1.4.1 用空间向量研究直线、平面的位置关系-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册同步辅导与测试(人教A版)

第一章空间向量与立体几何 A. B.3 c.4 D. 6 课堂小结 4.如图该几何体由半圆柱体与 直三棱柱构成，半圆柱体底面 重要思想与方法 直径BC=4,AB=AC, (1)向量a的坐标实质是向量a的正交分解的系数 ∠BAC=90°，D为半圆弧的 (2)两向量相等等价于它们对应的坐标相等，即：设a=(x1, 中点，若异面直线BD和AB1 y1,之1)，b=(x2y2,z2),则a=b分x1=x2y1=y2,21=2 所成角的余弦值为号，则该几何体的体积为 (3)空间中的垂直与平行关系转化为向量的垂直与平行 关系。 A.16+8π B.32+16π C.32+8π D.16+16π 空间 平行、垂直问题 5.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P 向量 运算 求向量之间的夹角 是底面ABCD(含边界)上一动点，满足A1P⊥ 的坐 标表 求向量的长度 AC1,则线段A1P长度的取值范围是 示 线性运算 A. B. 温馨提示 请做课时分层检测（五） C.[1,W] D.[√2，w3] 1.4.1用空间向量研究直线、平面的位置关系 【课标要求】1.理解直线的方向向量和平面的法向量的概念与求法.2.理解用向量法判定空间直线 与平面的位置关系 【素养要求】1.空间中直线、平面的平行和垂直.2.理解直线、平面的向量表示. 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 (一)空间中点、直线、平面的向量表示 ①式和②式都称为空间直线的向量表示式 1.点的位置向量 P 3.平面的向量表示式 如图，在空间中，我们取一定 取定空间任意一点O,可以得到，空间一点P位 点O作为 ,那么空间中任意一点P就可 于平面ABC内的充要条件是存在实数x,y,使 以用向量OP来表示，向量OP称为点P的 OP= 把上式称为空间平面ABC的向量表示式. 2.空间直线的向量表示式 4.平面的法向量 如图，取定空间中的任意一点O, 如图，直线1⊥a,取直线l的 可以得到点P在直线l上的充要 方向向量a,称向量a为平 条件是存在实数1，使 面a的 OP= 给定一个点A和一个向量a,那么过点A,且以 取AB=a,代入①式，得 向量a为法向量的平面完全确定，可以表示为 OP- ② 集合 19 数学 选择性必修第一册 :2.空间中垂直关系的向量表示 即时小练 设直线1的方向向量为a=(a1,a2,a3),直线m 1.若A(2,1,1),B(1,2,2)在直线1上，则直线1 线线 的方向向量为b=(b1,b2,b3),则1⊥m台 的一个方向向量为 垂直 ( A.(2,1,1) B.(-2,2,2) 设直线1的方向向量是a=(a1,b1,c1),平面a C.(-3,2,1) D.(2,1,-1) 线面 的法向量是u=(a2,b2,c2),则l⊥a台 2.如图，在长方体ABCD 垂直 (k∈R) A1B1C1D1中，分别以长方 若平面a&的法向量u=(a1,b1,c1),平面B的法 体的两个顶点为始点和终 面面 向量v=(a2,b2,c2),则a⊥B台 点的向量中： 垂直 (1)直线AB的方向向量有 个 (2)平面AA1B1B的法向量有 个 即时小练 (二)空间中直线、平面的平行与垂直 1.若直线1的方向向量a=(1,0,2),平面a的法 1.空间中平行关系的向量表示 向量为n=(-2,0,一4)，则 ( 位置关系 向量表示 A.l∥a B.l⊥a 设4,2分别是直线11，l2的方向向量，则11 C.ICa D.l与a斜交 线线平行 ∥l2台u1∥u2台3入∈R,使得 2.若直线1的方向向量为41=(1,3,2)，直线l2 设u是直线l的方向向量，n是平面a的法向 上有两点A(1,0,1),B(2,-1,2),则两直线的 线面平行 量，l吐a,则l∥a台u⊥n白 位置关系是 3.已知两平面a,3的法向量分别为1=(1,0,1)， 设n1,n2分别是平面a,3的法向量，则&∥3 面面平行 u2=(0,2,0),则平面a,3的位置关系为 台n1∥n2台3A∈R,使得 关键能力·合作探究 讲练设计探究重点 /方法技巧/ 题点一 求平面的法向量 利用待定系数法求平面法向量的步骤 [典例]如图，在四棱锥P (1)设向量：设平面的法向量为n=(x,y,x). ABCD中，底面ABCD为 (2)选向量：在平面内选取两个不共线向量 矩形，PA⊥平面ABCD,E AB.AC 为PD的中点，AB=AP= (3)列方程组：由 n·AB=0, 列出方程组 1,AD=3,试建立恰当的空间直角坐标系，求 n·AC=0, 平面ACE的一个法向量： n·AB=0, (4)解方程组： [听课记录] n·AC=0. (5)赋非零值：取x,y,之其中一个为非零值 (常取士1). (6)得结论：得到平面的一个法向量 对点训练 在△ABC中，A(1,-1,2),B(3,3,1),C(3,1, 3),设M(x,y,x)是平面ABC内任意一点。 20 第一章空间向量与立体几何 (1)求平面ABC的一个法向量； /方法技巧/ (2)求x,y,之满足的关系式 1.利用向量法证明线面平行的三种思路 (1)设直线1的方向向量是a,平面α的法向 量是u,则要证明l∥a,只需证明a⊥u,即 a·u=0 (2)根据线面平行的判定定理“若平面外 条直线与此平面内的一条直线平行，则该直 线与此平面平行”，要证明一条直线和一个 平面平行，只需在平面内找一个向量与已知 直线的方向向量是共线向量即可. (3)根据共面向量定理可知，如果一个向量 和两个不共线的向量是共面向量，那么这个 向量与这两个不共线的向量确定的平面必 定平行，因此要证明一条直线和一个平面平 行，只要证明这条直线的方向向量能够用平 面内两个不共线向量线性表示即可， 2.用向量证明面面平行的方法 设平面α的法向量为，平面3的法向量为 v,则a∥B台u∥v. 对点训练 题点二利用空间向量证明平行关系 :1.已知向量a=(2,4,5),b=(3,x,y),a与b分别 [典例]在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M,N 是直线11l2的方向向量，若11∥2，则() 分别是CC1,B1C1的中点.求证：MN∥平 A.x=6,y=15 面A1BD. B=3y=号 [听课记录] 5 C.x=3,y=15 D.x=6,y=2 :2.如图所示，长方体ABCD D B A1B1C1D1中，AB=3,AA1 =4,AD=5,求证：平面 A1BD∥平面B1D1C. 21 数学选择性必修第一册 题点三利用空间向量证明垂直关系 2.利用向量证明面面垂直的方法 利用空间向量证明面面垂直通常可以有两 [典例]如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 个途径：一是利用两个平面垂直的判定定理 E为棱DD1的中点，求证： 将面面垂直问题转化为线面垂直进而转化 为线线垂直；二是直接求解两个平面的法向 量，由两个法向量垂直，得面面垂直， 对点训练 如图，在三棱锥P-ABC中， (1)BD1⊥平面AB1C; AB=AC,D为BC的中点， (2)平面EAC⊥平面AB1C PO⊥平面ABC,垂足O落在 [听课记录] 线段AD上.已知BC=8,PO =4,AO=3,OD=2. (1)证明：AP⊥BC; (2)若点M是线段AP上一点，且AM=3.试证 明平面AMC⊥平面BMC. /方法技巧/ 1.利用坐标法证明线面垂直的方法 建立空间直角坐标系；将直线的方向向量用 坐标表示；将平面内任意两条相交直线的方 向向量用坐标表示；分别计算直线的方向向 量与平面内两条相交直线的方向向量的数 量积；由数量积为0及线面垂直的判定定理 得线面垂直. 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.已知平面a内有一个点A(2,一1,2)，a的一个：2.（多选）已知点P是平行四边形ABCD所在的 法向量为n=(3,1,2),则下列各点中，在平面a 平面外一点，如果AB=(2,-1,-4),AD= 内的是 ( (4,2,0),AP=(一1,2，一1)，则下列结论正确 A.P(1,-1,1) B.Q(1,3,2) 的是 () A.AP⊥AB C.M(1,-3,2) D.N(-1,3, 2 B.AP⊥AD 22 第一章空间向量与立体几何 C.AP是平面ABCD的一个法向量 5.如图，在多面体 D.AP∥BD ABCDEF中，平面 ADEF⊥平面AB 3.如图，正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互： CD,四边形ADEF 相垂直，AB=√2，AF=1,M在EF上，且AM∥ 为正方形，四边形 平面BDE,则点M的坐标为 ( ABCD为梯形，且AD∥BC,△ABD是边长为 AZ 1的等边三角形，BC=3.问：线段BD上是否 存在点N(不包括端点)，使得直线CE∥平面 APN?若存在，求出8>的值：若不存在，请说 明理由. A.(1,1,1) c(停号 n 4.如图所示，在三棱柱ABC- A1B1C1中，侧棱AA1⊥底 面A1B1C1,∠BAC=90°， 课堂小结 AB=AC=AA1=1,D是棱 B CC1的中点，P是AD的延长线与A1C的延长 重要思想与方法 线的交点，若点Q在线段B1P上，则下列结论 (1)利用空间向量表示直线、平面体现了数形结合的思想 方法. 正确的是 ( ) (2)证明直线、平面平行或垂直问题体现了转化与化归的思 A.当点Q为线段B,P的中点时，DQ⊥平 想方法 面A1BD B.当点Q为线段B1P的三等分点时，DQ⊥平 空间直线、平面 直线的方向向量 面A1BD 空间向量 的向量表示 平面的法向量 的应用 C.在线段B1P的延长线上，存在一点Q,使得 利用向量法判定直线和平面的位置关系 DQ⊥平面A1BD D.不存在DQ与平面A1BD垂直 温馨提示 请做课时分层检测（六） 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时距离问题 【课标要求】1.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离 问题.2.通过空间中距离问题的求解，体会向量方法在研究几何问题中的作用. 【素养要求】通过学习空间中距离的概念，点、线、面距离的相互转化与计算，培养学生的数学抽象、 直观想象素养和数学运算素养， 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.点到直线的距离 PQ=√1AP12-1AQ12= 如图，已知直线1的单位方 向向量为u,AP=a,则点P : 2.点到平面的距离 到直线1的距离为： 如图，已知平面a的法向量为n,则平面外一点 23o0(分0(2oc(o, 为半圆孤的中点，所以AD1⊥BC,A1D⊥！3.a⊥3[山·=0，则a⊥3.] BC1,O,O,分别是下底面、上底面半圆的；关键能力·合作探究 圆心.连接OO,则OO1与上下底面垂直，：题点一 所以OO⊥OB,(OO1⊥OA,OA⊥OB,以[典例]解 因为PA⊥平面ABCD,底面 则AB=(1,0,a),BC= OB,OA,OO所在直线分别为x,y,z轴建 ABCD为矩形，所以AB,AD,AP两两 立空间直角坐标系，设几何体的高为h(h 垂直 如图，以A为坐 4 >0),则B(2,0,0),D(0,-2,h),A(0,2,0), 由AB1⊥BC,得AB·BC=- 标原点， 2 B(2,0,h),所以BD=(-2,-2,h),AB=1 AB所在直线为 -0,解得a-号合复.所以AA=号] (2,一2，h),由异面直线BD和AB1所成角 x轴建立空间直 2.120°[因为a=(1,2,3),b=(-2,-4,1 的余弦值为号，所以c0s(成，A)= 角坐标系Axyz, 则A(0,0,0), -6),所以a十b=(-1,-2,-3),所以a1 BD·AB 2 D(0,√3,0) 十b=√14.因为(a十b)·c=7,所以a十 3 即 BDI AB √8+.√8+ b与c夹角的余弦值为，即夹角为60°， 9） ,B(1,0,0),C(1,5,0),于 8十不一了，所以=4（负值舍去）.所以几 h2 2 又a=(1,2,3)与a十b=(-1,-2,-3)方1 是应-(0号）心-15,0 向相反，所以a与c的夹角为120°] 素养演练·提升技能 何体的体积为2×元×2×4+号×4X2 2 设n=(x,y,z)为平面ACE的法向量，则 B道设非零向量m(红，，)与三个向量 ×4=16+8元.故远A.] u·=0, 5.A「如图，建立空间 n…A=0,即 x+W3y=0, 都垂直，则u·=0, 直角坐标系，则A {n·AE-0, zv+2x=0, (u·5=0, (0,0,0),A1(0,0, 1x十=0①， 1),C(1,1,1),P 所以∫=一3y, 即x十y=0②， 是底面ABCD(含边 (x十y十(k+k-1)x=0③， 界)上一动点，设 令y=一1，则x=x=√5.所以平面ACE 由①②，得x=一，y=,代入③，得一x十 P(x,y,0)(0≤x≤ 的一个法向量为n=(√3，一1，√3) z十(k2+k-1)2=0,即(k2+k-1)x=0. 1,0≤y≤1)，则A,P ·对点训练 若要有解，则必有k2十k一1=0，解得k: =(x,y,-1),AC=(1,1,1),AP⊥ 解(1)设平面ABC的法向量n-(a,b, c) =-15] AC,.A P.AC=+y-1=0,AP 因为AB=(2,4,-1),AC-(2,2,1), 2 2.B[建立如图所示 =x2+y2+1=x2+(1-x)2+1=2.x2 所以m·A店=2a十4h-c=0, 的空间直角坐标 系，令正方体AB 2x+2=2(-号)+号当x= 1 {n·AC-2a+2b+c=0, 2 CD-A1B1C1D1的 时，A产取最小值号，此时线段AP的长 所以∫F一6， 3 棱长为4，则E(4, 6, 0,2),F(4,1,4),B D 令b=2,则a=一3，c=2. (4,4,0),C(0,4, 度为；当=0或=1财，A下取最大 所以平面ABC的一个法向量为n=(一3， 4),所以EF-(0,1, 值2，此时线段AP的长度为√2，∴线段： 2,2). (2)因为点M(x,y,z)是平面ABC内任意 2),BC=(-4,0,4),所以cos(EF,BC) AP长度的取值范国是 故 一点，所以AM⊥n,所以-3(x-1)+2(y EF·BC 四，设异面 5 选A] +1)+2(x-2)=0,即3.x-2y-2x-1= EFBC5X42 0.故x,y,z满足的关系式为3.x一2y一2z 1.4.1 用空间向量研究直线、 直线EF与BC1所成的角为0，则sin0: 1=0. 平面的位置关系 题点二 典例]证明法一： :必备知识·自主梳理 如图，以D为坐标原 3.D[如图所示，建 (一) 点，DA,DC,DD1所 立空间直角坐标系， 1.基点 位置向量2.OA+aOA+tA: 在直线分别为x轴、3 设AB=1,则A(1, 3.0A+xAB+yAC 轴、z轴建立空间直角 0,0),D1(0,0,1),B (1,1,0),B1(1,1, 4.法向量 (Pa·AP-0 坐标系，设正方体的 - 即时小练 棱长为1，则D(0,0, 1,故P( 1.B[:AB=(-1,1,1),而与AB共线的非 0.A1,0.B1.1,0,M0,17） 零向量都可以作为直线1的方向向量，故 少 远B. 12.(1)8 (2)8[(1)直线AB的方向向量 N(21,于是DM=(1,01).成 所以AD1=(-1,0,1), 有：BA,AB,CD,D,BA,AB,CD, 1,1,0M=(20,2） 丽-（小 DC,共8个 设平面A1BD的法向量为n=(x,y,z), AD.BP (2)平面AA1BB的法向量有：DA,AD, 所以c0s(AD,B驴)= 则·D十0取=1， ADBP 2 CB,BC,D A,A D,C B,BC, 8个.] {n·DB=x+y=0, 则y=一1，x= -1, 所以直线PB与AD所成的角为令.] (二) ∴.平面A1BD的一个法向量为n=(1, 1.1=u2u·n=0n1=n22.a·b} 4.A[设D在底面半 =0 ab+a:b:+asbs=0 a/lu a= -1,-1). 圆上的射影为D, la ()=k(az,b,c) u⊥v 又M.n=含-3-0， 连接AD交BC于 u·v=0a1a2十b1b2+c1c2=0 O,连接A1D交 即时小练 M⊥m.又MNC平面ABD, BC于点O.依题 1.B[图为n=(-2,0,-4)=-2(1,0,2) ,∴.MN∥平面ABD. 意知半圆柱体底面 =-2a,所以n∥a,所以l⊥a.] 法二：M-G-GM=G官 直径BC=4,AB= AC,∠BAC=90°，D 2.11⊥2[AB=(1,-1,1),w1·AB=1×1日 -3×1+2×1=0,因此1⊥12.] d-名D-DD)-成， 189 M∥DA,又MN4平面ABD, (-8,0,0)=0,所以AP⊥B武，即AP!入无解，所以不存在DQ与平面ABD .MN∥平面A,BD. BC. 垂直.] 法三：M=C衣-CM=号CB (2)由(1)知AP=5,又AM-3,且点M在5.解存在.理由如下： ·平面ADEF⊥平面ABCD,四边形 2Gt-号i-合Ai-是成+ 线段AP上，所以前=号市-(0，号， ADEF为正方形，∴.DE⊥平面ABCD.过 点D作DG⊥BC于点G. i)-AB+)=D成-A成 号)又耐=(-4，-5,0)，所以威 如图，以，点D为原点，建立空间直角坐 标系， 即M可用A1B与D线性表示，故M不与： 成+-(-4，-，号）到市 AB,DB是共面向量，又MN中平面 A1BD,故MN∥平面ABD. 威i=034(49号) =0,所 对点训练 1.D[因为L∥12，所以a∥b,所以存在入∈： 以AP⊥B成M,即AP⊥BM,又根据(1)的结 R,使a=h,则有2=3入，4=Ax,5=入y,所 论知APBC,且BC∩BM=B,所以AP *入 以=6y=号] ⊥平面BMC,于是AM⊥平面BMC.又 AMC平面AMC,故平面AMC⊥ 平 2.证明如图，建立 面BMC 以D为坐标原，点， 素养演练·提升技能 A,0D.B(.0 DA,DC,DD1所在 直线分别为x轴，y 1LB[对于B,Aà-=(-1,4，）则n ,D(0,0,0),E(0,0,1) 轴、x轴的空间直 角坐标系，则D(0 AQ=(3,1,2)·(-1,4,-2)=0,n1 F(1,0,1),∴.AF=(0,0,1), 0,0),A1(5,0,4) A立则点Q13,）在平面e内.] 1√3 B(5,3,0),D1(0, 0,4),B1(5,3,4),C(0,3,0),∴.A1D= 2.ABC[:AB·AP=0,AD·AP=0, (-5,0,-4),AB=(0,3,-4),D1C= ∴ABLAP,AD⊥AP,则A,B正确；又AB D=(- (0,3,-4),B1C=(-5,0,-4). 与AD不平行，∴.AP是平面ABCD的一个 设平面A,BD的一个法向量为m=(x,y, ,则m·A1D=0 法向量，则C正确；由于BD=AD-AB= X<1,则B=B=(-，- 即{-5x4x=0, (2,3,4),AP=(-1,2,-1),∴BD与AP ∴.AN=AB+BN= {m·AB=0,{3y-4x=0, 不平行，故D错误.门 取x=1,可得平面A1BD的一个法向量为！3.C[连接OE(图略.设点M的坐标为(x,: -告，号设平西BD,C的- 4 m=( 个法向量为n=(x',y,2),同理可得n= ,周为Cn0=0所以0（竖，号 号.o） 设n=(x,y,z)是平面AFN的一个法向 告，专，m=n,甲m/m 0,又E(0,0,1),A(W2,2,0),所以OE= 量，则m·AF=0, {n·AN=0. 又B年平面BD1C, 2 =(x-√2，y-2, 一0， .平面A1BD∥平面BDC 即 题点三 1),因为AM∥平面BDE,所以O正∥AM, [典例]证明 (1) 以D为原，点，建立 D x一2-2 0, {V3(1-A)y=(1+)x, 取x=√3，则 如图所示的空间直 即 2 解得 21 所以点 1+ 角坐标系Dxyz, 设正方体ABCD 2 y 2 A,B,C1D1的棱长 AFV的一个法向量. 为2，则E(0,0,1), M的坐标为（，， 由n.市=55-5×1+以 A(2,0,0),C(0,2, 4.D以A1为坐标原点，A1B1,AC1,A1A1 2 21-λ =0,得λ 0),B(2,2,2),B(2, 所在直线分别为x轴、y轴、x轴建立空间 2,0),D1(0,0,2),.AC=(-2,2,0),AE= 直角坐标系（图略），则由已知得A1(0,0,1 了，符合题意，即存在点N,使得直线 2 (-2,0,1),AB1=(0.2,2),BD=(-2,-2, 0),B1(1,0,0),C(0,1,0),B(1,0,1),1 CE/平面AFN,此时器=号 2).设平面AB,C的法向量为m=(x,yz), D01,）P02,0,所以A店=1… 1.4.2用空间向量研究距离、 则m:220取=1，对 m·AB1=2y十2z=0, 01).Ai=01,）BD-(-12, 夹角问题 =1,x=-1,∴.m=(1,1,-1).BD= 第一课时距离问题 -2m,..BD1∥m,..BD⊥平面ABC. 0),D正=（1，-1，-2）设平面ABD (2)设平面EAC的法向量为n=(z,y, 必备知识·自主梳理 ),则m·A正=-2+2=0， 的法向量为n=(x,y,之)，则1√a2-(a·m)严 !即时小练 {n·AC--2.x'+2y'=0, 取x= n·A1B=x十x=0, 1,则y'=1,z=2,∴.n=(1,1,2).m·n n…AD=y+=0. 取z=-2,则x1.D[因为A(-1,3,0),P(-2,1,4),所以AP =(一1，一2,4)，又因为平面a的一个法向量 =1+1-2=0,,.平面EAC⊥平面ABC. 一2，y=1,所以平面ABD的一个法向量1 对点训练 n=(-2,-2,1),点A在a内，所以P(一2， 为n=(2,1,-2).假设DQ⊥平面ABD, 证明(1)以0为坐 标原，点，以射线OD为 且B1Q=λB1P=λ(-1,2,0)=(-A,2x, 1,4)到。的距离为AP,n n y轴正半轴，射线OP 1(-1,-2,4)·(-2,-2,1)=1 为：轴正半轴建立如 0),则D0=DB+BQ-（1-x,-1+2以， 3 3·7 图所示的空间直角坐 号）：周为成也是平面A,BD的一个：2号 [因为PA=(-2,0,-1),n= √2 标系O-xyz.则O(0, 2 2 0,0),A(0,-3,0), B(4,2,0),C(-4,2, 法向量，所以n与成共线，所以12= 2 0,号)为1的一个单位方向向量点卫 0),P(0,0,4).于是AP-(0,3,4),BC= (-8,0,0),所以AP·BC-(0,3,4)· -1+2λ 2 到1的距离d=√/PA2-(PA·n)2= -2 =4成立，但此方程关于 190