课时分层检测(41) 古典概型-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

班级 姓名 得分 课时分层检测（四十一）古典概型 :6.将一枚质地均匀的一元硬币抛3次，恰好出 0 基础达标练0… 现一次正面朝上的概率是 1.(多选)下列是古典概型的是 )7.在1,2,3,4四个数中，可重复地选取两个 A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为样： 数，其中一个数是另一个数的2倍的概率是 本点 B.求任意的一个正整数平方的个位数字是18.在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六 的概率，将取出的正整数作为样本点时 个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张 C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选： 卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率 中最短路线的概率 为 D.4人站成一排，其中甲、乙相邻的概率 :9.袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3 2.4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张 个红球，每球有一个区别于其他球的编号， 卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上 从中摸出一个球， 的数字之和为奇数的概率为 ( ) (1)有多少种不同的摸法？如果把每个球的 A号 B c号 D.3 编号看作是一个样本点概率模型，该模型是 不是古典概型？ 3.(2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6 (2)若以球的颜色为样本点，有多少个样本 的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到 点？以这些样本点建立概率模型，该模型是 的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率 不是古典概型？ 为 A.6 B c号 0. 4.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事. “田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐： 王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等 马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于 齐王的下等马.”双方从各自的马匹中随机 选一匹进行一场比赛，则田忌的马获胜的概 率为 A. B c D.g 5.先后抛掷两枚质地均匀的正方体骰子（它们： 的六个面分别标有点数1,2,3,4,5,6)，骰子 上的面的点数分别为x,y,则log2.xy=1 的概率为 ( ) A B D.2 228 班级 姓名 得分 10.做投掷2枚骰子的试验，用(x,y)表示试验3.在平面直角坐标系中，从五个点：A(0,0),B 结果，其中x表示第一枚骰子出现的点数， (2,0),C(1,1),D(0,2),E(2,2)中任取三 y表示第2枚骰子出现的点数，写出： 个，这三点能构成三角形的概率是 (1)试验的样本点； .(结果用分数表示) (2)事件“出现点数之和大于8”； 4.有A,B,C,D四位贵宾，应分别坐在a,b,c,d (3)事件“出现点数相等”； 四个席位上.现在这四人均未留意，在四个 (4)事件“出现点数之和等于7”. 席位上随便就座， (1)求这四人恰好都坐在自己的席位上的 概率； (2)求这四人恰好都没坐在自己的席位上的 概率； (3)求这四人恰有一位坐在自己的席位上的 概率. 0 能力提升练。…。 1.垃圾分类是对垃圾进行处置前的重要环节. 通过分类投放、分类收集，我们可以把有用 物资从垃圾中分离出来并重新回收、利用，： 变废为宝.某小区的每组垃圾箱有四个垃圾 投放桶，分别为有害垃圾、厨余垃圾、可回收 垃圾、其他垃圾.该小区业主手提两袋垃圾，：5.甲、乙两人各拿出200元，用作掷硬币游戏 分别为有害垃圾和厨余垃圾，分别将其随机 的奖金，两人商定：一局中掷出正面向上则 投入两个不同的垃圾投放桶，则恰有一袋投： 甲胜，否则乙胜，谁先胜三局就得所有奖金。 放正确的概率为 比赛开始后，甲胜了两局，乙胜了一局，这时 A日 B司 C.3 D.2 因为意外事件必须中断游戏，请问怎样分配 这400元才合理？ 2.（多选)从集合A={一1，一3,2,4}中随机选 取一个数记为a,从集合B={-5,1,4}中随 机选取一个数记为b,则 A.ab>0的概率是7 B.a十b≥0的概率是号 C.直线y=ax十b不经过第三象限的概率 是时 D1na十ln6>1的概幸是号 229能力提升练 1.A2.B 课时分层检测（四十） 3.1,1,3,3 [不妨设x1≤2≤x3≤西且，x2,x,x4为正整数.由 基础达标练 x1十x十西十西=2， 1.C 2.D 3.BD 4.ABC 4 条件知 5,245,6孩孩脸的拼本空间01,2,34,56，根据题意，A x十x3=2, {2,4},B={1,2,3,4},所以B={5,6},AUB={2,4,5,6}.] 6.A与C「A与C互斥但不对立， 2 即西十十十x4=8, 7.解A∩B=(1,2),(1,4),(3,2),(3,4),(5,2),(5,4)}, : A∩C={(2,1),(2,3),(2,5),(4,1),(4,3),(4,5)}, x2+x3=4. B∩C={(1,1),(1,3),(1,5),(3,1),(3,3),(3,5),(5,1),(5,3), 又无1x2,x4为正整数，x1=x2=x=无=2或西1=1,2= (5,5)}. x3=2,x1=3或x1=x2=1,x3=x4=3. :8.解(1)用1,2,3,4表示4名男生，用a,b表示2名女生，因为事件 “-√于×[-2+(-2)+（属-2+（属-201-1， A1=“甲组有1名女生”，所以A1={(1,2,a),(1,2,b),(1,3,a), (1,3,b),(1,4,a),(1,4,b),(2,3,a),(2,3,b),(2,4,a),(2,4,b), x1=x2=1,=x=3.由此可得4个数分别为1,1,3,3.] (3,4,a),(3,4,b)},共含12个样本点. 4.解(1)x=0.04×45十0.1×55十0.2×65十0.32×75十0.24×1 (2)事件B=“甲组至少有一名女生”，其含义是甲组有一名女生或 85+0.1×95=74.2. 甲组有两名女生，所以B=A1UA2, s2=0.04×(45-74.2)2+0.1×(55-74.2)2+0.2×(65-74.2)2+ (3)因为事件A2与A。UA1是对立事件，所以A2=AUA1,所以 0.32×(75-74.2)2+0.24×(85-74.2)+0.1×(95-74.2)2=159.36. A:UA。=AUA1,所以事件A2与事件AUA。是对立事件. 能力提升练 ,.s=159.36≈12.62. :1.ABD (2)由(1)得s≈12.62. .x-2s≈48.96，x+2s≈99.44. :22互斥但不对立[根据题意，画出如因所示的树状周。 第一个路口 红 结合题图得，成绩位于[48.96,99.44]外的只有2人， 即成绩位于[x一2，x十2]的有48人，所占百分比为96% 第二个路口 红 绿 红 课时分层检测（三十九） 第三个路口红绿红绿红绿红绿 由图可得，A∩B={红红红，绿红红}，包含2个样本点，C一{红绿 基础达标练 绿，绿红绿，绿绿红，绿绿绿}，(A∩B)∩C=必，故事件A∩B与C 1.AB 2.AB 3.B 4.C 5.B 互斥，又(A∩B)UC≠2，故事件A∩B与C的关系是互斥但不 6.②⑤[①③④都是随机事件，②⑤是必然事件.] 对立 7.{0,2,4,6,8}[最少需要取3次，最多需要取7次，那么剩余鸡的！3.解试验的样本空间为2=(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， 只数最多4只，最少0只，所以剩余动物的脚数可能是8,6,4,2,0.] (1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,1),(3,2),(3, 8.8[先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间2={(1,1)，(1， 3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6), 2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),1 (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6, (3,4),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4)},共16个样本点.用A表示满足 4),(6,5),(6,6)}. (1)因为事件A=“第一次掷出1，点”， 条件“工为整数”的事件，则A={(1,1),(2,1),(2,2),(3,1),(3, 所以满足条件的样本点有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)， 3),(4,1),(4,2),(4,4)},共8个样本点.] (1,6), 9.解(1)事件M的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的 即A={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6)}, 因为事件B=“2次掷出的点数之和为6”， 2只鞋不成双” (2)事件N的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取出的2只： 所以满足条件的样本点有(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)， 鞋都是左脚的” 即B={(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)} 所以A∩B={(1,5)},AUB={(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5), (3)事件P的含义是“从3双不同的鞋中随机抽取2只，取到的鞋一 (1,6),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1)}. 只是左脚的，一只是右脚的，且不成双” (2)因为事件C=“第二次掷出的点数比第一次的大3”， 10.解以J,S,B表示三人游戏中出剪刀、出石头、出布 所以C={(1,4),(2,5),(3,6)}. (1)2={(J,J,J),(J,J,S),(J,S,J),(S,J,J),(J,J,B,(J,B 因为A∩B={(1,5)}≠，A∩C={(1,4)}≠0，B∩C-0, J),(B,J,J),(J,S,S),(S,J,S),(S,S,J),(J,B,B),(B,J,B), 所以事件A与事件B,事件A与事件C都不是互斥事件，事件B与 (B,B,J),(S,S,S),(S,S,B),(S,B,S),(B,S,S,),(B,B,S)(B, 事件C是互斥事件. S,B),(S,B,B),(B,B,B),(J,S,B),(J,B,S),(S,J,B),(S,B, (3)因为事件A,=“第一次掷出1点，第二次掷出点”，j=1,2,3, ),(B,J,S),(B,S,J)}. 4,5,6, (2)“三人出拳相同”包含下列三个样本，点： 所以A1={(1,1)},A2={(1,2)},A={(1,3)},A,={(1,4)}, (J,J,J),(S,S,S),(B,B,B), A={(1,5)},A={(1,6)}, 能力提升练 所以A=AUA,UA3UA,JA UA 1.C2.B 4.解(1)甲未中靶：A. 3.③⑤④①②[由必然事件、不可能事件及随机事件的定义知： (2)甲中靶而乙未中靶：A∩B,即AB ③⑤是必然事件，④是不可能事件，①②是随机事件.] (3)三人中只有丙未中靶：A∩B∩C,即ABC 4.解(1)2={(0,0)，(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(1， (4)三人中至少有一人未中靶：1一ABC 3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(3,3)} (5)三人中恰有两人中靶：(ABC)U(ABCU(ABC). (2)4={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0)}, B={(1,3),(2,2),(3,1),(0,3),(1,2),(2,1),(3,0),(2,3),(3, 课时分层检测（四十一） 2),(3,3)} 基础达标练 创新拓展练 1.CD2.C3.C4.A5.C 5.t:生》生本6土，*木》6 [试验共有8个结果：（正，正，正），（反，正，正），（正，反，正）， (木，口)，（木，木）}{（土，土），（口，口），（木，口），（口，木）}(1) 每次游戏时，所有可能出现的结果如下表所示： (正，正，反)，（反，反，正），（反，正，反），（正，反，反），（反，反，反），其 第二张卡片 中拾好出现一次正面朝上的结果有3个，故所求的概率是日] 第一张卡片 大 1.1 1 「用列举法知，可重复地远取两个数共有16个样本点，且每个 土 (土，土)》 (土，口) (土，木) 样本点出现的可能性相等，其中一个数是另一个数的2停的有(1， 口 (口，土) (口，口) (口，木) 2》,(2,1),(2,40,4,2)共4个样本点，故所求的概率为号=.] 木 (木，土) (木，口) (木，木) 1 48. [试验结果如表所示： 2={(土，土)，（土，口），（土，木），（口，土），（口，口），（口，木）， (木，土)，（木，口），（木，木）} 第一张卡片 0 2 3 5 (2)能组成上下结构的汉字的样本点为（土，土），（口，口），（木，口）， 第二张卡片 (口，木) A=(土，土)，（口，口），（木，口），（口，木）.] 0 2 5 299 课时分层检测（四十二） 7 基础达标练 1.D2.C3.C4.D5.D 8 6是[由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺 9 得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互 斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女 5 7 9 10 由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4： 子乒乓球单打冠军的概率为号十大品] 个样本点，所以所求事件的概率为需=日] :72C只有当事件A,B为两个互斥事件时，才有P(AUBD=P(A)中 P(B),故①错误；只有事件A,B,C两两互斥，且AUBUC=2时 9.解(1)由于共有11个球，且每个球有不同的编号，故共有11种不 才有P(A)十P(B)十P(C)=1,故②错误；当A,B为互斥事件时， 同的摸法，又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相· P(A)十P(B)=P(AUB)1,故③正确.1 等，故以球的编号为样本点的概率模型为古典概型. 8.0.55记这个商店月收入在1000,1500)，1500,2000)， (2)由于11个球共有3种颜色，因此共有3个样本点，分别记为A:1 厂2000,2500)，「2500,3000)内分别为事件A,B,C,D,因为事件 “摸到白球”，B:“摸到黑球”，C:“摸到红球”.因为所有球大小相同， A,B,C,D互斥，且P(A)+P(B)+P(C)+P(D)=0.67,所以P(B +C+D)=0.67-P(A)=0.67-0.12=0.55. 所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为，因为白球有5个，所！9.解、记事件A=“抽取的为女职工”，记事件B=“抽取的为第 三分厂的职工”，则A∩B表示“抽取的为第三分厂的女职工” 以一次摸球摸中白球的可能性为品，同理可知，摸中黑球，红球的 AUB表示“抽取的为女职工或第三分厂的职工”，则有P(A)= 1600+1400+500 35 可能性均为品显然这三个样本点出现的可能性不相等，所以以颜 4000+1600+3000+1400+800+5001131 色为样本，点的概率模型不是古典概型， 800+500 13 10.解(1)这个试验的样本点，列举如下：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,1 P(B)=4000+1600+3000+1400+800+500113 500 4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3, 1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4, P(AnB)=4000+1600+3000+1400+800+50013' 5 43 4),(4,5),(4,6),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6, BP(AUB)=P(AD+PB)-PAnB)部是3@ 1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6),共36个 (2)“出现点数之和大于8”包含以下10个样本点：(3,6)，(4,5)，： 10.解(1)：每1000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖 (4,6),(5,4),(5,5),(5,6),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6). 50个PA-dP(B)-00PO=0 (3)“出现点数相等”包含以下6个样本点：(1,1)，(2,2)，(3,3)， (2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D,由题意知，D=AUBUC,且 (4,4),(5,5),(6,6) (4)“出现点数之和等于7”包含以下6个样本点：(1,6)，(2,5)，(3,1 事件A,B,C两两互斥，则P(D)=P(A)+P(B)+P(C)=1O00 4),(4,3),(5,2),(6,1). 1 61 能力提升练 00+20=1000 1.C 2.AC (3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E,由题意知，E 3.号[从五个点中任取三个点，样本空间0=(A,B,C),(A,C, =AUB,且事件A,B互斥，则P(E)=1一P(A)一P(B)=1 D),(B,C,D),(A,D,E),(B,D,E),(A,C,E),(A,B,D),(A,B, doa8品 E),(B,C,E),(C,D,E)},共10个样本点，而A,C,E三点共线，B, 能力提升练 C,D三点共线，所以这五个点可构成三角形的个数为10-2=8.设！1.BC “从五个，点中任取三个点，这三点能构成三角形”为事件A,则A所 8 4 .] [由题意得PA)十P(B)=1-号=是，周为P(A 包含的样本点个数为8，故所求概率为P(A)=0= 4.解将A,B,C,D四位贵宾就座情况用如图所示的图形表示出来 2P(B),所以P(A)=2 ,P(B)= 号，所以P①=1-PA)=是， D P(B-1-P(B)=] C D !3.120[可设参加联欢会的教师共有n人，由于从这些教师中选一 A CHR D ® c D 人，“选中男教师”和“选中女教师”两个事件是对立事件，所以选中 B D A Lo B C 女能师的概率为1一品-0由题意，如0一易”=12，解得 B 回 A 1=120. a席位b席位c席位d席位 a席位b席位c席位d席位 馨9准出2人及以干B3人C心0 “5人”，E=“6人及以上” a8 「® c 则“有4人或5人外出家访”的事件为事件C或事件D,且C,D为互 B 斥事件， @叶@8 根据互斥事件概率的加法 A A P(C+D)=P(C)+P(D)=0.3+0.1=0.4. ® a哈 (2)“至少有3人外出家访”的对立事件为“2人及以下”， 所以由对立事件的概率，p=1-P(A)=1一0.1=0.9. a席位b席位c席位d席位a席位b席位c席位d席位 !5.解(1)易知样本，点总数一25，且每个样本点出现的可能性相等 事件A包含的样本点共5个：(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，所 由图可知，所有的等可能样本点共有24个 (1)设事件M为“这四人恰好都坐在自己的席位上”，则事件M只包： 以P(A)= 25= 含1个样本点， (2)B与C不是互斥事件.理由：因为事件B与C可以同时发生，如 1 所以P(M0=2 甲赢一次，乙赢两次 (3)这种游戏规则不公平.理由如下： (2)设事件N为“这四人恰好都没坐在自己的席位上”，则事件N只 和为偶数的样本点有：(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)， 9 包含9个样本点，所以P(N)= 3 (3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(5,1),(5,3),(5,5),共13个，所以甲 24-8 (3)设事件S为“这四人恰有一位坐在自己的席位上”，则事件S只： 的抵率为是乙嘉的概率为1一号-号，所以这种辩戏规则不 包含8个样本点，所以P(S)= 公平 24=3 5,解为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，“乙”表示乙 课时分层检测（四十三） 胜，于是这两局有四种可能：（甲，甲），（甲，乙），（乙，甲），（乙，乙）. 基础达标练 其中甲获胜有3种情况，而乙获胜只有1种情况，所以甲获胜的概1.C2.C3.ABC4,A5.ACD 率是子，乙获胜的概率是子因此，合理的分法为甲得30元，乙得6.电出P】拾好有人解出可分为甲解出乙没解 出、甲没解出乙解出，这两个事件显然是互斥的，所以恰好有1人解 100元. : 出这个问题的概率为p1(1一2)十p2(1一1).」 300