精品解析：浙江省湖州市2025-2026学年高一下学期6月教学质量监测数学试题

2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵，∴. 2. 若，，，则实数（ ） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量共线的坐标表示求解. 【详解】，，，则有， 所以. 3. 已知样本数据，，，，的方差为，样本数据，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与无法确定大小关系 【答案】B 【解析】 【分析】直接根据样本的方差的定义计算可得. 【详解】第一组数据：，共5个样本，平均数， 方差： . 第二组数据：，共5个样本，平均数， 方差： . 因为，比较得：. 4. 设随机事件，满足，，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 【答案】B 【解析】 【详解】可知. 5. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行 B. 过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行 C. 过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直 D. 过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直线与平面的位置关系判断. 【详解】对A，设，则过A有且只有一个平面与平行，而内过点的无数条直线都与平行，A错； 对B，设，则过有且只有一条直线与平行，过直线有无数个平面除过直线的一个平面外其它平面都与直线平行，B错； 对C，过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直，C正确； 对D，圆锥的轴截面是等边三角形，则圆锥的母线与底面所成的角都是，是圆锥底面所在平面外一点，由此可知D错. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由，可得， 代入，化简得， 又，，所以， 则有，. 7. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为奇函数，则为奇函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，则（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 【答案】A 【解析】 【详解】对于命题①，若、、均为上的奇函数，则， 所以， 所以为奇函数，即①为真命题； 对于命题②，可知， 则（*）， 因为、、均是以为周期的函数， 则，， ， 由（*）可得 所以是周期函数，同理可得、均是以为周期的函数，即②为真命题. 8. 如图，已知二面角的大小为，，在直线上，在内，且，设，与所成角分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】先找到线面角求出其余弦值，再结合直角三角形的性质进行等量代换. 【详解】如图所示，过A作平面β于点P，连接，， 则，，且， . 再过P在平面β内作于O，连接，则，且. 所以. 在中，，，所以 所以. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义、复数的模的定义、复数的运算法则判断各选项. 【详解】对A，，A错； 对B，，，因此，B正确； 对C，，，C正确； 对D，，所以，D正确. 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】A,B,C通过均值不等式求解，D通过柯西不等式求解. 【详解】选项A，因为，所以，解得，当且仅当时等号成立，错误. 选项B，，所以，正确. 选项C，因为，所以，解得， ，当且仅当时等号成立，但此时无法取到， 所以，即，错误. 选项D，由柯西不等式得，，当且仅当，即时等号成立， 所以，正确. 11. 以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】通过合理分配棱长构造不同的四面体，进而计算其可能的体积，从而做出判断. 【详解】①三条长度为1的棱共顶点，三条长度为的棱构成底面等边三角形， 即， 则， 即，即两两相互垂直， 所以； ②三条长度为的棱共顶点，三条长度为1的棱构成底面等边三角形， 即， 作平面，则为平面的中心，连接， 则，， 所以； ③长短棱交叉配对，一组对棱为1，即， 因为，即，所以为等腰直角三角形， 所以. 方法一：以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立空间直角坐标 系，则，设，就是到平面的距离. 因为，所以，解得， 所以. 方法二：设在平面的投影为，取的中点，连接， 则，又因为平面，平面，所以， 又平面，，所以平面， 又平面，所以，所以在中垂线上， 在平面内，以为坐标原点，分别以所在方向为轴正方向建立平面直角坐标系， 则， 由得：，解得， 所以，所以，所以. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为_______． 【答案】 【解析】 【详解】由正弦函数的性质，函数的最小正周期为. 13. 将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______． 【答案】 【解析】 【详解】如图，， ， ， ， 剩余几何体的表面积为 . 14. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．当比赛停止时，一共打满局的概率为_______． 【答案】 【解析】 【分析】要打满局，必须前局结束时双方分差小于（也就是，分差），且打完第局时双方分差仍然小于（也就是，分差），这样才能继续打完剩下局，打满局.然后每两局打成的概率都是，两次独立事件同时发生，从而可得求事件的概率. 【详解】要比赛打满局才停止，则比赛前局都没有满足“分差达到分”的停止条件： 打完前局不停止：前局比分必须是（分差为，若分差为则提前停止）， 所以概率为：. 前局未停止后，打完第局仍不停止：此时原本比分是，要继续不停止， 第局和第局仍必须是一胜一负，总比分变为，所以概率为：. 前局均未停止，就一定会打满局，各局胜负独立，因此总概率为： . 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图． （1）若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数） （2）若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率． 【答案】（1）83.3分 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意计算第80百分位数即可； （2）先根据分层抽样计算得到，抽到的人数，使用列举法得出2人成绩都在的概率. 【小问1详解】 由于，， 所以第80百分位数在区间中，第80百分位数为， 所以获得表彰同学的最低分数为83.3分． 【小问2详解】 与的频率之比为，所以5人中有3人得分在，记为，，，有2人得分在，记为，． 设事件“座谈交流的2人得分均在”， 由于，， 所以． 16. 在中，，，，点在边上，且平分． （1）求； （2）求的长． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理即可. （2）利用和面积公式可求解. 【小问1详解】 由余弦定理得， 因为，所以． 【小问2详解】 解法一：因为平分，， 所以. 由于， 即， 所以， 所以． 解法二：在中，由正弦定理得， 即，所以， 又因为，所以，所以，所以， 在中，， 由正弦定理得 又因为， 所以， 所以． 17. 已知平行四边形，，，，记，，，且． （1）若，求的值； （2）当取最小值时，求与夹角的余弦值． 【答案】（1） （2）0 【解析】 【分析】（1）方法一：先利用线段比例把用基底表示，再借助数量积定义求得之间的夹角，最后代入模长与数量积即可求得结果； 方法二：建立直角坐标系写出各点的坐标，得到向量的坐标后，利用坐标运算公式即可求得结果； （2）方法一：借助向量的基底运算把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角； 方法二：借助坐标运算公式把展开成二次函数，利用配方法求得模长最小值，此时，即可得夹角. 【小问1详解】 方法一：在平行四边形中，因为， 所以， 因为， 所以，又，所以． 所以． 方法二：因为， 所以，又，故． 以为原点建立如图直角坐标系， 所以，，，， 因为，所以，所以，， 当时，，， 所以． 【小问2详解】 方法一：因为， 所以当时，取到最小值为4，即 取到最小值为2． 此时， 所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0． 方法二：由（1）可得：， 所以， 当时，取到最小值为4，即取到最小值为2． 此时，所以， 所以，即与的夹角是，夹角的余弦值为0． 18. 已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的最小值； （3）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）4 （3） 【解析】 【分析】（1）由偶函数的性质及交点个数有有且只有一个解求参数值，即可得； （2）根据已知有，从而有，再应用基本不等式求目标式的最小值； （3）令，结合的函数图象，问题化为在区间和内各有一个解，列不等式求参数范围. 【小问1详解】 由为偶函数，知， 由与只有一个交点，令， 即方程有且只有一个解， 所以，解得， 所以； 【小问2详解】 由，即，即， 又，所以，即， 由于，当且仅当时取到等号， 所以的最小值为4； 【小问3详解】 由题意，，， 令，则方程， 可化为，即， 考虑到在上单调递减，在上单调递增，大致图象如下： 所以要使方程有三个不同的实数解， 只需方程在区间和内各有一个解， 设，则在区间和内各有一个零点， 则，得， 或（另一个零点在内），得， 综上，. 19. 如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，求该五面体的体积的取值范围． 【答案】（1）如图1，取的中点，连接，，，， 由题意易得，可得，是的中点， 所以， 因为是边长为2的等边三角形，故，又为的中点， 所以， 又，平面， 所以平面，平面， 所以． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）如图1，取的中点，求出，得到，则是的中点，利用线面垂直的判定定理得到平面，利用线面垂直的定义得到结论. （2）如图2，取的中点，求出到平面的距离即为到平面的距离为，利用三角形的面积求出，设直线与平面所成角为，则，通过计算得解． （3）解法1：如图3，通过补形将该五面体补形成三棱柱，利用线面垂直的判定定理求出平面，则，同理可得平面，求出，则，利用余弦函数的图像和性质得到的范围，则用表示，利用的范围求出的范围．解法2：如图3，通过补形将该五面体补形成三棱柱，过B作于，由对称性，易得，，，利用余弦函数的图像和性质得到的范围，则用表示，利用的范围求出的范围． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图2，取的中点，连接，， 易得，，， 到平面的距离即为到平面的距离为， 由（1）知即为的高，其中，， 所以； 设直线与平面所成角为，则． 【小问3详解】 解法1：如图3，将该五面体补形成三棱柱， 设到平面的距离为，由（1）知为的高， 如图4在四面体中，作于，过作于，连接， 由（1）知平面，又平面， 故，，平面， 所以平面，即， 因为平面，平面， 所以，结合，平面，， 可得平面， 所以，，， ， 则， 则． 解法2：如图3，将该五面体补形成三棱柱， 过B作于，由对称性，易得， ，， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期教学质量监测试卷 高一数学 注意事项： 1．本科目考试分试题卷和答题卷，考生须在答题纸上作答． 2．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页，全卷满分150分，考试时间120分钟． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 2 D. 2. 若，，，则实数（ ） A. 1 B. C. 4 D. 3. 已知样本数据，，，，的方差为，样本数据，，，，的方差为，则（ ） A. B. C. D. 与无法确定大小关系 4. 设随机事件，满足，，，则（ ） A. 0.1 B. 0.2 C. 0.3 D. 0.4 5. 下列命题正确的是（ ） A. 过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面平行 B. 过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线平行 C. 过直线外一点，有且仅有一个平面与这个直线垂直 D. 过平面外一点，有且仅有一条直线与这个平面所成的角为 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 设、、是定义域为的三个函数，对于命题：①若、、均为奇函数，则为奇函数；②若、、均是以为周期的函数，则、、均是以为周期的函数，则（ ） A. ①和②均为真命题 B. ①和②均为假命题 C. ①为真命题，②为假命题 D. ①为假命题，②为真命题 8. 如图，已知二面角的大小为，，在直线上，在内，且，设，与所成角分别为，，则的值为（ ） A. B. C. D. 1 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设，（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 10. 若实数，，且，则（ ） A. 的最大值为4 B. 的最小值为8 C. 的最小值为6 D. 的最大值为 11. 以，，，，，为棱长的四面体的体积可以是（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 函数的最小正周期为_______． 13. 将一个棱长为2 cm的正方体木料沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥后，剩余几何体的表面积为_______． 14. 甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得分，负者得分，比赛进行到有一人比对方多分或打满局时停止．设甲在每局中获胜的概率为，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜负相互独立．当比赛停止时，一共打满局的概率为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 为提升同学们的环保意识，某校高一年级举行了一次环保知识竞赛，为了解本次竞赛的情况，随机抽取了100名学生的成绩作为样本进行统计分析，绘制了如下的频率分布直方图． （1）若根据这次竞赛成绩，学校将对成绩前的学生进行表彰，估计获得表彰同学的最低分数；（结果保留1位小数） （2）若采用按比例分层抽样的方法，从得分在，的两组中共抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行座谈交流，求这2人得分均在的概率． 16. 在中，，，，点在边上，且平分． （1）求； （2）求的长． 17. 已知平行四边形，，，，记，，，且． （1）若，求的值； （2）当取最小值时，求与夹角的余弦值． 18. 已知偶函数的图象与直线有且只有一个公共点． （1）求函数的解析式； （2）若，且，求的最小值； （3）将函数的图象向右平移一个单位得到函数的图象，并令函数．若关于的方程有三个不同的实数解，求实数的取值范围． 19. 如图，五面体中，，，，，是边长为2的等边三角形，． （1）求证：； （2）若，求直线与平面所成角的正弦值； （3）若，求该五面体的体积的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $