第11讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习举一反三讲义）新九年级数学上册新教材人教版

第11讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 二次函数与一元二次方程 如图，二次函数y＝x2－3x＋2的图象，根据图象回答： (1)当x＝ 时，y＝0； (2)观察图象，方程x2－3x＋2＝0的根是 ； (3)二次函数y＝x2－3x＋2与一元二次方程x2－3x＋2＝0之间有什么关系？ 【知识点1 二次函数与一元二次方程的关系】 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 【知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 【知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系】 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数的图像 一元二次方程的根 ， 没有实数根 不等式的解集 的一切实数 全体实数 不等式的解集 无解 无解 【题型1 根据二次函数图象解一元二次方程】 【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的部分图象与x轴交于点（﹣2，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2 【分析】根据抛物线与x轴的两个交点到对称轴的距离相等，则可得另一个交点的坐标，关于x的方程ax2+bx+c＝0的解就是抛物线与x轴交点的横坐标，据此即可求解． 【解答】解：根据图象可知抛物线与x轴的另一个交点为（4，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解为x1＝﹣2，x2＝4， 故选：C． 【变式1-1】若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2﹣6x+c＝1的解为（　　） A．x＝1 B．x＝6 C．x＝1或x＝﹣7 D．x＝1或x＝5 【分析】根据解析式求出抛物线的对称轴是直线x＝3，根据抛物线是轴对称图形，得出方程的解． 【解答】解：∵二次函数y＝x2﹣6x+c， ∴抛物线的对称轴是直线x＝3， ∵图象经过点A（1，1）， ∴点（5，1）也是图象上的点， ∴方程x2﹣6x+c＝1的解为x＝1或x＝5， 故选：D． 【变式1-2】已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解为x＝3，另一个解为 　 ． 【分析】设方程的另一个解为t，则利用根与系数的关系得3+t，然后解一次方程即可． 【解答】解：设方程的另一个解为t， 根据根与系数的关系得3+t， 解得t＝﹣1， 即方程的另一个解为x＝﹣1． 故答案为：x＝﹣1． 【变式1-3】二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为 　 ． x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 【分析】由表格中的数据知，当x＝3时，y＝﹣5．所以由题意知：当x﹣1＝3时，y＝﹣5． 【解答】解：由抛物线的对称性质知，对称轴是直线x1， 根据题意知，一元二次方程ax2+bx+c＝﹣5的解为x＝3或x＝﹣1． 所以x﹣1＝3或x﹣1＝﹣1． 解得x＝4或x＝0． 所以一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为：x＝4或x＝0． 故答案为：x＝4或x＝0． 【题型2 二次函数与x轴交点】 【例2】抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【分析】由b2﹣4ac的大小可判断抛物线与x轴交点个数，由c的大小可判断抛物线与y轴的交点，进而求解． 【解答】解：∵y＝x2+2x﹣3， ∴a＝1，b＝2，c＝﹣3， ∴b2﹣4ac＝22+12＝16＞0， ∴抛物线与x轴有2个交点， ∵c＝﹣3， ∴抛物线与y轴交点为（0．﹣3）， ∴抛物线与坐标轴有3个交点， 故选：D． 【变式2-1】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【解题思路】求出抛物线的表达式y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4，进而求解． 【解答过程】解：设抛物线的表达式为y＝a（x﹣h）2+k， 则y＝﹣（x﹣1）2+5＝﹣x2+2x+4， 则﹣x2+bx+c﹣4＝0化为﹣x2+2x＝0， 解得x＝0或2， 故选：A． 【变式2-2】在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【解题思路】根据函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，可以得到关于k的不等式组，从而可以求得k的取值范围，然后即可解答本题． 【解答过程】解：∵函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点， ∴， 解得k＞0且k≠2， 故选：C． 【变式2-3】已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1 【解题思路】先利用二次函数的性质得到两抛物线的对称轴，然后利用A点或B点向右平移得到点（4，0）得到m的值． 【解答过程】解：∵抛物线y＝a（x﹣h）2+k的对称轴为直线x＝h，抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k的对称轴为直线x＝h+m， ∴当点A（﹣1，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣（﹣1）＝5； 当点B（3，0）平移后的对应点为（4，0），则m＝4﹣3＝1， 即m的值为5或1． 故选：C． 【题型3 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例3】如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 【解题思路】根据表格中的数据可得出“当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56．”由﹣0.11更接近于0即可得出结论． 【解答过程】解：当x＝2.3时，y＝﹣0.11；当x＝2.4时，y＝0.56． ∵﹣0.11更接近于0， ∴方程的一个近似根为2.3． 故选：B． 【变式3-1】根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04 A．1或2 B．1 C．2 D．0 【解题思路】由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01，故方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根． 【解答过程】解：由表格中的对应值可得出，抛物线的最小值为0.01， ∴抛物线与x轴没有交点， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）没有实数根， 故选：D． 【变式3-2】如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【解题思路】利用二次函数和一元二次方程的性质进行解答即可． 【解答过程】解：由表可以看出，当x取6.18与6.19之间的某个数时，y＝0，即这个数是ax2+bx+c＝0的一个根． ax2+bx+c＝0的一个解x的取值范围为6.18＜x＜6.19． 故选：C． 【变式3-3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【解题思路】根据自变量两个取值所对应的函数值是﹣0.51和0.54，可得当函数值为0时，x的取值应在所给的自变量两个值之间． 【解答过程】解：∵图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54）， ∴当x＝2.18时，y＝﹣0.51；x＝2.68时，y＝0.54， ∴当y＝0时，2.18＜x＜2.68， 只有选项D符合， 故选：D． 【题型4 由二次函数的图象解不等式】 【例4】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【解题思路】利用抛物线的对称性确定抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0），然后结合二次函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围即可． 【解答过程】解：∵抛物线与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（﹣3，0）， ∵抛物线开口向下， ∴当﹣3＜x＜1时，y＞0． 故选：C． 【变式4-1】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 请求出当y＜0时x的取值范围 　 　． 【分析】把点（0，6）代入求出c，把点（﹣1，4）和（1，6）代入抛物线的解析式列方程组，解出可得a、b，即可得抛物线的解析式，进而可列不等式求出y＜0时x的取值范围． 【解答】解：由表得，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）过点（0，6）， ∴c＝6， ∵抛物线y＝ax2+bx+6过点（﹣1，4）和（1，6）， ∴， 解得：， ∴二次函数的表达式为：y＝﹣x2+x+6， 所以令﹣x2+x+6＜0， 解得：x＜﹣2或x＞3． 故答案为：x＜﹣2或x＞3． 【变式4-2】若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 　 　． 【分析】根据图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0，则a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时x+2＜1或x+2＞3，进而求解． 【解答】解：由图象可得x＜1或x＞3时ax2+bx+c＜0， ∴当a（x+2）2+b（x+2）+c＜0时，x+2＜1或x+2＞3， 解得x＜﹣1或x＞1， 故答案为：x＜﹣1或x＞1． 【变式4-3】如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（　　） A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5 【分析】由二次函数解析式可得抛物线对称轴为直线x＝2，从而可得点B横坐标，进而求解． 【解答】解：∵y＝x2﹣4x+m， ∴抛物线对称轴为直线x＝2， ∵点B和点C关于直线x＝2对称， ∴点B横坐标为4， ∵点A横坐标为1， ∴1≤x≤4时，kx+b≥x2﹣4x+m， 故选：B． 【题型5 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例5】二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 【分析】由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），开口向上，则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点坐标为（s，﹣1），（t，﹣1），从而可得m，n，s，t的大小关系． 【解答】解：由1+（x﹣m）（x﹣n）＝0可得（x﹣m）（x﹣n）＝﹣1， 由y＝（x﹣m）（x﹣n）可得抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与x轴交点坐标为（m，0），（n，0），抛物线开口向上， 则抛物线y＝（x﹣m）（x﹣n）与直线y＝﹣1的交点在x轴下方，坐标为（s，﹣1），（t，﹣1）， ∴m＜s＜t＜n． 故选：C． 【变式5-1】已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 【解题思路】设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1，即函数y′向上平移1个单位得到函数y，通过画出函数大致图象即可求解． 【解答过程】解：设y′＝（x﹣x1）（x﹣x2），则x1、x2是函数y′和x轴的交点的横坐标， 而y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1＝y′+1， 即函数y′向上平移1个单位得到函数y， 则两个函数的图象如下图所示（省略了y轴）， 从图象看，x1＜m＜n＜x2， 故选：A． 【变式5-2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 【分析】方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标，据此可判断选项． 【解答】解：令y＝a（x+1）（x﹣5）， 则抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与y＝ax2+bx+c形状相同、开口方向相同，且与x轴的交点为（﹣1，0）、（5，0）， 函数图象如图所示， 由函数图象可知方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根即为抛物线y＝a（x+1）（x﹣5）与直线y＝﹣3交点的横坐标， ∴x1＜﹣1＜5＜x2， 故选：A． 【变式5-3】已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（　　） A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q 【分析】在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象，再作出直线y＝1，y＝3，它们与抛物线交于A，B和C，D，分别过交点作x轴的垂线，则垂足对应的数值为题干中方程的根，利用数形结合的方法即可得出结论． 【解答】解：在平面直角坐标系中画出二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）的图象如下图： 作直线y＝1与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于A，B， 分别经过A，B作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为m，n， ∴m，n是方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根； 作直线y＝3与抛物线y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0）交于C，D， 分别经过AC，D作x轴的垂线，垂足对应的数值分别为p，q， ∴p，q是方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根． 由图象可知m，n，p，q的大小关系是：p＜m＜n＜q． 故选：B． 【题型6 根据二次函数与一元二次方程的关系判断多结论问题】 【例6】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，若该图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0中一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据抛物线的对称轴是直线x＝1可判断结论①；根据抛物线与坐标轴的交点情况可判断结论②；根据二次函数与方程的关系可判断结论③；根据抛物线与y轴的交点及当x＝﹣1时的函数值可判断结论④． 【解答】解：∵二次函数图象的对称轴是直线x＝1，图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴x1，c＝2， ∴b＝﹣2a， 2a+b＝2a﹣2a＝0，故结论①正确； ∵抛物线的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点在2，3之间， ∴该抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间，故结论②错误； ∵抛物线与x轴的另一个交点在﹣1，0之间， ∴当x＝﹣1时，y＜0， ∴a﹣b+2＜0， ∴b﹣a＞2．故结论④正确； ∵b﹣a＞2，b＝﹣2a， ∴﹣3a＞2， ∴a， ∴﹣a， ∵当x＝1时，y最大值＝a﹣2a+2＝2﹣a， ∴2﹣a， ∵， ∴方程一定有两个不相等的实数根；故结论③正确． 正确的有①③④，共3个． 故选：C． 【变式6-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为x＝1，有下列四个结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+2c＞0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣3＜c＜﹣2，则，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】由图象可知：开口向上，即a＞0，对称轴为直线，即b＝﹣2a＜0，根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），c＜0，然后根据二次函数的图象与性质进行求解即可． 【解答】解：由图象可知：开口向上，即a＞0，对称轴为直线，即b＝﹣2a＜0， ∴当x＝1时，y有最小值，即为ymin＝a+b+c， ∴当x为任何值，都有ax2+bx+c≥a+b+c，即ax2+bx≥a+b，故③正确； ∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交负半轴于点B，对称轴为直线x＝1， ∴根据二次函数的对称性可知：二次函数与x轴的另一个交点坐标为（﹣1，0），c＜0， 则由图象可知：当x＝﹣2时，y＝4a﹣2b+c＞0，故①正确， 当x＝3时，则有y＝9a+3b+c＝0， 由b＝﹣2a可得：9a﹣6a+c＝0，即3a+c＝0， ∴3a+2c＝3a+c+c＝c＜0，故②错误； ∵﹣3＜c＜﹣2，3a+c＝0， ∴﹣3＜﹣3a＜﹣2，即， ∵b＝﹣2a，c＝﹣3a， ∴a+b+c＝a﹣2a﹣3a＝﹣4a， ∵， ∴，即，故④正确； 综上所述：①③④正确，共有3个， 故选：C． 【变式6-2】二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当时；与其对应的函数值y＞0；有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根； ③； ④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2； ⑤方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【分析】先根据表格数据得到二次函数的对称轴、c的值，推导出b与a的关系，再结合时y＞0得到a的范围，最后根据二次函数的性质逐一判断每个结论． 【解答】解：由表格可知，当x＝0时，y＝﹣2， ∴c＝﹣2， ∵x＝0和x＝1的y值相等，均为﹣2， ∴二次函数对称轴为直线， ∴，得b＝﹣a， ∴二次函数解析式为y＝ax2﹣ax﹣2， ∵时，y＞0，代入得， 化简得，解得，抛物线开口向上； ①顶点横坐标为，顶点纵坐标为， ∴顶点在第四象限，①正确； ②∵x＝﹣2时，y＝t，对称轴为， 设x＝﹣2关于对称轴的对称点横坐标为x0，则，解得x0＝3， ∴x＝3时y＝t，即﹣2和3是方程ax2+bx+c＝t的两个根，②正确； ③当x＝﹣1时，m＝a（﹣1）2﹣a（﹣1）﹣2＝2a﹣2， 当x＝2时，n＝a•22﹣a•2﹣2＝2a﹣2， ∴m+n＝4a﹣4， ∵， ∴，③错误； ④点（﹣8，y1）到对称轴的距离为， 点（8，y2）到对称轴的距离为， ∵抛物线开口向上，离对称轴越远函数值越大，， ∴y1＞y2，④正确； ⑤方程，即， 判别式， ∵， ∴Δ＝a（a﹣2）＞0，方程有两个不相等的实数根，⑤正确； 综上，正确的结论共4个． 故选：B． 【变式6-3】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）开口向下，过A（﹣2，0），B（n，0）两点，且2＜n＜3．下列五个结论：①b＞0；②若时，则5a+2c＜0；③方程一定有两个不相等的实数根；④若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【分析】根据抛物线的开口方向得a＜0，根据对称轴可得b＞0，即可判定①；根据对称轴得，由点A（﹣2，0）可得4a﹣2b+c＝0，即得5a+c＝0，得到5a+2c＝c，根据二次函数的图象得y＝c＞0，即得5a+2c＞0，即可判定②；设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣n），根据一元二次方程根的判别式可判定③；利用抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，可判定④；根据二次函数的解析式可得c＝﹣2an，即得，得到，即可判定⑤，综上即可求解． 【解答】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵抛物线过A（﹣2，0），B（n，0）， ∴对称轴为直线， ∵2＜n＜3， ∴， ∴对称轴在y轴右侧，即， ∵a＜0， ∴b＞0，故①正确； 当时，对称轴为直线， ∴， 解得， 把A（﹣2，0）代入抛物线，得4a﹣2b+c＝0， 将代入4a﹣2b+c＝0，得5a+c＝0， ∴5a+2c＝c， ∵x＝0在﹣2和n之间，开口向下， ∴x＝0时，y＝c＞0， 即5a+2c＞0，故②错误； 设抛物线解析式为y＝a（x+2）（x﹣n）， 方程整理得，， ∴判别式， ∵a＜0， ∴a2（n+2）2＞0，﹣2a＞0， ∴Δ＞0， ∴方程有两个不相等的实数根，故③正确； 设对称轴为x＝h，则，两点到对称轴距离的平方差为， ∵x1＜x2，x1+x2＞2， ∴x1﹣x2＜0，， ∴，即|x1﹣h|＜|x2﹣h|， ∵抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小， ∴y1＞y2，故④错误； ∵y＝a（x+2）（x﹣n）＝ax2+（2﹣n）ax﹣2an， ∴常数项c＝﹣2an，即， ∵2＜n＜3，c＞0， ∴， ∵， ∴⑤错误； 综上，正确的结论共2个， 故选：A． 模块三 课后作业 1．若抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式Δ＜0列不等式求解即可． 【解答】解：∵抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点， ∴一元二次方程x2﹣3x+m＝0没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得Δ＝b2﹣4ac＜0， 即（﹣3）2﹣4×1×m＜0， 解得． 故选：A． 2．函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 【分析】先令y＝0求出方程的根的情况，然后即可得到函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数． 【解答】解：∵函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）， ∴当y＝0时，0＝x2﹣（m+1）x+m， Δ＝[﹣（m+1）]2﹣4×1×m＝（m﹣1）2≥0， ∴该方程有两个实数根， 即函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是1个或2个， 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 【分析】根据A、B两点纵坐标相等求出二次函数对称轴，进而得到b的值，再利用二次函数与x轴只有一个交点的性质求出c的值，得到函数解析式后求出m，最后计算△AOB的面积． 【解答】解：由题意可得：二次函数的对称轴为直线， ∵对称轴公式为，a＝1， ∴，解得b＝﹣4， 又∵二次函数图象与x轴只有一个交点， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×c＝0， 解得c＝4， ∴二次函数解析式为y＝x2﹣4x+4， 将A（1，m）代入解析式，得m＝12﹣4×1+4＝1， ∴A（1，1），B（3，1）， ∴AB＝3﹣1＝2，原点O到直线AB的距离为1， ∴． 故选：A． 4．一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根m，n，抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列条件中，一定能判断y1＝y2的是（　　） A．x1＝m+2，x2＝n+2 B．x1＝m﹣2，x2＝n﹣2 C．x1＝m+2，x2＝n﹣2 D．x1＝2m，x2＝2n 【分析】根据二次函数的对称性判断即可． 【解答】解：∵一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根m，n， ∴m+n， ∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象的对称轴为直线x， ∴点A（x1，y1），B（x2，y2）在二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，当时，y1＝y2， ∴选项C符合题意， 故选：C． 5．根据表中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的几组对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个解x1的取值范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.03 0.02 0.12 A．6.17＜x1＜6.18 B．6.18＜x1＜6.19 C．6.19＜x1＜6.20 D．x1＞6.20 【分析】依据题意，利用二次函数和一元二次方程的关系，结合当x＝6.18时，y＝﹣0.03；当x＝6.19时，y＝0.02，从而可以得解． 【解答】解：观察表格可知：当x＝6.18时，y＝﹣0.03；当x＝6.19时，y＝0.02， ∴方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a，b，c为常数）的一个解x的范围是6.18＜x＜6.19． 故选：B． 6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于原点两侧，则下列结论正确的个数为（　　） ①0＜a＜3； ②关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣2a（x﹣2）+a﹣3＝0（a≠0）两根之和为4； ③若关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣3﹣k＝0（a≠0）没有实数根，则k＜﹣3； ④若点A（﹣4，p），点B（m，q）均在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象上，且p＜q，则m＜﹣4或者m＞6． A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由二次函数图象与x轴有两个交点且位于y轴两侧，说明对应方程的两根异号，即常数项与二次项系数符号相反，结合开口方向、顶点坐标及函数的增减性分析选项即可． 【解答】解：由题意可得，方程ax2﹣2ax+a﹣3＝0的两根异号， ∴x1+x2＝2，x1x2 解得0＜a＜3，故①正确； ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3向右平移2个单位得到y＝a（x﹣2）2﹣2a（x﹣2）+a﹣3， ∴关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣2a（x﹣2）+a﹣3＝0（a≠0）两根之和仍然是2，故②错误； ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3＝a（x﹣1）2﹣3， ∴函数的最值为﹣3， ∵二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点， ∴抛物线开口向上， ∴函数有最小值为﹣3， ∵关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣3﹣k＝0（a≠0）没有实数根， ∴二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与直线y＝k没有交点， ∴k＜﹣3，故③正确； ∵抛物线y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）开口向上，对称轴为直线x＝1， ∴点A（﹣4，p）关于对称轴的对称点为（6，p）， ∵点A（﹣4，p），点B（m，q）均在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象上，且p＜q， ∴m＜﹣4或m＞6，故④正确． 故选：C． 7．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的距离为6，则该函数图象的顶点的纵坐标为　 　 ． 【分析】设x1、x2是二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标，根据根与系数的关系得到x1+x2b，x1x2c，由两个交点的距离为6，即可得出（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2＝36，即（2﹣4×（36，得出b2+2c＝36，利用顶点公式即可求得抛物线y＝﹣2x2+bx+c顶点的纵坐标为：cb2（b2+2c）18． 【解答】解：设x1、x2是二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的横坐标， ∴x1+x2b，x1x2c， ∵两个交点的距离为6， ∴|x1﹣x2|＝6， ∴（x1﹣x2）2＝36， ∵（x1﹣x2）2＝（x1+x2）2﹣4x1x2， ∴（2﹣4×（36， ∴b2+2c＝36， ∴抛物线y＝﹣2x2+bx+c顶点的纵坐标为：cb2（b2+2c）18． 故答案为：18． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，5），B（0，5），抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的取值范围； （3）连接AB，若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m（m＞0）个单位长度时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为 　 ． 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据二次函数的增减性进行求解即可； （3）分3种情况，求出临界点，即可得出结果． 【解答】解：（1）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，5），B（0，5），抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． 将C（1，0），D（﹣3，0）代入y＝﹣x2+bx+c，得 解得 ∴y＝﹣x2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4）； （2）∵抛物线开口向下，顶点坐标为（﹣1，4）， ∴对称轴为直线x＝﹣1， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， ∵﹣4≤x≤0，﹣1﹣（﹣4）＞0﹣（﹣1）， ∴x＝﹣4时，y＝﹣16+8+3＝﹣5为此时的函数最小值， 当x＝﹣1时，函数最大值为y＝4， ∴当﹣4≤x≤0时，y的取值范围是﹣5≤y≤4； （3）二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m个单位长度后解析式为y＝﹣x2﹣2x+3+m， 此时顶点坐标为（﹣1，4+m），当顶点落在线段AB上时， 4+m＝5，解得m＝1， 当函数图象向上移动，经过点B（0，5）时，5＝3+m， 解得m＝2， 当函数图象经过点A（﹣3，5）时，5＝﹣9+6+3+m， 解得m＝5， ∴当m＝1或2＜m≤5时，函数图象与线段AB有一个公共点． 故答案为：m＝1或2＜m≤5． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式，并写出二次函数图象的顶点坐标． （2）将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度： ①在给出的图中画出平移后的二次函数的图象； ②当m≤x≤m+1时，若图象的最大值为4m，请直接写出m的值． 【分析】（1）把A（﹣5，0），B（1，0）代入y＝ax2+bx+5，得出关于a、b的二元一次方程组，解方程组求出a、b的值即可得出二次函数的解析式，把解析式化为顶点式，即可求出顶点坐标； （2）①先求出平移后的二次函数解析式，再描点画图即可； ②分m≤0，0＜m≤1和m＞1三种情况，利用二次函数的性质分别求解即可． 【解答】解：（1）抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． ∴， 解得：． ∴y＝﹣x2﹣4x+5 ∵y＝﹣x2﹣4x+5＝﹣（x+2）2+9， ∴顶点坐标为（﹣2，9）． （2）①由题意可得：平移后的二次函数解析式为y＝﹣（x+2﹣3）2+9﹣4＝﹣（x﹣1）2+5， ∴平移后的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1， ∴当x＝﹣1时，y＝1，当x＝3时，y＝1，当x＝2时，y＝4，当x＝0时，y＝4， ∴平移后的二次函数的图象如图所示： ②∵平移后的顶点坐标为（1，5），对称轴为直线x＝1，二次项系数﹣1＜0， ∴x≤1时，y随x的增大而增大，x≥1时，y随x的增大而减小， 当m≤0时，则m+1≤1， ∴当x＝m+1时，函数取得最大值4m， ∴4m＝﹣（m+1﹣1）2+5， 解得m1＝﹣5，m2＝1（舍去）． 当0＜m≤1时，此时m+1＞1， ∴顶点为最高点， ∴5＝4m， 得，与取值范围相矛盾，故舍去； 当m＞1时，此时x＝m时，函数取得最大值4m， ∴4m＝﹣（m﹣1）2+5， 解得，（舍去）． 综上，m的值为﹣5或． 10．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 　 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 　 ，当y＜0时，x取值范围是 　 　 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 【分析】（1）①抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0），可得抛物线的对称轴为，由函数的对称性可得x＝2及x＝﹣3时的函数值相等，故由x＝2对应的函数值可得出x＝﹣3所对应的函数值，从而得出正确答案； ②由抛物线与x轴的交点坐标即可得到方程ax2+bx+c＝0的解；由表格中y值的变化规律及找出的对称轴，得到抛物线的开口向上，在对称轴右侧，y随x的增大而增大，从而求解； （2）由第一问得出抛物线与x轴的两交点坐标（﹣2，0）和（1，0），与y轴的交点坐标（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c即可求出． 【解答】解：（1）①由表格可知：当x＝﹣2和x＝1时，y＝0， ∴对称轴直线， ∵抛物线经过点（2，8），点（﹣3，8）和（2，8）关于直线轴对称， ∴抛物线经过点（﹣3，8）， 故答案为：8，直线； ②由表格可知：抛物线与x轴的交点坐标是（﹣2，0）和（1，0）， ∴方程ax2+bx+c＝0的解是x＝﹣2或1； ∵对称轴为直线， 由表格可得：在对称轴右侧，y随x增大而增大， ∴抛物线开口向上， ∴当﹣2＜x＜1时，y＜0； 故答案为：x＝﹣2或1，﹣2＜x＜1； （2）把（﹣2，0），（1，0）和（0，﹣4）代入y＝ax2+bx+c得：， 解得：， ∴抛物线解析式为：y＝2x2+2x﹣4． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 二次函数与一元二次方程（暑假预习讲义） 【新教材人教版】 【知识框架+3个知识归纳+6个题型+课后作业】 模块二 二次函数与一元二次方程 如图，二次函数y＝x2－3x＋2的图象，根据图象回答： (1)当x＝ 时，y＝0； (2)观察图象，方程x2－3x＋2＝0的根是 ； (3)二次函数y＝x2－3x＋2与一元二次方程x2－3x＋2＝0之间有什么关系？ 【知识点1 二次函数与一元二次方程的关系】 一元二次方程是二次函数的函数值时的情况，反映在图象上就是一元二次方程的根为对应二次函数的图象与x轴交点的横坐标． （1）若抛物线与x轴两交点的横坐标分别为，，则，为一元二次方程的两个根． （2）二次函数图象与x轴交点个数与对应一元二次方程根的情况的关系： 【知识点2 利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 利用二次函数图象求一元二次方程的近似解的一般步骤 （1）画出二次函数的图象； （2）确定二次函数的图象与x轴交点的横坐标在哪两个整数之间； （3）列表，在（2）中的两数之间取值估计，并用计算器估算近似解，则近似解在对应y值正负交替的地方． 通过列表求近似根的具体过程： 在列表求近似根时，近似根就出现在对应的y值正负交替的位置，也就是对x取一系列值，看y对应的哪两个值，由负变成正或由正变成负，此时x的两个对应值之中必有个近似根，比如x由取到时，对应y的值出现，或，，那么，中必有一个是近似根，比较与的大小，若，则说明是近似根；反之，则说明是近似根．从图象上观察，（，）离x轴越近，y值越接近0，而时x的值就是方程的确切根． 【知识点3 二次函数与一元二次不等式的关系】 利用二次函数图象解一元二次不等式的步骤: （1）将一元二次不等式化为的形式； （2）明确二次项系数a的正负、对称轴在y轴哪侧，并计算的值； （3）作出不等式对应的二次函数的草图； （4）二次函数在x轴上方的图象对应的函数值大于零，在x轴下方的图象对应的函数值小于零． 以为例，二次函数与一元二次不等式的关系如下表： 二次函数的图像 一元二次方程的根 ， 没有实数根 不等式的解集 的一切实数 全体实数 不等式的解集 无解 无解 【题型1 根据二次函数图象解一元二次方程】 【例1】如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数且a≠0）的部分图象与x轴交于点（﹣2，0），则方程ax2+bx+c＝0的解为（　　） A．x1＝2，x2＝﹣4 B．x1＝2，x2＝4 C．x1＝﹣2，x2＝4 D．x1＝﹣2，x2＝2 【变式1-1】若二次函数y＝x2﹣6x+c的图象经过点A（1，1），则方程x2﹣6x+c＝1的解为（　　） A．x＝1 B．x＝6 C．x＝1或x＝﹣7 D．x＝1或x＝5 【变式1-2】已知二次函数y＝﹣x2+2x+m的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+m＝0的一个解为x＝3，另一个解为 　 ． 【变式1-3】二次函数y＝ax2+bx+c的部分对应值列表如下，则一元二次方程a（x﹣1）2+b（x﹣1）+c＝﹣5的解为 　 ． x … ﹣3 0 1 3 5 … y … 7 ﹣8 ﹣9 ﹣5 7 … 【题型2 二次函数与x轴交点】 【例2】抛物线y＝x2+2x﹣3与坐标轴的交点个数有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式2-1】已知二次函数y＝﹣x2+bx+c的顶点为（1，5），那么关于x的一元二次方程﹣x2+bx+c﹣4＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式2-2】在平面直角坐标系中，若函数y＝（k﹣2）x2﹣2kx+k的图象与坐标轴共有三个交点，则下列各数中可能的k值为（　　） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【变式2-3】已知抛物线y＝a（x﹣h）2+k与x轴有两个交点A（﹣1，0），B（3，0），抛物线y＝a（x﹣h﹣m）2+k与x轴的一个交点是（4，0），则m的值是（　　） A．5 B．﹣1 C．5或1 D．﹣5或﹣1 【题型3 由二次函数的图象求一元二次方程的近似解】 【例3】如下表给出了二次函数y＝x2+2x﹣10中x，y的一些对应值，则可以估计一元二次方程x2+2x﹣10＝0的一个近似解（精确到0.1）为（　　） x … 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 … y … ﹣1.39 ﹣0.76 ﹣0.11 0.56 1.25 … A．2.2 B．2.3 C．2.4 D．2.5 【变式3-1】根据下列表格中的对应值，判断方程ax2+bx+c＝0（a≠0，a、b、c为常数）的根的个数是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c 0.02 0.01 0.02 0.04 A．1或2 B．1 C．2 D．0 【变式3-2】如表是二次函数y＝ax2+bx+c的几组对应值： x 6.17 6.18 6.19 6.20 y＝ax2+bx+c ﹣0.03 ﹣0.01 0.02 0.04 根据表中数据判断，方程ax2+bx+c＝0的一个解x的范围是（　　） A．6＜x＜6.17 B．6.17＜x＜6.18 C．6.18＜x＜6.19 D．6.19＜x＜6.20 【变式3-3】如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，图象上有两点分别为A（2.18，﹣0.51）、B（2.68，0.54），则方程ax2+bx+c＝0的一个解只可能是（　　） A．2.18 B．2.68 C．﹣0.51 D．2.45 【题型4 由二次函数的图象解不等式】 【例4】抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴的一个交点坐标为（1，0），对称轴是直线x＝﹣1，其部分图象如图所示，当y＞0时，x的取值范围是（　　） A．x＜1 B．x＞﹣3 C．﹣3＜x＜1 D．x＜﹣3或x＞1 【变式4-1】抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 4 6 6 4 … 请求出当y＜0时x的取值范围 　 　． 【变式4-2】若二次函数y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数）的图象如图所示，则关于x的不等式a（x+2）2+b（x+2）+c＜0的解集为 　 　． 【变式4-3】如图，二次函数y＝x2﹣4x+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．则满足kx+b≥x2﹣4x+m的x的取值范围是（　　） A．x≤1或x≥4 B．1≤x≤4 C．x≤1或x≥5 D．1≤x≤5 【题型5 抛物线与x轴交点上的四点问题】 【例5】二次函数与一元二次方程有着紧密的联系，一元二次方程问题有时可以转化为二次函数问题．请你根据这句话所提供的思想方法解决如下问题：若s，t（s＜t）是关于x的方程1+（x﹣m）（x﹣n）＝0的两根，且m＜n，则m，n，s，t的大小关系是（　　） A．s＜m＜n＜t B．m＜s＜n＜t C．m＜s＜t＜n D．s＜m＜t＜n 【变式5-1】已知抛物线y＝（x﹣x1）（x﹣x2）+1（x1＜x2），抛物线与x轴交于（m，0），（n，0）两点（m＜n），则m，n，x1，x2的大小关系是（　　） A．x1＜m＜n＜x2 B．m＜x1＜x2＜n C．m＜x1＜n＜x2 D．x1＜m＜x2＜n 【变式5-2】二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，图象过点（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，方程a（x+1）（x﹣5）＝﹣3的两根为x1和x2，且x1＜x2，则下列结论正确的是（　　） A．x1＜﹣1＜5＜x2 B．x1＜﹣1＜x2＜5 C．﹣1＜x1＜5＜x2 D．﹣1＜x1＜x2＜5 【变式5-3】已知二次函数y＝（x﹣1）2﹣t2（t是常数，且t≠0），方程（x﹣1）2﹣t2﹣1＝0的两根分别为m，n（m＜n），方程（x﹣1）2﹣t2﹣3＝0的两根分别为p，q（p＜q），判断m，n，p，q的大小关系是（　　） A．p＜q＜m＜n B．p＜m＜n＜q C．m＜p＜q＜n D．m＜n＜p＜q 【题型6 根据二次函数与一元二次方程的关系判断多结论问题】 【例6】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴是直线x＝1，若该图象与y轴交点的纵坐标是2，与x轴的一个交点在点（2，0）和（3，0）之间．则下列结论：①2a+b＝0；②方程ax2+bx+c＝0中一定有一个根在﹣2和﹣1之间；③方程一定有两个不相等的实数根；④b﹣a＞2．其中，正确结论的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-1】如图，二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，对称轴为x＝1，有下列四个结论：①4a﹣2b+c＞0；②3a+2c＞0；③ax2+bx≥a+b；④若﹣3＜c＜﹣2，则，其中正确结论的个数为（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式6-2】二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）的自变量x与函数值y的部分对应值如表：且当时；与其对应的函数值y＞0；有下列结论： ①函数图象的顶点在第四象限内； ②﹣2和3是关于x的方程ax2+bx+c＝t的两个根； ③； ④若点（﹣8，y1），点（8，y2）在二次函数图象上，则y1＞y2； ⑤方程有两个不相等的实数根． 其中正确的结论有（　　） x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y＝ax2+bx+c … t m ﹣2 ﹣2 n … A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式6-3】已知抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）开口向下，过A（﹣2，0），B（n，0）两点，且2＜n＜3．下列五个结论：①b＞0；②若时，则5a+2c＜0；③方程一定有两个不相等的实数根；④若点P（x1，y1），Q（x2，y2）在抛物线上，x1＜x2，且x1+x2＞2，则y1＜y2；⑤．其中正确结论的个数为（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 模块三 课后作业 1．若抛物线y＝x2﹣3x+m与x轴没有交点，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 2．函数y＝x2﹣（m+1）x+m（m为常数）的图象与x轴公共点的个数是（　　） A．0 B．1 C．2 D．1或2 3．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴只有一个交点，且经过点A（1，m），B（3，m），则△AOB的面积为（　　） A．1 B．2 C．4 D．8 4．一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根m，n，抛物线y＝ax2+bx+c上有两点A（x1，y1），B（x2，y2），下列条件中，一定能判断y1＝y2的是（　　） A．x1＝m+2，x2＝n+2 B．x1＝m﹣2，x2＝n﹣2 C．x1＝m+2，x2＝n﹣2 D．x1＝2m，x2＝2n 5．根据表中二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的几组对应值，可以判断关于x的方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的其中一个解x1的取值范围是（　　） x 6.17 6.18 6.19 6.20 y ﹣0.03 ﹣0.03 0.02 0.12 A．6.17＜x1＜6.18 B．6.18＜x1＜6.19 C．6.19＜x1＜6.20 D．x1＞6.20 6．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于原点两侧，则下列结论正确的个数为（　　） ①0＜a＜3； ②关于x的一元二次方程a（x﹣2）2﹣2a（x﹣2）+a﹣3＝0（a≠0）两根之和为4； ③若关于x的一元二次方程ax2﹣2ax+a﹣3﹣k＝0（a≠0）没有实数根，则k＜﹣3； ④若点A（﹣4，p），点B（m，q）均在二次函数y＝ax2﹣2ax+a﹣3（a≠0）的图象上，且p＜q，则m＜﹣4或者m＞6． A．1 B．2 C．3 D．4 7．已知二次函数y＝﹣2x2+bx+c的图象与x轴的两个交点的距离为6，则该函数图象的顶点的纵坐标为　 　 ． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，A（﹣3，5），B（0，5），抛物线y＝﹣x2+bx+c交x轴于C（1，0），D（﹣3，0）两点，交y轴于点E． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当﹣4≤x≤0时，求y的取值范围； （3）连接AB，若二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象向上平移m（m＞0）个单位长度时，与线段AB有一个公共点，结合函数图象，直接写出m的取值范围为 　 ． 9．如图，抛物线y＝ax2+bx+5（a≠0）与x轴交于点A（﹣5，0）和点B（1，0），与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式，并写出二次函数图象的顶点坐标． （2）将二次函数的图象向右平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度： ①在给出的图中画出平移后的二次函数的图象； ②当m≤x≤m+1时，若图象的最大值为4m，请直接写出m的值． 10．抛物线y＝ax2+bx+c上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表： x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 … y … 0 ﹣4 ﹣4 0 8 … （1）根据上表填空： ①抛物线经过点（﹣3，），对称轴为 　 ； ②方程ax2+bx+c＝0的解是 　 ，当y＜0时，x取值范围是 　 　 ； （2）求该抛物线y＝ax2+bx+c的解析式． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $