课时分层检测(13) 余弦定理、正弦定理应用举例-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

3.v② T3[尚正孩定理白B得nB=子·sinA 2× 由余弦定理知(0C=20+20-800c0s120°=1200. 故(0C=20√5，∠C0y=30°+30°=60° 5=2T由余弦定理G2=6+e2-2 2becosA,得7=4十2-4c×8.解在△ABD中，∠ADB=60,∠DAB=75, 故救生艇的速度大小为20√3km/h,方向为北偏东60°.] 2 7 cos60°，即c2-2c-3=0,解得c=3或c=一1（舍去）.] .B=45 4.解(1)证明：因为A十B十C=π， sin Csin (A-B)=sin(A+B)sin(A-B)=sin2 Acos2 B- ∴.AD= ABsin B、12v6×2 sin∠ADB =24(n mile). cos2Asin2B=sin2A(1-sin2 B)-(1-sin2A)sin2B=sin2A-sin2B, 3 同理有sin Bsin(C-A)-sin(C+A)sin(C-A)-sinC-sinA, 所以sin2A-sin2B-sinC-sin'A, 即A与D间的距离为24 n mile. 由正弦定理可得2a2=b十c2. 19.解(1)由题意知OB=20海里. (2)由(1)及a2=b2+2-2cosA,得a2=2 bccos A,所以2r=31. 因为AB-30海里，∠AOB=60°，所以△AOB中，由余弦定理知， 因为b2+c2=2a2=50,所以(b+c)2=b2+c2+2bc=81,得b+c=9, AB2=OA2+OB-2XOAXOBX cos/AOB, 所以△ABC的周长1=a十b+c=14. 即302=0A2+202-2×0A×20×cos60°， 5解由aosC+号=b 即0A-20OA一500=0，解得OA=10+10√6（海里）（负值舍去）. 所以观测站A到港口()的距离为(10十10√6)海里. 得Aco C+inC=nB. (2)△AOB中，由正弦定理知， OB AB 20 30 因为sinB=sin(A十C)=sin Acos C-+cos Asin C,所以5s sin/OAB sin 60' 2sin C= sin∠DABsin2AOB,即 解得sin∠OAB= cos Asin C. △ABC中，∠BAC=30°，∠ABC-60°+∠OAB,所以∠ACB=90° 因为sinC≠0，所以cosA= 2 -∠OAB, 国为0<A<,所以A=吾 所以sin∠ACB-sin(90°-∠OAB)-cos∠OAB=J1-sin∠OAB (2)由正弦定理，得sinB=bsin A 3 21 在△ABC中，由正弦定理知， 所以B=晋或 BC AB sin∠BAC-sin∠ACB' 当B=时，由A=吾，得C=受，所以c=2: 即BC-30,解得BC=15E(海里. 2 当B=否时，由A=吾，得C=晋，所以c=a=1. 3 综上可得c=1或2. 所以0C=OB+BC=20+156(海里. 创新拓展练 2 解(1)由正弦定理 sin B-sin C*c-2bcos B,sin C-2sin Boos B= 所以海轮C的航行速度为(20+15，)海里/时. ! m2B,故C=2B以含去)浅C+2B=元故B=A=若 能力提升练 1.A2.A (2)由(1)知，c=√3b,故不能远①. :3.45°[依题意可得AD=20√10，AC=305, 若选②，设BC=AC=2.x,则AB=2√5x, 又CD=50,所以在△ACD中， 由余弦定理的推论得 故周长为(4十2√3)x=4+2√3，解得x=1. 从而BC=AC=2,AB=25. cos∠CAD=AC+AD-CD 2AC·AD 设BC中，点为D,则在△ABD中，由余弦定理， =(30⑤)2+(20V102-50 -6000= cosB=AB土BD一AD-12十1一AD=5,解得AD=7. 2×30√5X20√10 6000√2 2 2·AB·BD 43 又0°<∠CAD<180,所以∠CAD=45°， 若选③，设BC=AC=2.x,则AB=2√5x, 所以从顶端A看建筑物CD的张角为45°.] 故SAABC=立 (2x·m经52-3， 14.解在△ABC中， 4 amsA-号mB= 65 解得x= ,即BC=AC=3,AB-3. 设BC中点为D,则在△ABD中，由余弦定理， mA万-√1-（得）-高 由正弦定理， cos B= AB+BD:-AD 9+() -AD: 5 2·AB·BD 3√3 ，解符AD 2 得BC-AC·sinA sin B 1260×3-500(m), 63 √21 2 乙从B出发时，甲已经走了50×(2十8十1)=550(m), 课时分层检测（十三） 甲还需走710m才能到达C 设乙步行的速度为vm/min, 基础达标练 1.A 2.C 3.ACD 4.D 由题意得500_710 50 ≤3， 556.4【宽=800-8n90≈5856.4m.] 解得250≤< -625 43 6.30°[如图，设竹竿影子长为x.依据正弦定理可得 ,.为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3min,乙步行的速 sin60-sin120-0所以x=4·in(120° 2 度vm/min的取值范图是[1250,6251 3 43,14 a).因为0°120°-a<120°，所以要使x最大，只需 60 !5.解设年私船应沿CD方向行驶th,才能最快（在D点）裁获走 120°-a=90°，即a=30时，影子最长.] 私船， 7.60°20√5[如图，OA表示水流，(B表示风. 则CD=103t,BD=10. y4北B 在△ABC中，由余弦定理，得 BC=AB+AC-2AB·ACcos.∠BAC =(3-1)2+22-2(3-1)×2×c0s120°=6. BC=6.又sn2BAC-sinZABC' BC AC 由平行四边形法则在菱形OACB中，∠AOB=60°， 287 ∴sin∠ABC=AC·sim∠BAC_2Xsin120°-￥2 课时分层检测（十五） BC √6 基础达标练 又0°<∠ABC60°，∴.∠ABC=45°. :1.C2.B3.D4.B5.AC B点在C点的正东方向上， ,.∠CBD=90°+30°=120° !6.(一√6，一2)U(2W)[:复数对应的点位于第三象限， 在△BCD中，由正弦定理， {602<6或-6<k<-2.] BD CD 14-k<0, 得n乙BCD sin /CBD !7.11+i[:√a2+(-1)严-√2，且a>0,∴.a=1,则-1-i,= sin∠BCD=BD·sin∠CBD_10t·sin120°1 1+i] CD :8.士i[因为z为纯虚数，所以设z=ai(a∈R,且a≠0)，则z一1一 10√3t 又.0°∠BCD60°，.∠BCD=30°， ai一1=√a+1.又因为-1十i=√2，所以/a十1=2，即a 鲜私船沿北偏东60°的方向行驶 =1,所以a=士1，即x=士i.] 又在△BCD中，∠CBD=120°，∠BCD=30°， 9.一1十√3i[因为之在复平面内对应的点位于第二象限，所以a<0, ∴.∠CDB=30°，∴.BD=BC,即10t=√6. 由z=2知，√a2十(3)2=2，解得a=-1,所以x=-1十3i.] -(h≈15(mm. !10.解因为x是实数，所以x2十x一6，x2一2x一15也是实数. (1)当实数x满足x+工x-6<0, “,鲜私船应沿北偏东60的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需 、 3x2-2x-15<0, 要15分钟. 即一3x2时，点Z位于第三象限. 创新拓展练 (2)当实数x满足{十1-6>0， D x2-2x-15<0, 即2<x<5时，点Z位于第四象限. 课时分层检测（十四） (3)当实数x满足(x2十x-6)-(x2-2x-15)-3=0,即3.x十6= 0,x-一2时，点Z位于直线无 =0上.所以x=-2. 基础达标练 能力提升练 1.B2.C3.D4.A5.B6.D 11.BD2.B3.C 7.①②③⑥[若两个复数相等，则它们的实部、虚部均相等，故①正4，一2+31[因为名=2-3i对应的点的坐标为(2，一3)，且复数： 确：若虚部不相等，则两个复数一定不相等，故②正确：因满足形如 在复平面内对应的点关于原点对称，所以在复平面内对应点 a十i(a,b∈R)的数均为复数，故③正确：纯虚数的平方，如=一1， 的坐标为（一2,3），对应的复数为2=一2+3i.] 故④错误；-1的平方根不止一个，因为（士i)2=-1,故⑤错误：因5.解(1）z=√x-2)2+(x十2)产=√2x2+8≥2V2,当且仅当 为i一1=0成立，故⑥正确；√2i是虚数，而且是纯虚数，故⑦错误. x=0时，复数x的模最小，为2√2. 综上，①②③⑥正确.] (2)当复数x的模最小时，Z(一2,2) 8.2±2[由复数相等的充要条件得一3m一1=一3，解得 又点Z位于函数y=一nx十n的图象上， {2-m-6=-4, 所以2m十n=2(>0,且n>0). :6.解(1)因为，点A,B对应的复数分别是 z1=sin'0+i,2=-cos:0+icos 20, 9.解MUP=P,∴.CP, 所以，点A,B的坐标分别是A(sin0,1),B(-cos20,cos20), ∴.(m-2m)十(m+m-2)i=-1或(-2n)+(m+m-2)i-4i AB=(-cos20,cos 20)-(sin20,1)=(-cos20-sin20,cos 20- 由(m2-2n)+(n2+n-2)i=-1得 1)=(-1,-2sin20), jm-2m=。二1解符m=1, 所以AB对应的复数z=一1十(-2sin0)i {m2+m-2=0, (2)由1)知点P的坐标是(-1，-2sin0》,代入y=是 由(m2一2m)+(m2+m-2)i=4i得 m2-2n=0,解得m=2. 得-2sin0=一 即sin0=子所以0=士 m+m-2=4, 综上可知n=1或m=2. 又因为0e0,,所以n0=号所以0=吾或要 10.解(1)要使：为实数，m需满足m2+2m-3=0,且m(m+22有意 n-1 课时分层检测（十六） 义，即n一1≠0，解得n=一3. 基础达标练 1.C2.C3.A4.D5.B 2)要使：为虚数，m需滴足m+2m-3≠0，且mm2有意义，6：两式相加得28+2i,1=4+i] m-1 即m一1≠0，解得m≠1且m≠一3. 7.士25-2i[因为十2i是实数，所以可设x=a-2i(a∈R),由x=4 （3)要使：为纯虚数，m需满足m2-0,且m2+2m-3≠0，解8.得9朗482=2-(3y44x)二[4-2x） 得a2+4=16,所以2=12，所以a=±2√5，所以之=土2√5-2i.] n-1 得m=0或-2. -(5x+3y)门=(5x-3y)+(x+4y)i,又x=13-2i,所以 能力提升练 1.BD 2.B {81:解得=2.所以=（8×2-D十（-1-4×21 x+4y=-2, 3【[由名=将ona.游去m得入-.解设不复为配. =5-9i,z2=(-4-2×2)-(5×2-3×1)i=-8-7i] 9 所以x+i+√/x2+y2=5+√3i, 4sin0-3sin0=4(sin0-子）-最由于-1≤sn0K1,故-是 11 λ7.] 所以红十2+y=5,所以r=亏， 4.2或-√2 一22或2√2[x=x是方程的实根，代入方程并整 (y-W3, 理，得(x6十kx0十2)+（2x0十k)i=0.由复数相等的充要条件，得 所以x十i=1里+ 5 {+红2=0解得{5=区，或5二一区：方程的实根为10.解设的R则由为知了=4， 12x0十k=0, k=-22k=2√Z. 故之对应的，点在以原点为圆心，2为半径的圆上， x。=√2或x=一√2，相应的k值为k=一2√2或k=2√2.] 又z十1十√表示点(x,y)到点（一1，一3）的距离， 5.解(1)x,y∈R, 且点（一1，一√3）在圆x2十y=4上， ·由复数相等的定义，得21=x一y 所以圆上的点到点（一1，一√）的距离的最小值为0，最大值为圆的 y+1=-x-y, 直径4， 解得x-3, 即z十1十√尽的最大值和最小值分别为4和0. 能力提升练 y=-2 (2),x∈R,∴.由复数相等的定义，得 :1.CD 2.A 气5-0，即红=8支：且-1 !3.-4[因图为OA+OC=O店，所以2+gi+(-b+ai)=-2a+3i,所 2 x十1 (x2-2.x-3=0, 1x=3或x=-1, 12-b=-2a, x=3 288班级 姓名 得分 课时分层检测（十三） 余弦定理、正弦定理应用举例 :5.一架飞机在海拔8000m的高度飞行，在空 0 基础达标练 0 中测出前下方海岛两侧海岸的俯角分别是 1.如图所示，D,C,B 30°和45°，则这个海岛的宽度为 m. 三点在地面同一直 (精确到0.1m) 线上，DC=100m, 6.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，要 从C,D两点测得 使一根长为2m的竹竿的影子最长，则竹竿 A点仰角分别是 30° 60° 与地面所成的角α= 60°，30°，则A点离 C B ;7.在一次抗洪抢险中，某救生艇发动机突然发 地面的高度AB等于 ( 生故障停止转动，失去动力的救生艇在洪水 A.50√5m B.100√3m 中漂行，此时，风向是北偏东30°，风速是 C.50m D.100m 20km/h;水的流向是正东，流速是20km/h,若 2.如图所示，在坡度一定 不考虑其他因素，救生艇在洪水中漂行的速 的山坡A处测得山顶上 度的方向为北偏东 ,大小为 一建筑物CD的顶端C 15 km/h. 对于山坡的斜度为15°， A 8.如图，某货轮在A处看灯塔B北 向山顶前进100m到达B处，又测得C对于 在货轮的北偏东75°，距离为 DA120 山坡的斜度为45°，若CD=50m,山坡对于 12√6 n mile,货轮由A处向 地平面的坡度为0，则cos0等于 正北航行到D处时，再看灯 75° A B号 塔B在北偏东120°，求A与 C.3-1 D.√2-1 D间的距离. 3.(多选)如图，某校测绘兴趣 小组为测量河对岸直塔AB (A为塔顶，B为塔底)的高 度，选取与B在同一水平面 内的两点C与D(B,C,D不 在同一直线上)，测得CD= ,测绘兴趣小组利用测角仪可测得的角有 ∠ACB,∠ACD,∠BCD,∠ADB,∠ADC, ∠BDC,则根据下列各组测量数据可计算出： 塔AB的高度的是 ( ):9.如图，在O处有一港口，( A.s,∠ACB,∠BCD,∠BDC 两艘海轮B,C同时从港 B.s,∠ACB,∠BCD,∠ACD 口O处出发向正北方向 C.s,∠ACB,∠ACD,∠ADC 匀速航行，海轮B的航B D.s,∠ACB,∠BCD,∠ADC 行速度为20海里/时， 4.学校体育馆的人字形屋 海轮C的航行速度大于 架为等腰三角形，如图， 309 海轮B的航行速度.在 测得AC的长度为4m, A B 港口O北偏东60°方向 A=30°，则其跨度AB的长为 上的A处有一观测站，1小时后在A处测得 A.12m B.8 m 与海轮B的距离为30海里，且A处对两艘 C.2√3m D.4√3m 海轮B,C的视角为30°. 173 班级 姓名 得分 (1)求观测站A到港口O的距离； 缆车从A到B要8min,AC长为1260m, (2)求海轮C的航行速度. 若cosA-号nB-铝为使两位游客在C 处互相等待的时间不超过3min,求乙步行 的速度v(m/min)的取值范围. 4444444444444+44 …0 能力提升练 0 1.如图所示，为了测量某湖泊 两侧A,B间的距离，李宁 5.如图，在海岸A处发现 同学首先选定了与A,B不 北偏东45°方向，距A处 北 共线的一点C,然后给出了三种测量方案 (√3-1)n mile的B处 (△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a, 有一艘走私船.在A处 b,c): 北偏西75°方向，距A处 ①测量A,B,b;②测量a,b,C;③测量A, 2 n mile的C处的缉私船奉命以10√3n B:a. mile/的速度追截走私船，此时走私船正以 则一定能确定A,B间距离的所有方案的个 10 n mile/,h的速度从B处向北偏东30°方向 数为 ) 逃窜.问：缉私船沿什么方向行驶才能最快 A.3 B.2 C.1 D.0 截获走私船？并求出所需时间. 2.甲船在岛A的正南B处，以每小时4km的 速度向正北航行，AB=10km,同时乙船自 岛A出发以每小时6km的速度向北偏东： 60°的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它： 们所航行的时间为 ( A.190 min A.号min 4444 0 创新拓展练0… C.21.5 min D.2.15h 《蒙娜丽莎》是意大利文艺复兴时期画家列 3.如图，两座相距60m的建筑物AB,CD的高： 奥纳多·达·芬奇创作的油画，现收藏于法 度分别为20m,50m,BD为水平线，则从建 国卢浮宫博物馆.该油画规格为纵77cm,横 筑物AB的顶端A看建筑物CD的张角为 53cm.油画挂在墙壁上时，其最低点处B离 地面237cm(如图所示).有一身高为175cm 的游客从正面观赏它（该游客头顶T到眼睛 C的距离为15cm),设该游客与墙的距离为 xcm,视角为0，为使观察视角0最大，x应为 D 4.如图，游客从景点A下山至 C有两种路径：一种是从A 油画 B 沿直线步行到C,另一种是 先从A乘缆车到B,然后从 237cm B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A 175cm 下山.甲沿AC匀速步行，速度为50m/min. x cm 7777777777777777777777777 7777 在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B,在B: 处停留1min后，再从B匀速步行到C.已知 A.77 B.80 C.100 D.77√2 174