江苏南京师范大学附属实验学校2025-2026学年第二学期高一期末考试数学试卷

**基本信息** 以测量文峰塔高度、直播带货统计等真实情境为载体，综合考查复数、解三角形、立体几何等核心知识，通过基础运算与综合应用的梯度设计，发展数学眼光、思维与语言。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11/58|复数（题1、9）、解三角形（题2、4）、立体几何（题5、6、7）|第8题结合仰角测量，体现几何直观与数学建模| |填空题|3/15|向量投影（题12）、复数方程（题13）、三角形高（题14）|基础概念与运算的直接考查，强化知识应用| |解答题|5/77|向量运算（15）、解三角形（16）、复数综合（17）、统计（18）、立体几何（19）|18题以直播带货为背景考查统计分析，19题结合圆锥侧面展开与线面垂直证明，凸显数学思维与表达|

南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B A C A D A B 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 题号 9 10 11 答案 ABD BCD BD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 题号 12 13 14 答案 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 【详解】（1）∵向量，， ∴， ………………4分 解得. ………………6分 （2）∵向量， ∴. ………………8分 ∵， ∴， ………………11分 解得. ………………13分 16．（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 【详解】（1）因为，所以， ∴. ………………5分 因为是三角形内角，所以. ………………7分 （2）因为​，为三角形内角， 所以. ………………10分 由正弦定理​， 所以. ………………15分 17．（15分）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值： (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围， 【详解】（1）当时，， ………………2分 所以共轭复数 ………………4分 （2）， 因为复数z是纯虚数，所以， ………………6分 解得； ………………8分 （3）因为复数z在复平面内对应的点位于第四象限 所以，即 ………………12分 解得 所以，实数m的取值范围是. ………………15分 18.（17分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 【详解】 （1）根据分层抽样知：应抽取小吃类家； ………………4分 （2）①根据题意可得，解得， ………………7分 因为，， ………………10分 设75百分位数为x， 所以，解得， 所以该直播平台商家平均日利润的75百分位数为487.5元．      ………………13分 ②， 所以估计该直播平台“优秀商家”的个数为280． ………………17分 19．（17分）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 【答案】(1) (2)证明：略 【难度】0.62 【知识点】圆锥的展开图及最短距离问题、圆锥表面积的有关计算、证明面面平行、面面平行证明线面平行 【分析】（1）先利用圆锥的表面积公式求出及圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，再利用勾股定理求出展开图中扇形的弦长即可； （2）先通过证，，得到平面，平面，再根据面面平行的判定定理证得平面平面，进而利用面面平行的性质得到平面． 【详解】（1）由题意可知该圆锥的表面积， 又， , 解得，， ………………2分 该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为,则 ， 则该圆锥的侧面展开图是一个圆心角为，半径为的扇形， ………………4分 所以该扇形的弦长为， 即该蚂蚁爬行的最短路程为． ………………6分 （2）连接，，， 因为，分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面． ………………8分 因为劣弧的长为，则， 因为，则，所以为等边三角形， 所以， 所以四边形为平行四边形，所以， ………………11分 又因为平面，平面， 所以平面， ………………13分 又因为，平面， 所以平面平面， ………………15分 因为平面， 所以平面． ………………17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 南京师范大学附属实验学校 2025-2026学年度第二学期高一年级期末考试数学试卷 分值：150 分 时间：120 分钟 一、选择题：（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 1．已知复数在复平面内对应的点为，则（ ▲   ） A． B． C． D． 2．在中，若，，，则（  ▲  ） A．或 B． C． D．或 3．已知，则（  ▲ ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则（  ▲  ） A． B． C． D．15 5．如图，一个水平放置平面图形的直观图是边长为1的菱形，且 ，则原平面图形的面积为（  ▲  ）    A．2 B．1 C． D． 6．已知两条直线m，n及平面，下列条件中，一定能得到的是（ ▲  ） A． B． C． D． 7．在正四面体中，点，，分别为棱，，的中点，则异面直线，所成角的余弦值为（  ▲   ）    A． B． C． D． 8．某数学兴趣小组成员为测量文峰塔的高度，在与塔底位于同一水平面上共线的，，三处进行测量，如图2．已知在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，在处测得塔顶的仰角为，米，则文峰塔的高度（ ▲ ） A．米 B．米 C．米 D．米 二、选择题：（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。请把答案直接填涂在答题卡相应位置上） 9．下列说法正确的是（  ▲  ） A．复数的模为 B．复数的虚部为 C．若，则 D． 10．已知，为锐角，，，则（  ▲   ） A． B． C． D． 11．在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，下列叙述正确的有（  ▲  ） A．若，则为等腰三角形 B．若，则为钝角三角形 C．若，，，则有两解 D．若为锐角三角形，则 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分。请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 12．已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为 ▲ ． 13．已知是虚数单位，是关于的方程（其中）的一个根，则= ▲ . 14．记的内角的对边分别为a，b，c，，，，则边上的高为 ▲ ． 四、解答题（本大题共5小题，共77分请在答题卡指定区域内作答．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求的值. 16．（15分）的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求B； (2)若，，求c． 17．（15分）已知i是虚数单位，复数． (1)当时，求z的共轭复数； (2)若z是纯虚数，求m的值； (3)若z在复平面内对应的点位于第四象限，求m的取值范围. 18.（17分）近年来，“直播带货”受到越来越多人的喜爱，目前已经成为推动消费的一种流行营销形式，某直播平台有1000个直播商家，对其进行调查统计，发现所售商品多为小吃、衣帽、生鲜、玩具、饰品类等，各类直播商家所占比例如图①所示，为了更好地服务买卖双方，该直播平台打算用分层抽样的方式抽取80个直播商家进行问询交流． (1)应抽取小吃类商家多少家？ (2)在问询了解直播商家的利润状况时，工作人员对抽取的80个商家的平均日利润进行了统计（单位：元），所得频率直方图如图②所示． ①估计该直播平台商家平均日利润的第75百分位数； ②若将平均日利润超过480元的商家称为“优质商家”，估计该直播平台“优质商家”的个数． 19．（17分）如图，圆锥的表面积为，是底面圆的一条直径，是的中点，，是底面圆上的两点，，劣弧的长为，． (1)若一只蚂蚁从点出发，沿圆锥侧面爬行一圈回到点，求该蚂蚁爬行的最短路程； (2)求证：平面． 学科网（北京）股份有限公司 $