2026-2027学年高一上学期必修一1.3.1 不等式的性质新授课

该高中数学课件聚焦不等式的性质、比较大小的基本事实及应用，通过现实不等关系（如“限重40吨”）导入，类比等式性质构建知识支架，帮助学生衔接前后内容，形成完整认知。 其亮点在于以数学抽象、逻辑推理为核心，通过“思考”问题探究性质条件，表格化呈现性质，作差法步骤清晰，结合粉刷费用等实际案例培养数学建模能力。学生能提升运算与推理能力，教师可高效开展教学。

§3　不等式 3.1　不等式的性质 【素养目标】 1．了解现实世界和日常生活中的等量关系与不等关系．(数学抽象) 2．了解不等式(组)的实际背景，会用不等式(组)表示不等关系．(数学建模) 3．掌握不等式的性质及应用．(逻辑推理) 4．会用作差法(或作商法)比较两个实数或代数式值的大小．(数学运算) 5．能运用等式的性质或不等式的性质解决相关问题．(逻辑推理) 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【学法解读】 在相等关系与不等关系的学习中，学生通过类比学过的等式与不等式的性质，进一步探索等式与不等式的共性与差异． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 必备知识•探新知 关键能力•攻重难 课堂检测•固双基 必备知识•探新知 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础知识 　　　比较两个实数a，b大小的基本事实 知识点1 文字语言 符号表示 如果a－b是________，那么a＞b，反过来也成立 a＞b⇔_____________ 如果a－b等于0，那么a＝b，反过来也成立 a＝b⇔_____________ 如果a－b是________，那么a＜b，反过来也成立 a＜b⇔_____________ 正数　 a－b＞0　 a－b＝0　 负数　 a－b＜0　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考1：(1)在比较两实数a，b大小的依据中，a，b两数是任意实数吗？ (2)若“b－a＞0”，则a，b的大小关系是怎样的？ 提示：(1)是　(2)b＞a 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　不等式的性质 知识点2 序号 性质内容 1 如果a＞b，且b＞c，那么__________ 2 如果a＞b，那么a＋c＞b＋c 3 (1)如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc (2)如果a＞b，c＜0，那么__________ a＞c　 ac＜bc　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 序号 性质内容 4 如果a＞b，c＞d，那么__________________ 5 (1)如果a＞b＞0，c＞d＞0，那么ac＞bd (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么______________ 特殊地，当a＞b＞0时，__________，其中n∈N＋，n≥2 6 当a＞b＞0时，__________，其中n∈N＋，n≥2 a＋c＞b＋d　 ac＜bd　 an＞bn　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 思考2：(1)性质2的推论实际就是解不等式中的什么法则？ (2)性质3就是在不等式的两边同乘以一个不为零的数，不改变不等号的方向，对吗？为什么？ (3)使用性质5时，要注意什么条件？ 提示：(1)移项法则． (2)不对．要看两边同乘以的数的符号，同乘以正数，不改变不等号的方向，但是同乘以负数时，要改变不等号的方向． (3)各个数均为正数． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 基础自测 1．判断正误(对的打“√”，错的打“×”) (1)若a＞b，则ac2＞bc2． (　　) (2)同向不等式相加与相乘的条件是一致的． (　　) (3)设a，b∈R，且a＞b，则a3＞b3． (　　) (4)若a＋c＞b＋d，则a＞b，c＞d． (　　) ×　 ×　 √　 ×　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 2．设b＜a，d＜c，则下列不等式中一定成立的是 (　　) A．a－c＞b－d　　　 B．ac＞bd C．a＋c＞b＋d　 D．a＋d＞b＋c 3．已知a＜0，－1＜b＜0，那么下列不等式成立的是 (　　) A．a＞ab＞ab2　 B．ab2＞ab＞a C．ab＞a＞ab2　 D．ab＞ab2＞a [解析]　由－1＜b＜0，可得b＜b2＜1， 又a＜0，∴ab＞ab2＞a，故选D． C　 D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 4．大桥桥头立着的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量T满足关系 (　　) A．T＜40　 B．T＞40 C．T≤40　 D．T≥40 C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） ＞　 ＜　 ＜　 ＜　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [解析]　(1)∵c＜d，∴－c＞－d， ∵a＞b， ∴a－c＞b－d． (2)∵c＜d＜0，∴－c＞－d＞0． ∵a＞b＞0， ∴－ac＞－bd，∴ac＜bd． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 关键能力•攻重难 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型探究 题型一 作差法比较大小  [分析]　作差⇒化简⇒判定差的符号⇒确定大小关系 例 1 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 【对点练习】❶　当x≤1时，比较3x3与3x2－x＋1的大小． [解析]　3x3－(3x2－x＋1)＝(3x3－3x2)＋(x－1) ＝3x2(x－1)＋(x－1) ＝(3x2＋1)(x－1)． 因为x≤1，所以x－1≤0， 而3x2＋1＞0． 所以(3x2＋1)(x－1)≤0， 所以3x3≤3x2－x＋1． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型二 不等式性质的应用  例 2 C　 [分析]　通过赋值可以排除A，D，根据不等式的性质可判断B，C正误． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　判断关于不等式的命题真假的两种方法 (1)直接运用不等式的性质：把要判断的命题和不等式的性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，然后进行推理判断． (2)特殊值验证法：给要判断的几个式子中涉及的变量取一些特殊值，然后进行比较、判断． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 题型三 证明不等式  [分析]　不等式证明，就是利用不等式性质或已知条件，推出不等式成立． 例 3 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [归纳提升]　利用不等式的性质证明不等式注意事项 (1)利用不等式的性质及其推论可以证明一些不等式．解决此类问题一定要在理解的基础上，记准、记熟不等式的性质并注意在解题中灵活准确地加以应用． (2)应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 误区警示 例 4 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [错因分析]　把不等式的同向不等式(正项)相乘的性质用到了除法，从而导致错误． [方法点拨]　若题目中指定代数式的取值范围，必须依据不等式的性质进行求解，同向不等式具有可加性与可乘性，但是不能相减或相除，解题时必须利用性质，步步有据，避免改变代数式的取值范围． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 学科素养 不等关系的实际应用 不等关系是数学中最基本的部分关系之一，在实际问题中有广泛应用，也是高考考查的重点内容． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 　　　　有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x＜y＜z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a＜b＜c．在不同的方案中，最低的总费用(单位：元)是 (　　) A．ax＋by＋cz　 B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx　 D．ay＋bx＋cz B　 例 5 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） [分析]　本题考查实际问题中不等关系的建立及利用不等式的性质比较大小． [解析]　方法一：因为x＜y＜z，a＜b＜c，所以ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)＞0，故ax＋by＋cz＞az＋by＋cx；同理，ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)＜0，故ay＋bz＋cx＜ay＋bx＋cz．又az＋by＋cx－(ay＋bz＋cx)＝a(z－y)＋b(y－z)＝(a－b)(z－y)＜0，故az＋by＋cx＜ay＋bz＋cx． 综上可得，最低的总费用为az＋by＋cx． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 方法二：采用特殊值法进行求解验证即可，若x＝1，y＝2，z＝3，a＝1，b＝2，c＝3，则ax＋by＋cz＝14，az＋by＋cx＝10，ay＋bz＋cx＝11，ay＋bx＋cz＝13．由此可知最低的总费用是az＋by＋cx． 方法三：根据实际意义． [归纳提升]　对于不等关系判断问题的求解，一般需要通过作差进行推理论证，对运算能力要求较高，但对于具有明确不等关系的式子进行判断时，特殊值法是一种非常值得推广的简便方法． 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 课堂检测•固双基 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 1．设a＝3x2－x＋1，b＝2x2＋x，则 (　　) A．a＞b　 B．a＜b C．a≥b　 D．a≤b [解析]　a－b＝3x2－x＋1－(2x2＋x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2≥0，∴a－b≥0即a≥b，故选C． C　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 3．(2022·湖北省宜昌市七校期末联考)已知a＞b，c＞d，且c，d均不为0，那么下列不等式一定成立的是 (　　) A．ad＞bc　 B．ac＞bd C．a－c＞b－d　 D．a＋c＞b＋d [解析]　令a＝2，b＝－2，c＝3，d＝－6，可排除A、B， C．由不等式的性质4知，D一定成立． D　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） B　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） ＜　 返回导航 第一章　预备知识 数学（必修·第一册　BSD） ＞　 [解析]　(1)由不等式的性质，ac2＞bc2⇒a＞b；反之，c＝0时，a＞bac2＞bc2． (2)相乘需要看是否而相加与正、负和零均无关系． (3)符合不等式的可乘方性． (4)取a＝4，c＝5，b＝6，d＝2，满足a＋c＞b＋d，但不满足a＞b，故此说法错误． 5．用不等号“＞”或“＜”填空： (1)如果a＞b，c＜d，那么a－c______b－d； (2)如果a＞b＞0，c＜d＜0，那么ac______bd； (3)如果a＞b＞0，那么______； (4)如果a＞b＞c＞0，那么______． (3)∵a＞b＞0，∴ab＞0，＞0，∴a·＞b·＞0， ∴＞＞0，∴()2＞()2，即＜． (4)∵a＞b＞0，所以ab＞0，＞0．于是a·＞b·，即＞，即＜．∵c＞0，∴＜． 　　　　已知a≠1且a∈R，试比较与1＋a的大小． [解析]　因为－(1＋a)＝－＝，① (1)当a＝0时，＝0，所以＝1＋a． (2)当a＜1，且a≠0时，＞0，所以＞1＋a． (3)当a＞1时，＜0，所以＜1＋a． [归纳提升]　作差法比较大小的步骤 — — — — 　　　　若a＜b＜0，则下列结论正确的是 (　　) A．a2＜b2　　　 B．ab＜b2 C．＞　 D．ac2＞bc2 [解析]　若a＜b＜0，对于A选项，当a＝－2，b＝－1时，不成立；对于B选项，等价于a＞b，故不成立；对于C选项，＜＜0，故选项正确；对于D选项，当c＝0时，不正确． 【对点练习】❷　设a，b是非零实数，若a＜b，则下列不等式成立的是 (　　) A．a2＜b2　 B．ab2＜a2b C．＜　 D．＜ [解析]　当a＜0，b＞0时，a2＜b2不一定成立，故A错．因为ab2－a2b＝ab(b－a)，b－a＞0，ab符号不确定，故B错．－＝＜0，所以＜，故C正确．D中与的大小不能确定． 　　　　设a＞b＞c，求证：＋＋＞0． [证明]　因为a＞b＞c，所以－c＞－b． 所以a－c＞a－b＞0，所以＞＞0． 所以＋＞0．又b－c＞0， 所以＞0．所以＋＋＞0． 【对点练习】❸　若a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：＞． [证明]　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0． 又因为a＞b＞0，所以a－c＞b－d＞0． 所以(a－c)2＞(b－d)2＞0．所以0＜＜． 又因为e＜0，所以＞． 错用同向不等式性质 　　　　已知12＜a＜60，15＜b＜36，的取值范围是____________． ＜＜4　 [错解]　∵12＜a＜60，15＜b＜36，∴＜＜， ∴＜＜．故填＜＜． [正解]　∵15＜b＜36，∴＜＜，又12＜a＜60，∴＜＜，∴＜＜4，故填＜＜4． 2．(2021·湖北省黄石一中检测)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有 (　　) A．＞　　　　　 B．＜ C．＞　 D．＜ [解析]　因为c＜d＜0，所以－c＞－d＞0， 所以＞＞0． 又a＞b＞0，所以＞，所以＜． 4．给定下列命题： ①0＞a＞b⇒a2＞b2；②a2＞b2⇒a＞b＞0；③a＞b⇒＜1；④a＞b⇒a3＞b3． 其中真命题的个数是 (　　) A．0　 B．1 C．2　 D．3 [解析]　对于①，由0＞a＞b可知，0＜－a＜－b，则由性质7可知，(－b)2＞(－a)2，即b2＞a2，故①错误；对于②，性质7不具有可逆性，故②错误；对于③，只有当a＞0且a＞b时，＜1才成立，故③错误；对于④，因为a＞b，所以a－b＞0，所以a3－b3＝(a－b)(a2＋ab＋b2)＝(a－b)＞0，故a3＞b3，④正确． 5．若a＞b＞0，则______(n∈N＋)．(填“＞”或“＜”) [解析]　∵a＞b＞0，∴an＞bn＞0， ∴＞，即＜． $