第14讲 反比例函数的图象和性质（10类重点题型+过关检测，暑假预习讲义）新九年级数学新教材人教版

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第14讲反比例函数的图象和性质 了内容导航 01预习航标→析目标明方向：预习导航精准定向 02教材全解→建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03题型突破一析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1判断（画）反比例函数图象 题型2已知反比例函数的图象判断其解析式 题型3判断反比例函数所在象限 题型4判断反比例函数的增减性 题型5已知反比例函数分布的象限求参数范围 题型6已知反比例函数的增减性求参数 题型7由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型8比较反比例函数值或自变量的大小 题型9判断反比例函数的图象和性质 题型10反比例函数的图象和性质综合 04过关检测一练考点强落实：过关检测全面巩固 01 预习航标 关键词 学习目标导航 1.会用描点法画出反比例函数y=二(#0)的图象，知道其形状是双曲 X 双曲线、象限、增减 线。 性、k>0、k<0、每个 2.掌握反比例函数图象的性质：当k>0时，图象在一、三象限；当k<0 象限内、数形结合。 时，图象在二、四像限。 3.理解反比例函数的增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小(k>0) 或增大(k<0)。 4.体会数形结合、分类讨论的数学思想，能根据图像比较函数值的大小。 学习重点：反比例函数图像的形状、位置及增减性，特别是k的正负对图像的影响。 学习难点：理解“在每个象限内”这一前提条件，并能正确运用增减性比较不同象限内函数值的大 小。 1/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 02 教材全解 ◇ 知|识|框1架 列表 X取非霉互反数简化计算 反比例函数图象画法 描点 描出对应点 k正一三负二四 图象口诀 光滑曲线 越大越远离原点 解题方法与口诀 连线 不与坐标轴相交 象限内增减看k 性质口诀 形状 双曲线 忽略每个象限内"条件 k>0时在一三象限 认为渐近线可相交 高频易错点 位置与k的关系 k<0时在二四象限 Ik几何意义理解错误 图象特征 反比例函数的图 ×轴与y轴为渐近线 所在象限判断 新近线 象和性质 曲线无限接近但不相交 增减性应用 高频考点 关于原点中心对称 k几何意义相关计算 对称性 关于直线y=x和y=-x轴对称 k的符号决定象限 k>0时在每个象限内y随x增大而减小 系数k对图象的影响 增减性 k越大图象离原点越远 k<0时在每个象限内y随x增大而增大 k的大小决定离原点距离 Ik越小图象离原点越近 图象性质 X*0且y≠0 取值范围 图象不与坐标轴相交 1k等于矩形面积 k的几何意义 矩形由坐标轴与图象上点向坐标轴作垂线围成 知1识I精I讲 知识点01反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内， k>0 (x,同号) y随x的增大而减 少 y=k X (k为常数，k≠0) k<0 二、四象限 在同一象限内， (x,异号) y随x的增大而增 内越大，函数图多越远离坐标原点 【易错提醒】 图像为双曲线，分两支。(O)在一三象限，k<0在二四像限。每个象限内y随x增大而减小（或增 大)，注意“每个象限内”前提，勿跨象限比较。 2/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2025 即时即练1.关于反比例函数y= x，下列说法正确的是() A.图象在第一、三象限 B.图象与x轴有一个交点 C.当x>0时，y随x的增大而减小 D.如果点A(-1,)和点B(-3,)均在该函数的图象上，那 么出>2 2.己知反比例函数y=《 x,k为常数，K≠1 (I)若在这个函数图象的每一支上，y随x的增大而增大，求k的取值范围： (2)若k=17,试判断点B(8,2),C(4,5)是否在这个函数图象上，并说明理由. 三.如图。点A在反比例函数k0)的图象上，BLy轴于点g:ACL袖于点C且矩形HBOC 的面积为8， (1)求k的值： (2)若点P(1,m）,(,川)是该反比例函数图象上的两点，若m>n,求t的取值范围. 03 题型突破 题型1判断（画）反比例函数图象 【例】函数少=的图像大致是（) 【例2】函数y=一的图象大致是() 3/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【技巧归纳】 图象为双曲线，两支关于原点对称。心0时在一三象限，<0在二四象限。画草图：列表取点（如 x士1，士2，士)，描点连线，渐近线为坐标轴。注意图象无限接近坐标轴但不相交。 -2 【变式1】函数y=在平面直角坐标系中的图形可能是() 【变式1-2】一个三角形花坛的面积是6m,它的一边a(单位：)是这边上的高h(单位：)的函数， 此函数的图象大致为() a(m)4 a (m) a(m) 4 D (m) h(m) h(m) a(m)4 h(m) 题型2已知反比例函数的图象判断其解析式 【刷3)反比例函数y-(化≠0)的图象如图所示，则k的值可能是(） 4/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B.10 C.-5 D.-1 【例4】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是() A.y=_ B.y=-4x Cy=-4 x D.y=-4x2 【技巧归纳】 根据图象所在象限判断k的正负：一三象限>0，二四<0。取图象上一点坐标（非原点），代入y=kx得 =。也可利用对称性，或油与坐标轴所围矩形面积k确定解析式。注意双曲线渐近线。 【变式2-1】如图所示，该函数表达式可能是() A.y=3x2 B.y=3 C.y=-3 D.y=3x 【变式2-2】如图所示，其函数解析式可能是() A.y=2x2 B.y=6 C.y=-6 x D.y=3x 5/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型3判断反比例函数所在象限 2 【例5】反比例函数y=3x的图像在第 象限，经过点（-4？一）· 4 【例6】反比例函数①y= x、②y=- 、③y= 3x、④2y=1的图像，在第一、三象限的是 在 第二、四象限的是 【技巧归纳】 由k符号决定：k>0,图象在一三象限；k<0,在二四象限。注意x和y越大，点离轴越远。k绝对值大小 不影响象限，只影响弯曲程度。实际问题中根据变量乘积正负判断。 3 【变式3-1】反比例函数0y= 、②y3江、®7y=10 -x、④y=1O0x的图象中，在第一、三象限的是 ,在第二、四象限的是 一； 【变式3-2】关于x的方程2+2x+1=0无解，则反比例函数y=的图象在第 象限 题型4判断反比例函数的增减性 【例刀在函数y=(x>0)中，函数值y随x的增大而 2 【例8】函数y= 3x中，在每个象限内，y随x的增大而 【技巧归纳】 在每个象限内：心0时，y随x增大而减小；k<0时，y随x增大而增大。注意“在每个象限内”前提，跨 象限不能直接比较。比较函数值时，若两点同象限用增减性，异象限则负数<正数(k>0)。 k 【变式41】若点(1,3)在反比例函数少=的图象上，在图象的每一支上，y随x的增大而 (填“增大”或“减小”) [支式+】下列E数：0y-2x+1:@,-3:@g=05:国y-广+2+5<0，@=2随x 的增大而减小的是一（填序号）· 6/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型5已知反比例函数分布的象限求参数范围 【例9】若反比例函数y=(m-)x的图象经过第二、四象限，则 k- 【例10】若反比例函数y= x的图象位于第一、三象限，则实数k的值可能为 (写出一个 即可) 【技巧归纳】 由分布象限确定k的符号：一三象限>0，二四<0。若解析式为y=(m-1)x,则m-1>0得m>1。注意参数 也可能影响定义域或分母非零。解不等式，最终写出参数范围，可结合具体增减性。 【变式5】若反比例函数y=m x的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 【变式52】已知反比例函数y-k-3 （k为常数，且k≠3)的图象在第一、三象限。 (1)求k的取值范围： 2)若点(2,5)在该反比例函数的图象上，求k的值. 题型6已知反比例函数的增减性求参数 【例1】反比例函数y=《+ 的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是一 【例12】已知点A(x,y),Bk,)为反比例函数y=m x图象上的两点，当x<x<0时，片>为，则 m的取值范围为 【技巧归纳】 增减性：在每个象限内，y随x增大而减小→心0；增大而增大→<0。若解析式含参数，列不等式（如 Jy=(m-2)/x,减小则m-2>0→>2)。注意参数可能出现在分母或被开方数，需额外限制。 【变式61】已知点A(,y)B飞，)为反比例函数y=1-2m 图象上的两点，当x<0<:时，y>为： 则的取值范围为一 7/15 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 k-2 【变式62】已知反比例函数y= 1)若该函数经过(1,3)，求k的值： (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围. 题型7由反比例函数图象的对称性求点的坐标 5 【例13】己知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点 3 那么这两个函数图象必都经过另一个 点的坐标为 【例14】在平面直角坐标系0，中，若点（2,4)是西数y=6≠0)和y=化：0)的图象的一个交点， 则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 【技巧归纳】 反比例函数关于原点中心对称，若点(a,)在图象上，则(，-)也在。也关于直线y=x和y=-x对称。利用对 称性可求未知点坐标：如已知一点，关于原点对称得另一点；关于y=x对称则交换坐标。 【变式7-1】如图，直线y=mx(m<0)与双曲线y=,交于A,B两点，AH⊥y轴于点H,若。AHB的面积 为5，则k的值为 题型8比较反比例函数值或自变量的大小 9 【例15】已知点P(5,y）小、Q(k》、M(3,y)在反比例函数y=的图象上，并且x<5<0<5,则 、、y的大小关系为 (用<号表示) 8/15 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【例16】若y=-+ 图象上有三个点(3，则太小关系是() A.为<y2<y B.y3<y2<y C.y<乃<2 D.2<片<3 【技巧归纳】 先判断两点是否在同一象限，同象限用增减性比较；异象限时，若心0，负函数值<正函数值；若K0,正 函数值~负函数值。也可直接计算y值比较，注意x≠0。数形结合更直观。 k 【变式81】反比例函数y=k>0)的图象经过点(-2，a),（←1，b),(3,c),则a'6,c的大小关系为一 使式1蜘（反小(H为》小5在藏y-向象比锁g大个 (用“<”连接). 题型9判断反比例函数的图象和性质 【例1】关于反比例函数少= x,下列说法中正确的是() A.图象位于第一、三象限 B.图象与坐标轴没有交点 C.图象是一条直线 D.y的值随x的值增大而减小 【例18】关于反比例函数y= ,下列说法错误的是() A. 图像经过点(1,2) B.图像位于第一、三象限 C.当x>0时，y随x的增大而增大 D.当x>1时，0<y<2 【技巧归纳】 k定象限：k>0在一三，k<0在二四：k定增减：一三象限减，二四增。图象无限接近轴但不相交，关于原 点对称。k决定弯曲程度：越大，离轴越远。解题结合草图。 【变式1】己知反比例函数y(:≠0)的图象经过点（B,4),则下列描述正确的是() A.图象位于第二、四象限 B.y的值随x的值增大而增大 9/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.当y>0时，x<0 D.点(6,2)在该图象上 【变式92】已知反比例函数y-化<0，则下列结论不正确的是() A.反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B.图象关于原点(0,0)成中心对称 C.若(Xy1)、(X2y2)为函数图象上两点，且x<x2,则y<2 D.图象关于直线y=一x成轴对称 题型10反比例函数的图象和性质综合 2a+6 【例19】己知反比例函数y= （a为常数). (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当x>0时，y随x的值增大而减小，求a的取值范围. 【例20】山)画出函数y=x<0)的图象 ①列表： -6 -5 -4 -3 -2 … ②描点并连线. 6 2 6-5-43-2-10123456x 3 6 (2)从图象可以看出，曲线从左向右一（填“上升”或“下降”），当x由小变大时y=-(x<0) 随之 (填“变大”或“变小”) -6 3 … 10115 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 6 3 6 5 【技巧归纳】 综合应用：由一点坐标求k;利用面积定；由增减性、象限求参数：比较函数值：与一次函数综合求交 点、面积。常用数形结合，注意自变量的取值范围（实际意义或分母≠0），利用对称性简化。 4 【变式10-1】探究函数y=x+2的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究.请补充完 整： 4 4)函数y=x+2的自变量x的取值范围是 (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中m= 1 6 -4 -3 -1 0 2 3 0.8 2 4 4 0.8 )如图，根据(2)中表里各组对应值(：，)，请把图象补充完整 4 3 2 7654321 0123 ④若P(a,少，Q6,)是函数y=x+2图象上的两点，则a+h= 【变式10-2】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函 4 数性质并解决问题”的学习过程.结合已有的学习经验，探究函数y=一 +1的图象性质. I)列表：y与x的部分对应值如表，则a=」 b= -4 3 a 3 3 11/15 西学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3 2 -4-3-2-101234x -2 ②)描点、选线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数y=-4 x+1的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点一（填写点的坐标）成中心对称； 4 ②函数y= 一2的 x+的图象可由少=一的图象向—平移—个单位长度得到，想象函数片=-4 图象，直接写出≤2时，x的取值范围一。 04 过关检测 一、单选题 1.若反比例函数yk≠0)的图象经过点(3,4，则它的图象所在的象限为《） A.第一、三象限B.第一、四象限 C.第二、四象限 D.第二、三象限 2己知反比例函数y=m- x的图象位于第二、四象限，则m的值可能为（) A.0 B.5 C.2 D.5 6 3.下列关于函数)=一的说法正确的是（） A.函数图象位于第一、第三象限 B.当x<0时，y随x的增大而减小 C.当x>-2时，y>3 D.点(-2,3)和点(3，-2)都在函数图象上 4.已知点A(m,）,Bm+1,)都在反比例函数y=+ （k为常数)的图象上，当-1<m<0时，则下 12/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 列结论一定正确的是() A.乃>0>B.y>>0 C.y<0<2 D.0<y<2 5在同一直角坐标系中，函数y=:-k与=2站 x（k≠0)的图象可能是() 二、填空题 6己知反比例函数y= x,当x≤-1时，y的取值范围是 7.已知反比例函数y=1-2 （k为常数)，在各象限内y的值随，的值增大而增大，则人的值可以是 (只写一个) 8反比例函数y=2+3 的图象在第二、四象限，则点(-2，)在第」 象限. 9，已知点4a,2》B4.B在反比例图数y-车(A为市数，且k0的图家上，且。+力=2·则4的他 为 10.如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABC0的顶点A的坐标为(3，-2)，BC与反比例函数 y=《(x>0)的图象交于点C,D,则k的值为一· 13/15 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C D 三、解答题 1.已知反比例函数y=图象经过点A(2,3) m (1)求函数解析式： 2)判断点B(-3,-2)是否在该函数图象上； 3)当x>0时，y随x增大如何变化. 36 12.在平面直角坐标系中，点A(a,9),B(12,b)在反比例函数y=(x>0)的图象上. (1)求a、b的值： (2)若一次函数y=:+m(k≠0)的图象也经过点A和点B,求这个一次函数的表达式. 13.如图，在平面直角坐标系中，AB/x轴，反比例函数y=x（x>0)的图象经过B(m+1,3),C(m,6) 两点。 (1)求反比例函数的解析式。 (②)若AC=AB,求点A的坐标. 14.如图，将等腰直角三角板ABC(∠BAC=90)放在平面直角坐标系上，点A的坐标为(3,0)， AB=AC=5:点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数y=《(x<0)的图象上. X 14/15 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求直线AB的函数解析式. k (②)求反比例函数y=二(x<0)的解析式. 15,如图。点在反比例函数y=(x>0)的图象上，点6在反比例西数-（00)的图象上， ABLx轴于点M. M B (I)若点A的横坐标为3，BM=2AM,直接写出k的值一： (②)若AM:MB=2:3,求出此时k的值. 15115 第14讲 反比例函数的图象和性质 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 判断(画)反比例函数图象 题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式 题型3 判断反比例函数所在象限 题型4 判断反比例函数的增减性 题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围 题型6 已知反比例函数的增减性求参数 题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 题型9 判断反比例函数的图象和性质 题型10 反比例函数的图象和性质综合 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 双曲线、象限、增减性、k>0、k<0、每个象限内、数形结合。 1. 会用描点法画出反比例函数y = （k≠ 0）的图象，知道其形状是双曲线。 2. 掌握反比例函数图象的性质：当k > 0时，图象在一、三象限；当k < 0 时，图象在二、四象限。 3. 理解反比例函数的增减性：在每个象限内，y随x的增大而减小（k>0）或增大（k<0）。 4. 体会数形结合、分类讨论的数学思想，能根据图象比较函数值的大小。 学习重点:反比例函数图象的形状、位置及增减性，特别是k的正负对图象的影响。 学习难点:理解“在每个象限内”这一前提条件，并能正确运用增减性比较不同象限内函数值的大小。 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 反比例函数的图象与性质 1、图象：由两条曲线组成（双曲线） 2、性质： 函数 图象 所在象限 增减性 一、三象限 在同一象限内，随的增大而减小 二、四象限 在同一象限内，随的增大而增大 越大，函数图象越远离坐标原点 【易错提醒】 图象为双曲线，分两支。\(k>0\) 在一三象限，k<0在二四象限。每个象限内y随x增大而减小（或增大），注意“每个象限内”前提，勿跨象限比较。 即时即练1．关于反比例函数，下列说法正确的是（    ） A．图象在第一、三象限 B．图象与轴有一个交点 C．当时，随的增大而减小 D．如果点和点均在该函数的图象上，那么 【答案】D 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图像的性质.根据反比例函数解析式为，，即可得到反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，由此即可判断． 【详解】解：∵反比例函数解析式为y=，， ∴图象与轴无交点，故B选项不符合题意； ∴反比例函数图像经过二、四象限，且在每个象限内y随x增大而增大，故A选项不符合题意； ∴当时，y随x的增大而增大，故C选项不符合题意； ∴如果点和点均在该函数的图象上，那么， 故选：D． 2．已知反比例函数，为常数，． (1)若在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，求的取值范围； (2)若，试判断点，是否在这个函数图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在这个函数图象上，不在这个函数图象上，理由见解析 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、求反比例函数值 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质，是解题的关键： （1）根据在这个函数图象的每一支上，随的增大而增大，得到，进行求解即可； （2）根据反比例函数图象上的点的坐标满足函数解析式，进行判断即可． 【详解】（1）解：在函数的每一支上，随的增大而增大， ， ． （2）点在这个函数图象上，不在这个函数图象上， 理由：， ． 这个函数的表达式为， ∵， 点在这个函数图象上， 当时，， 点不在这个函数图象上． 3．如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8． (1)求的值； (2)若点，是该反比例函数图象上的两点，若，求的取值范围． 【答案】(1)8 (2)或 【知识点】根据图形面积求比例系数（解析式）、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】（1）先根据反比例函数k的几何意义，求出k，再反比例函数的图象位置确定k的值； （2）先写出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，然后分“点在第一象限”、“点在第三象限”两种情况，分别求出当时的取值范围． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，轴于点，轴于点，且矩形的面积为8， ∴， ， 反比例函数的图象位于第一、三象限， ， ； （2）， ∴反比例函数的表达式是， ∵点在该反比例函数的图象上， ， ， 点在第一象限． 分情况讨论： ①当点在第一象限时， 随的增大而减小， 当时，； ②当点在第三象限时，， ，符合题意，此时． 综上所述，的取值范围是或． 题型1 判断(画)反比例函数图象 【例1】函数的图像大致是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的定义及性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题关键． 根据函数解析式确定该函数是反比例函数，根据反比例函数的性质即可得答案． 【详解】解：∵函数解析式为， ∴该函数为反比例函数，图像为双曲线， ∵， ∴图像在一、三象限， ∴四个选项中，只有B选项符合题意， 故选：B． 【例2】函数的图象大致是（ ） A． B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的定义，反比例函数的图象与性质，如果两个变量之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数；其图像是由两支曲线组成的，当时，两支曲线分别位于第一、三象限内；当时，两支曲线分别位于第二、四象限内．解题的关键是熟练掌握反比例函数图像的相关知识．根据定义确定为反比例函数，由，即可得到答案． 【详解】解：根据定义，为反比例函数 ∵ ∴两支曲线分别位于第二、四象限内 故选A． 【技巧归纳】 图象为双曲线，两支关于原点对称。k>0时在一三象限，k<0在二四象限。画草图：列表取点（如x=±1,±2,±...），描点连线，渐近线为坐标轴。注意图象无限接近坐标轴但不相交。 【变式1-1】函数在平面直角坐标系中的图形可能是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质，由反比例函数解析式可得反比例函数的图象在第二、四象限，即可得解． 【详解】解：∵函数，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 故选：C． 【变式1-2】一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 题型2 已知反比例函数的图象判断其解析式 【例3】反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 【例4】如图所示，函数图象对应的函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象，了解反比例函数的图象与系数的关系是解答本题的关键． 根据函数的图象的形状和所处的位置判断即可． 【详解】解：函数的图象为双曲线，所以为反比例函数的图象， ∵图象位于第二、四象限， ∴对应的函数的解析式可能是． 故选：C． 【技巧归纳】 根据图象所在象限判断k的正负：一三象限k>0，二四k<0。取图象上一点坐标（非原点），代入y=k/x得k=xy。也可利用对称性，或由与坐标轴所围矩形面积|k|确定解析式。注意双曲线渐近线。 【变式2-1】如图所示，该函数表达式可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】本题考查了反比例函数的图象．熟练掌握反比例函数的图象是解题的关键，由图象可知，反比例函数，然后对各选项进行判断作答即可． 【详解】解：由图象可知，反比例函数， A中不是反比例函数，故不符合要求； B中是反比例函数，但不经过第二、第四象限，故不符合要求； C中是反比例函数，经过第二、第四象限，故符合要求； D中不是反比例函数，故不符合要求； 故选：C． 【变式2-2】如图所示，其函数解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】本题考查的是反比例函数的图象，根据反比例函数的图象进行解答即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象的两个分支分别位于第一、三象限， ∴， ∴可能是． 故选：B． 题型3 判断反比例函数所在象限 【例5】反比例函数的图像在第 象限，经过点（， ）． 【答案】 二、四 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，，当时，图像在一、三象限，当时，图像在二、四象限，正确掌握该性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质解答即可． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴其图像在二，四象限． 将代入得，， ∴经过点． 故答案为：二、四；． 【例6】反比例函数①、②、③、④的图像，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ． 【答案】 ①④ ②③ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查反比例函数的图像与性质，熟练掌握反比例函数的图像与性质是解题的关键；由反比例函数的性质可知：当时，图象分别位于第一、三象限；当时，图象分别位于第二、四象限，，然后问题可求解． 【详解】解：①，图像在第一、三象限； ②，图像在第二、四象限； ③，图像在第二、四象限； ④，，，图像在第一、三象限． 答案是∶ ①④；②③． 【技巧归纳】 由k符号决定：k>0，图象在一三象限；k<0，在二四象限。注意|x|和|y|越大，点离轴越远。k绝对值大小不影响象限，只影响弯曲程度。实际问题中根据变量乘积正负判断。 【变式3-1】反比例函数①、②、③、④的图象中，在第一、三象限的是 ，在第二、四象限的是 ； 【答案】 ①②④ ③ 【知识点】判断反比例函数图象所在象限 【分析】此题考查了反比例函数的图象和性质，对于反比例函数来说，当时，反比例函数图象分别位于第一、三象限，当时，反比例函数图象分别位于第二、四象限．据此进行判断即可． 【详解】解：反比例函数①、②、③即、④的图象中， ∵， ∴在第一、三象限的是①②④，在第二、四象限的是③； 故答案为：①②④，③ 【变式3-2】关于的方程无解，则反比例函数的图象在第 象限． 【答案】一、三 【知识点】根据一元二次方程根的情况求参数、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，反比例函数的性质．根据一元二次方程根的判别式，求得，再判断反比例函数图象所在象限即可． 【详解】解：∵关于的方程无解， ， 解得：， ∴反比例函数图象在第一，三象限， 故答案为：一，三． 题型4 判断反比例函数的增减性 【例7】在函数中，函数值随的增大而 ． 【答案】减小 【分析】本题考查的是反比例函数的性质，根据在每一象限内，函数值随的增大而减小可得答案． 【详解】解：在函数中，函数值随的增大而减小， 故答案为：减小 【例8】函数中，在每个象限内，y随x的增大而 ． 【答案】增大 【分析】本题主要考查了反比例函数的增减性，解题的关键在于熟知对于反比例函数，当时，图象在每一象限内，y随x增大而减小，当时，图象在每一象限内，y随x增大而增大．据此即可求解． 【详解】解：∵函数中，， ∴函数图象的两个分支分别位于二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大． 故答案为：增大． 【技巧归纳】 在每个象限内：k>0时，y随x增大而减小；k<0时，y随x增大而增大。注意“在每个象限内”前提，跨象限不能直接比较。比较函数值时，若两点同象限用增减性，异象限则负数<正数（k>0）。 【变式4-1】若点在反比例函数的图象上，在图象的每一支上，随的增大而 ．（填“增大”或“减小”） 【答案】减小 【分析】本题考查了待定系数法求解析式，根据解析式判断反比例函数的增减性，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 待定系数法求反比例函数解析式可得的值，根据即可得增减性． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 即； 又∵ ∴在图象的每一支上，随的增大而减小． 故答案为：减小． 【变式4-2】下列函数：①；②；③；④；⑤．随的增大而减小的是 （填序号）． 【答案】①④ 【分析】本题综合考查一次函数、反比例函数、正比例函数的增减性（单调性），分别根据一次函数的性质、反比例函数及二次函数的性质对各小题进行逐一解答即可． 【详解】解：①，是一次函数，，故y随着x增大而减小，故符合题意； ②，是正比例函数，，故y随着x增大而增大，故不符合题意； ③即，是反比例函数，，在一、三象限内，y随x的增大而减小，故不符合题意； ④是反比例函数，，在第三象限内，y随x的增大而减小，故符合题意； ⑤，是反比例函数，，在二、四象限内，y随x的增大而增大，故不符合题意． 故答案为：①④． 题型5 已知反比例函数分布的象限求参数范围 【例9】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m= ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义、反比例函数的性质根据反比例函数的定义和图像经过的象限确定即可确定m的值． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴，即， ∵函数图像经过第二、四象限， ∴，即， ∴． 故答案为． 【例10】若反比例函数的图象位于第一、三象限，则实数的值可能为 （写出一个即可）． 【答案】6（满足即可） 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，；当时，图象在二、四象限． 【详解】解：∵反比例函数的图象位于第一、三象限， ∴， ∴， ∴符合题意的k的值可以为6， 故答案为：6（满足即可）． 【技巧归纳】 由分布象限确定k的符号：一三象限k>0，二四k<0。若解析式为y=(m-1)/x，则m-1>0得m>1。注意参数也可能影响定义域或分母非零。解不等式，最终写出参数范围，可结合具体增减性。 【变式5-1】若反比例函数的图象经过第二、四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，反比例函数：当时，图象位于第一、三象限；当时，图象位于第二、四象限． 【详解】解：由题意得， 解得． 故答案为：. 【变式5-2】已知反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限． (1)求的取值范围； (2)若点在该反比例函数的图象上，求的值． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了函数图象与系数的关系，反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，掌握函数图象与系数的关系是解题的关键． （1）由反比例函数图象和性质尽快求出k的取值范围； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求出k的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数（为常数，且）的图象在第一、三象限， ∴， 解得，； （2）∵点在该反比例函数的图象上， ∴， 解得，． 题型6 已知反比例函数的增减性求参数 【例11】反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小，则k的取值范围是 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数图象在每个象限内的函数值y随自变量x的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内的函数值y随x的增大而减小， ∴， 解得， 故答案为：． 【例12】已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，，则的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【详解】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，根据反比例函数的性质，可以得到关于m的不等式，从而可以求得m的取值范围． 【点睛】解：∵反比例函数的图象上两点，，当时，， ∴， 解得， 故答案为：． 【技巧归纳】 增减性：在每个象限内，y随x增大而减小→k>0；增大而增大→k<0。若解析式含参数，列不等式（如y=(m-2)/x，减小则m-2>0→m>2）。注意参数可能出现在分母或被开方数，需额外限制。 【变式6-1】已知点为反比例函数图象上的两点，当时，，则m的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数 【分析】根据，且，得到，解答即可． 本题考查了反比例函数图象的性质，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据，且， ∴即， 解得， 故答案为：． 【变式6-2】已知反比例函数． (1)若该函数经过，求k的值； (2)若该函数图象的每一支上，y都随x的增大而减小，求k的取值范围． 【答案】(1) (2) 【知识点】求反比例函数解析式、已知反比例函数的增减性求参数 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的坐标特征，反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用待定系数法求解； （2）构建不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意，把代入解析式， 得，， 解得，； （2）解：函数图象的每一支，y随x的增大而减小， ， 解得，． 题型7 由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【例13】已知正比例函数图像与反比例函数图像都经过点，那么这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的性质、由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数图像，反比例函数图像的性质等知识．熟练掌握正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称是解题的关键． 根据正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称作答即可． 【详解】解：∵正比例函数图像与反比例函数图像的两个交点关于原点对称， ∴这两个函数图象必都经过另一个点的坐标为， 故答案为：． 【例14】在平面直角坐标系中，若点是函数和的图象的一个交点，则这两个函数图象的另一个交点的坐标是 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数的交点问题，根据正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称，即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数和反比例函数的图象的两个交点关于原点对称， ∴由一个交点的坐标是，可得另一个交点的坐标是， 故答案为：． 【技巧归纳】 反比例函数关于原点中心对称，若点(a,b)在图象上，则(-a,-b)也在。也关于直线y=x和y=-x对称。利用对称性可求未知点坐标：如已知一点，关于原点对称得另一点；关于y=x对称则交换坐标。 【变式7-1】如图，直线与双曲线交于A，B两点，轴于点H，若的面积为5，则k的值为 ． 【答案】 【知识点】由反比例函数图象的对称性求点的坐标、根据图形面积求比例系数（解析式） 【分析】此题主要考查反比例函数的图像和性质，直接根据反比例函数的对称性和k的几何意义即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的对称性可知， ∵是面积为5， ∴的面积是2.5， ∴， ∵双曲线位于二、四象限， ∴k＝． 故答案为：. 题型8 比较反比例函数值或自变量的大小 【例15】已知点、、在反比例函数的图象上，并且，则、、的大小关系为 （用<号表示） 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟悉掌握反比例函数的增减性是解题关键． 在反比例函数中，，根据反比例函数的增减性即可确定． 【详解】∵在反比例函数中，， ∴在每一个象限内，随着增大而增大， ∵， ∴、两点在第二象限，在第三象限， ∴，， ∴． 故答案为：． 【例16】若图象上有三个点，则大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大， ∵点在反比例函数图象上，且， ∴； 故选C． 【技巧归纳】 先判断两点是否在同一象限，同象限用增减性比较；异象限时，若k>0，负函数值<正函数值；若k<0，正函数值<负函数值。也可直接计算y值比较，注意x≠0。数形结合更直观。 【变式8-1】反比例函数的图象经过点，，，则，，的大小关系为 ． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，根据反比例函数图象所在象限以及增减性判断即可． 【详解】解：由题意，反比例函数的图象位于第一、三象限，且在每一象限内，y随x的增大而减小， ∵反比例函数的图象经过点，，，， ∴， 故答案为：． 【变式8-2】已知点，，在函数的图象上，比较，，大小 （用“”连接）． 【答案】 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征．函数图像上点坐标都满足该函数解析式．把点的坐标分别代入函数解析式，代入函数解析式，求得、、的值，然后比较它们的大小即可． 【详解】解：点，，在函数的图象上， ，， 故答案为：． 题型9 判断反比例函数的图象和性质 【例17】关于反比例函数，下列说法中正确的是（    ） A．图象位于第一、三象限 B．图象与坐标轴没有交点 C．图象是一条直线 D．的值随的值增大而减小 【答案】B 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 根据反比例函数解析式得到反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大，由此即可求解． 【详解】解：反比例函数， ∵， ∴反比例函数图象是双曲线，经过第二、四象限，与坐标轴没有交点，每个象限随的增大而增大， ∴只有B选项符合题意， 故选：B ． 【例18】关于反比例函数 ，下列说法错误的是（   ） A．图像经过点 B．图像位于第一、三象限 C．当时，y随x的增大而增大 D．当时， 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解并掌握反比例函数的图像及性质是解题关键．根据题目中的函数解析式和反比例函数的性质，可以判断各个选项中的说法是否正确，从而可以解答本题． 【详解】解：对于反比例函数，当时，可有， 即图像经过点， 因为，所以图该函数像位于第一、三象限，当时，y随x的增大而减小， 当时，， 故选项A、B、D正确，不符合题意，选项C错误，符合题意． 故选：C． 【技巧归纳】 k定象限：k>0在一三，k<0在二四；k定增减：一三象限减，二四增。图象无限接近轴但不相交，关于原点对称。|k|决定弯曲程度：|k|越大，离轴越远。解题结合草图。 【变式9-1】已知反比例函数的图象经过点，则下列描述正确的是（   ） A．图象位于第二、四象限 B．y的值随x的值增大而增大 C．当时， D．点在该图象上 【答案】D 【知识点】求反比例函数解析式、判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质， 先求出关系式，再根据反比例函数图象的性质逐个分析即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数的关系式为. 所以反比例函数的图象位于第一，三象限；在每一个象限内，函数值y随着x的增大而减小；当时，；当时，，可知点在反比例函数的图象上， 所以正确的是D， 故选：D. 【变式9-2】已知反比例函数，则下列结论不正确的是（   ） A．反比例函数的图象分别位于第二、四象限 B．图象关于原点成中心对称 C．若、为函数图象上两点，且则 D．图象关于直线成轴对称 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断反比例函数图象所在象限、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质对四个选项进行逐一分析即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：、∵反比例函数， ∴反比例函数的图象分别位于第二、四象限，原选项正确，不符合题意； 、图象关于原点成中心对称，原选项正确，不符合题意； 、若、为函数图象上两点，当，则，当，则；当，则，原选项不正确，符合题意； 、图象关于直线成轴对称，原选项正确，不符合题意； 故选：． 题型10 反比例函数的图象和性质综合 【例19】已知反比例函数（为常数）． (1)若该反比例函数的图象位于第二、四象限，求的取值范围； (2)当时，随的值增大而减小，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键． （1）由反比例函数的图象位于第二、四象限，得到，即可求解； （2）当时，y随x的值增大而减小，得到，即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ， 解得：， ∴a的取值范围是：； （2）解：∵当时，y随x的值增大而减小， ， 解得：， ∴a的取值范围是：． 【例20】（1）画出函数的图象． ①列表： x … … y … … ②描点并连线． （2）从图象可以看出，曲线从左向右______（填“上升”或“下降”），当由小变大时随之______．（填“变大”或“变小”） 【答案】（1）①见解析；②见解析；（2）上升；变大 【知识点】判断反比例函数的增减性、判断（画）反比例函数图象 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质，画反比例函数图象，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质． （1）先列表，然后描点，最后连线即可得出反比例函数图象； （2）根据反比例函数的性质进行求解即可． 【详解】解：（1）列表： x … … y … 1 2 3 6 … 函数图象如答图： （2）从图象可以看出，曲线从左向右上升，当x由小变大时随之变大． 故答案为：上升；变大． 【技巧归纳】 综合应用：由一点坐标求k；利用面积定k；由增减性、象限求参数；比较函数值；与一次函数综合求交点、面积。常用数形结合，注意自变量的取值范围（实际意义或分母≠0），利用对称性简化。 【变式10-1】探究函数的图象与性质，小安根据学习函数的经验，对问题进行了探究．请补充完整： (1)函数的自变量x的取值范围是______； (2)取几组y与x的对应值，填写在表中，其中______； x … 0 2 3 … y … 1 2 4 4 m 1 … (3)如图，根据（2）中表里各组对应值，请把图象补充完整； (4)若是函数图象上的两点，则______． 【答案】(1) (2)2 (3)见解析 (4) 【分析】（1）只需要求出分母不为0时自变量的取值范围即可； （2）把代入函数解析式求出y的值即可； （3）先描点，再连线，画出函数图象即可； （4）根据函数图象可得P、Q关于直线对称，由此可得答案． 【详解】（1）解：由题意得，函数的自变量x的取值范围是，即， 故答案为：； （2）解：在中，当时，， ∴， 故答案为：2； （3）解：如图所示，即为所求； （4）解：由函数图象可知，函数的函数图象关于直线对称， ∵是函数图象上的两点， ∴P、Q关于直线对称， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式10-2】学习函数时，我们经历了“利用描点法画出函数图象、利用函数图象分析函数特征、概括函数性质并解决问题”的学习过程．结合已有的学习经验，探究函数的图象性质． (1)列表：与的部分对应值如表，则_____，_____； ．．． ．．． 0 1 2 3 ．．． ．．． 4 ．．． ．．． (2)描点、连线：根据上表中的数据，在平面直角坐标系中画出函数的图象； (3)根据函数图象，发现： ①该函数图象关于点_____（填写点的坐标）成中心对称； ②函数的图象可由的图象向_____平移_____个单位长度得到，想象函数的图象，直接写出时，的取值范围_____． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)①；②左，1，或 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，描点法画函数图象，函数图象的平移规律，与不等式的关系等知识点． （1）将，分别代入，即可求解； （2）由函数图象平移规律可求解该函数图象的对称中心，以及函数平移的平移方式，的解集转化为的图象在直线下方时，对应的的取值范围，再结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，； 当时，， 故答案为：，； （2）解：作图如下： （3）解：∵函数的图象可由的图象向左平移1个单位长度得到，而 的对称中心为， ∴平移后的函数图象的对称中心为， 如图： 当时，， 解得：， ∴， 即， ∴， ∴不等式的解集为函数的图象在直线下方时，对应的的取值范围， ∵对称中心为， ∴由函数图象可得：不等式的解集为或， ∴时，的取值范围或， 故答案为：①；②左，1，或． 一、单选题 1．若反比例函数的图象经过点，则它的图象所在的象限为（    ） A．第一、三象限 B．第一、四象限 C．第二、四象限 D．第二、三象限 【答案】C 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点 ∴ ∵ ∴该反比例函数的图象位于第二、四象限 2．已知反比例函数的图象位于第二、四象限，则的值可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据反比例函数图象所在象限得到比例系数的取值范围，再结合选项判断即可得到答案 【详解】解：∵ 反比例函数的图象位于第二、四象限 ∴ 反比例函数的比例系数满足 解得 ∵，选项中只有，其余选项均满足 ∴ m的值可能为0 3．下列关于函数的说法正确的是（     ） A．函数图象位于第一、第三象限 B．当时，随的增大而减小 C．当时， D．点和点都在函数图象上 【答案】D 【分析】根据反比例函数的图象与性质，结合点在函数图象上的判断方法，逐一判断各选项即可. 【详解】解：对于函数，， 函数图象位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大； 对A，函数图象位于第二、四象限，不在第一、三象限，A错误； 对B，当时，随的增大而增大，不是减小，B错误； 对C，当时，包含，此时，因此不成立，C错误； 对D，将代入解析式，得， 点在函数图象上； 将代入解析式，得， 点在函数图象上，D正确. 4．已知点，都在反比例函数（为常数）的图象上，当时，则下列结论一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先判断反比例函数比例系数的符号，确定函数图象所在象限和增减性，再结合m的范围判断两个点的位置，进而得到和的符号关系． 【详解】解：∵对任意实数，都有， ∴， ∴反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵，可得， ∴点在第三象限，点在第一象限， ∴， ∴， 故选C． 5．在同一直角坐标系中，函数与（）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分两种情况当或时，函数图象所经过的象限进行判断即可. 【详解】解：当时，的图象经过一、三、四象限，的图象经过一、三象限，B符合题意； 当时，的图象经过一、二、四象限，的图象经过二、四象限，不符合题意. 二、填空题 6．已知反比例函数，当时，的取值范围是_______． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的性质．根据反比例函数的系数确定出增减性，然后结合的范围即可求解的取值范围． 【详解】解：将代入，得 ． ， 反比例函数的图象位于第二，四象限，在每个象限内随的增大而增大． 当时，函数图象位于第二象限，此时， 的取值范围是． 7．已知反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大，则的值可以是_____．（只写一个） 【答案】（大于的数均可） 【分析】本题考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质，当时，在各象限内随的增大而增大是解题关键，根据题意列出关于的不等式，求解得到的取值范围，任取范围内一个值即可． 【详解】解：反比例函数（为常数），在各象限内的值随的值增大而增大， ，解得：， 的值可以是（大于的数均可）． 8．反比例函数的图象在第二、四象限，则点在第________象限． 【答案】 三 【分析】根据反比例函数图象所在象限确定比例系数的符号，求出的取值范围，再根据点的横纵坐标符号判断点所在象限. 【详解】解：反比例函数的图象在第二、四象限， ， 解得， 点的横坐标，纵坐标， 点位于第三象限. 9．已知点、在反比例函数（为常数，且）的图象上，且，则的值为______． 【答案】 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点、的坐标代入反比例函数解析式，得到、与的关系，结合已知，即可求出的值． 【详解】解：∵点，在反比例函数的图象上， ∴，， ∴， 化简得， 把代入得， 解得， 把代入得． 10．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点A的坐标为，与反比例函数的图象交于点C，D，则k的值为______． 【答案】6 【分析】分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E，证明得到，则，可知k的值． 【详解】解：如图所示，分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为F、E， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴． 三、解答题 11．已知反比例函数图象经过点． (1)求函数解析式； (2)判断点是否在该函数图象上； (3)当时，随增大如何变化． 【答案】(1) (2)点在该函数图象上 (3)当时，随增大而减小 【分析】（1）利用待定系数法求出的值即可； （2）利用函数图象上点的坐标特点判断即可； （3）利用反比例函数的性质判断即可． 【详解】（1）解：把点代入得，解得， 反比例函数解析式为； （2）解：当时，， 点在该函数图象上； （3）解：， 当时，随增大而减小． 12．在平面直角坐标系中，点，在反比例函数的图象上． (1)求a、b的值； (2)若一次函数的图象也经过点A和点B，求这个一次函数的表达式． 【答案】(1)4，3 (2) 【分析】（1）待定系数法求解即可； （2）待定系数法求解即可． 【详解】（1）解：∵点A，B都在反比例函数的图象上， ∴把，代入，得， 解得， 把，代入，得， 解得； （2）解：由（1）得点，， 把，和，代入， 得 解得 ∴这个一次函数的表达式为． 13．如图，在平面直角坐标系中，轴，反比例函数（）的图象经过，两点． (1)求反比例函数的解析式． (2)若，求点的坐标． 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 【分析】（1）将、两点坐标代入反比例函数解析，利用值相等列方程求出，进而求解即可； （2）由 （1）得 、坐标，由 轴设点坐标，然后分别表示、的长度，根据列方程即可求得点A的坐标． 【详解】（1）解： 反比例函数 经过 ，， ， 解得， ， 反比例函数的解析式为； （2）解：由（1） 得 ， ，． 轴， 点纵坐标为． 如图，过点C作于点D，设点A的坐标为，则 ，． ， ∴， ， 解得， 点的坐标为 ． 14．如图，将等腰直角三角板放在平面直角坐标系上，点A的坐标为，，点B在y轴的正半轴上，点C在反比例函数的图象上． (1)求直线的函数解析式． (2)求反比例函数的解析式． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴于点，证明，求出点坐标，进而求出函数解析式即可. 【详解】（1）解：∵点A的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得， ∴； （2）解：作轴于点， 则， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴． 15．如图，点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，轴于点． (1)若点A的横坐标为3，，直接写出的值______； (2)若，求出此时的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点的横坐标求出其纵坐标，结合已知条件即可求出点的横纵坐标，从而求出值． （2）利用点和点与各自函数的关系可求出其横纵坐标的乘积，将其转化成线段关系，利用三角形的面积公式，表示出和的面积，利用等底关系和结合，将其面积比转化为线段比，即可求出的值． 【详解】（1）解：横坐标是3，在反比例函数上， 的纵坐标为， ， ， 在第四象限， 的纵坐标为， ， 和的横坐标相等， 的横坐标为3， ， ． （2）解：连接，，如图所示， 轴，在反比例函数上， ， ， ， 同理，， ， ， ． ， ． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $