1.2 常用逻辑用语-【创新大课堂】2027年高三数学一轮总复习

第一章集合、常用逻辑用语、不等式 §1.2常用逻辑用语 【课标要求】1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要 条件、数学定义与充要条件的关系.2.理解全称量词和存在量词的意义，能正确对两种命题进行否定， 口必备知识·整合 夯实基础回归教材》> 1.充分条件、必要条件与充要条件的概念 (3)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件.() 若p→q,则p是q的 条件，q是p的 条件 (④)命题“3x∈R,sim2号十o2受-号”是真 p是q的充分不必要条件 命题 () p是q的必要不充分条件 2.已知命题p:n∈N*,n2>n-1,则命题p的否 p中q且q→p 定为 () p是g的 条件 p台q A.Hn∈N*,n2≤n-1 p是q的既不充分也不必要条件 p中q且q中p B.Hn∈N*,n2<n-1 2.全称量词与存在量词 C.3n∈N*,n2≤n-1 D.3n∈N*,n2<n-1 (1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑 3.设x>0,y>0,则“x2>y2”是“x>y”的() 中通常叫做全称量词，并用符号“ A.充分不必要条件 表示。 B.必要不充分条件 (2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在 C.充要条件 逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ D.既不充分也不必要条件 表示。 4.已知A=(-∞，a],B=(-∞，3)，且x∈A是 3.全称量词命题和存在量词命题 x∈B的必要不充分条件，则实数a的取值范围 名称 全称量词命题 存在量词命题 为 对M中任意一个x, 存在M中的元 【微点提醒】 结构 p(x)成立 素x,p(x)成立 1,谨记两个常用结论 简记 Hx∈M,p(x) ]x∈M,p(x) (1)p是q的充分不必要条件，等价于7q是7p 的充分不必要条件 否定 (2)命题p和一p的真假性相反，若判断一个命 【自主诊断】 题的真假有困难时，可先判断此命题的否定的 1.判断下列结论是否正确.（请在括号中打“/”或 真假 “X”) ;2.理清一个关系 (1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件 “A的充分不必要条件是B”是指B能推出A,且 ( A不能推出B;而“A是B的充分不必要条件”则 (2)“三角形的内角和为180°”是全称量词命题. 是指A能推出B,而B不能推出A,要注意区别 上述两种说法的不同. 5 精品教辅·智慧人生 高三总复习·数学 口关键能力·突破 分类讲练以例求法》> 题型一充分、必要条件的判定 (2)(2026·北京房山区模拟)已知定义在R上的 [例1](1)(2026·广西柳州一模)对于非零向量 函数f(x)满足f(一x)-f(x)=0,且在[0， a,b,“|a+b=0”是“a∥b”的 ( +∞)上单调递减，对于实数a,b,则“a2<b2”是 A.充分不必要条件 “f(a)>f(b)”的 () B.必要不充分条件 C.充要条件 A.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 B.必要不充分条件 (2)祖暅原理是一个涉及几何求积的著名命题. C.充要条件 内容为：“幂势既同，则积不容异”.“幂”是截面 D.既不充分也不必要条件 积，“势”是几何体的高.意思是两个等高的几何 题型二 充分、必要条件的应用 体，如在等高处的截面积相等，则体积相等设 [例2](1)(2026·伊春调研)请在①充分不必要； A,B为两个等高的几何体，：A,B的体积相等， q:A,B在同一高处的载面积相等.根据祖暅原理 ②必要不充分；③充要中任选一个，补充在横线 可知，p是g的 处，并解答 A.充要条件 已知集合A={xx2-x-12≤0}，B={x|x2 B.充分不必要条件 2x+1-m2≤0，m>0},且“x∈A”是“x∈B”的 C.必要不充分条件 条件，判断实数m的值是否存在.若存 D.既不充分也不必要条件 在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由 [听课记录] (2)已知p:x>1或x<-3,q:x>a(a为实数). 若q的一个充分不必要条件是一p,则实数a的 取值范围是 听课记录] /思维升华/++++ 充分、必要条件的三种判定方法 (1)定义法：根据→q,q→p是否成立进行 判断。 (2)集合法：根据p,q成立对应的集合之间 的包含关系进行判断， (3)等价转化法：对所给题目的条件进行一 /思维升华/+++ 系列的等价转化，直到转化成容易判断充 求参数问题的解题策略 分、必要条件是否成立为止。 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化 跟踪训练1(1)（多选）ab十b-a-1=0的一个 为集合之间的关系，然后根据集合之间的关 系列出关于参数的不等式（或不等式组） 充分不必要条件可以是 求解. A.a=-1 B.a=b (2)要注意区间端点值的检验. C.b=1 D.ab=1 精品教辅·智慧人生 6 第一章集合、常用逻辑用语、不等式 跟踪训练2(1)(2026·甘孜州模拟)设命题p: a{ep<a≤} B.aa 1ogx-1)<m,命题q:是>1.若p是g的充分 不必要条件，则m的取值范围是 ( c≥} D.a A.(-∞，0] B.[0,+∞) (2)已知命题“3x∈R,a.x2一ax+1≤0”为假命 C.[-1,+∞) D.(-∞，-1] 题，则实数a的取值范围是 (2)已知a:-1<x<0,B:m-1<x<-3m.若a [听课记录] 是3的充分不必要条件，则实数m的取值范围是 题型三全称量词与存在量词 命题点1含量词的命题的否定 [例3]（多选）下列说法正确的是 /思维升华/++++ A.“菱形是正方形”是全称量词命题 1.含量词命题的否定，一是要改写量词，二 B.“Hx,y∈R,x2+y2≥0”的否定是“了x,y∈R, 是要否定结论。 x2+y2<0” 2.判定全称量词命题“x∈M,p(x)”是真 C.命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“有 命题，需要对集合M中的每一个元素x, 一个奇数能被3整除” 证明p(x)成立；要判定存在量词命题 D.“A=B”是“sinA=sinB”的必要不充分条件 “3x∈M,p(x)”是真命题，只要在限定集 [听课记录] 合内找到一个x,使p(x)成立即可. 3.由命题真假求参数的范围，一是直接由命 题的含义，利用函数的最值求参数的范 围；二是利用等价命题，即p与一p的关 系，转化成一力的真假求参数的范围 命题点2含量词的命题的真假判断 [例4](2026·辽宁名校联盟调研（一）)已知命题 跟踪训练3(1)（多选）(2026·海口模拟)以下 :V<02+号>4，命题q:3x>1,x-4< 说法正确的是 () A.“Vx∈R,3x2-2≥0”的否定是“]x∈R, -3,则 ( 3.x2-2<0” A.p和q都是真命题 B.p和g都是真命题 C.一p和一g都是真命题D.p和一g都是真命题 B.“x>3”是“1og3(2x十1)>2”的充分不必要条件 C.若命题“3x∈R,x2+(a-1)x十1<0”的否定 [听课记录] 是假命题，则实数a的取值范围是（一1,3） D若命题“yx∈R,2ar2+ar-是<0“是真命 题，则-3≤a≤0 命题点3含量词的命题的应用 (2)(2026·兰州模拟)若命题p:“3x∈R,x2 [例5](1)(2026·江苏徐州调研)已知命题p: mx一m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是 Hx∈R,a.x2十2x十3>0为真命题，则实数a的 取值范围是 ) 温解提示 请做课时分层检测（二） 精品教辅·智慧人生S1.2常用逻辑用语 解析因为命题p:Hx∈R,a.x2十2x十3>0为真命题， [自主诊断] 所以不等式ax2+2x十3>0的解集为R. 1.(1)/(2)/(3)√(4)X 若a=0,则不等式ax2+2x十3>0可化为2.x十3>0→x>一 3 2.C[由全称量词命题的否定为存在量词命题，可得命题p: Hn∈N*,n2>n-1的否定力为“3n∈N*,n2≤n-1”.] 不等式的解集不是R:若a≠0，则有之0： 解得 3.C[根据x>0,y>0,由不等式的性质，“x2>y2”能推出“x>y”,即 、 1△=22-12a<0, 充分性成立：反过来，“x>y”能推出“x2>y2”,即必要性成立.] 4.[3,十o)[x∈A是x∈B的必要不充分条件，.BA,.a≥ a73 3,即a的取值范围为3，十o). 关键能力·突破 综上可知，>子故选D [例1](1)解析由a十b=0,得a十b=0,.a=一b,即a∥b: 答案D 由a∥b得a与b的方向相同或相反，且模不一定相等， (2)解析由题意得不等式a.x2-az十1>0对Hx∈R恒成立. .a十b=0不一定成立 ①当a=0时，不等式1>0在R上恒成立，符合题意： ∴.“|a十b=0”是“a∥b”的充分不必要条件，故选A ②当a≠0时，若不等式ax2-a.x十1>0对x∈R恒成立，则 答案A 4=a2-4a<0,解得0<a<4, a>0, (2)解析已知A,B为两个等高的几何体，由祖胞原理知q→，： 而饣不能推出g,可举反例，两个相同的圆锥，一个正置，一个倒· 综上，实数a的取值范围是L0,4) 置，此时两个几何体等高且体积相等，但在同一高处的截面积不 答案「0,4) 一定相等，则力是g的必要不充分条件。 1跟踪训练3(1)AD[对于A,“Hx∈R,3.x2一2≥0”的否定是 答案C “3x∈R,3z2-2<0”,故A正确；对于B,log3（2x+1)>2即 跟踪训练1(1)AC[由ab十b一a一1=0，可得(a+1)(b-1)=0, log3(2x+1)>log39,解得x>4,因为x>4→x>3,且x>3力x> 解得a=一1或b=1.故选AC.] 4,所以“z>3”是“log3（2x十1)>2”的必要不充分条件，故B错误； (2)C[由定义在R上的函数f(x)满足f(一x)一f(x)=0,得函： 对于C,命题的否定是假命题，则命题“3x∈R,x2十(a一1)x十1< 数f(x)是R上的偶函数，而f(x)在[0，十)上单调递减，因此 0”是真命题，即△=(a-1)2一4>0，解得a>3或a<-1,故C错 fa)>f(b)台f|a)>f(|b)台|a<|bl台a2<b,所以“a2< b2”是“f(a)>f(b)”的充要条件.] 误：对于D,因国为“Yz∈R,2a2十ax-尽≤0”是真命题，即2a2 [例2](1)解由不等式x2-x一12=(x-4)(x十3)≤0，解得-3≤1 十ax一 x4,可得A={xx一3x4}, ≤0对Yx∈R恒成立.当a=0时，命题成立；当a≠0 8 由不等式x2-2x十1-m2=(x-m-1)(x十m-1)≤0(m>0),解得： 时，∫a<0, 1一m≤r1+m, {4=2+3a≤0，解得-3≤a<0,综上可得，-3≤a≤0，故D 正确.门 所以B={x1-mx1+m,m>0}. 11一m-3, (2)(一4,0)[方法一若p为真命题，即3x∈R,z2一mx一m≤0， 若选择条件①，则集合A是B的真子集，得)m十1≥4，解得 所以△=m2十4m≥0，所以m≥0或m≤一4，所以当力为假命题 （7m0, 时，一4<m0. 7m≥4. 方法二因为力为假命题，所以？p:Hx∈R,x2-m.x一m>0为 当m=4时，B={x-3≤x≤5}，A年B,符合题意. 真命题，即△=m2+4m<0,所以-4<m<0.] /1-m≥-3， §1.3等式性质与不等式性质 若选择条件②，则集合B是A的真子集，得)m十1≤4，解得 m>0, 必备知识·整合 0<m3. 1.(1)> =(2)>= 当m=3时，B={x一2≤x≤4}，则B手A,符合题意. 2.b=aa=c 若选择条件③，则集合A=B,得 1-m=-3, 3.b<aa>c ac>bc ac<bc a+c>b+d m十1=4，无解，所以不存在满足条件③的实数. ac>bd (m>0. :[自主诊断] (2)解析由已知得7p:一3≤x≤1,7q:x≤a :1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 设A={x-3≤x≤1}，B={xx≤a}, ;2.ABDC中，若a=-2,b=-1,则a2>ab>,故C错误.] 若7p是？g的充分不必要条件，则一→一q,一中7力， :3.A[因为M-N=(2a2+5a+4)-(a+1)(a+3)=a2+a+1= 所以集合A={x一3≤x1}是集合B=《x|z≤a}的真子集， (a+2)+>0,所以MDN] 11 所以a≥1. 答案[1，十∞) !4.(-5,-1)[由b∈(2,3)得-6<-2b-4,又1<a<3,故-5 跟踪训练2”1)A[由1og(红-1)<m,得0<x-1<2,即1<关键能力，突破 <a-2b<-1.] <2"十1.由二>1，得0<2<2.若p是g的充分不必要条件，则 2m十1≤2，解得m≤0.故选A.] [例解析p,Q作商可得。令)上三则 Q bea x (2)(一∞，0)[因为a是B的充分不必要条件，所以{x|-1< x<0}是{xm-1<<-3m的真子集，则{m1.1,(不同时 -3m≥0 f(x)=c(D,当x>1时，f(x)>0,所以f(x)=g在(1， 取等号)，解得m<0,所以实数m的取值范围是（一c,0).] 22 [例3]解析对于A,“菱形是正方形”即“所有的菱形都是正方！ 十∞)上单调递增，因为a>b>1,所以g 形”是全称量词命题，故A正确； <号又>0，>0 对于B,由全称量词命题的否定知其否定是“3x,y∈R,x2十y2< e 0”,故B正确： 所以 P=b<1,所以P<Q.故选C 对于C,命题“有一个奇数不能被3整除”的否定是“所有的奇数！ Q ea 都能被3整除”，故C错误： 对于D,因为A=B时，sinA=sinB成立，而sinA=sinB时， 答案C A=B不-定成立，如A=音，B=号，放A=B是“sinA=inB （2)解折方法-M-N=三0士1脑+！ e2025+1e2026+7 的充分不必要条件，故D错误. (e2024+1)(e2026+1)-(e2025+1)2 答案AB (e2025+1)(e2026+1) 390