专题06 基本初等函数（真题研析+真题精炼+模拟探源，全国通用）2026年高考数学真题题源解密

专题06 基本初等函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 幂、指、对数函数的图象与性质：重点考查定义域、单调性、定点特征及函数值大小比较，常与函数不等式交汇考查。 分段函数与复合函数：结合三类基本函数分段赋值，考查分段求值、单调性、零点及参数范围求解。复合函数的单调性、值域与零点。 函数模型应用：聚焦指数、对数、幂函数三类模型，考查数学建模与实际应用问题求解。 2．素养考向 逻辑推理：处理含参单调性、恒成立问题，运用分类讨论、等价转化梳理参数约束条件。 工具应用：借助图象数形结合判断单调性、交点与零点，以函数性质为工具求解不等式、方程问题，为导数综合题铺垫基础解题方法 幂、指、对数函数的图象与性质 2026全国二卷·T13（函数的零点） 2025全国一卷·T8（对数运算、对数函数性质） 2025天津卷T7（函数的零点） 2024北京卷T9（指数函数单调性） 2024天津卷T5（幂指对大小比较） 分段函数与复合函数 2024新课标1卷T6（分段函数单调性） 函数模型的应用 2026北京卷T13（对数函数模型） 2025北京卷T9（对数函数模型） 2024北京卷T7（指对互化） 全国一卷分层设置考题，三角结合集合、指数函数切线、分段函数含参单调性依次排布，填空考查幂指对比大小，压轴设置指数函数新定义题型，梯度大，侧重拔尖区分。全国二卷难度平缓，试题多改编教材原题，中档题考查函数奇偶、周期、对称性综合，填空为指对复合零点求参，压轴是指数型导数综合题，适配中等生考查。 命题回归教材，重概念理解、轻套路运算，突出数形结合、分类讨论思想。核心考查五类基本初等函数图像与性质、大小比较、复合函数单调性，常与集合、不等式、导数交汇，后续仍是代数主干，小题考基础，大题围绕零点、恒成立设置综合设问。 考向一 幂指对函数的图象和性质 典例1．（2026·全国二卷T13）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 微点拨：函数零点可转化为方程根或两函数交点问题，常数形结合分析。分类讨论参数，结合单调性、极值判断零点个数，注意定义域限制，避免遗漏临界情况，防止参数范围多解或漏解。 考向二 函数模型的应用 典例2．（2026·北京卷T13）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 微点拨：本题由函数值域反求自变量范围，先根据 y 的范围列不等式，借助函数单调性化简求解。注意频率，解出解集后与之取交集。解题易错点是忽略频率自身取值限制，导致范围求解出错。 考向一 幂指对函数的图象和性质 1.（2026·天津卷T6）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2.（2025·全国一卷T8）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 3.（2025·天津卷T7）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 4.（2024·北京卷T9）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 5.（2024·天津卷T5）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考向二 分段函数与复合函数 6.（2024·新课标Ⅰ卷T6）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 考向三 函数模型的应用 9.（2025·北京卷T9）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 10.（2024·北京卷T7）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 2．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 7．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 8．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 9．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 10．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 11．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 12．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 13．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 三、填空题 17．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 18．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 20．（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 基本初等函数 内容导览 考情概览：摸清命题规律，锁定复习重点 2026真题研析：拆解最新真题，示范分析路径 3年真题精炼：精练近年真题，吃透常见考法 最新模拟探源：跟进模拟新题，预判考查风向 命题解读 考向 考查统计 1．高频考点： 幂、指、对数函数的图象与性质：重点考查定义域、单调性、定点特征及函数值大小比较，常与函数不等式交汇考查。 分段函数与复合函数：结合三类基本函数分段赋值，考查分段求值、单调性、零点及参数范围求解。复合函数的单调性、值域与零点。 函数模型应用：聚焦指数、对数、幂函数三类模型，考查数学建模与实际应用问题求解。 2．素养考向 逻辑推理：处理含参单调性、恒成立问题，运用分类讨论、等价转化梳理参数约束条件。 工具应用：借助图象数形结合判断单调性、交点与零点，以函数性质为工具求解不等式、方程问题，为导数综合题铺垫基础解题方法 幂、指、对数函数的图象与性质 2026全国二卷·T13（函数的零点） 2025全国一卷·T8（对数运算、对数函数性质） 2025天津卷T7（函数的零点） 2024北京卷T9（指数函数单调性） 2024天津卷T5（幂指对大小比较） 分段函数与复合函数 2024新课标1卷T6（分段函数单调性） 函数模型的应用 2026北京卷T13（对数函数模型） 2025北京卷T9（对数函数模型） 2024北京卷T7（指对互化） 全国一卷分层设置考题，三角结合集合、指数函数切线、分段函数含参单调性依次排布，填空考查幂指对比大小，压轴设置指数函数新定义题型，梯度大，侧重拔尖区分。全国二卷难度平缓，试题多改编教材原题，中档题考查函数奇偶、周期、对称性综合，填空为指对复合零点求参，压轴是指数型导数综合题，适配中等生考查。 命题回归教材，重概念理解、轻套路运算，突出数形结合、分类讨论思想。核心考查五类基本初等函数图像与性质、大小比较、复合函数单调性，常与集合、不等式、导数交汇，后续仍是代数主干，小题考基础，大题围绕零点、恒成立设置综合设问。 考向一 幂指对函数的图象和性质 典例1．（2026·全国二卷T13）若函数有两个零点，则的取值范围是__________． 【答案】 【解析】令，得，即， 方法一：令，则，即，, 则一元二次方程有两个正根， 那么， 所以，的取值范围是. 方法二：设，那么设，则， 由于在上单调递减，在上单调递增， 故在上单调递减，在上单调递增，且， 根据函数图象可知，函数有两个零点，则的取值范围是. 微点拨：函数零点可转化为方程根或两函数交点问题，常数形结合分析。分类讨论参数，结合单调性、极值判断零点个数，注意定义域限制，避免遗漏临界情况，防止参数范围多解或漏解。 考向二 函数模型的应用 典例2．（2026·北京卷T13）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________． 【答案】 【详解】由题意，则，解得， 所以f的取值范围为. 微点拨：本题由函数值域反求自变量范围，先根据 y 的范围列不等式，借助函数单调性化简求解。注意频率，解出解集后与之取交集。解题易错点是忽略频率自身取值限制，导致范围求解出错。 考向一 幂指对函数的图象和性质 1.（2026·天津卷T6）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 2.（2025·全国一卷T8）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 3.（2025·天津卷T7）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增，所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于，故选B 4.（2024·北京卷T9）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 5.（2024·天津卷T5）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即，所以，故选：D 考向二 分段函数与复合函数 6.（2024·新课标Ⅰ卷T6）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得，即a的范围是，故选B. 7.（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）设函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数在R上单调递增，而函数在区间上单调递减， 则有函数在区间上单调递减，因此，解得， 所以的取值范围是.故选：D 8．（2023·新课标Ⅱ卷·高考真题）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 【答案】B 【解析】因为 为偶函数，则 ，解得， 当时，，，解得或， 则其定义域为或，关于原点对称. ， 故此时为偶函数.故选：B. 考向三 函数模型的应用 9.（2025·北京卷T9）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 10.（2024·北京卷T7）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意得，则，即，所以，故选：D. 11．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意可知，结合对数运算逐项分析判断. 【详解】由题意可知：， 对于选项A：可得， 因为，则，即， 所以且，可得，故A正确； 对于选项B：可得， 因为，则，即， 所以且，可得， 当且仅当时，等号成立，故B错误； 对于选项C：因为，即， 可得，即，故C正确； 对于选项D：由选项A可知：， 且，则， 即，可得，且，所以，故D正确； 故选：ACD. 一、单选题 1．（2026·湖南邵阳·模拟预测） （    ） A． B． C． D．2 【答案】C 【解析】. 2．（2026·河北秦皇岛·一模）已知函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数的定义域为. 因为函数为奇函数，所以，即，得.当时，， ，.所以函数为奇函数.所以. 3．（2026·四川广安·模拟预测）若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】C 【解析】因为幂函数在上单调递减，所以，故排除B、D项； 又因为幂函数是奇函数，而幂函数是偶函数，排除A项， 所以若幂函数是奇函数，且在上单调递减，则的值可以是. 4．（2026·湖南衡阳·模拟预测）已知，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为， ， ， 且，所以. 5．（2026·湖南·模拟预测）已知函数是定义在上的增函数．若，则x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为函数是定义在上的增函数， 所以， 所以，解得，即x的取值范围是. 6．（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得.综上，. 7．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 8．（2026·河南新乡·三模）已知函数的零点分别为，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， 的零点即为方程的解，即为的图像与图像的交点横坐标， ∵函数的零点分别为, 作出函数的图象如图， 由图可知：,    9．（2026·湖南长沙·一模）已知幂函数在上单调递减，则实数m的值为（    ） A．0或1 B．或1 C．1 D．0 【答案】C 【解析】由于为幂函数，所以，解得或， 又函数在上单调递减， 所以，即 故当时符合条件． 10．（2026·海南海口·模拟预测）已知函数（，，）的图象如图所示，则下列关系式一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】对于A，由图象知函数单调递增,故，A一定成立； 对于B，且，则,进而，B一定成立； 对于C，由A,B已得，，则，故一定不成立； 对于D，若，则，故有可能成立. 11．（2026·广东深圳·模拟预测）已知，则的零点所在的区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】令的值即的零点． 而，即，， 而，所以， 所以函数的零点就是，． 要比较与的大小，等价于比较2与的大小，等价于比较与大小， 显然，，． 12．（2026·湖北黄冈·二模）已知函数有两个零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数有两个零点，则方程有两个实根， 即有两个实根，即直线与函数的图象有两个交点. 结合函数的图象，可得， 所以的取值范围是. 二、多选题 13．（2026·湖南衡阳·模拟预测）若，，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】对于选项A，因为，，所以，故A正确； 对于选项B，由可得（又，等号不成立），所以，故B正确； 对于选项C，由，由， 可得，所以，故C错误； 对于选项D，因为，所以，故D错误. 14．（2025·四川成都·模拟预测）已知函数，则下列结论正确的是（    ） A．函数的定义域为R B．函数的值域为 C． D．函数为减函数 【答案】ABC 【解析】A：因为，所以，因此函数的定义域为R，所以本选项说法正确； B：， 因为，所以， 因此函数的值域为，所以本选项说法正确； C：因为， 所以本选项说法正确； D：因为， 所以不满足减函数的定义，因此本选项说法不正确， 故选：ABC 15．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知函数，则（     ） A．的定义域为 B．在单调递减 C．的图像关于直线对称 D．有最大值 【答案】ACD 【解析】，解得， 即的定义域为，A选项正确． ，令，则． 二次函数的图象的对称轴为直线， 又的定义域为的图象关于直线对称．C选项正确． 由复合函数单调性法则知，在上单调递增，在上单调递减，B选项错误． 当时，有最大值，，D选项正确． 16．（2026·陕西榆林·模拟预测）已知函数，若函数有三个互不相等的零点，且，则下列结论正确的是（   ） A．实数的取值范围是 B．的单调递减区间为， C． D．函数有4个零点 【答案】BCD 【解析】作出函数的大致图象，如图． 对于A，因为函数有三个互不相等的零点，则函数与的图象有三个不同的交点． 结合图象可得，故A不正确． 对于B，由函数的图象可知其单调递减区间为， ，故B正确． 对于C，由函数的图象可知，且，所以， 即，所以，故C正确． 对于D，设，则． 令，由函数的图象，得或． 当，即时，则，解得； 当，即时，所以或，解得或或， 所以函数有4个零点，故D正确． 三、填空题 17．（2026·甘肃平凉·模拟预测）已知定义域为R的偶函数，当时，，则 ________. 【答案】 【解析】设，则，， 因为为偶函数，则，即， 因为，则. 18．（2026·广东茂名·二模）已知函数，若，则实数的取值范围是________． 【答案】 【解析】因为，故， 而的定义域为，故为上的奇函数. 而均为上的增函数，故为上的增函数. 因，故即，故. 19．（2026·上海杨浦·模拟预测）设函数，若且，则的取值范围为__________． 【答案】 【解析】的图象如下图所示 由图象可知，当时，单调递减，所以，此时， 当时，，， ，即，化简可得，解得， 综上所述，因为，所以的取值范围为. 20．（2026·海南儋州·二模）已知为幂函数，且，若，则方程的实数解为________． 【答案】 【解析】设幂函数（为常数），由，得， 两边取自然对数得，故， 因此 ， 由 ， 可得， 因为 在定义域上单调， 因此，又， 故 ， 将 代入得： ， 令 ，方程转化为： ， 化简得，两边同除，得 当时，左边 ，满足等式， 设，由解析式可知其在上单调递减， 因此 有唯一解， 由 ，解得， 即方程的实数解为. 1 / 11 学科网（北京）股份有限公司 $