2.BD[由x1f(x1)十x2f(x2)>x1f(x2)十x2f(x1),得 (x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0, 因此f(x)在R上单调递增，A错误； 由-5<0<1，得f(-5)<f(0)<f(1),B正确； 不一定有f(0)=0,如f(x)=2在R上为增函数， f(0)=1,C错误： 由f(2x-1)<f(3-x),得2x-1<3-x, 解得<号D正确] §2.3函数的奇偶性 复盘·必备知识必备知识掌握 1.f(-x)=f(x)y轴f(-x)=-f(x)原点 自主诊断查验 1.(1)×(2)×(3)×(4)W 2.Dy=-y=都是奇函载，排除A,B y=xy=子都是偶画数=x在0，十0)上单调递 增=子在(0，十0)上单调递减.] 3.B[里然6=0a-1+2a=0.5a=号e+b=子] 4.解析：f(x)是奇函数，则f(0)=b=0,即x≥0时， f(x)=2x,所以f(1)=2,从而f(-1)=-f(1)=-2. 答案：一2 跃升·关键能力题型1 [例1-1][解析]A.因为f(-x)=一x3十x≠-f(x), 所以该函数不是奇函数； 2 B因为∫(x)+f(-)=1时22十1+2 2十2·2=-2·2+22+2·2=0，所以该 2+2-11-2 1-2 函数是奇函数； 、C.由{10>>1，该函数的定义城不关于原底对」 称，所以该函数不是奇函数； D.因为f(-x)=ee=f(x),所以该函教是偶函 2 数，不符合题意。 [答案]B [例1一2][解析]对于A,若廿t∈R,当t>0时，令t= x2,因为f(x2)=-f(-x), 所以f(t)=一f(-t),即f(-t)=-f(t);高考总复习数学 §2.2函数的单调性与最值 ★[考试要求] 1.借助函数图象，会用数学符号语言表达函数的单调性、最值，理解实际意义.2.掌握函数单调性 的简单应用。 复盘>必备知识 打通教材逐点夯实 必备知识掌握 知识拓展用活 1.函数的单调性 (1)单调函数的定义 1.z∈D且≠，有f）-f)0 x1一x2 增函数 减函数 (<0)或(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0(<0) 一般地，设函数f(x)的定义域为I,区间 ←台f(x)在区间D上单调递增（减） D二I,如果Hx1x2∈D 2.在公共定义域内，增函数十增函数=增函 当x1<x2时，都有 当x1<x2时，都有 数，减函数十减函数=减函数， 定 3.函数y=f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公 那么就称函数f(x) 那么就称函数f(x) 在区间D上单调 在区间D上单调 共定义域内与y=-fy=的单调 递增 递减 性相反 y=f八x 4.复合函数的单调性：函数y=f(u),u=p(x) y=f(x) f八x2) 图 在函数y=f(p(x)的定义域上，如果y= 鑫 f()与u=o(x)的单调性相同，那么y= 述 自左向右看图象是上 自左向右看图象是 f(o(x))单调递增；如果y=f(u)与u= 升的 下降的 (x)的单调性相反，那么y=f((x)单调 (2)单调区间的定义 递减. 如果函数y=f(x)在区间D上 自主诊断查验 或 ,那么就说函数y= f(.x)在这一区间具有（严格的）单调性，区 1.判断下列结论是否正确（请在括号中打“/” 间D叫做y=f(x)的单调区间. 或“X”) 2.函数的最值 (1)若f(x)的定义域为R,且f(-3)<f(2), 设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在 则f(x)为R上的增函数. () 前提 实数M满足 (2)函数f(x)在（一2,3）上单调递增，则函数 的单调递增区间为（一2,3）. () (1)Hx∈I,都有 (1)Vx∈I,都有 (3)因为y=x与y=e都是增函数，所以y= 条件 (2)]x∈I,使得 (2)3x∈I,使得 xe在定义域内为增函数， (4)函数y=1的单调递减区间是（一∞，0）U 结论 M为最大值 M为最小值 (0,十∞). 20· 第二章函数 2.[多选]下列函数中满足“对任意x1,x2∈3.函数y=(2m一1)x十b在R上是减函数，则 (0,+∞)，且z≠2，都有f）-f)0 () X2 的是 ( Am>司 Bm<空 A.f(x)=-3x+1 B.f()=-2 C.m> 2 D.m<- 2 C.f(x)=x2+4x+3 4.函数y= x一1在[2,3]上的最大值是 D.f(x)=x- 1 跃升>关键能力 核心考点分类突破 题型1 确定函数的单调性 [角度1]函数的单调性的理解 [例1-1][多选]如果函数f(x)在[a,b]上 单调递增，那么对于任意的x1,x2∈[a,b] (x1≠x2),下列结论中正确的是 A.)-f>0 x1一x2 B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) x2一x1 D.f()-f(p)0 [角度2]判断或证明函数的单调性 [例1-2】]试讨论函数f()=二(a≠0) 在（一1,1）上的单调性. [尝试解答] ·21 高考总复习数学 规律方法 [角度4]求参数的取值范围 确定函数的单调区间的方法 [例2-4](2025·上海卷)设a>0,s∈R,下 (1)定义法：先求定义域，再利用单调性定义 列各项中，能推出a>a的一项是() 来求 A.a>1,且s>0 (2)图象法：如果f(x)是以图象形式给出 B.a>1,且s<0 的，或者f(x)的图象易作出，可由图象 C.0<a<1,且s>0 的升、降写出它的单调区间. D.0<a<1,且s<0 (3)导数法：利用导数取值的正、负确定函数 规律方法 的单调区间 函数单调性应用要点 (1)比较大小：可将n个自变量值化到同 日跟踪训练 单调区间上 1.[多选]下列说法中，正确的是 (2)解不等式：利用函数的单调性将“”符 A,若对任意，，∈1，f）-fx>0. 号脱掉，转化为具体的不等式求解，应注 x1一x2 意函数的定义域 则y=f(x)在I上单调递增 (3)利用单调性求参数： B.函数y=2x十1的递减区间是（一∞，一1] ①确定函数的单调区间，与已知区间 C.函数f(x)=2+x+3的单调递增区间 比较； 为[1，+∞) ②需注意若函数在区间[a,b]上是单调 D.y=2x+2cosx在R上是增函数 的，则该函数在此区间的任意子集上也 2.函数f(x)=log号(2x2-3x一2)的单调递增 是单调的； 区间为 ③分段函数的单调性，除注意各段的单 题型2( 函数单调性的应用 调性外，还要注意衔接点的取值， [角度1]比较函数值的大小 跟踪训练 [例2-1] 已知函数f(x)的图象向左平移 1.已知函数f(x)= 1x2-2ax+3,x≤1则“a 1个单位后关于y轴对称，当x2>x1>1 (a-4)x+1,x>1, 时，[f(x2)一f(x1)](x2一x1)<0恒成立， <4”是“f(x)在R上单调递减”的( 设a=f- )，6f2,6=f3,则a,6c A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 的大小关系为 ( C.充要条件 A.c>a>b B.c>b>a D.既不充分也不必要条件 C.a>c>b D.b>a>c 2.[多选]函数f(x)的定义域为R,对任意的 P[角度2]求函数的最值 实数x1,x2(x1≠x2),满足x1∫(x1)十 [例2-2] 函数= x2f(x2)>x1f(x2)十x2f(x1),下列结论正 x-1 1+x(x≥3)的最 确的是 小值为 A.函数f(x)在R上是单调递减函数 [角度3]解不等式 B.f(-5)<f(0)<f(1) [例2一3] 已知函数f(x)=e一ex,则使 C.f(0)=0 f(|x)<f(一3.x2+4)成立的实数x的取 D.f2x-1D<f3-)的解为z<号 值范围是 ( ) A.(-1,0) B.(-1,+∞) C温馨提 学习至此，请完成配套训练 课时冲关7 C.(-1,1) D.(1,+∞) ·22