1.4 全等三角形 讲义 -2026-2027学年浙教版八年级数学上册

本讲义聚焦全等三角形核心知识点，从全等图形的定义与特征切入，逐步过渡到全等三角形的概念、对应元素，再到性质（对应边和角相等、周长面积相等）及全等变换（平移、翻折、旋转），构建从基础到应用的学习支架。 资料通过8类分层题型（概念辨析、性质应用等）和随堂检测，培养学生几何直观与推理能力。例如利用图形实例判断全等、通过性质求角度线段，课中辅助教师系统教学，课后助力学生查漏补缺，强化知识应用。

1.4 全等三角形（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型1 ··全等图形的概念】 1 【题型2·全等三角形的概念】 4 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 6 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 8 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 11 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 12 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 15 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 18 【随堂检测】 20 知识点1 全等图形 1.全等图形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.核心特征 （1）形状相同，大小相等 （2）周长相等、面积相等, （3）平移、旋转、翻折(轴对称)前后的图形一定全等4.仅形状相同、大小不同(相似)≠全等。 【题型1 ··全等图形的概念】 【例1】在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】两个完全重合的图形称为全等图形，根据定义逐项判定即可得到答案． 【详解】 解：A、两个图形大小不同，不是全等图形，不符合题意； B、两个图形形状不同，不是全等图形，不符合题意； C、两个图形能够完全重合，是全等图形，符合题意； D、两个图形的形状和大小都不相同，不是全等图形，不符合题意． 【变式1-1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了两个图形的全等：能够完全重合的两个图形；根据此概念进行判断即可． 【详解】解：由题意知，选项A、C、D中的两个图形不能重合，故不是全等图形，而选项B中的两个图形能够完全重合，是全等图形； 故选：B． 【变式1-2】下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【答案】D 【分析】此题考查全等图形的定义，全等图形必须形状和大小完全相同，选项A、B、C中，图形可能因其他参数（如腰长、直角边、长宽比）不同而不全等；选项D中，圆的全等仅取决于半径，面积相等则半径相等，故一定全等． 【详解】A、两个底边相等的等腰三角形，腰长不一定相等，故不一定全等； B、两个斜边相等的直角三角形，内角不一定分别相等，直角边长也不一定分别相等，故不一定全等； C、两个周长相等的长方形，长和宽不一定分别相等，故不一定全等； D、∵ 圆的面积公式为 ，且圆的大小由半径唯一确定； ∴ 两个面积相等的圆，其半径必然相等，因此一定全等； 故选：D 【变式1-3】找出下列各组图中的全等图形（    ） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 【答案】C 【分析】本题考查全等图形，掌握相关知识是解决问题的关键．能够完全重合的图形是全等图形，据此判断即可． 【详解】解：能够完全重合的图形是全等图形，C选项中两个图形可以完全重合， 故选：C． 知识点2 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 题型2·全等三角形的概念】 【例2】下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的定义和性质，掌握全等形的概念、全等三角形的性质是解题的关键．根据全等三角形的定义和性质判断即可． 【详解】解：A、全等三角形是指形状和大小相同的两个三角形，该选项错误； B、全等三角形的面积相等，该选项正确； C、面积相等的两个三角形不一定都是全等三角形，该选项错误； D、等边三角形不一定都是全等三角形，该选项错误． 故选：B． 【变式2-1】下列命题，错误的是（    ） A．两条直角边对应相等的直角三角形全等 B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．顶角和一条边对应相等的等腰三角形全等 D．有一条边相等的两个等边三角形全等 【答案】C 【分析】本题考查了命题，三角形全等，掌握三角形全等的定理是关键．根据错误的命题是假命题以及结合三角形全等的定理进行逐项判断，即可作答． 【详解】解：A、两条直角边对应相等的两个直角三角形，可以用来证明这两个直角三角形全等，选项不符合题意； B、斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等，选项不符合题意； C、顶角和底边对应相等的两个等腰三角形，可以用来证明这两个等腰三角形全等，但原选项无法证明等腰三角形全等，符合题意； D、结合等边三角形的三边相等，即有一条边相等的两个等边三角形全等，选项不符合题意． 故答案为：C． 【变式2-2】说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的概念，根据能够完全重合的两个三角形是全等三角形，对各选项分析判断后利用排除法求解． 【详解】解：形状相同的两个三角形若其大小不相等就不是全等三角形，故选项A错误； 面积相等的两个三角形形状不一定相同，不一定是全等三角形，故选项B错误； 两个等边三角形，形状相同，边长不一定相等，不一定能完全重合，不一定是全等三角形，故选项C错误． 长相等的两个三角形不一定全等，故选项D正确； 故选D． 【变式2-3】下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 【答案】D 【分析】根据全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形为全等三角形，据此判断即可． 【详解】A、形状相同且大小相同的两个三角形一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； B、周长相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； C、面积相等的两个三角形不一定是全等三角形，原说法错误，不符合题意； D、边长为的等边三角形都是全等三角形，原说法正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了全等三角形的定义，熟记定义是解本题的关键． 知识点3 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点4 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 【例3】如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形全等的性质，平行线的判定解答即可． 【详解】解：， ， ， ； 无法证明； ， ，， ， 故选项A、C、D正确，不符合题意，选项B不正确，符合题意． 【变式3-1】如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是(     ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，根据全等三角形的性质得出，，，，据此得出选项即可． 【详解】解：， ，，，， ，即， 故A、B、C正确，D不正确， 故选：D． 【变式3-2】如图，若，则下列结论：（1）；（2）；（3），其中正确的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（1 ）和（2） 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，运用分析推理思想，根据全等三角形对应边、对应角相等逐一分析选项；解题关键是准确识别全等三角形的对应边和对应角；易错点是对全等三角形性质的应用及角度、边的推导逻辑混淆，根据，利用全等三角形对应边、对应角相等的性质，逐一分析每个选项的结论是否成立． 【详解】解：因为，所以对应边、，，无法得到（1），（3），故（1）（3）不正确， 因为，可得，所以，即，故（2）说法正确， 故选B． 【变式3-3】已知，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①② C．②③ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题的关键． 根据全等三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确的结论是：①②④， 故选： D． 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 【例4】如图，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据图象找到两个全等三角形的对应角和对应边，得到的度数，就可以得到结果． 【详解】解：∵两个三角形全等，再根据图上的对应关系，，， ∴， ∴． 故选择：D． 【点睛】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形对应角相等的性质． 【变式4-1】如图，两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，直接根据全等三角形的性质，三角形内角和定理求解，即可解题． 【详解】解：如图， 两个三角形全等， 两个三角形对应角相等， ∴， ∴的度数为； 故选：B． 【变式4-2】如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形内角和定理，关键是掌握全等三角形的对应角相等．根据全等三角形的性质可得，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解： ，， ， ， ． 故选：B． 【变式4-3】如图，已知，，，且，，三点在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的外角定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的对应角相等． 先根据全等三角形得到，再由三角形的外角定理得到，代入数据即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：C． 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 【例5】如图，，，，则的长是（   ）    A．2 B．3 C．5 D．7 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的性质，根据得到． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 【变式5-1】如图，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】B 【详解】∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-2】如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 【答案】D 【分析】由全等三角形的性质可得，再利用线段的和差求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴． 【变式5-3】如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的对应边相等的性质，先根据全等三角形的对应边相等得出，，再由，将数值代入计算即可求解． 【详解】解： ，，， ，， ∴． 故选：D． 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 【例6】如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握：全等三角形的对应边相等，据此求出，即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴的周长为． 故选：B． 【变式6-1】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等的性质，熟练掌握该知识点是解题的关键．不妨设，，，根据全等，可得，那么的周长为：，的周长为：，然后根据周长差求得，从而得出答案． 【详解】解： ， 设，，， ， ， 的周长为：， 的周长为：， 的周长比的周长大， ， ， 的周长为， 故选：C． 【变式6-2】如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为_____． 【答案】31 【分析】本题考查的是平移的性质，熟知把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行且相等是解题的关键．先根据图形平移的性质得出，，进而可得出结论． 【详解】解：∵三角形沿边方向向右平移得到三角形， ∴，， ∴，， ∴的周长是， ∴， ∴四边形的周长． 故答案为：31． 【变式6-3】如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【答案】12 【分析】先根据全等三角形的对应边相等得，，进而得的周长，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴的周长． 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 【例7】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【答案】15 【分析】本题主要考查了平移的性质，把一个图形整体沿某一直线方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同；新图形中的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点．连接各组对应点的线段平行（或共线）且相等．先根据平移的性质得到即，，可求出，最后根据梯形的面积公式计算即可． 【详解】解：∵将沿方向平移的长度得到， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：15． 【变式7-1】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______．    【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质，三角形的面积等知识点，读懂图形中的信息是解题的关键． 由题意可知，，于是可得，，，，进而可得，，然后根据的面积=长方形面积即可得解． 【详解】解：由题意可知： ，， ，，，，的面积=四边形面积 ， 四边形是长方形， ， ， 故答案为：． 【变式7-2】如图，若，且，则阴影部分的面积________．    【答案】16 【分析】根据“全等三角形的对应边相等”推知，然后结合三角形的面积公式作答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． ∴． 故答案为：16． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和三角形的面积，熟记知识点是关键． 【变式7-3】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是________． 【答案】5 【分析】根据全等三角形的性质可得，即可求出EG=2，根据全等三角形的性质得，则都减去的面积得，梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积，即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴都减去的面积得，梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积， 即， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握都减去的面积得梯形AGEB的面积等于梯形CFDG的面积． 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 29．如图，的顶点E落在的边上，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，掌握全等三角形中对应角相等，对应边相等是关键． （1）根据全等三角形的性质得到，由等边对等角得到，等量代换即可求解； （2）根据全等三角形的性质，三角形的外角的性质进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， 即平分． （2）证明：， ， ， 即， 是的外角， ， ， ， ． 【例8】已知，E与F是对应顶点．证明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质、三角形外角的定义和性质、平行线的判定等知识，首先根据全等三角形的性质得出，，根据三角形外角性质求出，根据平行线的判定得出即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式8-1】如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，平行线的判定，能熟记全等三角形的性质是解题的关键，注意：全等三角形的对应边相等，对应角相等． （1）根据全等三角形的性质得出，求出，根据平行线的判定得出即可； （2）根据全等三角形的性质得出，即可求出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 证明：∵， ∴ ∵，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 证明：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式8-3】如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的性质．利用全等三角形的性质解决问题即可． 【详解】解：∵， ， ． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了图形的全等：能够重合的两个图形是全等图形；根据此概念判断是否可以重合即可判断． 【详解】解：选项A、C、D中的两个图形不能重合，它们都不是全等图形，而选项B中的两个图形可以重合，是全等图形； 故选：B． 2．如图，，若，，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3.5 D．3 【答案】A 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形对应边相等是解题的关键．根据题意得到，即可得到答案． 【详解】解： ， ， ． 故选：A． 3．如图，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用全等三角形的对应角相等即可求解． 本题考查了全等三角形的性质，熟练掌握全等三角形的对应角相等是解题的关键． 【详解】解：∵图中的两个三角形是全等三角形， 又∵第一个三角形中，边长为的对角是， ∴在第二个三角形中，边长为的对角也是， ∴． 故选：B． 4．若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 【答案】B 【分析】本题考查的是全等三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键； 根据全等三角形的对应边相等，由对应顶点关系确定对应，再通过周长求出即可得． 【详解】解：，点和点，点和点是对应顶点， 与为对应边，即 的周长为，， ， 即， ， 故选：B． 5．如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理．先利用三角形的内角和定理可得，然后利用全等三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 【答案】B 【分析】根据平移的性质，全等三角形的性质，梯形的面积解答即可； 【详解】解：将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形． ， ，，，，，， ，， ， 故A，C，D都是正确的； ， ， ， 不一定相等，， 不一定相等， 不一定相等； 7．如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全等三角形的对应角相等、对应边相等，结合等腰三角形的性质和三角形的外角性质逐项判断即可． 【详解】解： ，，， 选项A、C正确，不符合题意； （三角形的外角性质） 又 选项D正确，不符合题意； 现有条件无法证明，故选项B错误，符合题意． 8．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，结合已知条件及对应点、对应角的关系，确定对应顶点，进而写出对应边和对应角． 【详解】解：∵，点、为对应点，， ∴对应顶点为：点与点，点与点，点与点， 这两个三角形的对应边是：与，与，与； 对应角是：与，与，与． 9．如图，，若，，则______． 【答案】 【分析】根据全等三角形性质求出，再根据三角形的内角和定理求解即可． 【详解】解：， (全等三角形对应角相等)， 在中，根据三角形内角和为， ． 10．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 【答案】6 【分析】根据全等三角形的对应边相等，得出，，然后根据已知线段的长度求出结果即可． 【详解】解：∵， ，， ∵， ， ∵， ，即． 11．在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当_______时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 【答案】2或4 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，全等三角形的性质，利用分类讨论思想解答是解题的关键． 根据等腰三角形的性质可得，然后分两种情况讨论：当时，当时，分别求解即可． 【详解】解：∵点D为的中点， ∴， ∵在中，， ∴， 当时，，， ∵， ∴； 当时， ∴． 故答案为：2或4． 12．如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 【答案】见解析 【分析】根据全等三角形的性质可知，进而得到，根据三角形内角和定理可得，即可证明． 【详解】解： ， ， ， ， ， ， ． 13．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的知识点是全等三角形的性质、外角性质、三角形内角和定理，解题关键是熟练掌握全等三角形的性质． （1）根据全等三角形的性质可得，，再由即可得解； （2）先由外角性质求出，再结合全等三角形的性质、三角形内角和定理求出、即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ； （2）解：是的外角， ， 又，， ， ， ，， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.4 全等三角形（知识解读） 【浙教版2024】 题型归纳 【题型1 ··全等图形的概念】 1 【题型2·全等三角形的概念】 2 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 4 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 5 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 6 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 6 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 7 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 8 【随堂检测】 10 知识点1 全等图形 1.全等图形定义 能够完全重合的两个图形叫做全等图形。 2.核心特征 （1）形状相同，大小相等 （2）周长相等、面积相等, （3）平移、旋转、翻折(轴对称)前后的图形一定全等4.仅形状相同、大小不同(相似)≠全等。 【题型1 ··全等图形的概念】 【例1】在下列各组图形中，是全等图形的是（ ） A．B．C． D． 【变式1-1】下列各组中的两个图形属于全等形的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】下列各组图形中，一定是全等图形的是（　　） A．两个底边相等的等腰三角形 B．两个斜边相等的直角三角形 C．两个周长相等的长方形 D．两个面积相等的圆 【变式1-3】找出下列各组图中的全等图形（    ） A．②和⑥ B．②和⑦ C．③和④ D．⑥和⑦ 知识点2 全等三角形 1. 全等三角形的有关概念 两个能完全重合的三角形叫做全等三角形．互相重合的顶点叫做对应顶点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角． 2. 全等三角形的表示方法 全等用符号“”表示，读作“全等于”． 表示两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上．这样容易写出对应边、对应角．如图中的与全等，记作“”，点A与点D、点B与点E、点C与点F是对应顶点． 题型2·全等三角形的概念】 【例2】下列说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形是指面积相等的两个三角形 D．等边三角形都全等 【变式2-1】下列命题，错误的是（    ） A．两条直角边对应相等的直角三角形全等 B．斜边和一个锐角对应相等的两个直角三角形全等 C．顶角和一条边对应相等的等腰三角形全等 D．有一条边相等的两个等边三角形全等 【变式2-2】说法中正确的是（    ） A．全等三角形是指形状相同的两个三角形 B．全等三角形是指面积相等的两个三角形 C．两个等边三角形是全等三角形 D．周长相等的两个三角形不一定全等 【变式2-3】下列说法正确的是（  ） A．形状相同的两个三角形一定是全等三角形 B．周长相等的两个三角形一定是全等三角形 C．面积相等的两个三角形一定是全等三角形 D．边长为的等边三角形都是全等三角形 知识点3 全等三角形的性质 1. 全等三角形的对应边相等，对应角相等． 2. 全等三角形的其他性质 （1）全等三角形的周长相等； （2）全等三角形的面积相等； （3）全等三角形对应边上的中线相等，对应角的平分线相等，对应边上的高相等． 知识点4 全等变换 一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置发生变化，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等． 如图（1），把沿BC所在直线向右平移一段距离，得到，则． 如图（2），把沿BC所在直线翻折，得到，则． 如图（3），把绕点A旋转，得到，则． 【题型 3·由全等三角形的性质判断正误】 【例3】如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，下列结论不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，，点在上，下列结论中不一定成立的是(     ) A． B． C． D． 【变式3-2】如图，若，则下列结论：（1）；（2）；（3），其中正确的是（    ） A．（1） B．（2） C．（3） D．（1 ）和（2） 【变式3-3】已知，，下列四个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有（   ） A．①②③④ B．①② C．②③ D．①②④ 【题型 4·由全等三角形的性质求角度】 【例4】如图，两个三角形全等，其中已知某些边的长度和某些角的度数，则x的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，两个三角形全等，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】如图，已知，若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】如图，已知，，，且，，三点在同一直线上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【题型 5·由全等三角形的性质求线段长度】 【例5】如图，，，，则的长是（   ）    A．2 B．3 C．5 D．7 【变式5-1】如图，，，，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式5-2】如图，若，且点，分别在，边上，，，则的长为（   ）． A．5 B． C．4 D．3 【变式5-3】如图，，若，，则的长为（　　） A．13 B．6 C．7 D．20 【题型 6··由全等三角形的性质求周长】 【例6】如图，，若的周长为，则的周长为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，在中，点，分别在边，上，连接，，若，，且的周长比的周长大，则的周长为（ ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，将周长为的三角形沿边方向向右平移得到三角形，则四边形的周长为_____． 【变式6-3】如图，在中，于点，是上一点．若，，，则的周长为________． 【题型 7··由全等三角形的性质求面积】 【例7】如图，中，，将沿方向平移的长度得到，且，，，则图中阴影部分的面积是______________．    【变式7-1】中国古代数学家刘徽在《九章算术注》中，给出证明三角形面积公式的出入相补法．如图所示，在中，分别取、的中点、，连接，过点作，垂足为，将分割后拼接成长方形．已知，，则的面积为______．    【变式7-2】如图，若，且，则阴影部分的面积________．    【变式7-3】如图，△ABC≌△DEF，点A与D，B与E分别是对应顶点，若测得∠A=∠D=90°，AB=3，DG=1，AG=2，则梯形CFDG的面积是________． 【题型8··由全等三角形的性质证明结论】 29．如图，的顶点E落在的边上，且． (1)求证：平分； (2)求证：． 【例8】已知，E与F是对应顶点．证明． 【变式8-1】如图，，且点E，B，D，F在一条直线上． (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)试判断与的数量关系，并证明你的结论． 【变式8-3】如图，，，，点，，在同一直线上，点在上，延长交于点，求的长． 随堂检测 【随堂检测】 1．下列图形是全等图形的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，，若，，则的长为（    ） A．6 B．4 C．3.5 D．3 3．如图，两个三角形全等，则等于（    ） A． B． C． D． 4．若，点和点，点和点是对应顶点，若的周长为，，则的长为（   ） A．5 B．6 C．9 D．5或9 5．如图，点，分别在线段，上，与相交于点．若，且，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，将直角三角形沿方向平移，得到直角三角形．已知，，则有下列说法：其中一定错误的是（     ） A． B． C． D．图中阴影部分的面积为 7．如图，如果，顶点、、分别与顶点、、对应，且点在上，那么下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 8．如图，已知，点、为对应点，，则这两个三角形的对应边是_________与_________，_________与_________，_________与_________；对应角是_________与_________，_________与_________，_________与_________． 9．如图，，若，，则______． 10．如图，已知，点E，A，B依次在同一条直线上，若，，则的长为________． 11．在中，，，点D为的中点．如果点P在线段上由点B向点C运动，同时，点Q在线段上由点C向A点运动．则当_______时，以点B，P，D为顶点的三角形与全等． 12．如图，，，，延长交于点，交于点．试说明． 13．如图，，点在边上，与相交于点． (1)若，，求线段的长； (2)若，，求的度数． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $