第29讲 三角恒等变换·分类练习-2027届高三数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以考点-考法为框架系统覆盖三角恒等变换全题型，通过分层训练构建公式应用到综合交汇的逻辑链条，培养符号意识与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |两角和差公式及变形|8题|公式展开化简、逆用与辅助角公式、综合变形|从公式正向应用到逆用变形，构建公式网络| |给角求值|2题|非特殊角化简、切化弦与弦化切|特殊与非特殊角转化，强化恒等变形技巧| |给值求值与角变换|11题|同角关系、和差倍角公式、齐次式、凑角技巧|角的拆分与组合，体现转化与化归思想| |给值求角|2题|常规求角、凑角求角|由值定角，培养逻辑推理与运算能力| |正切恒等式及非特殊角|2题|正切公式变形、几何与方程结合|正切公式拓展，关联代数与几何| |综合应用|5题|与三角函数性质、代数、跨知识交汇|知识整合，提升数学应用意识|

第29讲 三角恒等变换 · 分类练习（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 B BC A A 6 7 8 9 10 A D D B A 11 12 13 14 15 A D A D 16 17 18 19 20 B C B B 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 A D A D （1） 31 32 A 考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 考法1：利用和差角与倍角公式展开化简 1.（2025·保定·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为，所以，解得. 【点拨】本题考查二倍角余弦公式与同角三角函数基本关系，利用公式将已知等式化简即可求出正弦值. 2.（多选）（2026·沧州十二校·一模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】由，且，则，故A错误.由，故B正确.由，故C正确.由，故D错误. 【点拨】本题考查两角和与差的余弦公式及二倍角公式，通过展开已知条件求出正余弦乘积，进而逐项判断. 3.（2025·高邮·一模）若，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】由题意，，即，两边平方结合二倍角公式可得，即. 【点拨】本题考查两角差的正弦公式及二倍角正弦公式，将已知等式展开并平方是解题的关键. 考法2：逆用和差角公式与辅助角公式 4.（2026·汕头·二模）的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，整理可得. 【点拨】本题考查两角和的正切公式的逆用，将特殊角的正切值转化为和角公式的形式进行整体代换即可. 5.（2026·皖江名校·最后一卷）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意得，即，故，从而. 【点拨】本题考查两角和与差的三角函数公式，将已知等式展开并结合同角关系化简，再代入两角和的正切公式即可. 6.（2026·蚌埠·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，得.∵，∴，，所以. 【点拨】本题考查同角三角函数基本关系及半角公式，先求出余弦值，再结合角的范围确定半角余弦的符号. 考法3：公式的变形与综合应用 7.（2026·德州·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，即，即，即，即，即，因为，所以，若，则，不符合题意，所以，所以. 【点拨】本题考查诱导公式及两角和与差的三角函数公式，将已知等式展开并提取公因式化简，即可求出正切值. 8.（2026·东莞·二模）已知对于任意的，都有成立，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得，即，整理得，因为对任意恒成立，故，即. 【点拨】本题考查二倍角公式及同角三角函数基本关系，将正切化为弦，结合二倍角公式化简恒等式即可求出参数. 考点二：给角求值 考法4：非特殊角的化简求值 9.式子化简的结果为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】原式. 【点拨】本题考查二倍角公式及两角和的正弦公式，将分子中的平方差转化为二倍角余弦，再结合和角公式化简. 考法5：切化弦与弦化切技巧求值 10.若，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由已知可得. 【点拨】本题考查两角差的正弦公式及辅助角公式，将正切化为弦，通分后逆用两角差的正弦公式化简即可. 考点三：给值求值与角的变换 考法6：利用同角关系与诱导公式求值 11.（2026·临泉田家炳中学·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，则，所以，又因为，所以，则，即，联立，解得，所以. 【点拨】本题考查同角三角函数基本关系，将已知等式平方求出正余弦乘积，再结合角的范围求出正余弦之和，进而求出正切值. 12.（2026·濮阳·二模）已知，则的值是（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得.由，得.所以. 【点拨】本题考查两角差的余弦公式，先根据角的范围求出各自的正弦和余弦值，再代入公式计算即可. 13.（2026·江淮十校·4月模拟）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，把角按顺时针方向旋转后与单位圆相交于点，则__. 【答案】 【解析】设，，，又. 【点拨】本题考查三角函数的定义及二倍角公式，先根据点坐标求出旋转后角的三角函数值，再将待求式化简为正切形式代入计算. 考法7：利用和差角与倍角公式求值 14.（2024·深圳高级·二诊）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】∵，，∴，则. 【点拨】本题考查两角和的正弦公式，将已知等式展开求出正弦与余弦的乘积，再代入正切的比值中化简即可. 15.（2026·八省T8联考·4月检测）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，平方相加得，所以. 【点拨】本题考查同角三角函数基本关系及二倍角公式，将已知两式平方相加，结合同角关系化简即可求出正弦值. 16.（2026·中山·二模）已知角终边经过点，则__． 【答案】 【解析】因为的终边经过点，所以，所以，解得或，又，所以，，所以，. 【点拨】本题考查三角函数的定义及半角公式，先求出正切值，再结合角的范围确定半角正切的符号并求解. 考法8：齐次式化简求值 17.（2026·滁州·二模）若，是方程的一个根，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】方程的根为或，因为，所以，即，. 【点拨】本题考查同角三角函数基本关系，先解方程求出正切值，再将待求式化为齐次式，分子分母同除以余弦平方即可. 18.（2026·滁州·一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，可得，即，即，平方可得：，即，解得或（舍去）. 【点拨】本题考查同角三角函数基本关系及二倍角公式，将正切化为弦，整理后两边平方，转化为关于二倍角正弦的方程求解. 考法9：角的变换与凑角技巧求值 19.（2026·师大附中·模拟）若，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意，得. 【点拨】本题考查诱导公式及二倍角余弦公式，将待求角的正弦转化为已知角的余弦的二倍角形式，代入计算即可. 20.（2025·江西·4月联考）定义上进函数，其函数值为的正约数的个数，例如．若，已知，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】易知为奇数，所以. 【点拨】本题考查诱导公式及新定义函数的应用，先确定新定义函数值的奇偶性，再利用诱导公式将待求式转化为已知角的余弦值. 21.（2026·镇江·零模）已知，则▲． 【答案】 【解析】，. 【点拨】本题考查诱导公式及二倍角余弦公式，将待求角凑成已知角的二倍角与特殊角之和，展开计算即可. 22.（2026·青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则___. 【答案】 【解析】由，得，即，因为角的终边不重合，所以，即，所以. 【点拨】本题考查两角差的正弦公式及两角和的正切公式，将已知等式整理为两角差的正弦相等，结合角的范围求出和角再求正切. 考点四：给值求角 考法10：常规给值求角 23.已知，且，则的值是__． 【答案】 【解析】因为，且，所以，且，则，所以. 【点拨】本题考查两角和的余弦公式，先根据角的范围求出各自的正弦和余弦值，再代入公式求出余弦值，进而确定角的大小. 考法11：结合凑角技巧求角 24.若为锐角，，则角__． 【答案】 【解析】由于为锐角，所以，所以，所以，所以. 【点拨】本题考查两角差的余弦公式，先根据角的范围求出和角的正弦及单角的余弦，再将待求角凑成和角与单角之差代入计算. 考点五：正切恒等式及求非特殊角 考法12：正切和差公式的变形应用 25.（2025·唐山·一模）已知，则__． 【答案】 【解析】由，得，即，所以. 【点拨】本题考查两角差的正切公式，将已知等式变形，提取正切差与正切积的关系，代入公式即可求值. 考法13：结合几何与方程求正切值 26.（2025·九江·一模）已知角的终边在直线上，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】依题意，在直线上任取一点（），可得，∴. 【点拨】本题考查三角函数的定义及二倍角正切公式，先根据点在直线上求出正切值，再代入二倍角公式计算即可. 考点六：三角恒等变换的综合应用 考法14：三角恒等变换与三角函数性质综合 27.（2026·东营·二模）函数的值域为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】，因为，所以，所以，所以. 【点拨】本题考查辅助角公式及三角函数的性质，先利用辅助角公式化简函数解析式，再结合自变量的范围求出函数的值域. 28.（2026·南通·一模）已知均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由，两边同时除以得，再将用表示，，因为均为锐角，所以，则，当且仅当，即时取等号，所以取得最大值时，. 【点拨】本题考查两角和的余弦公式及基本不等式，将已知等式展开并化为正切的关系式，利用基本不等式求出最大值时的条件，再代入计算. 考法15：三角恒等变换与代数综合 29.（2025·淮北淮南·二模）在中，记，则（ 　　） A. 存在，使 B. 存在，使 C. 的最小值为 D. 的最大值为 【答案】D 【解析】由题意可得，，，则，故AB错误.若，则，因，则，则，得，则，故C错误.，即，则方程在上存在根，则，即，等号成立时，因，则，则，此时变为，得，则，故当时，取最大值，故D正确. 【点拨】本题考查两角和与差的余弦公式及二次函数的性质，将已知等式化简后，结合角的范围及二次方程有根的条件求出最值. 30.（2026·德州·一模）已知为锐角三角形，． （1）求； 【答案】（1） 【解析】（1）因为，所以，又，所以，联立得. 【点拨】本题考查两角和与差的正弦公式，将已知条件展开并联立方程组，即可求出正弦与余弦的乘积. 考法16：三角恒等变换与其他知识交汇 31.（2026·枣庄·5月模拟）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为，所以，因为，所以，解得. 【点拨】本题考查向量的模及两角差的余弦公式，将向量模的平方展开，结合同角关系及两角差的余弦公式化简即可求值. 32.（2026·浙江·模拟）已知，，则__. 【答案】 【解析】因为，所以，可得，因为，所以，化简得. 【点拨】本题考查两角差的余弦公式及同角三角函数基本关系，将已知等式展开，把正弦用正切和余弦表示，化简即可求出正切值. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第29讲 三角恒等变换 · 分类练习 考点一：两角和与差的三角函数公式及其变形 考法1：利用和差角与倍角公式展开化简 1.（2025·保定·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 2.（多选）（2026·沧州十二校·一模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 3.（2025·高邮·一模）若，则＿＿＿＿＿＿． 考法2：逆用和差角公式与辅助角公式 4.（2026·汕头·二模）的值为（ 　　） A. B. C. D. 5.（2026·皖江名校·最后一卷）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 6.（2026·蚌埠·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 考法3：公式的变形与综合应用 7.（2026·德州·二模）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 8.（2026·东莞·二模）已知对于任意的，都有成立，则（ 　　） A. B. C. D. 考点二：给角求值 考法4：非特殊角的化简求值 9.式子化简的结果为（ 　　） A. B. C. D. 考法5：切化弦与弦化切技巧求值 10.若，则实数的值为（ 　　） A. B. C. D. 考点三：给值求值与角的变换 考法6：利用同角关系与诱导公式求值 11.（2026·临泉田家炳中学·二模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 12.（2026·濮阳·二模）已知，则的值是（ 　　） A. B. C. D. 13.（2026·江淮十校·4月模拟）在平面直角坐标系中，角的始边与轴的非负半轴重合，终边与单位圆相交于点，把角按顺时针方向旋转后与单位圆相交于点，则＿＿＿＿＿＿． 考法7：利用和差角与倍角公式求值 14.（2024·深圳高级·二诊）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 15.（2026·八省T8联考·4月检测）已知，则（ 　　） A. B. C. D. 16.（2026·中山·二模）已知角终边经过点，则＿＿＿＿＿＿． 考法8：齐次式化简求值 17.（2026·滁州·二模）若，是方程的一个根，则（ 　　） A. B. C. D. 18.（2026·滁州·一模）若，则（ 　　） A. B. C. D. 考法9：角的变换与凑角技巧求值 19.（2026·师大附中·模拟）若，则（ 　　） A. B. C. D. 20.（2025·江西·4月联考）定义上进函数，其函数值为的正约数的个数，例如．若，已知，则（ 　　） A. B. C. D. 21.（2026·镇江·零模）已知，则＿＿＿＿＿＿． 22.（2026·青岛·二模）已知角的终边不重合，且，则＿＿＿＿＿＿. 考点四：给值求角 考法10：常规给值求角 23.已知，且，则的值是＿＿＿＿＿＿． 考法11：结合凑角技巧求角 24.若为锐角，，则角＿＿＿＿＿＿． 考点五：正切恒等式及求非特殊角 考法12：正切和差公式的变形应用 25.（2025·唐山·一模）已知，则＿＿＿＿＿＿． 考法13：结合几何与方程求正切值 26.（2025·九江·一模）已知角的终边在直线上，则（ 　　） A. B. C. D. 考点六：三角恒等变换的综合应用 考法14：三角恒等变换与三角函数性质综合 27.（2026·东营·二模）函数的值域为（ 　　） A. B. C. D. 28.（2026·南通·一模）已知均为锐角，，则取得最大值时，的值为（ 　　） A. B. C. D. 考法15：三角恒等变换与代数综合 29.（2025·淮北淮南·二模）在中，记，则（ 　　） A. 存在，使 B. 存在，使 C. 的最小值为 D. 的最大值为 30.（2026·德州·一模）已知为锐角三角形，． （1）求； 考法16：三角恒等变换与其他知识交汇 31.（2026·枣庄·5月模拟）已知，且，则（ 　　） A. B. C. D. 32.（2026·浙江·模拟）已知，，则＿＿＿＿＿＿. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $