20.2勾股定理的逆定理及其应用 人教版2026年八升九暑期练习

**基本信息** 聚焦勾股定理逆定理的判定与应用，通过基础辨析、网格情境、实际问题构建从概念到综合的逻辑链条，渗透几何直观与应用意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|单选1-2、填空10|三边关系验证直角三角形|逆定理与勾股定理的互逆推导| |网格应用|单选3-5、填空11|格点三角形直角判定与距离计算|几何直观下空间观念的建立| |综合计算与证明|单选6-9、填空12-13、解答14-18|多边长组合、面积求解、实际情境应用|逆定理在复杂图形与现实问题中的迁移应用|

20.2勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1．以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】判断能否构成直角三角形，只需验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； B、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； C、最长边为，∵，，∴，不能构成直角三角形，不符合题意； D、最长边为，∵，，∴，能构成直角三角形，符合题意． 2．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，找出不能判定为直角三角形的选项． 【详解】解：A、 ，且， ，得， 是直角三角形，不符合要求； B 、，设，，， 则，解得， 最大角， 不是直角三角形，符合要求； C 、，整理得，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合要求； D 、，设，，， 则，符合勾股定理逆定理， 是直角三角形，不符合要求． 3．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， 的顶点A，B，C均正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 【答案】C 【分析】利用网格，根据勾股定理计算三边长度的平方，利用勾股定理逆定理判断三角形形状，进而计算面积和点到直线的距离，逐一排查选项． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ，故A选项结论正确； ， 是直角三角形，且，故B选项结论正确； ∴ ，故C选项结论错误； 设点 到直线的距离为 ， ，即， ，故D选项结论正确． 4．在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理、勾股定理的逆定理即可判断． 【详解】解：A．∵，，， ∴三角形不是直角三角形； B．∵，，，， ∴三角形不是直角三角形； C．∵，，，， ∴三角形是直角三角形； D．∵，，，, ∴三角形不是直角三角形． 5．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】结合网格的性质和直角三角形的判定找到对应点即可． 【详解】解：如图，满足条件的点C共有4个， ． 6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】找出能构成直角三角形的三组数，并确定公共边，即可解答． 【详解】解：， 长度为，24，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； ， 长度为15，20，25的三根木棒能构成直角三角形，且25为斜边； 共有五根木棒， 这两个直角三角形共用长度为25的木棒，即两个直角三角形共用斜边25组成，且直角边分别为，24和15，20，符合题意的只有C． 7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 8．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 【答案】B 【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据草坪的面积，即可求解． 【详解】解：，米，米， 米， 米，米， ， ， 这块草坪的面积为平方米， 故选：B． 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 【答案】D 【分析】在边上取点G使，连接，过点A作于点H，证明，可得，从而得到，当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长，再根据勾股定理的逆定理可得为直角三角形，且，然后证明，，再根据，即可求解． 【详解】解：如图，在边上取点G使，连接，过点A作于点H， ∵的平分线交于点D， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 当点A，E，G三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 在中，，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 则的最小值为 二、填空题 10．若三角形的三边长为a、b、c，且满足，则该三角形的面积为________． 【答案】6 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定的值，再利用非负数的性质求出的值，最后根据勾股定理的逆定理判断三角形形状，计算三角形面积即可. 【详解】解：由题意，，解得， 将代入原式得， ∴，， 解得，， ， 该三角形是直角三角形，直角边长为和， 面积为. 11．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 【答案】/45度 【分析】将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至，可得，证明为等腰直角三角形即可解答． 【详解】解：如图，将线段向右平移1个单位长度，向上平移1个单位长度，至， 则点的对应点为点，点的对应点为，， ， ，，， ，， 为等腰直角三角形， ． 12．如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理得出，再由勾股定理逆定理判断出，最后再由计算即可得解． 【详解】解：如图，连接． 在中，， ， 在中，， ， ∴这块菜地的面积为 13．青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元． 【答案】 7200 【分析】连接，在中，利用勾股定理求得；在中，利用勾股定理逆定理判定是直角三角形；然后利用直角三角形的面积公式求得两个直角三角形的面积，求其和；最后由面积单价总额计算这块地种植草皮需要投入的资金． 【详解】解：连接， 在中，，，， 则， 在中，，，， ， ∴． ∴是直角三角形，且． ∴， 即． ∴（元）． 则这块地种植草皮需要投入7200元． 三、解答题 14．如图，点O在的内部，且，，，，． (1)求的长． (2)求证：是直角三角形． 【答案】(1) (2)证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． 【详解】（1）解：在中，，， 由勾股定理得． （2）略 15．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 【答案】(1)证明：∵是的中线， ∴， 又∵， ∴； (2) (3)6 【分析】（1）利用即可证明； （2）可证明，得到；再利用勾股定理求出的长即可得到答案； （3）由全等三角形的性质得到，则可证明，据此根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； 在中，由勾股定理得， ∵是的中线， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴ ． 16．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 【答案】(1)线段的长度为 (2)该车符合安全标准， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴，即该车符合安全标准． 【分析】通过勾股定理求出的长度，再利用勾股定理的逆定理判断与是否垂直即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴在中，． （2）略 17．综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 【答案】(1)平方米 (2)甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 (3) 【分析】（1）根据勾股定理求得，进而根据勾股定理证明是直角三角形，且，再根据三角形的面积公式进行计算，将两个三角形的面积相加即可求解； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意列出分式方程，解方程，即可求解． （3）根据菜苗的实际成本公式计算，再比较大小，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，， ∴米 ∵米，米， ∴ ∴ ∴是直角三角形，且 ∴平方米； （2）设甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株，根据题意得， 解得：，经检验是原方程的解，且符合题意， ∴乙菜苗的单价为元， 答：甲菜苗的单价为元每株，乙菜苗的单价为元每株 （3）甲种菜苗的数量为（株），成活数为（株） 乙种菜苗的数量为（株），成活数为（株） ∵ ∴ 18．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹）    【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    【答案】问题初探：（1）；（2）；（3）见解析；问题再探：见解析；问题拓展：9 【分析】本题是四边形的综合题，考查了勾股定理的证明，三角形的面积的计算，全等三角形的性质． 问题初探：（1）根据全等三角形的性质得到，求得，得到，根据垂直的定义得到； （2）根据三角形的面积公式即可得到结论； （3）根据三角形的面积和梯形的面积公式用两种方法求得四边形的面积，于是得到结论． 问题再探：如图，过点P作直线于点F交直线a于点E，截取，，连接即可； 问题拓展：过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，证明，得，根据勾股定理得，然后代入三角形面积公式即可解决问题． 【详解】解：问题初探：（1）； 证明：， ， ， ， ， ， ， 故答案为：；, （2）∵， ， 故答案为：；, （3）证明：∵四边形的面积 ， ∴四边形的面积 ， ∴， 即． 问题再探：解：如图，即为所求；    问题拓展：解：如图，过点B作交延长线于点E，过点C作于点D，     ， 是等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， 的面积 ． 故答案为：9． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 20.2勾股定理的逆定理及其应用 一、单选题 1．以下列各组数据为边长，能构成直角三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断它是直角三角形的是（     ） A． B． C． D． 3．在如图所示的网格中，小正方形的边长均为1， 的顶点A，B，C均正方形格点上，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D．点A到直线的距离是2 4．在正方形网格中画格点三角形，下列是直角三角形的是（    ） A． B． C． D． 5．在如图所示的的方格图中，点A和点B均为图中格点．点C也在格点上，满足为以为斜边的直角三角形．这样的点C有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 6．五根小木棒，其长度分别为7，15，20，24，25，现将它们摆成两个直角三角形，如图，其中正确的是（） A． B． C． D． 7．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 8．如图，公园里有一块草坪，已知米，米，米，米，且，这块草坪的面积是（     ） A．平方米 B．平方米 C．平方米 D．平方米 9．如图，在中，的平分线交于点D，E为线段上一动点，F为边上一动点，若，，，则的最小值为（     ） A．4 B． C．10 D． 二、填空题 10．若三角形的三边长为a、b、c，且满足，则该三角形的面积为________． 11．如图所示，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点，点，，，均是格点，则的度数为_____． 12．如图所示的一块菜地，，，，，，这块菜地的面积为________． 13．青山区加大绿化力度，和平公园有一块如图所示的四边形空地，现计划在空地上种植草皮．经测量，，，，，若每平方米草皮需要200元．则这块地种植草皮需要投入______元． 三、解答题 14．如图，点O在的内部，且，，，，． (1)求的长． (2)求证：是直角三角形． 15．如图，中，，，边上的中线，延长到点E，使得，连接． (1)求证：； (2)求的长； (3)求的面积． 16．不少家长在选择婴儿车时，不仅关注其舒适性和便捷性，更关注婴儿车的安全性．图1是某品牌手推车，图2为其简化结构示意图．现测得，，，，其中与之间由一个固定为的零件连接（即） (1)求线段的长度； (2)安全标准规定：需满足，请判断该车是否符合安全标准，并说明理由． 17．综合与实践 背景 某校建设劳动教育基地，在校园内开辟了一块四边形空地，用来种植甲、乙两种蔬菜．如图，实践小组的同学沿着小路（忽略小路宽度）把空地分成两个区域，其中Ⅰ区域（）种植甲种蔬菜，Ⅱ区域（）种植乙种蔬菜． 素材一 用测量工具测得：米，米，米，米，； 素材二 用元购进甲种菜苗，元购进乙种菜苗，且乙种菜苗的单价比甲种菜苗的单价多，乙种菜苗数量比甲种菜苗数量的倍多株； 素材三 经过一段时间的培育，甲种菜苗成活率为，乙种菜苗成活率为． 完成以下任务 (1)任务一：求四边形空地的面积； (2)任务二：求购进甲、乙两种菜苗的单价； (3)任务三：从成活率看，菜苗实际成本，比较大小：________（填“”“”或“”） 18．【问题初探】勾股定理神奇而美妙，它的证法多种多样，在学习了教材中介绍的拼图证法以后，小华突发灵感，给出了如图①的拼图：两个全等的直角三角板和直角三角板，顶点F在边上，顶点C、D重合，连接．设交于点G．，，，．请你回答以下问题：    （1）与的位置关系为______． （2）填空：______（用含c的代数式表示）． （3）请尝试利用此图形证明勾股定理． 【问题再探】平移直角三角板，使得顶点B、D重合，这就是大家熟悉的“K型图”，如图②，此时三角形是一个等腰直角三角形． 请你利用以上信息解决以下问题： 已知直线及点P，作等腰直角，使得点A、B分别在直线a、b上且．（尺规作图，保留作图痕迹） 【问题拓展】请你利用以上信息解决以下问题： 已知中，，，，则的面积______．    第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $