第13讲 反比例函数的概念（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第13讲 反比例函数的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 反比例函数的概念 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？ 问题：这些关系式有什么共同点？ 【知识点1 反比例函数的概念】 1.定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，那么称y是x的反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数. 2.自变量取值范围：，反比例函数的取值范围：． 3.反比例函数的形式：①；②；③． 4.k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 【知识点2 求反比例函数的解析式】 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 【题型1 识别反比例函数】 【例1】下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出k的值． (1)； (2)； (3)． 【变式1-2】在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个． 【变式1-3】下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（   ） A． … … … 0 … B． … 1 2 … … 1 2 … C． … 1 2 … … 3 6 … D． … 1 2 … … 6 … 【题型2 根据反比例函数的定义求字母的值】 【例2】如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【变式2-1】是关于的反比例函数关系式，则________，自变量的取值范围是________． 【变式2-2】如果函数是反比例函数，那么k=____． 【变式2-3】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【题型3 根据实际问题列反比例函数】 【例3】在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】根据题意，在横线上写出相应的函数关系式，并判断y是否为x的反比例函数（“是”就在后面的空格内打“1”，“不是”就在后面的空格内打“0”）： （1）长方形的面积S（cm2）一定，它的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系式为　________ ． （2）正方形的对角线长y（cm）与它的边长x（cm）之间的关系式为　________ ． （3）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的件数x（件）的关系式为　________ ． （4）小明的家与学校相距2400m，他骑自行车上学的速度v（m/s）与所需时间t（s）的关系式为　________ ． 【变式3-3】如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【题型4 求反比例函数值】 【例4】若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 【变式4-1】若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【变式4-2】双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 【变式4-3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则_____________． … 4 6 8 … … 9 6 … 【题型5 由反比例函数值求自变量】 【例5】某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 【变式5-1】已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【变式5-2】反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【变式5-3】若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【题型6 求反比例函数解析式】 【例6】已知反比例函数的图象过点和．求此反比例函数表达式． 【变式6-1】已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 【变式6-2】已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 【变式6-3】已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 模块三 课后作业 1．下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 3．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 4．若是反比例函数，则m的值为_______． 5．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 6．一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x（），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 7．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 8．若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 9．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 10．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 反比例函数的概念（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+1个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 反比例函数的概念 1．京广高铁全程为2298km，某次列车的平均速度v(单位：km/h)与此次列车的全程运行时间t(单位：h)有什么样的等量关系？ 2．冷冻一个物体，使它的温度从20℃下降到零下100℃，每分钟平均变化的温度T(单位：℃)与冷冻时间t(单位：min)有什么样的等量关系？ 问题：这些关系式有什么共同点？ 【知识点1 反比例函数的概念】 1.定义：一般地，形如（k为常数，）的函数，那么称y是x的反比例函数．其中x是自变量，y是x的函数. 2.自变量取值范围：，反比例函数的取值范围：． 3.反比例函数的形式：①；②；③． 4.k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 【知识点2 求反比例函数的解析式】 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 【题型1 识别反比例函数】 【例1】下列关系式中，为的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，形如（为常数，，）的函数是反比例函数． 根据反比例函数的定义逐项判断即可． 【详解】解：A．是正比例函数，不是反比例函数； B．符合反比例函数的形式，是反比例函数； C．由变形得，是正比例函数，不是反比例函数； D．是一次函数，不是反比例函数． 故选B． 【变式1-1】下列函数表达式中，y是x的反比例函数吗？如果是，把它写成的形式，并指出k的值． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)是， (2)是， (3)是，， 【分析】本题考查反比例函数的判断，熟练掌握反比例函数的定义，是解题的关键： （1）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可； （2）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可； （3）根据反比例函数的定义，进行判断，用含的代数式表示出即可． 【详解】（1）解：是反比例函数； ∵， ∴， ∴，； （2）是反比例函数； ∵， ∴， ∴； （3）是反比例函数； ∵， ∴，． 【变式1-2】在下列函数表达式中，x均表示自变量：①y＝；②y＝－2x－1；③xy＝2；④y＝.其中y是x的反比例函数有____个． 【答案】3/三 【分析】根据正比例函数的一般形式是y=kx（k≠0），反比例函数的一般形式是或xy=k，或y=kx-1（k≠0）． 【详解】解：根据反比例函数定义可得：②③xy=2，④，是反比例函数，①是正比例函数， 故答案为3. 【点睛】考查反比例函数的定义，熟练掌握反比例函数的3种形式是解题的关键. 【变式1-3】下列四个表格表示的变量关系中，变量y是x的反比例函数的是（   ） A． … … … 0 … B． … 1 2 … … 1 2 … C． … 1 2 … … 3 6 … D． … 1 2 … … 6 … 【答案】B 【分析】根据反比例函数的定义，形如的函数是反比例函数，等价于每组的乘积都等于同一个非零常数，计算每个选项的乘积即可判断. 【详解】∵ 反比例函数满足任意一组对应变量的乘积，为不等于0的常数， 对选项A，各组与的乘积不相等，且存在乘积为0，不符合要求， 对选项B，计算得 ，，，，所有乘积均为，是不为0的常数，符合反比例函数的定义， 对选项C，，，乘积不相等，不符合要求， 对选项D，，，乘积不相等，不符合要求， ∴ 变量是的反比例函数的是B. 【题型2 根据反比例函数的定义求字母的值】 【例2】如果函数是反比例函数，那么的值为（   ） A．6 B． C．1 D．2或3 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的定义．反比例函数的形式为，因此需满足指数为且系数非零，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴ ∴ 解得， 故选：C 【变式2-1】是关于的反比例函数关系式，则________，自变量的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数，其一般形式为(为常数，)．在本题中是反比例函数，由此来确定的值，再根据反比例函数自变量的要求确定的取值范围． 【详解】解：∵是反比例函数， ∴， 解得：； 对于反比例函数，分母不能为， ∴在(此时，函数为)中， 自变量的取值范围； 故答案为：，． 【变式2-2】如果函数是反比例函数，那么k=____． 【答案】1 【详解】由题意得：， ∴k=1， 故答案是：1． 【变式2-3】函数是反比例函数，则m=（   ）． A． B． C． D．2或 【答案】C 【分析】本题主要考查反比例函数，反比例函数的形式为，因此指数必须为且系数非零，解答即可． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴且， ∴且， ∴． 故选：C． 【题型3 根据实际问题列反比例函数】 【例3】在温度不变的条件下，某研究小组将等量的理想气体分别充入不同体积的容器中，并记录了当时容器内的气体的压强，部分实验数据如下表： 体积 2 压强 120 80 60 40 以下关系式中，最适合作为气体的压强关于容器体积的函数表达式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据压强与容器体积的乘积是定值可以确定两变量之间成反比例关系，设函数解析式为，把点代入函数解析式求出k值即可． 【详解】解：根据表中数据可知，理想气体压强与体积成反比， 设，把点代入， 得， ∴， 故这个函数的解析式为， 故选：C． 【变式3-1】面积为30的一个三角形，它的底边y随着这边上的高x的变化而变化．则y与x之间的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解题的关键是熟练掌握三角形面积公式． 【详解】解：由题意可得，， ∴y＝， 故选：A． 【变式3-2】根据题意，在横线上写出相应的函数关系式，并判断y是否为x的反比例函数（“是”就在后面的空格内打“1”，“不是”就在后面的空格内打“0”）： （1）长方形的面积S（cm2）一定，它的长y（cm）与宽x（cm）之间的关系式为　________ ． （2）正方形的对角线长y（cm）与它的边长x（cm）之间的关系式为　________ ． （3）一种商品的单价为a（元/件），所花费的钱数y（元）与购买的件数x（件）的关系式为　________ ． （4）小明的家与学校相距2400m，他骑自行车上学的速度v（m/s）与所需时间t（s）的关系式为　________ ． 【答案】 y= ，1． y=x(x>0)，0． y=ax，0． v=，1 【分析】（1）长方形的长=面积÷宽，面积一定，故长与宽是反比例函数关系； （2）根据勾股定理可得：正方形的对角线长2=2边长2，∴正方形的对角线长边长，常数是，不是反比例函数； （3）总价=单价×数量，单价一定，不是反比例函数； （4）速度=路程÷时间，路程一定，是反比例函数． 【详解】（1）由题意得：y，是反比例关系； （2）由题意得：yx（x＞0），不是反比例关系； （3）由题意得：y=ax，不是反比例关系； （4）由题意得：v，是反比例关系． 故本题答案为：（1）y，1；（2）yx（x＞0），0；（3）y=ax，0；（4）v，1． 【点睛】根据题意，找到所求量的等量关系是解决问题的关键．除法一般写成分式的形式，除号可看成分式线，反比例函数的一般形式是y（k为常数，且k≠0）． 【变式3-3】如图，在数学实验课上，小明把相同体积的水倒入底面积不同的圆柱形容器中，并将容器的底面积（单位：）和水的高度（单位；）记录在如下表格中： 容器的底面积 水的高度 则底面积和水的高度之间的关系式可以表示为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例关系，掌握反比例关系中的两个变量的积是不等于0的常数是解决问题的关键． 本题中根据题意判断出，由此得到底面积和水的高度成反比例，然后即可求解； 【详解】解：根据表格可得：， ∴底面积和水的高度成反比例， ∴， 故答案为：； 【题型4 求反比例函数值】 【例4】若点在反比例函数 的图象上，则m的值为____． 【答案】 【分析】根据点在反比例函数的图象上，代入计算即可． 【详解】解：由题意得：． 【变式4-1】若反比例函数的图象经过点，则的值是（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】求出时的函数值即可. 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴. 【变式4-2】双曲线经过点，则的值为（    ） A． B．10 C． D．5 【答案】C 【分析】将代入双曲线求解即可． 【详解】解：∵双曲线经过点， ∴， 解得． 【变式4-3】已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．如下表，则_____________． … 4 6 8 … … 9 6 … 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，正确得出函数解析式是解题的关键．直接利用待定系数法求出反比例函数解析式，即可求出m的值． 【详解】解：设， 把代入得：， 解得，， ∴这个反比例函数的解析式为：， 当时，， 故答案为：． 【题型5 由反比例函数值求自变量】 【例5】某蓄电池的电压为，使用此蓄电池时，电流(单位：)与电阻(单位：)的函数表达式为，当时，的值为（     ）． A．-4 B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握代入求值的方法是解题的关键． 将代入中计算即可； 【详解】解：∵， ∴ 故选B． 【变式5-1】已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A．5 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】点在反比例函数图象上，则点的坐标满足函数解析式，将点坐标代入解析式即可求出的值 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上 ∴， 解得 【变式5-2】反比例函数的图象上，横、纵坐标都是整数的点的个数是______． 【答案】 【分析】根据反比例函数横纵坐标满足，找出所有使横纵坐标均为整数的的取值，计算对应后统计点的个数即可. 【详解】解：由可得, 因为点的横纵坐标均为整数，所以为的整数因数，的所有可能取值为. 分别计算对应的值： 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，符合要求。 综上，符合要求的点共有个. 【变式5-3】若一个反比例函数的图象经过两点，则的值为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象上的点的特点．根据双曲线上的点的横纵坐标之积相等，列出方程求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得， 故选：A． 【题型6 求反比例函数解析式】 【例6】已知反比例函数的图象过点和．求此反比例函数表达式． 【答案】 【分析】本题主要考查了求反比例函数关系式，熟练掌握相关知识是解题的关键； 设反比例函数的关系式为，再将两个点的坐标代入关系式，求出解即可． 【详解】解：设反比例函数的关系式为， ∵反比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴， 所以反比例函数关系式为． 【变式6-1】已知y与成反比例，且其函数图象经过点．求y与x的函数关系式； 【答案】 【分析】先根据反比例关系设出函数解析式，再将已知点的坐标代入解析式，求出待定系数，进而得到与的函数关系式． 【详解】解：y与成反比例， ∴设， ∵函数图象经过点， ∴， 解得， ∴y关于x的函数关系式是． 【变式6-2】已知与成正比例，与成反比例．当时；当时；试写出变量与变量的函数关系式？当时求的值是多少？ 【答案】 与的函数关系式为；当时， 【分析】先根据正比例和反比例的定义，分别设出y与x、z与y的解析式，利用待定系数法求出对应系数，再整理得到z与x的函数关系式，最后代入x的值计算z即可． 【详解】解：∵与成正比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； ∵与成反比例， ∴设， 把代入解析式，得， 解得， ∴； 把代入，得， ∴， 即与的函数关系式为， 当时，代入得． 【变式6-3】已知点，点均在反比例函数上，且． (1)若时，求的值； (2)若时，求的值； (3)随着的变化，的值是否变化？若不变，请求出这个值；若变化，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不变， 【分析】（1）根据m的值先求得点A的坐标，然后代入反比例函数解析式即可解答； （2）根据点A和点B在反比例函数图象上，可得，，从而可知m、n为关于x的一元二次方程的两个解，进而根据根与系数的关系即可解答． （3）同（2）可解． 【详解】（1）解：当，则， ∵点在反比例函数上， ∴， ∴； （2）解：当时，反比例函数为， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中，方程有2个不相等的实数根， ∴； （3）解：不变， ∵点，点均在反比例函数上， ∴，， ∴m、n为关于x的一元二次方程的两个解， 方程整理得，其中， ∵， ∴，方程有2个不相等的实数根， ∴． 模块三 课后作业 1．下列函数是关于的反比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一般地，形如（是常数，）的函数叫做反比例函数，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； B．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意； C．该函数是关于的反比例函数，此时，故此选项符合题意； D．该函数不是关于的反比例函数，故此选项不符合题意． 2．已知点在反比例函数的图象上，则的值为（   ） A． B．3 C． D．48 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，利用“图象上的点的坐标满足函数解析式”这一性质，将点的坐标代入反比例函数解析式即可求解k的值． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴将，代入，得， ， 解得， 故选：B． 3．若和成反比例关系，当的值分别为时，的值如表所示，则表中的值是（　　） 3 2 A． B． C．3 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了变量间成反比例关系，熟练掌握定义是解题的关键．根据反比例的定义，若和成反比例关系，则它们的乘积为定值，利用已知条件时，求出的值，再代入时的情况计算的值． 【详解】解：由反比例关系得：（为常数）， 当时，，代入得：， 当时，，代入关系式得：， 解得：， 因此，表中的值是， 故选：A． 4．若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 5．若点在反比例函数 y =的图像上，则______． 【答案】5 【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数图象上则点的坐标满足函数解析式，将点的坐标代入解析式即可求解． 【详解】解：因为点在反比例函数的图象上， 将，代入解析式得：， 等式两边同乘得：， 解得． 6．一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x（），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 【答案】（） 【详解】由三角形的面积公式底高，得，即（）． 7．下列函数是否是反比例函数？为什么？ （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6） 【答案】（1）（3）（5）（6）不是反比例函数，（2）（4）是反比例函数，理由见解析 【分析】本题考查反比例函数的定义，关键是牢记反比例函数的三种等价形式：(为常数，，)，，．判断函数是否为反比例函数，需看其能否化为上述形式，且满足、自变量的次数为(或分母为单独的)． （1）分析函数中的次数，判断是否符合反比例函数对次数的要求； （2）利用负整数指数幂的意义将函数转化为标准形式，验证是否符合定义； （3）识别函数为正比例函数形式，对比反比例函数定义进行判断； （4）直接对比反比例函数的标准形式，验证参数是否不为0； （5）观察分母是否为单独的自变量，判断是否符合定义； （6）分析函数的结构，判断是否为纯粹的反比例式形式． 【详解】（1）解：∵反比例函数要求自变量的次数为，而中的次数是，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （2）解：∵，符合反比例函数的形式， ∴是反比例函数； （3）解：∵，是形如的正比例函数，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （4）解：∵符合反比例函数的标准形式， ∴是反比例函数； （5）解：∵该函数的分母是，不是单独的自变量，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数； （6）解：∵是与常数的和，不是纯粹的的形式，不符合反比例函数的定义， ∴不是反比例函数． 8．若 是反比例函数，试求此反比例函数的表达式． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，理解定义是解题的关键；由题意得，求出a的值即可． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 所以a的值为， ，即． 9．列出下列问题中的函数关系式，并判断它们是否为反比例函数． (1)某农场的粮食总产量为，则该农场人数x（人）与平均每人占有粮食产量的函数关系式； (2)在加油站，加油机显示器上显示的某一种油的单价为每升4.75元，总价从0元开始随着加油量的变化而变化，则总价y（元）与加油量的函数关系式． 【答案】(1)，是 (2)，不是 【详解】（1）解：由题意得，，是反比例函数； （2）由题意得，，不是反比例函数． 10．已知，与成正比例，与x成反比例，且当时，，当时，，求y关于x的函数解析式． 【答案】 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式．根据正比例与反比例的定义设出函数关系式，再根据待定系数法求出函数解析式即可． 【详解】解：设，， ， 当时，；当时，， ， ， 故关于的函数解析式为． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $