专题08 三角函数（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

**基本信息** 以“考情-真题-模拟”为脉络，聚焦三角恒等变换、图象性质及综合应用，通过微点拨提炼解题逻辑，构建“公式应用-性质分析-模型构建”的递进式训练体系，培养逻辑推理与数学运算素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |三角恒等变换|5道真题+2道模拟|符号判断优先，同角关系与两角公式灵活选用|从诱导公式、同角关系到和差倍角公式，形成公式链应用逻辑| |三角函数图象与性质|14道真题+8道模拟|奇偶性判定（如正弦型偶函数需相位满足π/2+kπ）、单调性与对称性参数求解|由函数解析式到图象变换，再到性质分析，构建“形-数”转化逻辑| |综合问题|3道真题+7道模拟|恒等变换与解三角形交汇，结合不等式求最值|融合三角公式、函数性质与实际建模，体现知识综合应用价值|

专题08 三角函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 三角恒等变换：依托诱导公式、同角关系、两角和差及二倍角公式，考查三角函数式的化简、求值与变形。 三角函数图象与性质，考查函数的图象变换、参数求解、周期性、单调性、对称性与最值问题，为考试核心重难点。 三角函数实际建模应用，构建三角函数模型，解决波动、周期运动、测量等实际问题，常与平面向量、解三角形交汇综合命题。 2．素养考向 逻辑推理：依托三角公式等价变形、图象性质推导，考查转化化归、数形结合思想，规范推理运算过程。 工具应用：以三角公式、函数图象为核心，化简求值、性质分析与模型求解，培养数学运算、直观想象与数学建模的核心素养。 三角恒等变换 2026·全国二卷T7（三角恒等变换） 2026·全国一卷T 13（三角恒等变换） 2025·全国二卷T 8（三角恒等变换） 2024·新课标Ⅰ卷T4（三角恒等变换） 2024·新课标Ⅱ卷T13（三角恒等变换） 三角函数图象与性质 2026·北京卷T16（三角函数性质及恒等变换） 2026·天津卷T16（三角函数性质及恒等变换） 2026·全国一卷T 13（三角函数性质） 2026·北京卷T8（三角函数的性质） 2025·全国一卷T4（三角函数的图象） 2025·全国二卷T15（三角函数性质及恒等变换） 2025·北京卷T8（三角函数的性质） 2025·天津卷T8（三角函数的性质） 2024·新课标Ⅰ卷T7（三角函数的图象） 2024·新课标Ⅱ卷T6（三角函数的性质） 2024·新课标Ⅱ卷T9（三角函数的图象和性质） 2024·北京卷T6（三角函数的性质） 2024·天津卷T7（三角函数的性质） 2024·北京卷T12（三角函数的最值） 三角函数实际应用 2026全国一卷三角设置在基础小题位，常与集合结合考查诱导公式求值，侧重基础运算；二卷位置更靠前，起点更低，以教材变式题为主。两卷小题均考查图像平移、周期、奇偶性、单调区间与同角变换；解答题统一考查三角恒等变换搭配解三角形，涉及边角互化、面积最值、范围探究。 命题回归定义性质，摒弃复杂变形，注重审题严谨性与公式灵活选用，突出数形结合思想。常与不等式、函数值域综合，后续仍为必考模块：小题考图像性质与化简求值，大题固定以解三角形为核心，一卷综合性略强，二卷侧重常规题型落实。 考向一 三角恒等变换 典例1．（2026·全国二卷T7）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 微点拨：已知角所在象限可判定正余弦正负，先用同角平方关系求值；符号判断是易错点，再按需求切或两角公式 考向二 三角函数的图像与性质 典例2．（2026·全国一卷T 13）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 微点拨：正弦型函数为偶函数，则，结合范围得两个候选值；化简为余弦形式，利用复合函数单调性筛选与整数，最后代入自变量计算函数值 考向一 三角恒等变换 1.（2025·全国二卷T 8）已知，，则（   ） A． B． C． D． 2.（2024·新课标Ⅰ卷T4）已知，则（    ） A． B． C． D． 3．（2025·北京卷T13）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 4．（2024·新课标Ⅱ卷T13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 考向二 三角函数的图像和性质 5．（2026·北京卷T8）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6.（2025·全国一卷T4）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·北京卷T8）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 8．（2025·天津卷T8），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 9．（2024·新课标Ⅰ卷T7）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 10.（2024·新课标Ⅱ卷T6）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 11.（2024·北京卷T6）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 12．（2024·天津卷T7）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 13．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷T9）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 14．（2024·北京卷T12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 考向三 三角函数的综合问题 15．（2026·北京卷T16）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 16．（2026·天津卷T16）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 17．（2025·全国二卷T15）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·海南·模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象，只需将的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 7．（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 8．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 10．（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 11．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 三、填空题 12．（2026·河南周口·三模）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________． 13．（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 四、解答题 14．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 15．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 16．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形. (1)求的解析式 (2)求的值. 17．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 18．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 19．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)若直线是的图象的一条对称轴，求的单调递增区间； (2)若函数的所有正零点从小到大排列构成数列，且，，构成等比数列，求的前项和． 20．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题08 三角函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 三角恒等变换：依托诱导公式、同角关系、两角和差及二倍角公式，考查三角函数式的化简、求值与变形。 三角函数图象与性质，考查函数的图象变换、参数求解、周期性、单调性、对称性与最值问题，为考试核心重难点。 三角函数实际建模应用，构建三角函数模型，解决波动、周期运动、测量等实际问题，常与平面向量、解三角形交汇综合命题。 2．素养考向 逻辑推理：依托三角公式等价变形、图象性质推导，考查转化化归、数形结合思想，规范推理运算过程。 工具应用：以三角公式、函数图象为核心，化简求值、性质分析与模型求解，培养数学运算、直观想象与数学建模的核心素养。 三角恒等变换 2026·全国二卷T7（三角恒等变换） 2026·全国一卷T 13（三角恒等变换） 2025·全国二卷T 8（三角恒等变换） 2024·新课标Ⅰ卷T4（三角恒等变换） 2024·新课标Ⅱ卷T13（三角恒等变换） 三角函数图象与性质 2026·北京卷T16（三角函数性质及恒等变换） 2026·天津卷T16（三角函数性质及恒等变换） 2026·全国一卷T 13（三角函数性质） 2026·北京卷T8（三角函数的性质） 2025·全国一卷T4（三角函数的图象） 2025·全国二卷T15（三角函数性质及恒等变换） 2025·北京卷T8（三角函数的性质） 2025·天津卷T8（三角函数的性质） 2024·新课标Ⅰ卷T7（三角函数的图象） 2024·新课标Ⅱ卷T6（三角函数的性质） 2024·新课标Ⅱ卷T9（三角函数的图象和性质） 2024·北京卷T6（三角函数的性质） 2024·天津卷T7（三角函数的性质） 2024·北京卷T12（三角函数的最值） 三角函数实际应用 2026全国一卷三角设置在基础小题位，常与集合结合考查诱导公式求值，侧重基础运算；二卷位置更靠前，起点更低，以教材变式题为主。两卷小题均考查图像平移、周期、奇偶性、单调区间与同角变换；解答题统一考查三角恒等变换搭配解三角形，涉及边角互化、面积最值、范围探究。 命题回归定义性质，摒弃复杂变形，注重审题严谨性与公式灵活选用，突出数形结合思想。常与不等式、函数值域综合，后续仍为必考模块：小题考图像性质与化简求值，大题固定以解三角形为核心，一卷综合性略强，二卷侧重常规题型落实。 考向一 三角恒等变换 典例1．（2026·全国二卷T7）已知为第二象限角，，则（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由，得： 因为是第二象限角，所以，， 化简得：，即 由于，解得：， 因为，所以， 所以 微点拨：已知角所在象限可判定正余弦正负，先用同角平方关系求值；符号判断是易错点，再按需求切或两角公式 考向二 三角函数的图像与性质 典例2．（2026·全国一卷T 13）已知（，）是偶函数，在区间上单调递增．则__________，__________． 【答案】 【解析】设函数的最小正周期为，由题意可知， 因为函数在上单调递增，则，即， 可得，解得， 且，，则. 解法一：因为函数为偶函数， 则，，且， 则，， 若，则， 即或，不符合题意， 若，则， 即或，符合题意； 且或； 综上所述：，. 解法二：因为， 若函数为偶函数，则，即， 且，则， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递减，不符合题意， 若，则，， 即或在内恒成立， 可知函数在上单调递增，符合题意， 且或； 综上所述：，. 解法三：因为函数为偶函数，且函数在上单调递增， 可知在处取到极小值，则，，且， 则，，则， 即或，符合题意； 且或. 微点拨：正弦型函数为偶函数，则，结合范围得两个候选值；化简为余弦形式，利用复合函数单调性筛选与整数，最后代入自变量计算函数值 考向一 三角恒等变换 1.（2025·全国二卷T 8）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】， 因为，则，则， 则. 故选：D. 2.（2024·新课标Ⅰ卷T4）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为，所以， 而，所以， 故即， 从而，故， 故选：A. 3．（2025·北京卷T13）已知，且，.写出满足条件的一组的值________，_________． 【答案】 （答案不唯一） （答案不唯一） 【解析】因为，， 所以的终边关于轴对称，且不与轴重合， 故且， 即， 故取可满足题设要求； 故答案为：；（答案不唯一） 4．（2024·新课标Ⅱ卷T13）已知为第一象限角，为第三象限角，，，则_______. 【答案】 【解析】法一：由题意得， 因为，， 则，， 又因为， 则，，则， 则，联立 ，解得. 法二： 因为为第一象限角，为第三象限角，则, ，， 则 考向二 三角函数的图像和性质 5．（2026·北京卷T8）（），将向轴正方向平移个单位，得到的函数图像与图像关于轴对称，则的取值个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】将向右平移个单位得 . 由题意，与的图像关于轴对称，即恒成立， 即. 分两种情形讨论： ①，对任意不恒成立，舍去； ②，化简得 ，即. 由得， 对应，因此的取值个数为3. 6.（2025·全国一卷T4）已知点是函数的图象的一个对称中心，则a的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】根据正切函数的性质，的对称中心横坐标满足， 即的对称中心是，即， 又，则时最小，最小值是，即.故选：B 7．（2025·北京卷T8）设函数，若恒成立，且在上存在零点，则的最小值为（   ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【解析】函数， 设函数的最小正周期为T，由可得， 所以，即； 又函数在上存在零点，且当时，， 所以，即； 综上，的最小值为4.故选：C. 8．（2025·天津卷T8），在上单调递增，且为它的一条对称轴，是它的一个对称中心，当时，的最小值为（   ） A． B． C．1 D．0 【答案】A 【解析】因为函数在上单调递增，且为它的一条对称轴， 所以时函数取最大值， 又因为是它的一个对称中心， 所以，， 设的最小正周期为，由正弦函数的对称性可知， 即， 又在上单调递增，则， ∴，则，， ∵，∴时，，∴， 当时，， 由正弦函数的单调性可知. 故选：A 9．（2024·新课标Ⅰ卷T7）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解析】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点.故选C 10.（2024·新课标Ⅱ卷T6）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解析】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 11.（2024·北京卷T6）设函数.已知，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】由题意可知：为的最小值点，为的最大值点， 则，即， 且，所以.故选：B. 12．（2024·天津卷T7）已知函数的最小正周期为．则在区间上的最小值是（   ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【解析】因为函数的最小正周期为，则，所以， 即，当时，， 所以当，即时， 故选：D 13．（多选）（2024·新课标Ⅱ卷T9）对于函数和，下列说法中正确的有（    ） A．与有相同的零点 B．与有相同的最大值 C．与有相同的最小正周期 D．与的图象有相同的对称轴 【答案】BC 【解析】A选项，令，解得，即为零点， 令，解得，即为零点， 显然零点不同，A选项错误； B选项，显然，B选项正确； C选项，根据周期公式，的周期均为，C选项正确； D选项，根据正弦函数的性质的对称轴满足， 的对称轴满足， 显然图像的对称轴不同，D选项错误. 故选：BC 14．（2024·北京卷T12）在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称.若，则的最大值为________． 【答案】/ 【解析】由题意，从而， 因为，所以的取值范围是，的取值范围是， 当且仅当，即时，取得最大值，且最大值为. 考向三 三角函数的综合问题 15．（2026·北京卷T16）已知函数，，．最小正周期为，且，． (1)求、的值； (2)求的单调递减区间． 【解】（1）因为，所以， 又的最小正周期为，，所以，所以， 因为，所以，， 所以，，所以，所以， （2）令，，可得，， 函数的单调递减区间为. 16．（2026·天津卷T16）已知． (1)求最小正周期； (2)若，求的最大值和最小值； (3)若，，求． 【解】（1）； （2）若，则， 由正弦函数性质可知，当，即时，函数有最小值，即， 当，即时，函数有最大值，即. 所以函数的最大值为，最小值为； （3）若，，所以， 则，， 则. 17．（2025·全国二卷T15）已知函数． (1)求; (2)设函数，求的值域和单调区间． 【解】（1）由题意，所以； （2）由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测）若函数，（）的最小正周期为，则它的一条对称轴是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由的最小正周期为，， 则，解得，所以， 令，，解得，， 结合选项，取，得，即它的一条对称轴是． 2．（2026·山东济南·模拟预测）已知，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 3．（2026·湖北武汉·三模）平面直角坐标系中，若角的终边经过点，角的终边经过点，则（    ） A． B． C．0 D． 【答案】C 【解析】由题设，同理， 所以. 4．（2026·山西忻州·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由于，代入，且， 得，解得，故B正确. 5．（2026·海南·模拟预测）已知函数，为了得到函数的图象，只需将的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【解析】由题意可得， 所以向左平移个单位长度得. 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）已知，都是锐角，，，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，都是锐角，所以, 因为，， 所以，， 所以. 7．（2026·湖北黄冈·三模）函数的部分图象如图所示，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】A 【解析】由函数的图象，可得，解得， 又由，即，可得， 因为，可得，所以， 又因为，即，可得. 8．（2026·江苏南京·模拟预测）设函数，若在上恰有1个零点，则实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为，所以， 要使最小，需满足区间包含且仅包含这一个正弦函数的零点，即满足，解得，所以. 二、多选题 9．（2026·贵州遵义·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的是（     ） A．函数的最小正周期为 B．函数的图像可由 的图像向左平移个单位长度得到 C．函数的一条对称轴为直线 D．函数在上单调递减 【答案】AC 【解析】已知函数，最小正周期为，故A正确； 的图像向左平移个单位得： ，故B错误； 正弦函数对称轴满足， 代入得，满足对称轴条件，故C正确； 令，即， 区间包含递减区间和递增区间，故D错误． 10．（2026·广东·模拟预测）已知函数（）的部分图象如图所示，其中，，为的图象上的三个点，则下列说法正确的是（    ） A．为函数的一个周期 B． C． D．若，则 【答案】AC 【解析】对于A：函数的最小正周期为，为函数的一个周期，选项A正确. 对于B：函数经过点，代入得，显然点位于图象的增区间上，()，又由于，则，，选项B错误. 对于C：由选项B：，，得，，得. ，，则，选项C正确. 对于D：若，即，则，选项D错误. 11．（2026·宁夏银川·模拟预测）已知函数，的部分图象如图所示，下列选项正确的是（ ） A．的图象关于直线对称 B．的图象关于点对称 C．将函数的图象向左平移个单位得到函数的图象 D．若方程在上有两个不相等的实数根，则m的范围是 【答案】CD 【解析】由题意得，最小正周期满足，即，则，即， 代入得，即，由此可得，解得， 因为，令，则，综上可得， 对A，若为对称轴，则或， 代入得， 因为或，故A错误； 对B，若的图象关于点对称，则， 而代入得， 因为，故B错误； 对C，函数的图象向左平移个单位得到的函数为，故C正确； 对D，若，则， 令，即， 则与在上有两个交点，如下图可得， 解得，故D正确.    三、填空题 12．（2026·河南周口·三模）若函数是偶函数，则当的最小正周期最大时，________． 【答案】4 【解析】是偶函数，故， 则，即， ， ， ，， 由于对恒成立，故， 所以，， 由于，故的最小正周期为， 故当时，取得最小值，最小值为，此时最大，满足要求， 故， 所以. 13．（2026·北京大兴·三模）已知函数（），如图所示，直线与曲线交于，两点，若，在区间上单调递减，则_____；的一个取值为_____． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【解析】设，， 由得：，， 又，，解得. 此时最的小正周期， ，在区间上单调递减， 和分别为单调递减区间的起点和终点， 当时，， ，， 取，得. 综上所述：，的一个取值为. 四、解答题 14．（2026·河北秦皇岛·模拟预测）已知函数，若，在上有最大值，且无最小值. (1)求的值及的取值范围； (2)若，求函数图象的对称中心. 【解】（1）因为，，所以， 由于，则，即. 由可得， 又因在上有最大值，且无最小值， 根据正弦函数的图象可知， 解得，故的取值范围为. （2）由结合（1）可知，则， 所以 . 令，，解得，， 则函数图象的对称中心为，. 15．（2026·广东广州·三模）已知函数，满足对于任意实数，都有恒成立，且函数相邻两个零点的距离是. (1)求的解析式和单调递增区间； (2)若，且满足，求. 【解】（1）函数相邻两个零点的距离是，故，解得， 对于任意实数，都有恒成立，故 即，故， 因为，故，所以， 若，，则，， 故的单调递增区间为； （2）若，则，故， 因为，                 故 故 16．（2026·海南省直辖县级单位·模拟预测）已知函数在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C、D为图象与x轴的交点，且△ABC为等腰直角三角形. (1)求的解析式 (2)求的值. 【解】（1）， ， ， ， ， ， ， ， ， 为图象的最高点，则的纵坐标为2， 又为等腰直角三角形，则为的纵坐标的2倍，即， 且，解得，则，解得， 则. （2）=2， ， ， 取图像中最靠近原点的最高点，即， 得：，解得，即， ，即，化简得， 可得：， 当时：，解得，即零点， 当时：，解得，即零点， ， ， . 17．（2026·上海·三模）已知点是函数的一个对称中心． (1)求的值； (2)若函数的最大值为，求的最小值和单调递增区间． 【解】（1）已知点是对称中心，则有， 解得，又因为，所以当时，. （2）由(1)知， 则 即 因为，所以的最大值为 由题意可知. 所以，所以的最小值是. 解得， 所以单调递增区间为 18．（2026·广东深圳·模拟预测）已知向量，，函数． (1)求函数的解析式及最小正周期； (2)当时，求函数的值域； (3)将函数的图像向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的方程在区间上有两个不同的实数解，求实数的取值范围． 【解】（1）由题可知， 则， 最小正周期． （2）当时，， ， 所以值域为； （3）将的图象向左平移个单位长度，得到 的图象，再向上平移个单位长度，得到． 当时，，． 方程有两个不同实数解，即 有两个不同解， 等价于在上有两个不同解． 结合正弦函数图像，可知， 解得． 19．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数． (1)若直线是的图象的一条对称轴，求的单调递增区间； (2)若函数的所有正零点从小到大排列构成数列，且，，构成等比数列，求的前项和． 【解】（1）因为， 又直线是的一条对称轴， 所以，，即，， 又因为，所以，．   由，， 解得，， 所以的单调递增区间是． （2）令，即， 所以或，， 即，或，． 又因为，所以， 所以当时，； 当时，． 即，，． 又因为，，构成等比数列，所以， 即，解得． 所以，， 所以． 故 ． 20．（2026·山东青岛·二模）已知函数的定义域为.对于正实数，定义集合. (1)若，求集合； (2)若，且集合中有3个元素，求实数的取值范围； (3)是否存在非常数函数，使得？若存在，写出一个符合要求的函数，并给出证明；若不存在，说明理由. 【解】（1）由题意，若， 则， 即， 所以或， 所以或， 所以或. （2）设， ①当时，，所以， ， 所以在上无解； ②当时，， 整理得，因为， 所以在实数范围内有两个不相等的实数解为， 又因为， 所以在上最多有两个解. ③当时，，所以， 由得， 令，所以， 令即，解得， 易知在单调递增， 所以当时，单调递减， 所以当时，单调递增， 所以， 而， 此时在上最多有两个解， 为了满足集合中有3个元素， 所以在上有两解且在上有一个解， 或者在上有一个解且在上有两个解， 所以或或， 分别解得或或无解， 综上，的取值范围是或. （3）存在 ， 证明：. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $