10.1.2 事件的关系和运算-【创新大课堂系列】2025-2026学年高中数学必修第二册同步辅导与测试(人教A版)

第十章概率 10.1.2事件的关系和运算 明学习目标 知结构体系 课标 了解随机事件的并、交与互斥的含义，会进行简单的随机事 包含关系 要求 件的运算」 相等关系 关系 事 互斥事件 的关 对立事件 素养 通过相关概念的学习及对简单随机事件的运算，发展数学抽 要求 象与数学运算素养 运算 并事件（和事件） 运算 交事件（积事件） 必备知识·自主梳理 预习新知，夯实基础 (一)事件的关系和运算 D:{出现4点；E:{出现5点}；F:{出现6点}； 1.事件的关系 G:{出现的点数不大于1)；H:{出现的点数小于 定义 符号表示 图示 5}; I:{出现奇数点；J:{出现偶数点 一般地，若事件A发 包 生，则事件B 请判断下列两个事件的关系： B2A 含关系 ,我们就称事件B ④B (1)B H;(2)D (或A二B)》 包含事件A(或事件A (3)E I;(4)A 包含于事件B) 二)互斥事件与对立事件 如果事件B包含事件 定义 符号表示 图示 相等关系 A,事件A也包含事件 A=B A(B) 一般地，如果事件A与 B,即 ,则称事 事件B 同时 件A与事件B相等 发生，也就是说A∩B A∩B= A B 是一个 ,则称 2.事件的运算 件 事件A与事件B互斥 定义 符号表示 图示 (或互不相容) 般地，事件A与事件 一般地，如果事件A和 ,这样 事件B在任何一次试 对 AUB= 的一个事件中的样本 立 验中 发生，那 事 且A∩B= 并 点或者在事件A中，或 么称事件A与事件B 件 2 事 者在事件B中，我们称 (或A+B) AOB 互为对立.事件A的对 这个事件为事件A与 立事件记为 事件B的并事件（或和 事件) 即时小练 1.判断正误 一般地，事件A与事件 B ,这样的一个 (1)在一次试验中，两个互斥事件有可能有一个 事件中的样本点既在事 发生 () 事 件A中，也在事件B中， (2)若两个事件是互斥事件，则这两个事件是对 件 (或AB) 我们称这样的一个事件 立事件， () 为事件A与事件B的交 (3)若事件AUB是必然事件，则事件A和B是 事件（或积事件） 对立事件 ( 即时小练 2.掷一枚骰子，观察结果，A={向上的点数为1}，B ={向上的点数为2}，则 () 在掷骰子试验中，可以得到以下事件： A.ACB B.A=B A:{出现1点}；B:{出现2点}；C:{出现3点}； C.A与B互斥 D.A与B对立 131 数学 必修第二册 关键能力·合作探究 讲练设计探究重，点 题点一事件间关系的判断 ={出现的点数大于3}，事件D3={出现的点数 小于5}，事件E={出现的点数小于7}，事件F= [典例]某小组有3名男生和2名女生，从中任选 {出现的点数为偶数，事件G={出现的点数为 2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不： 奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题： 是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立： (1)请列举出符合包含关系、相等关系的事件； 事件. (2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和 (1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”； 事件. (2)“至少有1名男生”与“全是男生”： (3)“至少有1名男生”与“全是女生”； (4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生” /方法技巧/ 进行事件运算应注意的问题 (1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定 义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出 /方法技巧/ 现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出 判断事件间关系的方法 全部的试验结果进行分析. (1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等， (2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之 还是互斥、对立，其发生的条件都是一样的. 间的关系时，可以根据常识来判断.但如果遇到 (2)判断事件间的结果是否有交事件，可考虑利 比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系 用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出 的定义来推理. 全部结果，再进行分析 对点训练 对点训练 、 1.打靶3次，事件A:表示“击中i发”，其中i=0,1, 从装有2个红球和2个白球（球除颜色外其他均 2,3.那么A=A1UA2UA3表示 相同)的口袋中任取2个球，用集合的形式分别： A.全部击中 B.至少击中1发 写出下列事件，并判断每对事件的关系： C.至少击中2发 D.以上均不正确 (1)“至少有1个白球”与“都是白球”； :2.盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个 (2)“至少有1个白球”与“至少有1个红球”； 球，设事件A=“3个球中有1个红球，2个白 (3)“至少有1个白球”与“都是红球” 球”，事件B=“3个球中有2个红球，1个白球”， 事件C=“3个球中至少有1个红球”，事件D= “3个球中既有红球又有白球”.问： (1)事件D与A,B是怎样的运算关系？ (2)事件C与A的交事件是什么？ (3)设事件E=“3个球都是红球”，事件F=“3个 球中至少有1个白球”，那么事件C与A,B,E是 题点二事件的运算 怎样的运算关系？事件C与F的交事件是什么？ [典例]在掷骰子的试验中，可以定义许多事件. 例如，事件C1={出现1点)，事件C2={出现2： 点}，事件C3={出现3点}，事件C4={出现4 点}，事件C={出现5点}，事件C6={出现6 点}，事件D1={出现的点数不大于1)，事件D2 132 第十章概率 素养演练·提升技能 达标训练素养提高 1.(多选)下列各组事件中是互斥事件的是()： 号同学为女生，记：C={选出1号同学)，C2 A.一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命 {选出2号同学}，C3={选出3号同学〉，C4={选 中环数小于6 出4号同学，C={选出5号同学}，C6={选出6 B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分： 号同学}，D1={选出的同学学号不大于1}，D2= 与平均分不高于90分 {选出的同学学号大于4}，D3={选出的同学学 C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒 号小于6}，E={选出的同学学号小于7}，F={选 D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低： 出的同学学号大于6}，G={选出的同学学号为 于70% 偶数}，H={选出的同学学号为奇数}等等.据此 2.如果事件A,B互斥，记A,B分别为事件A,B的： 回答下列问题： 对立事件，那么 ( )1 (1)上述事件中哪些是必然事件？哪些是随机事 A.AUB是必然事件B.AUB是必然事件 件？哪些是不可能事件？ C.A与B一定互斥D.A与B一定不互斥 (2)如果事件C1发生，则一定有哪些事件发生？ 3.(多选)某小组有三名男生和两名女生，从中任选 在集合中，集合C1与这些集合之间的关系怎样 两名去参加比赛，则下列各对事件中是互斥事件： 描述？ 的是 ( (3)两个事件的交事件也可能为不可能事件，在 A.恰有一名男生和全是男生 上述事件中能找出这样的例子吗？ B.至少有一名男生和至少有一名女生 C.至少有一名男生和全是男生 D.至少有一名男生和全是女生 4.打靶3次，事件A;表示“击中i次”，其中i=0,1, 2,3.那么A=A1UA2UA3表示 5.从学号为1,2,3,4,5,6的六名同学中选出一名 温馨提示 请做课时分层检测（四十） 同学担任班长，其中1,3,5号同学为男生，2,4,6 10.1.3 古典概型 明学习目标 知结构体系 课标 结合具体实例理解古典概型，能计算古典概型中简单随机事件的 特征：有限性、等可能性 要求 概率 古典概型 古典概型的概率计算公式 素养 通过具体实例的探究理解古典概型，发展数学抽象及数学运算 要求 素养 Pw会 必备知识·自主梳理 预习新知夯实基础 1.事件的概率 我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试 对随机事件发生可能性大小的 称为事 验，其数学模型称为古典概率模型，简称古典概型. 件的概率，事件A的概率用P(A)表示. :3.古典概型的概率计算公式 2.古典概型的定义 一般地，设试验E是古典概型，样本空间2包含 试验的样本点及样本空间具有如下共同特征： n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则 (1)有限性：样本空间的样本点只有 个； 定义事件A的概率P(A)= (2)等可能性：每个样本点发生的可能性 .其中，n(A)和n(2)分别表示事件A和样 本空间2包含的样本点个数 13310.1.2事件的关系和运算 必备知识·自主梳理 (一)1.一定发生B口A且A口B2.至少有一个发生AUB同时 发生A∩B 即时小练 (1)二(2)二(3)二(4)=「因为出现的，点数小于5包含出现 1点，出现2，点，出现3点，出现4点四种情况，所以事件B发生时， 事件H必然发生，故B二H,同理D二J,E二I:因为出现的点数不大 于1，也就是只能出现1点，所以A=G.] (二)不能不可能事件⑦有且仅有一个A2⑦ 即时小练 1.(1)/(2)×(3)× 2.C[由于事件A与B不可能同时发生，故A、B互斥.] 关键能力·合作探究 题点一 典例解从3名男生和2名女生中任远2人有如下三种结果：2名 男生，2名女生，1男1女 (1)“恰有1名男生”指1男1女，与“拾有2名男生”不能同时发生， 它们是互斥事件：但是当选取的结采是2名女生时，该两事件都不 发生，所以它们不是对立事件】 (2)“至少有1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件 “全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件 (3)“至少有1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互 斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件 (4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的 是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少有一名女生”同时发生， 所以它们不是互斥事件】 对点训练 解 给两个红球编号为1,2，给两个白球编号为3,4，从口袋中任取 两个球，用(x,y)表示取出的两个球，则试验的样本空间为2 {(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“至少有1个白 球”，则A={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(34}. (1)设B=“都是白球”，则B={(3,4)},所以B二A 即A和B不是互斥事件， (2)设C=“至少有一个红球” 则C={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, 因为A∩C={(1,3),(1,4),(2,3),(2,4)}, 所以A和C不互斥 (3)设D=“都是红球”，则D={(1,2)}, 因为AUD=2,A∩D=,所以A和D为对立事件. 题点三 典例解(1)因为事件C1,C,C3,C4发生，则事件D3必发生，所以 C二D3,CCD3,C二D3,C≤D3 同理可得，事件E包含事件C1,C,C,C,CC;事件D包含事 件C4,C,C:事件F包含事件C2,C,C:事件G包含事件C1, C.C 且易知事件C1与事件D1相等，即C1=D1 (2)因为事件D,={出现的点数大于3}={出现4点或出现5点或 出现6点}， 所以D,=C4 UCUC(或D=C:十C+C). 同理可得，D3=CUC2UC3UC,,E=C1UC2UC3 UC,UCUC, F=C UC UC,G=C UCUC. 对点训练 1.B[A1UA2UA3所表示的含义是A1,A2,A3这三个事件中至少有 一个发生，即可能击中1发、2发或3发.故选B. 2.解(1)对于事件D,可能的结采为3个球中有1个红球2个白球， 或3个球中有2个红球1个白球，故D=AUB. (2)对于事件C,可能的结果为3个球中有1个红球2个白球，或3 个球中有2个红球1个白球，或3个球都是红球，故C∩A=A (3)由(2)的分析可知，C=AUBUE:C∩F=AUB. 素养演练·提升技能 1.ACD[对于A,一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环 数小于6不可能同时发生，故A中两事件为互斥事件：对于B,设事 件A,为平均分不低于90分，事件A。为平均分不高于90分，则A ∩A,为平均分等于90分，事件A1与A,可能同时发生，故B中两 事件不是互斥事件：对于C,播种莱籽100粒，发芽90粒与发芽80 粒不可能同时发生，故C中两事件为互斥事件；对于D,检验某种产 品，合格率高于70%与合格率低于70%不可能同时发生，故D中两 事件为互斥事件，] 2.B[用Venn图解决此类问题较为直观.如图所示， AUB是必然事件. 3.AD[A是互斥事件，恰有一名男生的实质是选出的两名同学中有 一名男生和一名女生，它与全是男生不可能同时发生：B不是互斥 事件：C不是互斥事件：D是互斥事件，至少有一名男生与全是女生 不可能同时发生，] 4.至少有一次击中A1UA2UA:所表示的含义是A1,A2A这三 个事件中至少有一个发生，即可能击中1次、2次或3次， 5.解(1)必然事件有：E:随机事件有：C1,C2,C3,C,C,C6,D1,D2, D3,G,H:不可能事件有：F. 21 (2)如采事件C1发生，则事件D1,D,,E,H一定发生：类比集合之 间的关系，我们说事件D3,E,H包含事件C1,记作D3口C1,E口C1, H口C1,且D=C. (3)如：C1和C2,C3和C等等 10.1.3古典概型 必备知识·自主梳理 1.度量（数值）2.(1)有限(2)相等3.飞(A n(2) 即时小练 1.ACD2.4 关键能力·合作探究 题点一 典例解(1)每次摸出1个球后，仍放回袋中，再摸1个球.显然，这 是有放回的抽样，依次摸出的球可以重复，且摸球可无限地进行下 去，即所有可能结果有无限个，因此该试验不是古典概型 (2)从5名同学中任意抽取1名，有5种等可能发生的结果：抽到学 生甲，抽到学生乙，抽到学生丙，抽到学生丁，抽到学生戊.因此该试 验是古典概型. (3)射击的结果：脱靶0次，脱靶1次，脱靶2次，…，脱靶5次，这都 是样本点，但不是等可能事件，因此该试验不是古典概型。 点训练 B [①不是古典概型，因为从区间[1,10]内任取一个数，虽满足等 可能性，但由于区间内有无数个对象可取，所以它不具备“有限性” 这个条件.②是古典概型.因为试验结果只有10个，并且每个数被 抽到的可能性相等，所以它不仅具备“有限性”，而且还具各“等可能 性”，③是古典概型.道理同②.④不是古典概型.虽然试验的结采只 有2种，但是这枚硬币的质地不均匀，故它不具备“等可能性”，] 题点二 典例解(1)无放回地取球.任意摸出两个小球的样本空间为{（红， 白)，（红，黄），（白，黄）}，所以摸出的是红球和白球的概率为3 (2)有放回地取球.样本空间为{（红，红），（红，白），（红，黄），（白， 白)，（白，红），（白，黄），（黄，红)，（黄，白），（黄，黄）}，而事件“摸出 一红一白”包括（红，白），（白，红)两个样本，点，所以两次摸出的球是 一红一白的概率为2 0.1 拓展 1.解有放回地取球.样本空间为{（红，红），（红，白），（红，黄），（白， 白)，（白，红），（白，黄），（黄，红），（黄，白），（黄，黄）}，第一次摸出红 球，第二次摸出白球，只包含（红，白）一个样本点，故所求概率为 0 2.解无放回地取球.样本空间为{（红，白），（红，黄），（白，红），（白， 黄)，（黄，红），（黄，白）}，所以第一次摸出红球，第二次摸出白球的 概率是 6 对点训练 1.D[依题意，这4名学生分别记为高一：a,b,高二：c,d,从这4名学 生中随机选2名组织校文艺汇演，总的基本事件有：ab,a ,ad,bc bd,cd共6个基本事件，其中这2名学生来自不同年级的基本事件 有ac,ad,bc,bd,共4个基本事件，所以这2名学生来自不同年级的 概率为4=号·故选D,] 2.解这个试验样本空间2={(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)， (1,3,5),(1,4,5),(2,3,4),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}, 所以样本，点总数n一10. (1)因为事件A={(2,3,4)}, 所以事件A包含的样本点数n=1, 所以P(A)= 10 (2)因为事件B={(1,2,3),(1,2,4),(1,2,5),(1,3,4),(1,3,5), (1,4,5),(2,3,5),(2,4,5),(3,4,5)}, 所以事件B包含的样本点数m=9, 所以P(B)=m=9 n-10 题点三 典例解(1)依题意，估计该厂家产品的平均分值为55×0.12十65× 0.18+75×0.40+85×0.22+95×0.08=74.6. (2)设这5件产品分别为a,b,c,1,2,其中a,b,c为A车间生产的产 品，1,2为B车间生产的产品 从这5件产品中远出2件，用(x,y)表示样本空间中的样本，点， 则样本空间2={(a,b),(a,c),(a,1),(a,2),(b,c),(b,1),(b,2), (c,1),(c,2),(1,2)},共10个样本点， 其中含有B车间产品的样本点为(a,1),(a,2),(b,1),(b,2),(c,1), (c,2),(1,2),共7个， 所以取出的2件产品中含B车间产品的概率为 对点训练 解用数对(x,y)表示儿童参加活动先后记录的数，则样本空间2 与点集S={(x,y)x∈N,y∈N,1x4,1y4}一一对应.因为 S中元素的个数是4×4=16，所以样本，点总数=16. 6