1.4.2 一元二次不等式及其解法新授课2026-2027学年高一上学期必修一

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的定义、解集及解法，通过思考问题导入，衔接一元二次函数与方程，构建“三个二次”关系的学习支架，帮助学生梳理知识脉络。 其亮点在于用表格直观呈现Δ不同情况的解集，结合含参数不等式分类讨论等题型探究，培养数学思维（推理与运算）和数学语言（规范表达）。实例丰富，助力学生掌握解法，教师可高效开展分层教学。

§4　一元二次函数与一元二次不等式 4.2　一元二次不等式及其解法 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　一元二次不等式 (1)定义：形如ax2＋bx＋c＞0，或ax2＋bx＋c＜0，或ax2＋bx＋c≥0，或ax2＋bx＋c≤0(其中x为未知数，a，b，c均为常数，且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式． (2)一元二次不等式的解集：使一元二次不等式________的所有__________的值组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集． 成立　 知识点1 未知数　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 提示：(1)不是，一元二次不等式一定为整式不等式． (2)不可以，若a＝0，就不是二次不等式． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系 知识点2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：如何用图解法解一元二次不等式？ 提示：图解法解一元二次不等式的一般步骤： (1)将原不等式化为标准形式ax2＋bx＋c＞0或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)； (2)求Δ＝b2－4ac； (3)若Δ＜0，根据二次函数的图象直接写出解集； (4)若Δ≥0，求出对应方程的根，画出对应二次函数的图象，写出解集． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)mx2－5x＜0是一元二次不等式． (　　) (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实数根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为R． (　　) (3)设二次方程f(x)＝0的两解为x1，x2，且x1＜x2，则一元二次不等式f(x)＞0的解集不可能为{x|x1＜x＜x2}． (　　) (4)不等式ax2＋bx＋c≤0(a≠0)或ax2＋bx＋c≥0(a≠0)的解集为空集，则方程ax2＋bx＋c＝0无实根． (　　) ×　 ×　 ×　 √　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式． (2)若方程ax2＋bx＋c＝0(a＜0)没有实根，则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为∅． (3)当二次项系数小于0时，不等式f(x)＞0的解集为{x|x1＜x＜x2}． (4)当Δ＜0时，一元二次不等式的解集为空集，此时方程无实根． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD）   2．不等式2x≤x2＋1的解集为 (　　) A．∅　　　　 B．R C．{x|x≠1}　 D．{x|x＞1或x＜－1} [解析]　将不等式2x≤x2＋1化为x2－2x＋1≥0， ∴(x－1)2≥0，∴解集为R，故选B． B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．不等式(2x－5)(x＋3)＜0的解集为_________________． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 解一元二次不等式  　　　　解下列不等式． (1)2x2－3x－2＞0； (2)－x2＋2x－3＜0； (3)－3x2＋5x－2＞0． [分析]　根据三个二次之间的关系求解即可． 例 1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　解一元二次不等式的步骤 (1)对不等式变形，使不等号一端二次项系数大于0，另一端为0，即化为ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的形式． (2)计算相应的判别式． (3)当Δ≥0时，求出相应的一元二次方程的根． (4)根据对应的二次函数的图象，写出不等式的解集． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　不等式6x2＋x－2≤0的解集为_______________． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 三个“二次”的关系  　　　　已知不等式ax2－bx＋2＜0的解集为{x|1＜x＜2}，求a，b的值． [分析]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和方程ax2－bx＋2＝0的两根，由根与系数的关系可求a，b的值． 例 2 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❷　若不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，求不等式bx2＋2ax－c－3b≥0的解集． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 解含有参数的一元二次不等式  　　　　解关于x的不等式2x2＋ax＋2＞0． [分析]　二次项系数为2，Δ＝a2－16不是一个完全平方式，故不能确定根的个数，因此需对判别式Δ的符号进行讨论，确定根的个数． 例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） ②当a＝4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝－1， ∴原不等式的解集为{x|x≠－1}． ③当a＝－4时，Δ＝0，方程有两个相等实根，x1＝x2＝1， ∴原不等式的解集为{x|x≠1}． ④当－4＜a＜4时，Δ＜0，方程无实根，故原不等式的解集为R． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　在解答含有参数的一元二次不等式时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到“不重不漏”，一般从如下三个方面进行考虑： (1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数a＞0，a＝0，a＜0． (2)关于不等式对应方程的根的讨论：两根(Δ＞0)，一根(Δ＝0)，无根(Δ＜0)． (3)关于不等式对应方程的根的大小的讨论：x1＞x2，x1＝x2，x1＜x2． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❸　解关于x的不等式ax2－x＞0． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．当自变量x在什么范围取值时，下列函数的值等于0？大于0？小于0? (1)y＝3x2－6x＋2； (2)y＝25－x2； (3)y＝x2＋6x＋10； (4)y＝－3x2＋12x－12． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：(1)不等式x2＋＞0是一元二次不等式吗？ (2)一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省略吗？ Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 y＝ax2＋bx＋c (a＞0)的图象 ax2＋bx＋c＝0 (a＞0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 无实数根 ax2＋bx＋c＞0 (a＞0)的解集 {x|x＞x2或x＜x1} R ax2＋bx＋c＜0 (a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} ∅ ∅ {x|－3＜x＜}　 [解析]　将原不等式转化为或， ∴－3＜x＜． [解析]　(1)因为Δ＞0，方程2x2－3x－2＝0的根是x1＝－，x2＝2， 所以不等式2x2－3x－2＞0的解集为． (2)原不等式可化为x2－2x＋3＞0， 由于Δ＜0，方程x2－2x＋3＝0无解， 所以不等式－x2＋2x－3＜0的解集为R． (3)原不等式可化为3x2－5x＋2＜0， 由于Δ＞0，方程3x2－5x＋2＝0的两根为x1＝，x2＝1， 所以不等式－3x2＋5x－2＞0的解集为． {x|－≤x≤}　 [解析]　由于Δ＞0，方程6x2＋x－2＝0的两根为x1＝，x2＝－， 所以原不等式的解集为． [解析]　方法一：由题设条件知a＞0，且1，2是方程ax2－bx＋2＝0的两实根． 由根与系数的关系，知解得 方法二：把x＝1，x＝2分别代入方程ax2－bx＋2＝0中，得解得 [归纳提升]　给出了一元二次不等式的解集，则可知a的符号和ax2＋bx＋c＝0的两实根，由根与系数的关系可知a，b，c之间的关系． (1)如果不等式ax2＋bx＋c＞0的解集为{x|d＜x＜e}，则说明a＜0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|x＜d或x＞e}，则说明a＞0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝． (2)如果不等式ax2＋bx＋c＜0的解集为{x|d＜x＜e}，则说明a＞0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝；若解集为{x|x＜d或x＞e}，则说明a＜0，x1＝d，x2＝e分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，即d＋e＝－，d·e＝． [解析]　因为不等式ax2＋bx＋c≤0的解集为{x|x≤－3或x≥4}，所以a＜0，且－3，4是方程ax2＋bx＋c＝0的两根， 由根与系数的关系可得，即 所以不等式bx2＋2ax－c－3b≥0可化为－ax2＋2ax＋15a≥0，即x2－2x－15≥0，解得x≤－3或x≥5，故所求不等式的解集为{x|x≤－3或x≥5}． [解析]　对于方程2x2＋ax＋2＝0，其判别式Δ＝a2－16＝(a＋4)(a－4)． ①当a＞4或a＜－4时，Δ＞0，方程2x2＋ax＋2＝0的两根为x1＝(－a－)，x2＝(－a＋)， ∴原不等式的解集为{x|x＜(－a－)或x＞(－a＋)}． [解析]　(1)当a＝0时不等式为－x＞0，所以x＜0， (2)当a≠0时，方程ax2－x＝0的两根为0与； ①当a＞0时，＞0，所以x＞或x＜0； ②当a＜0时，＜0，所以＜x＜0． 综上，当a＞0，不等式的解集为； 当a＝0时，不等式的解集为{x|x＜0}； 当a＜0时，不等式的解集为． 1．求下列不等式的解集： (1)(x＋2)(x－3)＞0；(2)3x2－7x≤10； (3)－x2＋4x－4＜0；(4)x2－x＋＜0； (5)－2x2＋x≤－3；(6)x2－3x＋4＞0． [解析]　(1)(x＋2)(x－3)＝0的两根为x1＝－2，x2＝3， 所以原不等式的解集为{x|x＞3或x＜－2}． (2)原不等式等价于(x＋1)(3x－10)≤0，所以原不等式的解集是． (3)原不等式等价于x2－4x＋4＞0，即(x－2)2＞0，所以原不等式的解集是{x|x≠2}． (4)因为x2－x＋＝(x－)2≥0，所以原不等式的解集为∅． (5)原不等式等价于(x＋1)(2x－3)≥0，所以原不等式的解集是． (6)因为x2－3x＋4＝＋＞0，所以原不等式的解集为R． [解析]　(1)使y＝3x2－6x＋2的值等于0的x的取值集合是； 使y＝3x2－6x＋2的值大于0的x的取值范围是；使y＝3x2－6x＋2的值小于0的x的值为． (2)令25－x2＝0，则x＝±5，又由y＝25－x2图象的开口方向向下，故x＝±5时，函数的值等于0，当－5＜x＜5时，函数值大于0；当x＞5或x＜－5时，函数值小于0． (3)令x2＋6x＋10＝0，则方程无解，又由y＝x2＋6x＋10图象的开口方向朝上，故无论x为何值，函数值均大于0． (4)令－3x2＋12x－12＝0，则x＝2，又由y＝－3x2＋12x－12图象的开口方向朝下，故x＝2时，函数的值等于0，当x≠2时，函数值小于0． $