第1章三角形的证明及其应用暑假自主巩固提升训练题2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 以三角形证明为核心，整合多边形性质、全等判定及动态几何，通过“基础辨析-推理计算-探究迁移”三阶训练，系统培养逻辑推理与几何直观。 **综合设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析与基础应用|5题（单选1-3、填空8-9）|性质判定辨析、反证法假设|从三角形基本性质到特殊图形判定，构建概念网络| |几何计算与推理|10题（单选4-7、填空10-13、解答15-17）|辅助线构造（延长/垂直）、全等证明、特殊角应用|结合多边形内角和与三角形三线性质，形成推理链条| |综合探究与迁移|6题（填空14、解答18-22）|类比迁移、动态问题转化、模型构建|从静态证明到动态探究，发展创新意识与应用能力|

2025-2026学年北师大版八年级数学下册《第1章三角形的证明及其应用》 假期自主巩固提升训练题（附答案） 一、单选题 1．多边形的密铺在我们生活中经常遇见，例如用瓷砖铺贴房屋外墙面或地面等．下列正多边形中，只用一种不能密铺的是（     ） A．正三角形 B．正四边形 C．正六边形 D．正八边形 2．一个多边形的内角和与外角和的和是，则以这个多边形的一个顶点为端点的对角线有（    ）条 A．5 B．6 C．7 D．8 3．下列命题中是真命题的是（     ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点距离相等 B．有一个角是的三角形是等边三角形 C．等腰三角形的高线、中线、角平分线互相重合 D．两个锐角分别相等的两个直角三角形全等 4．如图，在等腰中，，，点在边上，且，过点作于点，则线段的长为（     ） A． B．2 C． D． 5．如图，在四边形中，，，，，，则的长为（    ） A．1.5 B．2 C．2.5 D．3 6．如图，在中，，平分，，若，，则的长为（　　） A．16 B．18 C．20 D．22 7．如图，在中， ，的垂直平分线分别交和于点和点，的垂直平分线分别交和于点和点，连接，，则（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．用反证法证明“一个三角形中至多有一个内角为钝角”时，应假设这个三角形中___________． 9．已知等腰三角形的两边长分别为和，则该等腰三角形的面积为________． 10．已知直线，将正五边形按如图所示的位置摆放，顶点在直线上，若，则的度数是_____． 11．为探究平行线的有关性质，小明用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A，E，C，F在同一条直线上，，，．当时，的大小为______． 12．如图，在中，平分，交延长线于点，过点作交于点，若平分，，则_________度． 13．如图，在的网格中，每一个小正方形的边长都是1，点A、B、C、D都在格点上，连接，相交于O．那么的大小是________． 14．在等腰中，，，点D为直线上一动点，连接，点E为线段的中点，将线段沿直线翻折得到线段，过点D作，交直线于点F，连接，则线段的最小值为______． 三、解答题 15．如图，在中，，，请完成下面的作图和问题． (1)用尺规完成基本作图：作边的垂直平分线，与边、分别交于点D、E； (2)用尺规完成基本作图：作的角平分线，与边的垂直平分线交于点Q； (3)求的度数． 16．如图，在中，，点F在线段上，点C在的延长线上，连接，并延长交于点E，且． (1)求证：； (2)若E为中点，，求的值． 17．如图，在中，，D是边上一点，且，过点A作于点E，过点C作于点G，与交于点H，延长交于点F． (1)若，求的度数； (2)求证：． 18．如图，在中，平分的外角，，垂足为点G，，垂足为点H，垂直平分于点E． (1)求证：； (2)若，求证：． 19．如图，已知在中，，平分交于点，过点作于点，交于点，且． (1)证明：垂直平分； (2)在（1）的条件下，若是边的中点，连接与相交于点．请猜想，，之间的数量关系 ． 20．结合图形，解答下列各题： 【问题】 (1)如图，在中，平分，平分．若，则_____； 【探究】 (2)如图，在中，平分，平分．试猜想和有怎样的关系，并说明理由； 【应用】 (3)如图，在中，，三等分，，三等分，若，则_____． 21．课本再现：本学期，我们利用“构造轴对称图形等边三角形”证明了定理． 定理：在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半． (1)【知识运用】如图1，在中，，若，则 ； (2)【类比证明】如图2，请类比“构造轴对称图形等边三角形”证明过程，证明：在中，若，则； (3)【迁移创新】构造具有特殊性质的轴对称图形（如等边三角形），从而利用轴对称图形的性质证明结论是几何问题证明中常见的思路，请你尝试解决以下问题如图3，等边中，延长，，使，连接，．求证：． 22．数学活动课上，同学们对角平分线的尺规作图进行了深入研究，智慧小组的作法如下： 如图1，在的两边，上分别取点A，B（）；以点O为圆心，长为半径作弧交射线于点E；再以点O为圆心，长为半径作弧交射线于点F；连接，交于点C；作射线，则射线即为的平分线． 【思路研讨】 勤学小组提出：可通过3次三角形全等，证明智慧小组的作法正确；善思小组认为：通过添加适当的辅助线，仅用1次或2次三角形全等即可完成证明． 【推理验证】 (1)请证明智慧小组上述作法的正确性； 【变式探究】 (2)智慧小组发现，按上述方法作出角平分线后，保持A，B，C三点的位置不变，改变点E，F的位置（如图2），使与相交于点P．若，，则与存在确定的数量关系，请写出该数量关系并说明理由； 【拓展应用】 (3)如图3，H为的平分线上的一点，连接，作于点Q．若，，，求的长． 参考答案 1．D 【分析】密铺的核心条件是围绕一点拼接的多边形内角和恰好等于，即正多边形的单个内角度数能整除时，才可单独密铺，计算各选项内角度数即可判断． 【详解】解：A. 正三角形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； B. 正四边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； C. 正六边形每个内角为， ，能整除， 可以单独密铺，不符合题意； D. 正八边形每个内角为 ， ，不是整数，不能整除， 不能单独密铺，符合题意． 2．A 【分析】设这个多边形的边数为，根据题意列方程求出这个多边形的边数，再根据以边形的一个顶点为端点的对角线有条求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数为， ∵一个多边形的内角和与外角和的和是，多边形的外角和等于， ∴， 解得， ∴以这个多边形的一个顶点为端点的对角线条数为（条）． 3．A 【分析】根据垂直平分线的性质、等边三角形的判定、等腰三角形的性质、全等三角形的判定定理，逐项判断命题真假即可解答． 【详解】解：A 选项，根据线段垂直平分线的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，因此三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离都相等，该命题是真命题，符合题意； B 选项，只有一个角是的等腰三角形才是等边三角形，仅一个角为的三角形不一定是等边三角形，该命题是假命题，不符合题意； C 选项，只有等腰三角形底边上的高线、底边上的中线、顶角的角平分线互相重合，选项未说明三线的位置，该命题是假命题，不符合题意； D 选项，两个锐角分别相等的两个直角三角形只有角对应相等，没有边对应相等的条件，不满足三角形全等的判定要求，该命题是假命题，不符合题意． 4．C 【分析】过点作于点，求得，求得，再利用三角形面积公式可得，最后利用勾股定理求得即可． 【详解】解：如图，过点作于点， 在等腰中，， ，， ， ， ， ， ，     ， 根据勾股定理可得， ， ， ． 5．C 【分析】延长交于点E，证明是直角三角形，由直角三角形的性质可得，证明是等边三角形，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：延长交于点E， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵在四边形中，，，， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 6．A 【分析】此题主要考查了等腰三角形的性质和等边三角形的判定与性质，先证明为等边三角形得到，，再根据等腰三角形的性质得到，，然后计算出，从而得到的长，解题时注意：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半．能求出的长是解决问题的关键． 【详解】解： ， ， 为等边三角形， ，， ，平分， ，， ， ， 在中，， ， ， 故选：A． 7．B 【分析】先由内角和定理可得，然后通过垂直平分线的性质可得，，再由等边对等角得，，最后利用即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴，， ∴， ∴． 8．至少有两个内角为钝角 【分析】根据反证法的定义，证明命题时需先假设命题结论不成立，只需找出原结论的反面即可. 【详解】解：原命题的结论为“一个三角形中至多有一个内角为钝角”，“至多有一个”的反面为“至少有两个”，因此用反证法证明时，应假设这个三角形中至少有两个内角为钝角. 9． 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，三角形三边关系，解题的关键是根据题意，确定出三角形的三边长． 根据题意，分腰长为和两种情况，结合三角形三边关系，确定出三角形，然后根据勾股定理求得等腰三角形底边上的高，然后根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：当腰长为时，三角形三边长为，，， 因为，不满足三角形三边关系，不能构成三角形，不符合题意； 当腰长为时，三角形三边长为，，， ，满足三角形三边关系，能构成三角形， 此时等腰三角形底边长为，根据等腰三角形三线合一，底边的一半为， 由勾股定理得底边上的高， 三角形面积为． 10．/63度 【分析】求出正五边形的内角度数，进而得到的度数，再根据平行线的性质解答即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正五边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 11．/15度 【分析】先说明，再根据平行线的性质得到，最后利用三角形的外角的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12． 【分析】本题主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，以及三角形的内角和定理，根据两直线平行，内错角相等即可得到，结合平分，则，最后在中利用三角形内角和为求解即可． 【详解】解： ， ， 平分， ， ， ， ， 在中，， ， ， ． 13．/45度 【分析】如图，取格点E，连接，，证明出是等腰直角三角形，得到，然后利用平行线的性质求解． 【详解】解：如图，取格点E，连接， 根据题意得，，， ∴， ∴是等腰直角三角形 ∴ 由网格得， ∴． 14． 【分析】延长到点H，使得，连接，根据题意得出，，再由全等三角形的判定和性质得出，确定，然后利用三角形中位线的性质得出，得出当时，取得最小值，即取得最小值，结合含30度角的直角三角形的性质得出，即可求解 【详解】解：延长到点H，使得，连接，如图所示： ∵，， ∴， ∵线段沿直线翻折得到线段， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∵点D为直线上一动点， ∴当时， 取得最小值，即取得最小值， 过点A作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴线段的最小值为：． 15．(1)作图见详解 (2)作图见详解 (3) 【分析】（1）分别以点B，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧分别交上下两端，连接两个交点，与交于点E，与交于点D，垂直平分线即为所求； （2）以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于一点，再分别以该两点为圆心，相同的任意长为半径画弧，两弧交于一点，连接点A至该点作射线交于垂直平分线于点Q，即为所求； （3）由角平分线的性质得到，再由直角三角形两锐角互余得到，通过垂直平分线的性质结合三角形外角的性质得到的度数，最后利用三角形内角和定理即可求得结果． 【详解】（1）解：如图所示，边的垂直平分线即为所求： （2）解：如图所示，的角平分线即为所求： （3）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∵为的垂直平分线， ∴， ∴， 在中，． 16．(1)见详解 (2) 【分析】（1）利用“”证明，由全等三角形的性质可得，结合证明，进而可得，即可证明结论； （2）设，首先证明垂直平分，易得，再根据垂直平分线的性质证明，进而可得，在中，由勾股定理解得的值，进一步求解即可获得答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴，即； （2）解：设， ∵E为中点，且， ∴垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理可得， 即，解得（负值舍去）， ∴， ∴． 17．(1) (2)见解析 【分析】（1）先求解，，进一步利用三角形的外角的性质可得答案； （2）证明．，结合垂直与内角和定理可得，结合，进一步证明即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （2）证明：∵，， ∴． ∵，， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 18．(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）通过证明，即可求证； （2）证明为等腰直角三角形，进而得到为等腰直角三角形，得到即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分的外角，，， ∴，， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵，， ∴， 由（1）知， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴． 19．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）证明，则，结合对顶角相等可得，得到．结合平分可证明，则，得证； （2）连接，由等腰三角形的性质可得垂直平分，则，由勾股定理可得，因此． 【详解】（1）证明：， . ， ， ， . 在和中， ， ， . ， 又， ， ，即， . 平分， （角平分线的性质）. 在和中， ， ， （全等三角形对应边相等）， 垂直平分. （2）如图，连接， ∵，是边的中点， ∴，即垂直平分， ∴， 由（1）可知，， 在中，， ∴． 20．(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【分析】（）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据角平分线定义和三角形的内角和解答即可； （）根据三角形的内角和定理得，再由，三等分，，三等分，得到，，于是，再根据三角形的内角和定理得到的大小． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：，理由如下， ∵，， ∴， ∵分别平分和， ∴，， ∴ ； （3）解：如图， 由三角形的内角和定理得， ∵，三等分，，三等分， ∴，， ∴， ∴． 21．(1)2 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据定理求解即可； （2）添加辅助线，延长至点D，使得，连接，证明与全等，再得到为等边三角形， （3）添加辅助线，延长至点M，使得，连接，得到为等边三角形，再证明与全等，由此可证． 【详解】（1）解：在中，，， 则； （2）证明：延长至点D，使得，连接，如图， ∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴； （3）证明：延长至点M，使得，连接，如图， ∵为等边三角形， ∴，， ∵， ∴为等边三角形， ∴，， ∵，，且，， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． 22．(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）首先根据尺规作图的过程，得到、，且与为公共角，可证明，得到对应角相等；再结合边的关系证明与全等，得到；最后证明，即可得到，证明是角平分线； （2）先利用是角平分线得到，结合已知的边相等条件，证明包含和的三角形全等，即可得到二者的数量关系； （3）过点H作的垂线，根据角平分线的性质得到该垂线段长度等于；结合，先在中利用角度条件和的长度求出与的关系，再结合角平分线的性质、角度条件构造直角三角形，利用线段和差关系求解． 【详解】（1）（1）证明：如图1，连接． ， ， ， ， 即． ， ， ， ， ， 是的垂直平分线， 是的平分线． （2）（2）． 如图2，在上取一点G，使得，连接． ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． （3）（3）如答图3，在上取一点G，使得，连接，分别过点A作于点E，于点F． ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 设，则 ， ， 在中，， ， 解得：， 即． 学科网（北京）股份有限公司 $