专题09 解三角形（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以正余弦定理为核心，通过“考向分类-典例示范-方法提炼”构建解三角形系统性训练，强化逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正、余弦定理解三角形|含2026全国卷等5道真题典例|边角互化优先，延长线问题建系或向量表示|以定理为工具，结合内角和、面积公式实现基本求解| |三角形的最值与范围|含2026北京卷等3道典例|利用三边不等式、三角函数单调性或基本不等式|从定性分析到定量计算，体现函数与方程思想| |三角形三线|含2025北京卷等4道真题|中线/角平分线/高线问题结合定理与几何性质|延伸定理应用场景，构建“基础-综合”递进逻辑|

专题09 解三角形 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 正弦、余弦定理：考查边角互化、三角形基本求解问题。依托正、余弦定理结合三角形内角和、面积公式，求解三角形中线、角平分线、面积相关问题。 三角形的最值与范围：常结合基本不等式、三角函数单调性、函数值域求解边长、周长、面积及边角式的取值范围与最值。命题多与三角函数、平面向量交汇. 2．素养考向 逻辑推理：通过边角关系等价转化、公式灵活选用、最值问题分类讨论，考查转化化归、函数与方程思想，注重推理的严谨性与逻辑性。 工具应用：以正、余弦定理、面积公式为核心解题工具，重点考查数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养。 正弦、余弦定理 2026·全国一卷T16（正、余弦定理解三角形） 2026·全国二卷T17（正、余弦定理解三角形） 2026·天津卷T12（正弦定理） 2025·全国二卷T5（余弦定理） 2025·全国一卷T11（三角恒等变换与解三角形） 2025·天津卷T16（三角恒等变换与解三角形） 2024·新课标Ⅰ卷T15（正、余弦定理解三角形） 2024·新课标Ⅱ卷T15（正、余弦定理解三角形） 2024·北京卷T16（正、余弦定理解三角形） 2024·天津卷T16（三角恒等变换与解三角形） 三角形三线（中线、角平分线，高线） 2025·北京卷T16（三角形的高线） 三角形的最值与范围 2026·北京卷T10（最值问题） 2026全国一卷、二卷解三角形多为中档解答题，一卷综合性稍强，常会结合周长、面积最值、范围问题；二卷题型更常规，改编教材习题，运算门槛更低。核心考查正弦定理、余弦定理、面积公式，常涉及边角互化、已知边角求解边长角度。 命题重基础应用，规避繁杂变形，强调条件梳理与运算严谨性，常与三角函数恒等变换、不等式最值交汇。部分小题依托实际情境命题，侧重建模能力。该模块为固定必考大题，一卷侧重范围探究，二卷侧重基础求解，注重公式选用与分类讨论意识考查。 考向一 正、余弦定理解三角形 典例1．（2026·全国一卷T16）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 【解】（1）在中，，，. 由余弦定理可知， 故. 再由余弦定理得. （2）以为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系如图： 则，，由，得. 在延长线上，设，则，，， 设，则. 由，得，故. 于是. 已知，则，则. 代入得，而， 故. 微点拨：解三角形优先用正、余弦定理处理边角关系；涉及延长线线段比例，可建坐标系或用向量表示边长，结合余弦定理列方程求解，理清线段等量关系是解题关键。 考向二 最值范围问题 典例2．（2026·北京卷T10）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，则，即得， 所以中， 所以， 所以的范围为. 微点拨：摇杆最值问题本质是利用三角形三边不等式；两定线段夹角可在变化，两点距离最小值为两线段长度之差，最大值为两线段长度之和，据此直接写出取值区间。 考向一 正弦、余弦定理解三角形 1.（2025·全国二卷T5）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得， 又，所以.故选：A 2.（2026·天津卷T12）在中，，，，则__________． 【答案】/ 【解析】在中，，所以， 由正弦定理可得. 3.（2026·全国二卷T17）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 【解】（1）证明：由，则， 又，得，则， 由两角和的余弦公式，， 结合可知， 则异号，必然一个为负，一个为正. 又，即中必有一个是钝角； （2）方法一：由正弦定理和三角形的面积公式， ， （是外接圆半径） 又，，则，解得， 又，则， 由余弦定理，即， 又，则， 于是，即， ，解得， 故周长为. 方法二：由，则， 即， 由正弦定理可得，， 由三角形面积公式，， 得到，则，其余同上. 4．（2024·新课标Ⅰ卷T15）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 【解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得， 因为，所以， 从而， 又因为，即， 注意到， 所以. （2）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 5．（2024·新课标Ⅱ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 【解】（1）方法一：常规方法（辅助角公式） 由可得，即， 由于，故，解得 方法二：常规方法（同角三角函数的基本关系） 由，又，消去得到： ，解得， 又，故 （2）由题设条件和正弦定理 ， 又，则，进而，得到， 于是， ， 由正弦定理可得，，即， 解得， 故的周长为 考向二 三角恒等变换与解三角形 6.（2025·全国一卷T11）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】，由二倍角公式，， 整理可得，，A选项正确； 由诱导公式，， 展开可得， 即， 下证. 方法一：分类讨论 若，则可知等式成立； 若，即，由诱导公式和正弦函数的单调性可知，，同理， 又，于是， 与条件不符，则不成立； 若，类似可推导出，则不成立. 综上讨论可知，，即. 方法二：边角转化 时，由，则， 于是， 由正弦定理，， 由余弦定理可知，，则， 若，则，注意到，则， 于是（两者同负会有两个钝角，不成立），于是， 结合，而都是锐角，则， 于是，这和相矛盾， 故不成立，则 由两角和的正切公式可得，， 设，则， 由，则，则， 于是，B选项正确，由勾股定理可知，，D选项错误. 故选：ABC 7.（2025·天津卷T16）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 【解】（1）已知，由正弦定理， 得，显然， 得，由， 故； （2）由（1）知，且，， 由余弦定理， 则， 解得（舍去）， 故； （3）由正弦定理，且， 得，且，则为锐角， 故，故， 且； 故. 8.（2024·天津卷T16）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 【解】（1）设，，则根据余弦定理得， 即，解得（负舍）； 则. （2）法一：因为为三角形内角，所以， 再根据正弦定理得，即，解得， 法二：由余弦定理得， 因为，则 （3）法一：因为，且，所以， 由（2）法一知， 因为，则，所以， 则， . 法二：， 则， 因为为三角形内角，所以， 所以 9.（2024·北京卷T16）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【解】（1）由题意得，因为为钝角， 则，则，则，解得， 因为为钝角，则. （2）选择①，则，因为，则为锐角，则， 此时，不合题意，舍弃； 选择②，因为为三角形内角，则， 则代入得，解得， , 则. 选择③，则有，解得， 则由正弦定理得，即，解得， 因为为三角形内角，则， 则 ， 则 考向二 三角形的三线（中线、角平分线、高线） 10.（2025·北京卷T16）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 【解】（1）因为，所以， 由正弦定理有，解得； （2）如图所示，若存在，则设其边上的高为， 若选①，，因为，所以，因为，这表明此时三角形有两个钝角， 而这是不可能的，所以此时不存在，故边上的高也不存在； 若选②，，由有，由正弦定理得,所以， 所以由余弦定理得, 此时三角形是存在的，且唯一确定， 所以,即， 所以边上的高； 若选③，的面积是，则， 解得，由余弦定理可得可以唯一确定， 进一步由余弦定理可得也可以唯一确定，即可以唯一确定， 这表明此时三角形是存在的，且边上的高满足：，即. 11．（2023·新课标Ⅰ卷T15）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 【解】（1）， ，即， 又， ， ， ， 即，所以， . （2）由（1）知，， 由， 由正弦定理，，可得， ， . 12．（2023·新课标Ⅱ卷T15）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 【解】（1）方法1：在中，因为为中点，，，    则，解得， 在中，，由余弦定理得， 即，解得，则， ， 所以. 方法2：在中，因为为中点，，， 则，解得， 在中，由余弦定理得， 即，解得，有，则， ，过作于，于是，， 所以. （2）方法1：在与中，由余弦定理得， 整理得，而，则， 又，解得，而，于是， 所以. 方法2：在中，因为为中点，则，又， 于是，即，解得， 又，解得，而，于是， 所以. 一、单选题 1．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以，所以， 在中，由以及正弦定理得：，得． 2．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【解析】在中，由正弦定理得，交叉变形可得，已知， 因此，结合题设，将上述值代入，可得： ，解得 3．（2026·山东青岛·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【解析】由余弦定理得，又 得，又，从而，又，所以 从而的面积. 4．（2026·江苏无锡二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【解析】由题意知，所以， 由余弦定理知，所以， 由正弦定理得，则，，， 所以. 5．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 【答案】A 【解析】设的三个内角所对的边分别为， 由可得， 即， 由余弦定理，得，化简可得， 则， 令，代入则得， 设函数，令，则， 代入可得， ，当且仅当，即时取等号，所以， 即当时，即时，取得最小值. 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，，由余弦定理：， 即，所以， 因为在中，，所以， 所以， 令，因为，得，即， 则 ， 这是关于的二次函数，开口方向向下，所以当时，二次函数取到最大值为144， 此时. 二、多选题 7．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 【答案】ABD 【解析】由及正弦定理得，， ， 代入得， 得， 即，在中，有，故A项正确； 由，得， 得， 因，则，得，故B项正确； 因为，，及， 联立解得， 由得，则， ，故D项正确； 外接圆半径为，故C项错误． 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 【答案】BCD 【解析】由正弦定理可知：，（为外接圆的半径）， 则； 因为，代入可得： ， 则， 由两角和的正弦公式可得：， 因为，故，化简可得：， 故，因为，故，故B正确； 通过题给条件无法判断A,故A错误； 因为，由基本不等式可知：， 故； 故， 当且仅当时，“=”成立，故C正确； 由余弦定理可知：； 因为，故，解得； 因此周长：，因为， 因此周长可以为3，故D正确． 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 【答案】BD 【解析】对于A，由余弦定理，得，A错误； 对于B，由是的中线，得，则 ，B正确； 对于C，由是的高，得，则，C错误； 对于D，由是的角平分线，得，由， 得，则，D正确. 三、填空题 10．（2026·江苏盐城·期末）在中，若，则角________． 【答案】 【解析】】由题知， 根据正弦定理可得， 由余弦定理可知，将上述等式代入，得， 又，故. 11．（2026·陕西榆林·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 【答案】/ 【解析】在中，,，故, 由余弦定理，得. 又（当且仅当时取等号），所以， 所以， 所以面积的最大值为. 12．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 【答案】 【解析】由题意可得，，，，则， 根据正弦定理可得，又，所以，所以地震的位置C在A地正东处. 四、解答题 13．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 【解】（1）设，．则， 又，由余弦定理，． 记，则， 因为为的平分线， 所以， 所以，又， 故，因此． （2）三角形面积：； 由（1）可知：． 14．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 【解】（1）由，， 则， 所以的最小正周期为． （2）由，即，即， 又B为的内角，则，则， 所以，解得， 又，由余弦定理有，得，即， 由均值不等式有，则， 即，即，解得， 当且仅当时取等号，此时为等边三角形， 所以周长的最大值为． 15．（2026·湖北·模拟预测）已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 【解】（1）由和正弦定理，可得， 因，代入可得， 因为，所以，由因,所以. 在中，，，， 由余弦定理，， 所以. （2）设，则，设，则. 在中，，由正弦定理，得①， 在中，，由正弦定理，得②. 由得：， 整理得： 可得 . 又为锐角，所以. 在中，由正弦定理，可得， 所以. 16．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知在中，，. (1)求证：； (2)若边上的中线的长为1，求的面积. 【解】（1）解：因为，， 所以，即， 所以， 因为，即 因为，中至少有一个为锐角， 所以， 所以， 即 所以， 所以，即， 因为， 所以，即. （2）解：由（1）知，即， 所以， 因为， 所以， 因为，所以， 所以， 因为，， 所以，， 因为，所以， 所以，由余弦定理得，即， 所以 设为外接圆半径， 所以， 所以，解得，即， 所以， 所以 17．（2026·江苏南京·模拟预测）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. (1)求证：； (2)若为的边上的高，求的取值范围. 【解】（1）由得 ， 两边同时约去，并由正弦定理得：， 所以，即. 在中，因为，为内角，所以，或 . 若，则（舍去）. 故，即.证毕. （2）由(1)知，由正弦定理得， ，又 ， 所以. 由三角形内角均为正数，即，解得， 所以，， 所以. 18．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 【解】（1）在中，，所以，同理可得，. 由，得， 即， 整理得， 又，所以，所以，即， 又，所以. （2）在中，由余弦定理，得， 又，所以， 即，也即， 解得， 令，的中点分别为，，由点为的外接圆圆心，得，， ， ， 所以. 19．（2026·山东聊城·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求的取值范围. 【解】（1）由题意得， ， 化简得，由是锐角三角形， 所以，可得， 再由是锐角三角形，可知，故； （2）由（1）知， 由余弦定理得，即， 因为是锐角三角形，所以，即， 代入得， 解得. 20．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上． (1)求观测点C与建筑物A之间的距离； (2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 【解】（1）在中，根据方向角可得： ，， 因此， 已知，由正弦定理：， 代入得：. （2） 根据方向角得：，， 因此 由正弦定理：， 代入得：， 又，因此的面积： . 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解三角形 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 正弦、余弦定理：考查边角互化、三角形基本求解问题。依托正、余弦定理结合三角形内角和、面积公式，求解三角形中线、角平分线、面积相关问题。 三角形的最值与范围：常结合基本不等式、三角函数单调性、函数值域求解边长、周长、面积及边角式的取值范围与最值。命题多与三角函数、平面向量交汇. 2．素养考向 逻辑推理：通过边角关系等价转化、公式灵活选用、最值问题分类讨论，考查转化化归、函数与方程思想，注重推理的严谨性与逻辑性。 工具应用：以正、余弦定理、面积公式为核心解题工具，重点考查数学运算、逻辑推理和数学建模核心素养。 正弦、余弦定理 2026·全国一卷T16（正、余弦定理解三角形） 2026·全国二卷T17（正、余弦定理解三角形） 2026·天津卷T12（正弦定理） 2025·全国二卷T5（余弦定理） 2025·全国一卷T11（三角恒等变换与解三角形） 2025·天津卷T16（三角恒等变换与解三角形） 2024·新课标Ⅰ卷T15（正、余弦定理解三角形） 2024·新课标Ⅱ卷T15（正、余弦定理解三角形） 2024·北京卷T16（正、余弦定理解三角形） 2024·天津卷T16（三角恒等变换与解三角形） 三角形三线（中线、角平分线，高线） 2025·北京卷T16（三角形的高线） 三角形的最值与范围 2026·北京卷T10（最值问题） 2026全国一卷、二卷解三角形多为中档解答题，一卷综合性稍强，常会结合周长、面积最值、范围问题；二卷题型更常规，改编教材习题，运算门槛更低。核心考查正弦定理、余弦定理、面积公式，常涉及边角互化、已知边角求解边长角度。 命题重基础应用，规避繁杂变形，强调条件梳理与运算严谨性，常与三角函数恒等变换、不等式最值交汇。部分小题依托实际情境命题，侧重建模能力。该模块为固定必考大题，一卷侧重范围探究，二卷侧重基础求解，注重公式选用与分类讨论意识考查。 考向一 正、余弦定理解三角形 典例1．（2026·全国一卷T16）已知在中，，，． (1)求； (2)设，两点满足：在的延长线上，，．若，求． 微点拨：解三角形优先用正、余弦定理处理边角关系；涉及延长线线段比例，可建坐标系或用向量表示边长，结合余弦定理列方程求解，理清线段等量关系是解题关键。 考向二 最值范围问题 典例2．（2026·北京卷T10）摇杆机械装置，如图，，为定点，，是动点，，，，，则的取值范围（     ） A． B． C． D． 微点拨：摇杆最值问题本质是利用三角形三边不等式；两定线段夹角可在变化，两点距离最小值为两线段长度之差，最大值为两线段长度之和，据此直接写出取值区间。 考向一 正弦、余弦定理解三角形 1.（2025·全国二卷T5）在中，，，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2026·天津卷T12）在中，，，，则__________． 3.（2026·全国二卷T17）在中，已知，． (1)证明：为钝角三角形； (2)若的面积为，求的周长． 4．（2024·新课标Ⅰ卷T15）记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若的面积为，求c． 5．（2024·新课标Ⅱ卷T15）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A． (2)若，，求的周长． 考向二 三角恒等变换与解三角形 6.（2025·全国一卷T11）已知的面积为，若，则（   ） A． B． C． D． 7.（2025·天津卷T16）在中，角的对边分别为．已知，，． (1)求A的值； (2)求c的值； (3)求的值． 8.（2024·天津卷T16）在中，角所对的边分别为，已知． (1)求的值； (2)求的值； (3)求的值． 9.（2024·北京卷T16）在中，内角的对边分别为，为钝角，，． (1)求； (2)从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求的面积． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 考向二 三角形的三线（中线、角平分线、高线） 10.（2025·北京卷T16）在中，． (1)求c的值； (2)再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使得存在，求BC边上的高． 条件①：；条件②：；条件③：的面积为． 11．（2023·新课标Ⅰ卷T15）已知在中，． (1)求； (2)设，求边上的高． 12．（2023·新课标Ⅱ卷T15）记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且． (1)若，求； (2)若，求． 一、单选题 1．（2026·湖南湘西·三模）在中，内角的对边分别为，已知，则（   ） A． B． C． D． 2．（2026·重庆江北·模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则（   ） A． B． C．2 D． 3．（2026·山东青岛·阶段检测）在中，内角，，的对边分别为，，，若，，则的面积为（   ） A．1 B． C．2 D． 4．（2026·江苏无锡二模）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，其面积为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．（2026·江西南昌·模拟预测） 中，已知，则（   ） A．最小值为 B．最小值为 C．最小值为 D．无最小值 6．（2026·黑龙江哈尔滨·模拟预测）已知中，角的对边分别为，，且，则面积的最大值为（    ） A．3 B． C． D． 二、多选题 7．（2026·山东烟台·模拟预测）在中，角，，的对边分别为，，，，，则下列结论正确的有（    ） A． B． C．外接圆半径为 D． 8．（2026·湖南株洲·模拟预测）设的内角A，B，C的对边为a，b，c，且，，则（    ） A． B． C．的面积可以是 D．的周长可以是3 9．（2026·陕西榆林·模拟预测）在中，，，，则（   ） A． B．若是的中线，则 C．若是的高，则 D．若是的角平分线，则 三、填空题 10．（2026·江苏盐城·期末）在中，若，则角________． 11．（2026·陕西榆林·三模）已知的内角，，所对的边分别为，，，若，，则面积的最大值为______. 12．（2026·河北石家庄·三模）如图，要在相距200 km的A，B两地各放置一个地动仪，B在A的东偏北60°方向.若A地正东方向的铜丸落下，B地东南方向的铜丸落下，则地震的位置C在A地正东________km. 四、解答题 13．（2026·山西忻州·模拟预测）在中，点在边上，且为的平分线．已知，，． (1)求； (2)求的面积和． 14．（2026·四川成都·模拟预测）已知，，． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)设的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若且，求周长的最大值． 15．（2026·湖北·模拟预测）已知三角形的角，，所对的边为，，，且，，延长到点． (1)若，求的长； (2)若，，求的长． 16．（2026·河南驻马店·模拟预测）已知在中，，. (1)求证：； (2)若边上的中线的长为1，求的面积. 17．（2026·江苏南京·模拟预测）在中，角，，所对应的边分别为，，，已知，. (1)求证：； (2)若为的边上的高，求的取值范围. 18．（2026·重庆·模拟预测）设的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，边上的中线，设点为的外接圆圆心，求的值. 19．（2026·山东聊城·模拟预测）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知. (1)求； (2)若，求的取值范围. 20．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）作为哈尔滨的地标性建筑，圣·索菲亚教堂以其典雅庄重的拜占庭风格与浓郁的历史气息，成为游客争相打卡的热门景点，某游客在圣·索菲亚教堂地面上观测点C处发现两栋建筑物A、B，测得A在C的北偏东的方向上，B在C的北偏东的方向上，从C处向正东方向行走后到达D处，测得A在D的北偏西的方向上，B在D的北偏东的方向上． (1)求观测点C与建筑物A之间的距离； (2)为提升游客游览体验，打造舒适的休憩空间，圣·索菲亚教堂景区计划在由观测点C、建筑物A与B三点围成的三角形空地上修建绿色休息区域，试求该三角形休息区域的占地面积． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $