1.4.3 一元二次不等式的应用 课件-2025-2026学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式的应用，以汽车刹车距实际案例导入，引导学生从实际问题中抽象数学模型，通过“设元、列不等式、求解、验实际”四步步骤支架，结合典例与练习巩固知识点。 其亮点在于融入欧拉等数学家故事渗透数学文化，以农家院租金、喷水池设计等实例培养模型意识与应用意识，规范解题过程发展逻辑思维。助力学生提升用数学解决实际问题的能力，为教师提供丰富教学资源与清晰教学路径。

作课人：廉文杰 数学之王——欧拉 北师大版（2019）高中数学 必修第一册 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 第一章 预备知识 第4节 一元二次函数与一元二次不等式 4.3 一元二次不等式的应用 第1课时（共1课时） 1 学 习 目 标 目 标 重 点 难 点 1、能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 1、能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 1、能够从实际生产和生活中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解决. 2 新 知 引 入 数学王子——高斯 刹车距函数 汽车在行驶过程中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，一般称这段距离为“刹车距”.刹车距(单位)与车速(单位:)之间具有确定的函数关系，不同车型的刹车距函数不同.它是分析交通事故的一个重要数据. 甲、乙两辆轿车相向而行，由于突发情况，辆车相撞.交警在现场测得甲车的刹车距超过，但不足，乙车的刹车距超过，但不足.已知这两辆汽车的刹车距函数分别如下：，，车速超过属于违法，试问，哪一辆车违法超速行驶？ 3 新 知 引 入 韦 达 由题意，只需分别解出使不等式 ， 成立的实数的取值范围，即可确认两车的实际行驶速度是否违法. 一元二次不等式是很重要的数学模型，在实际生活中有较广泛的应用，因此，今天我们要更加深入地学习一元二次不等式的应用. 4 学 习 新 知 欧几里得 （约公元前300年） 《几何原本》 (1)选取合适的字母表示题中的未知数; (2)由题中给出的不等关系,列出关于未知数的不等式(组); (3)求解所列出的不等式(组); (4)结合题目的实际意义确定答案. 利用不等式解决实际问题的一般步骤: 5 典 例 引 路 集合论之父——康托 例1、某农家院有客房20间，日常每间客房日租金为80元，每天都客满.该农家院欲提髙档次，并提高租金.经市场调研，每间客房日租金每增加10元，客房出租数就会减少1间.每间客房日租金不得超过130元，要使每天客房的租金总收入不低于1800元，该农家院每间客房日租金提高的空间有多大？ 6 典 例 引 路 柯 西 解：设每间客房日租金提高个10元，即每间客房日租金提高到元， 则客房出租数减少间，此时客房的租金总收入为元. 又因为每天客房的租金总收入不低于1800元， 所以. 化简：， 解得， 所以. 由题意可知：每间客房日租金不得超过130元，即， 所以.即 因此，该农家院每间客房日租金提高的空间是20元、30元、40元、50元. 7 同 步 练 习 无冕的数学之王——希尔伯特 练1、一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数关系．已知产量为0时，创造的价值也为0；当产量为55辆时，创造的价值达到最大6 050元．若这家工厂希望利用这条流水线创收达到6 000元及以上．则它应该生产的摩托车数量至少是________辆． 8 同 步 练 习 解析几何之父——笛卡尔 解：由题意，求出摩托车数量x(辆)与创造的价值y(元)之间满足二次函数为y＝－2x2＋220x， 则－2x2＋220x≥6 000， 解得50≤x≤60， 所以答案为50辆． 9 典 例 引 路 牛 顿 例2、为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策:由政府协调，本市企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担.袁阳按照相关政策投资销售本市生产的一种新型节能灯.已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂 价为每件12元，每月的销售量 y(单位:件)与销售单价 x(单位:元)之间的关系近似满足一次函数：. (1)设袁阳每月获得的利润为 w(单位:元)，写出每月获得的利润 w 与销售单价 x 的函数关系 (2)物价部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元.如果袁阳想要每月获得的利润不小于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？ 10 典 例 引 路 狄利克雷 解：(1)依题意可知每件的销售利润为元， 每月的销售量为件, 所以每月获得的利润w与销售单价x的函数关系为 （10≤x≤50) (2)由每月获得的利润不小于3000元， 得， 化简，得，解得， 又因为这种节能灯的销售单价不得高于25，所以， 设政府每个月为他承担的总差价为 p 元，则 ，由，得， 故政府每个月为他承担的总差价的取值范围为. 11 同 步 练 习 黎 曼 练2、国家原计划以2 400元/t的价格收购某种农产品m t．按规定，农民向国家纳税：每收入100元纳税8元(称作税率为 8个百分点．即8%)．为了减轻农民负担，国家制定积极的收购政策，根据市场规律，税率降低x个百分点，收购量能增加2x个百分点，试确定x的取值范围．使税率调低后，国家此项税收总收入不低于原计划的78%. 12 同 步 练 习 庞加莱 解　“税率降低x个百分点”，即调节后税率为(8－x)%； “收购量能增加2x个百分点”时，总收购量为m(1＋2x%)t，总收购款为2 400m(1＋2x%)元； “总收入不低于原计划的78%”，即税率调低后，税收总收入≥2 400m×8%×78%. 设税率调低后的“税收总收入”为y元， y= 2400m(1+2x%)(8-x)% =-m(x2+42x-400)(0＜x≤8) 所以y≥2 400m×8%×78%， 即－44≤x≤2. 又0<x≤8，所以0<x≤2. 所以x的取值范围是0<x≤2. 13 典 例 引 路 皮 亚 诺 例3、公园要建造一个圆形喷水池.在水池中央垂直于水面安装一个花形柱子OA，O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如下左图所示.为使水流形状较为漂亮，设计成水流在到OA距离为1米处达到距水平最大高度为2.25米，如果不计其他因素，那么水池半径至少要多少米，才能使喷出的水流不致落到池外? 14 典 例 引 路 华罗庚 解：以O为原点，以OA所在直线为y轴， 水面中垂直OA的直线为x轴建立直角 坐标系，如上右图所示， 则水流所呈现的抛物线方程为 y=a(x-1)2 +2.25. 由题意，点A的坐标为(0，1.25)，把x=0,y=1.25代入方程解得a=-1，于是抛物线方程为 y=-(x-1)2+2.25. 令y=0，得-(x-1)2+2.25=0，解得x1=2.5，x2=-0.5(不合题意，舍去). 所以水池半径至少要2.5米，才能使水流不落到池外. 15 同 步 练 习 莱布尼兹 练3、某校园内有一块长为800 m，宽为600 m的长方形地面．现要对该地面进行绿化，规划四周种花卉(花卉带的宽度相同)，中间种草坪，若要求草坪的面积不小于总面积的一半，求花卉带宽度的范围． 16 同 步 练 习 洛必达 解：设花卉带的宽度为x m(0<x<300)， 则草坪的长为(800－2x) m，宽为(600－2x) m， 所以草坪的面积为(800－2x)(600－2x)m2. 依题意有(800－2x)(600－2x)≥×800×600， 所以(400－x)(300－x)≥60 000， 整理得x2－700x＋60 000≥0. 解得x≤100或x≥600，又因为0<x<300， 所以x的取值范围是0<x≤100. 答：花卉带宽度的范围应是(0,100] m. 17 典 例 引 路 傅里叶 例4、国家为了加强对烟酒生产的宏观管理,实行征收附加税政策.现知某种酒每瓶70元,不加附加税时,每年大约产销100万瓶,若政府征收附加税,每销售100元要征税k元(叫作税率k%),则每年的产销量将减少10k万瓶.要使每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元,问k应怎样确定? 18 典 例 引 路 贝叶斯 解:设产销量为每年x万瓶,则销售收入为每年70x万元,从中征收的税金为(70x·k%)万元,其中x=100-10k. 由题意,得70(100-10k)k%≥112, 整理得k2-10k+16≤0,解得2≤k≤8. 因此,当2≤k≤8时,每年在此项经营中所收附加税金不少于112万元. 19 同 步 练 习 陈景润 练4、某农贸公司按每担200元收购某农产品,并按每100元纳税10元(又称征税率为10个百分点),计划可收购a万担,政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品,决定将征税率降低x(x≠0)个百分点,预测收购量可增加2x个百分点. (1)写出税收y(万元)与x的函数关系式; (2)要使此项税收在税率调节后,不少于原计划税收的83.2%,试确定x的取值范围. 20 同 步 练 习 佩雷尔曼 解:(1)降低税率后的税率为(10-x)%,农产品的收购量为a(1+2x%)万担,收购总金额为200a·(1+2x%). 依题意,得y=200a(1+2x%)(10-x)% =a(100+2x)(10-x)(0<x<10). (2)原计划税收为200a·10%=20a(万元). 依题意,得a(100+2x)(10-x)≥20a×83.2%, 化简,得x2+40x-84≤0,解得-42≤x≤2. 又0<x<10,则0<x≤2,故x的取值范围是(0,2]. 21 典 例 引 路 丘成桐 例5、在一条限速为40 km/h的弯道上,甲、乙两辆汽车相向而行,发现情况不对,同时刹车,但还是相撞了.事后现场勘查测得甲车的刹车距离刚好是12 m,乙车的刹车距离略超过10 m.又知甲、乙两种车型的刹车距离s(单位:m)与车速x(单位:km/h)之间分别有如下关系:s甲=0.1x+0.01x2,s乙=0.05x+0.005x2.问:甲、乙两车有无超速现象? 解：由题意知,对于甲车,有0.1x+0.01x2=12, 即x2+10x-1200=0,解得x=30或x=-40(舍去). 这表明甲车的车速为30 km/h,甲车车速没有超过限速40 km/h. 对于乙车,有0.05x+0.005x2>10,即x2+10x-2000>0, 解得x>40或x<-50(舍去). 这表明乙车车速超过40 km/h,超过规定限速. 22 同 步 练 习 毕达哥拉斯 练5、某种型号的汽车在水泥路面上的刹车距离s(单位:m)和汽车车速x(单位:km/h)有如下关系:s=x+x2在一次交通事故 中,测得这种车的刹车距离不小于40 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少? 解:设这辆汽车刹车前的车速为x km/h, 根据题意,有x+x2≥40, 整理,得x2+10x-7 200≥0, 即(x-80)(x+90)≥0,解得x≥80或x≤-90, 又在实际问题中x>0,故x≥80, 即这辆汽车刹车前车速至少为80 km/h. 23 全 课 总 结 一、一元二次不等式的实际应用 24 THANK YOU 谢谢！ 作课人：廉文杰 焦作市外国语中学 25 $