26.1二次函数的概念（教学设计）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学教学设计聚焦二次函数的概念，涵盖定义、一般形式y=ax²+bx+c（a≠0）及系数识别，通过矩形面积、商品利润等生活化问题导入，学生列关系式对比一次函数，构建从实际到抽象的学习支架，衔接一次函数知识。 以数学建模为主线，通过“实际问题—数量关系—函数模型”培养模型观念，类比一次函数学习方法发展推理意识，分层例题突破a≠0限定和自变量取值范围难点，帮助学生夯实概念，提升教师教学效率。

26.1二次函数的概念（教学设计） 1.教学内容 本节课是人教版2024版九年级上册第26章《二次函数》26.1二次函数的概念.核心教学内容为：结合实际问题抽象出二次函数的定义，掌握二次函数的一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），准确识别二次函数的二次项、一次项、常数项及对应系数，能根据实际情境列出简单的二次函数解析式，并辨析二次函数、一次函数、正比例函数的区别与联系. 2. 内容解析 《二次函数》是初中函数知识体系继一次函数后，学生学习的第二种核心函数模型，也是初中阶段最高次的整式函数。本节课作为章节起始课，概念构建是全章基础，直接影响后续二次函数图像、性质、最值及实际应用的学习. 本节课以生活中面积、运动轨迹、利润等实际问题为切入点，引导学生通过列关系式、观察式子共性、归纳特征的流程抽象出二次函数概念，遵循“实际情境—数量关系—函数模型—概念定义”的数学建模逻辑.同时本节课蕴含类比、建模、归纳的核心数学思想，承接了一次函数的学习方法，为高中幂函数、二次函数进阶学习铺垫基础，在初中函数知识体系中起到承上启下的关键作用. 基于以上分析，本节课的教学重点为：理解二次函数的定义及一般形式y=ax²+bx+c（a≠0），准确识别二次函数的各项系数，根据实际情境列出二次函数解析式. 教学目标 (1)理解二次函数的定义，熟记二次函数一般形式及自变量取值要求；能准确判断一个函数是否为二次函数，精准区分各项系数；能根据实际问题列出简单的二次函数解析式. (2)经历从实际问题中提炼函数关系式、归纳二次函数特征的全过程，提升抽象概括、数学建模和类比推理能力，掌握研究新函数的基本方法. (3)感受二次函数与生活的紧密联系，体会数学的实用性和逻辑性，培养主动探究、合作交流的学习习惯，增强用函数思想解决实际问题的意识. 2.目标解析 目标1本节课的核心知识目标聚焦概念理解与基础辨析，区别于一次函数的图像性质探究，重点是让学生建立“二次整式对应二次函数”的认知，明确a≠0的核心限定条件，规避系数辨析、函数判断的基础错误，为后续复杂题型学习筑牢根基. 目标2依托一次函数的学习经验，通过类比迁移，让学生掌握“观察—归纳—定义—应用”的函数探究流程，逐步形成数学建模的核心能力，能独立完成实际问题的数量关系转化. 目标3落实新课标数学核心素养，重点培养数学抽象、模型观念、逻辑推理三大素养，让学生体会数形结合、分类讨论的思想，提升数学思维的严谨性. 九年级学生已系统学习整式运算、一元二次方程、一次函数知识，具备初步的函数探究经验，知道函数是刻画变量关系的数学模型，掌握了“找变量、列关系、辨类型”的基础方法，具备自主探究、归纳总结的能力.但学生存在明显的认知短板：一是容易混淆一次函数与二次函数的形式特征，忽略二次函数a≠0的关键条件；二是解决实际问题时，容易忽略自变量的实际意义，无法准确确定取值范围；三是对抽象的函数概念理解不够透彻，对“二次项、一次项、常数项”的辨析容易出错.同时，学生对生活化、情境化的数学问题兴趣较高，适合通过情境导入、分层探究、例题精讲突破重难点. 基于以上分析，本节课的教学难点确定为：理解二次函数定义中“a≠0”的核心意义，辨析易混淆函数形式;结合实际问题的限制条件，确定二次函数的自变量取值范围. 创设情景，引入新课 展示生活化实际问题，引导学生独立思考、列出变量之间的函数关系式： 1. 一个矩形的长为10cm，宽为xcm，矩形面积y（cm²）与宽x的关系式； 2. 正方形的边长为x，面积y与边长x的关系式； 3. 某商品进价为20元，售价为x元，每日销量为(100-x)件，每日利润y与售价x的关系式. 学生独立列式，教师板书三个关系式： ① y=10x ② y=x² ③ y=-x²+120x-2000 （设计意图：通过生活化情境列式，衔接学生已有一次函数知识，通过对比辨析自然生成二次函数概念这一课题，避免概念灌输式教学.） 探究点1 对比观察，归纳特征 活动1.观察归纳二次函数特征 追问1.式子①是我们学过的什么函数？（一次函数） 追问2. 式子②③与一次函数有什么不同？最高次数是多少？（自变量的最高次数不同，是2） 追问3.三个式子均为整式关系式，变量之间都是函数关系，②③的共同特征是什么？ 师生共同总结：两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2.由此抽象出新函数类型——二次函数. 探究点2 生成定义，细化要点 活动2：师生共同归纳二次函数完整定义 问题1.n支球队参加比赛，每两队之间进行1场比赛，比赛的场次数m与球队数n之间有什么关系? 学生小组交流：每支球队都要与其他（n-1）支球队各比赛1场，由于甲队对乙队的比赛与乙队对甲队的比赛是同一场比赛，所以比赛的场次数，即………① ①式表示比赛的场次数m与球队数n之间的关系，其中m和n都是变量，而且对于n的每一个确定的值，m都有唯一确定的值与其对应，即m是n的函数. 追问1.m是n的函数有什么特征？（两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2） 问题2.某种产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年的产量增加x倍，那么两年后这种产品的产量y（单位：t）将由x的值确定，与x之间的关系应怎样表示? 学生独立思考：这种产品的原产量是20t，一年后的产量是20（1+x）t，再经过一年后的产量是20(1+x)(1+x）t，即两年后的产量y=20(1+x)²，即y=20x²+40x+20.………② ②式表示了两年后的产量y与每年的计划增产倍数x之间的关系，其中x和y都是变量，而且对于x的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，即y是x的函数. 追问2.y是x的函数有什么特征？（两个变量的关系式是整式，自变量的最高次数是2） 师生共同归纳二次函数完整定义：一般地，形如y=ax²+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数.其中x是自变量，y是x的函数. 细化核心概念： 二次项：ax²，二次项系数：a；一次项：bx，一次项系数：b；常数项：c. 关键限定：a≠0（若a=0，式子变为y=bx+c，即为一次函数，不再是二次函数）；b、c可以为0. 活动3.拓展特殊形式 当b=0、c=0时，y=ax²（最简二次函数）； 当b=0时，y=ax²+c； 当c=0时，y=ax²+bx. （设计意图：通过生活化情境列式，衔接学生已有一次函数知识，通过对比辨析自然生成二次函数概念，避免概念灌输式教学.层层拆解定义要点，明确核心限定条件，突破学生认知误区，同时让学生经历“实际问题—数学式子—抽象概念”的建模过程，落实模型观念核心素养.） 典型例题 例1. 判断下列函数中，哪些是二次函数？若是，分别说出二次项系数、一次项系数和常数项. ① y=3x^2 ② y=2x+1 ③ y=-x²+4x-1 ④ ⑤ y=x²-x(2+x) 【分析】本题核心考查二次函数的定义辨析，解题关键是紧扣三个判定条件：1. 关系式为整式；2. 自变量最高次数为2；3. 二次项系数a≠0；对于复杂式子需先化简，再逐一判定. 【详解】解：1.y=3x²：是二次函数；二次项系数：3，一次项系数：0，常数项：0. 2.y=2x+1：自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. 3. y=-x²+4x-1：是二次函数； 二次项系数：-1，一次项系数：4，常数项：-1. 4.是分式函数，不是整式函数，不是二次函数. 5. y=x²-x(2+x)，化简：y=x²-2x-x²=-2x，化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数. 变式小结：判定二次函数必须先化简、再判定，杜绝仅凭原式表面形式判断. 例2.（1）一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积S关于半径r的函数解析式. （2）一种产品某年的销售量为8万件，由于其他新产品的出现，后两年的年销售量有所下降，年平均下降率是x，写出两年后产品的年销售量y（单位万件）关于x的函数解析式. 【分析】（1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，分别求出圆柱的底面积与侧面积；（2）一年后产品的年销售量为8（1-x）万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件. 【详解】解：(1）圆柱表面积是其底面积与侧面积的和，所以S=2πr²+2πr·r，即S=4πr². (2）一年后产品的年销售量为8（1-x）万件，两年后的年销售量为8(1-x)(1-x)万件，所以y=8(1-x)²，即 y=8x²-16x+8. 例3.用一根长为40cm的铁丝围成一个矩形，设矩形的一边长为xcm，矩形的面积为y cm²，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围. 【分析】本题考查二次函数建模及自变量取值范围确定.首先根据矩形周长公式表示出另一边长，再结合面积公式列关系式；自变量取值范围需结合矩形边长为正数的实际意义确定. 【详解】解：1. 列关系式：铁丝总长40cm，矩形一边长为xcm，则另一边长为\frac{40-2x}{2}=(20-x)cm 由矩形面积公式得：y=x(20-x)=-x²+20x 2.确定自变量取值范围：根据实际意义，边长必须为正数，因此，解得0<x<20. 3. 最终结论：函数关系式为y=-x²+20x（0<x<20） （设计意图：例题分层设计，基础辨析题夯实概念核心，解决学生“概念模糊、判断出错”的问题；实际应用题对接课堂导入情境，强化数学建模能力，重点突破“自变量取值范围”这一教学难点，实现知识从理解到应用的转化.同时通过详细分析与详解，规范学生解题步骤，培养严谨的解题习惯.） 课本课堂练习（P31）. （设计意图：学完新知识后及时进行课堂巩固练习，不仅可以强化学生对新知的记忆，加深学生对新知的理解，还可以及时反馈学习情况，帮助学生查漏补缺，帮助教师及时调整教学策略） 1.如图是甲、乙两人进行羽毛球比赛时的一个瞬间，羽毛球飞行的高度y（m）与水平距离x（m）的路线为抛物线的一部分．甲在点O正上方1m的P处发出一球，已知点O与球网的水平距离为5m，球网的高度为．当羽毛球在水平方向上运动4m时，达到最大高度2m． (1)求羽毛球经过的路线对应的函数表达式． (2)通过计算判断此球能否过网． (3)若甲发球过网后，羽毛球飞行到离地面的高度为m的Q处时，乙击球成功，求此时乙与球网的水平距离． 【详解】（1）解：根据题意，抛物线顶点坐标为，与轴交点坐标为， 设羽毛球经过的路线对应的函数表达式为， 把代入得：， 解得， ； ∴羽毛球经过的路线对应的函数表达式为 （2）解：在中， 令得 ， ∴此球能过网； （3）解：在中， 令得： 解得（舍去）或， （米）， ∴乙与球网的水平距离为2米． 1.（2026·泰安校考）如图，矩形中，，，点M以的速度从点B向点C运动，点N以的速度从点C向点D运动．两点同时出发，设运动开始第t秒钟时，五边形的面积为． 写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围； 【详解】解：第t秒钟时，，故，， 故． ∵． ∴. 2．（2025·乌鲁木齐校考）某山西特产专卖店销售某种核桃，原来平均每天可销售200千克，每千克可盈利8元，为减少库存，经市场调查，如果这种核桃每千克降价1元，则每天可多售出20千克． (1)设每千克核桃降价x元，平均每天盈利y元，试写出y关于x的函数解析式； (2)若要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价多少元？ 【详解】（1）解：根据题意，可得 化简，得 （2）当时 即， 解得，(舍去)． 要销售这种核桃平均每天盈利1440元，则每千克应降价2元． （设计意图：在学习完知识后加入中考等真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力） 知识技能：（1）掌握二次函数的定义及一般形式：y=ax²+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）；（2）能准确辨析二次函数，区分二次项、一次项、常数项及对应系数；（3）能根据实际问题列二次函数解析式，并结合实际意义确定自变量取值范围. 思想方法：（1）类比思想：类比一次函数的探究方法，学习二次函数的定义与特征，实现知识迁移；（2）数学建模思想：将生活中的面积、利润、几何图形问题转化为二次函数数学模型；（3）化简转化思想：复杂函数关系式需先化简，再判定函数类型. 易错提醒：（1）判定二次函数必须先化简，不能直接根据原式表面形式判断；（2）二次函数的核心条件是a≠0，b、c可以为0，切勿混淆；（3）实际问题中的二次函数，自变量取值范围必须符合实际意义，不能默认全体实数；（4）分式形式、根式形式的关系式一定不是二次函数. (设计意图：对本课的知识进行总结，有利于学生对增强学习的主动性与连贯性. ） 必做题：课本习题26.1第1、2、3题. 探究性作业：课本习题26.1第4题. （设计意图：对本节课的知识进行巩固训练 ） 主板书 26.1 二次函数的概念 一、定义 二、特殊形式 三、核心判定条件 五、核心易错点 副板书 典型例题 （预留区域，课堂书写化简、检验例题） 例题 学生练习板演 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $