微练（十四）指数函数-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 指数函数专项训练通过基础与素养分层设计，系统覆盖定义、性质及应用，提炼单调性分析、换元转化等方法，强化数学思维与表达。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础过关|14题（含高考/模拟题）|单调性与中间值比较、复合函数内外层分析、奇偶性定义验证、换元法解不等式|从定义性质（单调性、奇偶性）到应用（比较大小、方程、不等式）的递进| |素养提升|2题|抽象函数性质综合应用、函数周期性与对称性推导|性质迁移与多知识点综合，培养逻辑推理与创新意识|

微练(十四)　指数函数 　　　　　　　　　　　　　 基础过关 一、单项选择题 1.(2025·上海高考)设a>0,s∈R,下列各项中,能推出as>a的一项是(　　) A.a>1,且s>0 B.a>1,且s<0 C.0<a<1,且s>0 D.0<a<1,且s<0 2.若a=0.50.6,b=0.60.5,c=20.6,则(　　) A.c<b<a B.a<b<c C.a<c<b D.b<a<c 3.若,则x的取值范围为(　　) A.(-∞,-3] B.[-3,1] C.(-∞,-3]∪[1,+∞) D.[1,+∞) 4.函数y=ax-2 026-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(　　) A.(2 026,0) B.(2 026,-1) C.(-2 026,0) D.(-2 026,-1) 5.若函数f(x)=在区间(0,2)单调递增,则a的取值范围是(　　) A.(-∞,4] B.[4,+∞) C.[-4,+∞) D.(-∞,-4] 6.(2026·河南三模)函数f(x)=(2-x-2x)的大致图象是(　　) 7.(2026·宁夏模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(-1+x)+f(-1-x)=0,且f(1+x)+f(1-x)=0,当x∈[-1,0)时,f(x)=ex-a,当x∈[0,1]时,f(x)=2x-b,则f(x)的最小值为(　　) A.-6 B.-4 C.-3 D.-2 二、多项选择题 8.已知函数f(x)=,函数g(x)=,则下列选项中正确的有(　　) A.函数y=f(x)是奇函数 B.函数y=g(x)的最小值为1 C.[g(x)]2-[f(x)]2=1 D.[g(x)]2+[f(x)]2=f(2x) 9.已知函数f(x)=a+b的图象过原点,且无限接近直线y=2但又不与该直线相交,则(　　) A.f(x)的解析式为f(x)=2-2 B.若f<f(-1)(m>0且m≠1),则实数m 的取值范围为∪(2,+∞) C.函数g(x)=f(x)-1的零点为1,-1 D.若方程f2(x)-2mf(x)+1=0有四个不同的实数根,则m的取值范围为 三、填空题 10.函数f(x)=的单调递减区间是　　　　.  11.若对于任意的实数x1,x2,都有f(x1+x2)=f(x1)f(x2)成立,写出一个符合条件的函数f(x)的解析式为　　　　.  12.若关于x的不等式22x+1-(m+1)·2x+18≤0在[0,1]上有解,则实数m的最小值为　　　　.  四、解答题 13.已知函数f(x)=. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)的最大值为9,求实数a的值. 14.已知函数f(x)=(k为常数)是定义在R上的奇函数. (1)求函数f(x)的解析式; (2)若x∈[-2,2],求函数f(x)的值域; (3)若g(x)=f(x+1)+1,且函数g(x)满足对任意x∈[1,3],都有g(ax2+2)+g(-3x)>2成立,求实数a的取值范围. 素养提升 15.(多选题)已知函数f(x)的定义域为I={x|x≠0},对于∀x∈I,都有f(x)=f=3-f,则(　　) A.f(3)= B.函数f(3x)的图象关于点(0,3)中心对称 C.函数f(3x)的图象关于直线x=对称 D.f(3i)=3 039 16.(2026·平凉模拟)已知b>0,函数f(x)=+2 025x3是奇函数,则ab=　　　　.  微练(十四)　指数函数 1.D　解析　当a>1时,as>a⇔s>1;当0<a<1时,as>a⇔s<1.结合选项可知只有D选项能推出as>a. 2.B　解析　因为y=0.5x是减函数,所以0.50.6<0.50.5,因为y=x0.5在(0,+∞)单调递增,所以0.50.5<0.60.5,故0.50.6<0.60.5<10.5,所以a<b<1,又y=2x是增函数,所以c=20.6>20>1,所以a<b<c.故选B. 3.B　解析　因=24-2x,则x2+1≤4-2x,即x2+2x-3≤0,解得-3≤x≤1,所以x的取值范围为[-3,1].故选B. 4.A　解析　对于函数y=ax-2 026-1(a>0,a≠1),令x-2 026=0,解得x=2 026,此时y=a0-1=0,所以函数y=ax-2 026-1(a>0,a≠1)的图象恒过定点(2 026,0).故选A. 5.D　解析　令t=x(x+a),又y=在R上单调递减,所以要使f(x)=在区间(0,2)单调递增,则t=x(x+a)在区间(0,2)单调递减,所以由t=x(x+a)=-的开口向上且对称轴为x=-得-≥2,解得a≤-4.故选D. 6.B　解析　f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),排除D;因为f(-x)=(2x-2-x)=(2-x-2x)·=f(x),所以f(x)为偶函数,图象关于y轴对称,排除C;当x>0时,f(x)=(2-x-2x)=2-x-2x<0,排除A.故选B. 7.D　解析　由f(-1+x)+f(-1-x)=0,即f(-x)=-f(x-2),可得f(x)的图象关于点(-1,0)对称;由f(1+x)+f(1-x)=0,即f(-x)=-f(x+2),可得f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以f(x+2)=f(x-2),所以f(x)的周期为4.易知f(-1)=f(1)=0,所以e-1-a=2-b=0,所以a=,b=2,所以f(x)在[-1,1]上的值域为.又f(x)的图象关于点(1,0)对称,所以当x∈[1,3]时,f(x)∈,即f(x)在一个周期内的值域为[-2,2],所以f(x)的最小值为-2.故选D. 8.ABC　解析　对于A,函数f(x)的定义域为R,f(-x)==-f(x),函数f(x)是奇函数,A正确;对于B,函数g(x)的定义域为R,ex>0,e-x>0,g(x)≥=1,当且仅当x=0时取等号,B正确;对于C,[g(x)]2-[f(x)]2=-=1,C正确;对于D,[g(x)]2+[f(x)]2=+=≠f(2x),D错误.故选ABC. 9.BCD　解析　根据题意可得f(0)=a+b=0⇒a+b=0,根据f(x)的图象与y=2无限接近,所以b=2,故a=-2,因此f(x)=-2+2,图象如图所示,故A错误;由于函数f(-x)=-2+2=f(x),故f(x)为偶函数,当x≥0时,f(x)=-2+2为单调递增函数,由f<f(-1)得-1<logm<1,解得0<m<或m>2,故B正确;对于C,令g(x)=f(x)-1=0,则f(x)=1,故1=-2+2⇒=,故|x|=1,解得x=±1,C正确;对于D,要使f2(x)-2mf(x)+1=0有四个不同的实数根,令t=f(x),则t2-2mt+1=0在t∈(0,2)上有两个不相等的实数根t1,t2,故解得1<m<,故D正确,故选BCD. 10.(-∞,2)　解析　函数f(x)=的定义域为R,令u=x2-4x-5,函数u=x2-4x-5在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,函数y=3u在R上单调递增,因此函数f(x)在(-∞,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以函数f(x)=的单调递减区间是(-∞,2). 11.f(x)=3x(答案不唯一)　解析　由f(x1+x2)=f(x1)f(x2),可知f(x)满足指数幂的乘法运算规律,则f(x)=3x满足题意. 12.12　解析　因为关于x的不等式22x+1-(m+1)·2x+18≤0在[0,1]上有解,所以关于x的不等式m+1≥=2x+1+在[0,1]上有解,所以m+1≥,x∈[0,1],因为x∈[0,1],所以2x∈[1,2],令t=2x,则t∈[1,2],2x+1+=2t+=2,令f(x)=x+,x∈[1,2],因为对勾函数f(x)=x+在[1,2]上单调递减,则f(x)min=f(2)=,所以2x+1+≥13,当且仅当x=1时取等号,所以m+1≥13,则m≥12,即实数m的最小值为12. 13.解　(1)不论a取何值,t=|x|-a在(-∞,0]上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,又因为y=在R上单调递减,所以函数f(x)的单调递增区间是(-∞,0],单调递减区间是(0,+∞). (2)由(1)可知,函数y=f(x)在x=0处取最大值,所以f(0)==9,所以3a=32,所以a=2. 14.解　(1)因为函数f(x)=为奇函数,所以f(-x)=-f(x),即=,解得k=2,所以f(x)=. (2)f(x)==-=-,因为y=在R上单调递减,所以f(x)在R上单调递减且f(-2)=,f(2)=-,所以函数f(x)在[-2,2]上的值域为. (3)g(x)=f(x+1)+1由f(x)向左移1个单位,向上移1个单位得到,所以g(x)关于(-1,1)对称,所以g(-1-x)+g(-1+x)=2,令x=3x-1,则g(-3x)+g(3x-2)=2,即g(3x-2)=2-g(-3x),由g(ax2+2)+g(-3x)>2得g(ax2+2)>2-g(-3x)=g(3x-2),因为f(x)在R上单调递减,所以g(x)在R上单调递减,所以ax2+2<3x-2对任意x∈[1,3]恒成立,即a<=-对任意x∈[1,3]恒成立,令=t∈得:a<3t-4t2对任意t∈恒成立,令h(t)=3t-4t2,其对称轴为t=∈,>,所以h(t)min=h(1)=-1,所以实数a的取值范围是(-∞,-1). 15.ACD　解析　对于A,令x=1,则f(1)=f(3)=3-f(1),可得2f(1)=3,解得f(1)=,f(3)=,故A正确;对于B,由f(x)+f=3,可得f(3x)+f(3-x)=3,所以函数f(3x)的图象关于点中心对称,故B错误;对于C,由f(x)=f可得f(3x)=f(31-x),所以函数f(3x)的图象关于直线x=对称,故C正确;对于D,设g(x)=f(3x)=f=g(1-x)　①,又g(x)=f(3x)=3-f=3-g(-x)　②,由①②可得g(1-x)=3-g(-x),所以g(1+x)=3-g(x),即g(x+2)=3-g(x+1)=3-[3-g(x)]=g(x),所以f(3x)=f(3x+2),所以f(3)=f(33)=f(35)=…=f(32 025)=,f(1)=f(32)=f(34)=…=f(32 024)=,所以f(3i)=3 039,故D正确.故选ACD. 16.-　解析　由题意知函数f(x)的定义域为R,又f(x)是奇函数,所以f(0)=0,即f(0)=a+1=0,解得a=-1,所以f(x)=+2 025x3=2(3b-1)x-2-x+2 025x3,又f(-1)=-f(1),所以2-(3b-1)-2+2 025×(-1)3=-(23b-1-2-1+2 025),又b>0,解得b=,此时f(x)=2x-2-x+2 025x3,所以f(-x)=2-x-2-(-x)+2 025(-x)3=2-x-2x-2 025x3=-f(x),满足题意,所以ab=-. 学科网（北京）股份有限公司 $