2.5.1 直线与圆的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

题点二 化简得x2+y2一2x一3=0. 一sin2 asin a=1-cos2a-2sin2a2,当且 [典例]解设△ABC外接圆的方程为：x2: 所以直角项，点C的轨迹方程为x2十y 十y2十Dx+Ey+F=0(D十E-4F>: 2x一3=0(x≠3，且x≠-1). 仅当a=受时，等号成立，故答案为2.] 0). 法三设AB的中点为D,由中点坐标公5.解设M(x,y, 2D+2E+F+8=0, 式，得D(1,0) A(12,0),M为PA的中点， 由题意得5D+3E+F+34=0, ∴.P(2x-12,2y). 3D-E+F+10=0, 由直角三角形的性质，知CD=分|AB! P为圆x2十y=16上的动点， D=-8, =2. ,.(2x-12)2+4y2=16, 解得E=一2， 由圆的定义，知动，点C的轨迹是以D(1, 即(x-6)2十y2=4. F=12. 0)为圆心，以2为半径长的圆（因为A,B, 故所求轨迹方程为(x一6)2十v2=4. 即△ABC外接圆的方程为x2+w2一8x一 C三，点不共线，所以应除去与x轴的交 2y+12=0. 点) 2.5.1 直线与圆的位置关系 对点训练 设C(x,y),剥直角顶点C的轨迹方程为 必备知识·自主梳理 1.解（待定系数法）设圆的方程为x2十v (x-1)2+y=4(x≠3，且x≠-1)， 2.0<rd=rA=0A<0 +Dx+Ev+F=0,(D+E一4F>0),则1对点训练 即时小练 ,25+4D+3E+F-0, D=-6, 1.C「设点P的坐标为(x,v),A(一2， 1.(1)× (2)/(3)/(4)× 29十5D+2E十F=0,解得 E=-2, 0),B(1,0),动点P满足PA=2PB，2.B[,圆心(0,0)到直线y=x十1的距离 (1+D+F=0, F=5, .√(x+2)+y=2(x-1)+y,两 因此其外接圆的一殷方程为x2+y2-6x 边平方得(x十2)2十y2=4[(x-1)2十 d=0-0+1=② ② 2 <1,∴.直线与圆x2十 -2w+5=0. y2],即(x-2)2十y2=4. y=1相交，又(0,0)不在y=x十1上， 2.解设圆的一般方程为x2十y2十Dx十Ey! P的轨迹为圆.故选C] .直线不过圆心， +F=0(D+E2-4F>0) 2.解(1)设线段AP的中点M的坐标为3.CD[1过定点A(1,1),又点A在圆上， ,圆经过点(4,2)和（一2，一6）， (x,y),P的坐标为(xo%), {D士2E+F+20=0, 当1斜率存在时，1与圆一定相交，又直线 ① 2十x0 x=1过点A且为圆的切线，∴.1与圆相交 32D+6E-F-40=0. 2 设圆在x轴上的截距为x1,x,则它们是： {6=2x-2, 或相切.故远C、D.] 0-yo yo=2v. 4.0或3 方程x2+Dx十F=0的两个极，故x十xI y=- 2 关键能力·合作探究 =-D. 又P(x0y)在圆x2+y2=4上， 题点 设圆在y轴上的截距为，必，则它们是： ∴.(2x-2)+(2y)2=4,.(x-1)2十y![典例]解 法一直线与圆的位置关系 方程y十Ey十F=0的两个根，故M十y2 1 问题可转化为方程组 (2)设PQ的中点为N(x,v), (x2+y=2,① 由已知，得一D十（一E)=一2， 在Rt△PBQ中，|PN=BN, y=x十b,② 即D+E-2=0.③ 设O为坐标原点，连接ON,则ON⊥PQ, 有两组不同实数解：有一组实数解：无实 联立①②③，解得D=一2，E=4,F= ..OP=ON+PN=ON2 数解的问题 -20. +BN2. ②代入①， .,所求圆的方程为x十y2一2x十4y-20 .x2+v2+(x-1)2十(y-1)2=4. 整理得2x2+2bx+2-2=0,③ =0 故线段PQ中点的轨迹方程为x2十y 方程③的根的判别式 题点三 y-1=0. △=(2b)2-4×2( -2)=-4(b+2)(6 角度1 素养演练·提升技能 2) [典例]解设，点M的坐标是(x,y), 1.B[圆M的圆心为(a,一b),且圆M过原1 当一22时，△>0，方程组有两组不同 2· x2+y2 点，可排除A、C项.B项中由直线l可知a 实数解，因此直线与圆有两个公共点，直 V(x-3)+y2 >0,b<0,.圆心(a,一b)在第一象限，满} 线与圆相交； 足条件，D项中由直线可知a0,b0,! 当b=2或b= 一2时，△=0，方程组有一组 化简，得x2十y十2x一3=0，即所求轨迹： 实数解，因此直线与圆只有一个公共点， 方程为(x十1)2十y2=4. .圆心(a,一b）在第二象限，与图形 角度2 不符.] 直线与圆相切； 当b<一2或b2时，△0，方程组没有实 [典例]解设，点M(x,y),点P(xoyo),1 2.B「将圆方程化为标准方程得(.x一1)2+ y2=1,所以圆心(1,0)到直线AB:2x一y 数解，因此直线与圆没有公共，点，直线与 圆相离 则 x=2' 十2=0的距离为d= 45,故圆上的点P 综上，当一2b<2时，直线与圆相交；当b y=% =一2或b一2时，直线与圆相切：当b>2 ， 到直线AB的距离的最大值是45+1，最 或b一2时，直线与圆相离 f6=2 5 法二 圆心(0,0)到直线y=x十b的距离 (yo=2. -1,又|AB=5,故△PAB 为d b ,圆的半径r=√2 点P(xo,w)在圆C:x2+y-8x-6y+ 小值是4 √2 21=0上， 面积的最大值和最小值分别是之(4十 当dr,即 b √2时，直线与圆相交 .x6+y-8x-6%+21=0. ∴.(2x)2+(2v)2-8×2.x-6×2y+211 5,(4-5.] .-2b2. =0, :3.C[由圆x2+y+4x-12y+1=0知，其 当d=r,即 一√厄时，直线与圆相切， 即点M的轨迹方程为x2十y2一4x一3y十 √2 21一0. 标准方程为(x+2)2+(y一6)2=39，：圆 x2+y2+4.x-12y+1=0关于直线a.x ∴.b=士2 角度3 by十6=0(a>0,b>0)对称，∴.该直线经过 当d>r,即b >√2时，直线与圆相离， 2 [典例们解法一设顶，点C(x,y),因为 圆心(-2,6)，即-2a-6b十6=0，∴.a+3b ∴.b>2或b<-2 AC⊥BC,且A,B,C三点不共线，所以x≠ =3>0,>0.+号=号u+3) 综上，当一2<<2时，直线与圆相交 3,且x≠-1. 当b=一2或b=2时，直线与圆相切： y 又因为kc一十，kx一产3且kC· (位+)号(+++)≥ 当b>2或b一2时，直线与圆相离. 对点训练 k=一1， 号(10+2，√会·) 、32 所以 ，当且仅当1.CD[圆的方程为2+y-2x一2y+1- =一1，化简， 0,可化为(x一1)2十(y一1)2=1，由圆心 x十1x-3 (1,1)到直线3.x十4y一b=0的距离为 得x2+v2-2x-3=0. 3时取等号，故选C.] 所以直角顶点C的轨迹方程为x2十yW一·4.2 连接OQ,OP(图略).设∠BQ-a,则！ 7-b=1,得b=2或b=12.故选CD.] 5 2x一3=0(x≠3，且x≠-1. ∠AOP-2a,且a∈[0，π].依题意得：2.相离[联立直线l与圆C的方程，可得方 法二同法一，得x≠3，且x≠一1 Q(cos a,sin a),P(-cos 2a,-sin 2a), 由勾股定理，得AC2+BC2=AB2, 程组{x十v十3=0， ∴.Ap·AQ=(-cos2a+1,-sin2a)· {2+y2-2x-4=0,消去得2x 即(x十1)2+y2+(x-3)2十y2=16, (cos a+1,sin a)=(-cos 2a+1)(cos a-1) +4.x+5=0..△=42-4×2×5=-24 203 0,方程无实数解，即方程组无实数解，题点三 任取一，点P(x,y),设从A地运货到P地 故直线1与圆C相离.门 :[典例]解法一直线x一5y+2√3=0 的运费为2a元/km,则从B地运货到P 3.解法一（代数法） 由方程组∫4x一3v十a=0, 和圆x2十y2=4的公共，点坐标就是方程1 地的运费为a元/km,若P地居民选择在 A地购买此商品，则2a/(x十5)2十y2 {x2+y2=100. 组{5十25=0的解 消去y,得25.x2十8a.x十a2-900=0. x+y2=4, “,理得(+ )+y △=(8a)2-4×25(a2-900) 解这个方程组，得工1=一5，=0， =-36a2+90000. (y=1, w=2. 20 所以公共点的坐标为（一√5,1），(0,2) 3 ,即点P在圆C:(x+5） 3 (1)当直线和圆相交时，△0， 即-36a2+90000>0,得-50a<50: 所以直线x一√3y十2√3=0被圆x2十y2=4 y2- 201 (2)当直线和圆相切时，△=0， 藏得的弦长为√（一√3-0）2+(1-2)2-2. 的内部.也就是说，圆C内的 即a-50或a=-50: 法二 如图，设直线x 2 居民应在A地购买此商品.同理可推得圆 (3)当直线和圆相离时，△<0，即a<一50 C外的居民应在B地购买此商品.圆C上 或a>50. -√3y+2√3=0与圆 的居民可随意远择A,B两地之一购买此 法二（几何法） x2+V2=4交于A,B 商品 圆x2+y2=100的圆心为(0,0)，半径r 两，点，弦AB的中点为 素养演练·提升技能 =10, M,则OM⊥AB(O为 1.D。[圆心(1，-1)到直线3.x十4y十12=0 a 坐标原，点)，又OM= 则圆心到直线的距离d一 的距离d=3×1十4×（一1）十12=。， /(-3)2+42 0-0+2√/5 √/32+49 =√3， √12+（一√3）9 0dr,所以相交但不过圆心.故远D.] 5 所以AB=2AM 2D[,a2十=2c2,.圆心到直线的距离 (1)当直线和圆相交时，d<r, d=- c -2√/O0A2-OM 即a<10,得-50<a<50: + 厅设贫长为4则1- =2√22-（√/5）”=2. 2√-d=.] (2)当直线和圆相切时，d=r, :对点训练 :3.AB[由圆的方程，可知圆心坐标为（a, 即a=10,得a=50或a=-50; :1.√3 「由题意知直线L的方程为y一2= 0),半径r=2.又直线被圆截得的弦长为 x+1),即x+y-1=0,圆心O(0,0)到 2√2，所以圆心到直线的距离d= (3)当直线和圆相离时，d>r, 直线I的距离为d= -1型-2，则有AB /22- /22) √2 2 =2.又d=a2,所以 即g10,得a<-50或a>50 2 √2 题点二 =2F-d正=28-7=v30.] a一2=2，解得a=4或a=0.] 「以0为坐标 [典例]解由于(2-1)2+(4十3)2=50> 4.4.4 1,故点M在圆外. :2.解圆x2十y2=25的半径长r为5，直线} 原点，建立如图所示 当切线斜率存在时，设切线方程是 被圆所截得的弦长=8， 的平面直角坐标系 当P,Q两点移动 y-4=k(x一2)，即kx-y+4-2k=0, 秒（t≥0)时， 由于直线与圆相切，故+3十4一2 所以弦心距d= -() P(-10, -10+ √k2+(-1)9 /52-42=3. 1.5t),Q(10,10 1,解得= 24 因为圆心O(0,0)到直线x=一3的距离恰 t),可得出直线PQ 为3，所以直线x= 一3是符合题意的一条 的方程为y-10十t= 20-2.5(x-10), 所以切线方程为24x-7y-20=0. 20 又当切线斜率不存在时，直线x一2与圆 直线.设直线十号=（虹十3）也符合题 且易知圆0的方程为x2十v2=1.由直线 相切 PQ与圆O 有公共点，可得 综上所述，所求切线方程为24x一7y一20 意，即圆心到直线kx一y十3k一 3 2.5t-20 2 =0 -+10 =0或x=2. 2 ≤1，化简得3r2+16 对点训练 3 1.2x十√6y-10=0[因为2+（√6）2=10， 的距离等于3，于是 3k一2 1+ 20-2.5t =3,解得· 20 所以点M在圆x2+y=10上，由题意可： √k2+1 知圆心C的坐标为(0,0)，则直线CM的· 3 k=- -.故直线的方程为3x十4y十15= -128≤0，结合≥0，解得0≤1≤8y7-8 3 斜率w=E 0.综上可知，满足题意的直线有两条，对· 而8厅-8≈4.4，因此，点Q在点P的“育 应的方程分别为x=一3和3x十4y十15， 因为圆的切线垂直于经过切点的直径所： =0. 区”中的时长约为4.4秒.] 在的直线，所以所求切线的斜率k一 ·题点四 5.解 (1)由C:x2+2+2x十4y+n=0, 2 [典例]解以台风 AY 得(x+1)2十(y十2)=5-m, 中心为坐标原，点，以 逃口 由5一n>0时，得n<5,,.当n<5时，曲 故经过点M的切线方程为y一√6=1 东西方向为x轴建 线C表示圆， 、轮船 立直角坐标系（如图 (2)由(1)知圆C的圆心坐标为（一1， 后x一2)，整理得2x+6y-10=0.] 所示)，其中取 -2),半径为√5一m. 2.解因为(4-3)2十(-3-1)2=17>1.所1 10km为单位长度 ,直线1：y=x一m与圆C相切， 以点、A在圆外 则受台风影响的圆形区域所对应的圆的： -1十2一m=/5-m, ①若所求切线的斜率存在，设切线斜率为 方程为x2十2=9，港口所对应的，点的坐 k,则切线方程为y十3=k(x一4).因为圆 标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的，点 解得：m=士3，满足n5, ∴.n=土3. 心C(3,1)到切线的距离等于半径，半径 的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线1的 为1， 2.5.2 圆与圆的位置关系 所以3张-1一3二46=1， 方程为号十￥=1，即4x十7y一28=0，圆 必备知识·自主梳理 √k+1 心(0,0)到1：4x+7y-28=0的距离d=! 28 28 (1)d>r1十r2d=r1十r2 万-rd 即k+4-√+1， >3,所以直线！ √6 ,因为28 <r+r d=n-r d<r-re /65 所以k2+8k+16=k+1,解得=-8 5 即时小练 与圆相离，故轮船不会受到台风的影响. :1.(1)×(2)×(3)×(4)/ 对点训练 2.B「圆x2+y2一1=0表示以O1(0,0),点 所以切线方程为y十3=一 15 解以直线AB为x 8 (x-4),即 轴，线段AB的垂直平 为圆心，以R1=1为半径的圆.圆x2十y 15x+8y-36=0. 一4x十2y一4=0表示以02(2，一1)点为 ②若直线斜率不存在，圆心C(3,1)到直线1 分线为y轴，建立平面 圆心，以R=3为半径的圆 x=4的距离也为1，这时直线与圆也相： 直角坐标系，如图所 示，则A(-5,0),B .OO2=√5，∴.R2-R1<)O<R 切，所以另一条切线方程是x=4,综上，所 (5,0).在坐标平面内 十R,∴圆x2+y2-1=0和图x2+y 求切线方程为15.x十8y-36=0或x=4. 4x十2y-4=0相交.故远B.] 204数学选择性必修第一册 5.已知P是圆x2十y2=16上的动点，A(12,0), 课堂小结 M为PA的中点，求点M的轨迹方程. 重要思想与方法 (1)求圆的一般方程关键是确定D,E,F的值，其方法一般 为待定系数法、几何法」 (2)将圆的标准方程展开成二元二次方程的形式即得一般 方程，将圆的一般方程配方即得标准方程。 定义 圆的一般方程 二元二次方程表示圆的条件 圆的轨迹 温馨提示 请做课时分层检测（十八） 2.5.1 直线与圆的位置关系 【课标要求】1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系.2.会用代数法和几何法来判定 直线与圆的三种位置关系， 【素养要求】通过直线与圆的位置关系的判断，进一步提升数学抽象及数学运算素养 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 直线与圆的位置关系及判断 (3)若圆心到直线的距离大于半径，则直线与圆 设圆C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),直线1：Ax 的方程联立消元后得到的一元二次方程无解. +By+C=0,圆心C(a,b)到直线l的距离d= ( 1Aa+B6+C,由 1(x-a)2+(y-b)2=2, 消去 (4)过圆外一点的直线与圆相离. √JA2+B2 Ax+By+C=0, 2.直线y=x十1与圆x2十y2=1的位置关系是 y(或x),得到关于x(或y)的一元二次方程，其判： 别式为△. ( 位置关系 相交 相切 相离 A.相切 公共点个数 1 B.相交但直线不过圆心 几何法 d>r C.直线过圆心 代数法 A>0 D.相离 即时小练 3.(多选)直线l:x-1=m(y-1)和圆x2+y2 ii 2y=0的位置关系是 1.判断正误 A.相离 B.相切或相离 (1)若直线与圆有公共点，则直线与圆相交 C.相交 D.相切 ( (2)如果直线与圆组成的方程组有解，则直线和：4.已知直线1：y=k(x十√3)和圆C:x2+(y一1)2 圆相交或相切. =1,若直线1与圆C相切，则k= 68 第二章 直线和圆的方程 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 题点一直线与圆的位置关系的判断 题点二直线与圆相切的问题 [典例]已知圆的方程是x2+y2=2,直线y=[典例]过点M(2,4)向圆(x-1)2+(y十3)2=1 x十b,当b为何值时，圆与直线相交、相切、 引切线，求其切线的方程. 相离？ [听课记录] [听课记录] /方法技巧/ 解直线与圆的位置关系的题，要合理选择几何 法和代数法，直线若恒过定点，可通过定点与 圆的位置关系来判定 对点训练 1.(多选)若直线3.x十4y=b与圆x2+y2-2x- 2y十1=0相切，则b的值是 A.-2 B.-12 C.2 D.12 2.直线1：x十y+3=0与圆C:x2+y2-2x-4=0 /方法技巧/ 、 的位置关系是 1.过圆外一点求圆的切线方程的两种求解 3.a为何值时，直线4x-3y十a=0与圆x2十y2= 方法 100分别有如下关系：(1)相交；(2)相切；： (1)几何法：设出切线的方程，利用圆心到切 (3)相离？ 线的距离等于半径，求出未知量的值.此种 方法需要注意斜率不存在的情况，要单独验 证，若符合题意，则直接写出其切线方程. (2)代数法：设出直线的方程后与圆的方程 联立消元，利用△=0求未知量的值.若消 元后的方程是一元一次方程，则说明要求的 两条切线中有一条直线的斜率不存在，可直 接写出其切线的方程. 2.过一点求圆的切线方程时，若点在圆上，则 切线只有一条；若点在圆外，则切线有两条. 69 数学 选择性必修第一册 /方法技巧/ 对点训练 求弦长常用的三种方法 1.经过点M(2,√6)，且与圆x2十y2=10相切的直 (1)几何法：利用圆的半径r,圆心到直线的距 线的方程为 离d,弦长1之间的关系（号）2+d=解题， 2.过点A(4,-3)作圆C:(x-3)2+(y-1)2=1 (2)交点坐标法：若直线与圆的交点坐标易求 的切线.求此切线的方程. 出，求出交点坐标后，直接用两点间的距离公 式计算弦长 (3)公式法：设直线y=kx十b,与圆的两交点为 (x1y1),(x2y2),将直线方程代入圆的方程，消 元后利用根与系数的关系得弦长1=√1十2 x1-x2=√/(1十k2)[(a+x2)2-4x1x2]. 对点训练 1.过圆x2+y2=8内的点P(一1,2)作直线1交圆 于A,B两点.若直线1的倾斜角为135°，则弦 AB的长为 2.如果一条直线经过点M-3,-)且被圆2十 y2=25所截得的弦长为8，求这条直线的方程 题点三直线与圆的相交问题 [典例]求直线x一√3y十2√3=0被圆x2+y2= 4截得的弦长。 [听课记录] 题点四直线与圆的方程的实际应用 [典例]一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气 象台的台风预报，台风中心位于轮船正西 70km处，受影响的范围是半径为30km的圆形区 域，已知港口位于台风中心正北40km处，如果这 艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的 影响？ 70 第二章直线和圆的方程 [听课记录] 对点训练 有一种大型商品，A,B两地均有出售且价格相 同，某地居民从两地之一购得商品运回来，每千 米的运费A地是B地的两倍，A,B两地相距 10千米，若要使顾客选择A地或B地购买这种 商品的运费和价格的总费用较低，那么不同地 点的居民应如何选择购买此商品的地点？ /方法技巧/ 解决直线与圆的实际应用题的步骤 (1)审题：从题目中抽象出几何模型，明确已知 和未知. (2)建系：建立适当的直角坐标系，用坐标和方 程表示几何模型中的基本元素， (3)求解：利用直线与圆的有关知识求出未知. (4)还原：将运算结果还原到实际问题中去 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=:5.已知曲线C:x2+y2+2x十4y+m=0. 9的位置关系是 ( (1)当m为何值时，曲线C表示圆？ A.过圆心 B.相切 (2)若直线l:y=x一m与圆C相切，求m的值. C.相离 D.相交但不过圆心 2.若a2+b2=2c2(c≠0)，则直线a.x+by十c=0 被圆x2+y2=1所截得的弦长为 A司 B.1 c号 D.√2 3.(多选)若直线x-y=2被圆(x-a)2十y2=4 所截得的弦长为2√2，则实数a的值为( 课堂小结 A.0 B.4 C.-2 D.5 4.如图所示，正方形ABCD的边 D 重要思想与方法 长为20米，圆O的半径为1 (1)判断直线与圆的位置关系的两种方法：代数法与几何 米，圆心是正方形的中心，点 法，其中几何法较为简捷 (2)解决直线与圆相切注意应用圆的切线性质：圆心到直线 P,Q分别在线段AD,CB上， 的距离d与圆的半径相等。 若线段PQ与圆O有公共点，则称点Q在点P 的“盲区”中，己知点P以1.5米/秒的速度从A 相交 直线与圆 出发向D移动，同时，点Q以1米/秒的速度从 的位置关系 相切 C出发向B移动，则在点P从A向D移动的过： 相离 程中，点Q在点P的“盲区”中的时长约为 温馨提示 请做课时分层检测（十九） 秒（精确到0.1）. 71