专题2.10 对数与对数函数（举一反三专项训练）（全国通用）【上好课】2027年高考数学一轮复习举一反三系列

**基本信息** 以对数运算、函数性质为主线，通过6大题型+分层训练构建从基础到综合的知识网络，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |题型专练|6题型×4题|覆盖运算、图象、大小比较等核心考法|从概念运算到性质应用，形成逻辑递进链| |分层突破|A/B/C组真题模拟|基础巩固→能力提升→实战演练|分层匹配一轮复习需求，强化模型意识|

专题2.10 对数与对数函数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 对数的运算】 1 【题型2 对数函数的图象及应用】 2 【题型3 比较指对幂数的大小】 3 【题型4 解对数不等式】 3 【题型5 对数（型）函数的单调性问题】 4 【题型6 对数函数性质的综合应用】 4 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 对数的运算】 1．（2026·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 2．（2026高一上·江苏·专题练习）已知，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 3．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 4．（2026·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【题型2 对数函数的图象及应用】 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 6．（25-26高三·全国·一轮复习）函数与函数图象的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 7．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（   ）    A． B． C． D． 8．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【题型3 比较指对幂数的大小】 9．（2026·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 10．（2026·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 11．（2026·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 12．（2026·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【题型4 解对数不等式】 13．（2026·四川成都·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 14．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 15．（2026·海南·模拟预测）若集合，则（   ） A． B． C． D． 16．（25-26高二上·浙江杭州·开学考试）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【题型5 对数（型）函数的单调性问题】 17．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 19．（2026·江苏南通·二模）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 20．（2026·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型6 对数函数性质的综合应用】 21．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 22．（2026·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 23．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 24．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 一、单选题 1．（2026·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知集合，则（  ） A． B． C． D． 3．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．且. 4．（2026·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象关于轴对称，且，则（　　） A． B．2 C．3 D．4 5．（2026·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 6．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 7．（2026·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 8．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则__________． 10．（2026·湖南永州·模拟预测）已知正数满足，则__________. 11．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 12．（2026·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是___________. 一、单选题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（2026·广东深圳·模拟预测）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 二、解答题 5．（2026·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 6．（2026·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 7．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知函数. (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求，的值. (2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若在上单调，求的最小值. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 6．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为___________. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则___________． 三、解答题 10．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.10 对数与对数函数（举一反三专项训练） 【全国通用】 目录 第一部分 题型专练 【题型1 对数的运算】 1 【题型2 对数函数的图象及应用】 3 【题型3 比较指对幂数的大小】 5 【题型4 解对数不等式】 7 【题型5 对数（型）函数的单调性问题】 9 【题型6 对数函数性质的综合应用】 10 第二部分 分层突破 A组 基础跟踪练 B组 培优提升练 C组 真题·实战演练 【题型1 对数的运算】 1．（2026·北京大兴·三模）已知，则的值为（   ） A．15 B． C． D． 【答案】C 【解题思路】结合指数与对数的转化及指数运算性质即可求解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以. 故选：C. 2．（2026高一上·江苏·专题练习）已知，则（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【解题思路】由指数转对数得到，再由对数的运算性质即可求解. 【解答过程】依题意，， 则． 故选：B. 3．（2026·北京·三模）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【解答过程】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 故选：B. 4．（2026·北京海淀·三模）历史上，在5月27日曾有多次地震记录．例如：2006年5月27日，印尼爪哇发生里氏6.3级地震，2024年5月27日，四川木里县发生里氏5.0级地震，经过科学家的研究发现，地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．印尼爪哇地震所释放出来的能量约是四川木里地震的（    ）倍．（精确到1．参考数据：） A．87 B．88 C．89 D．90 【答案】C 【解题思路】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级，利用对数计算 的值，根据参考数据，利用对数函数的单调性估计得到答案. 【解答过程】设印尼地震的能量 ，震级，四川地震的能量 ，震级. 因为地震时释放出来的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为， 所以， 且， 所以， 根据精确度要求精确到1，所以， 故选：C. 【题型2 对数函数的图象及应用】 5．（25-26高一上·广东中山·阶段检测）函数的图像大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的奇偶性、特殊点的函数值确定正确答案. 【解答过程】的定义域是， ， 所以是偶函数，图象关于轴对称，CD选项错误. ，B选项错误. 故选：A. 6．（25-26高三·全国·一轮复习）函数与函数图象的交点个数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【解题思路】利用数形结合即可求解. 【解答过程】在同一坐标系内画出函数与的图象，如图所示： 由图象知，函数与图象在内有一个交点，在上无交点. 故选：B. 7．（25-26高一·全国·寒假作业）函数的图象如图所示，则a，b，c，d的大小顺序是（   ）    A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由与对数函数图像的交点位置即可判断. 【解答过程】    由图可知，直线与x轴上半部分图象交点的横坐标从小到大依次为， 由此可知． 故选：D. 8．（25-26高一上·浙江舟山·阶段检测）函数（其中是自然对数的底数）的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数的定义域、奇偶性以及特殊点的函数值确定正确答案. 【解答过程】对于函数， 由，解得， 所以的定义域为， ， 所以是奇函数，图象关于原点对称，所以D选项错误. ，由于， 所以，所以C选项错误. ，所以B选项错误. 故选：A. 【题型3 比较指对幂数的大小】 9．（2026·湖南·一模）若，，，则、、的大小关系为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用对数函数、幂函数单调性，结合中间值法可得出、、的大小关系. 【解答过程】因为函数在上为增函数，所以，即， 因为，， 函数在上为增函数，所以，即， 故． 故选：C. 10．（2026·山东泰安·模拟预测），则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数与指数函数的图象与性质，分别求得的取值范围，即可求解. 【解答过程】由幂函数为增函数，得； 由指数函数为减函数，得； 由对数函数为减函数，得. 所以. 故选：A. 11．（2026·上海宝山·二模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用幂函数、指数函数、对数函数的单调性判断. 【解答过程】对于A：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故A正确； 对于B：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故B错误； 对于C：因为函数在上单调递增， 所以当时，，故C错误； 对于D：因为函数在上单调递减， 所以当时，，故D错误； 故选：A. 12．（2026·天津南开·模拟预测）若，，则实数、、的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】求出、、，利用对数函数、幂函数的单调性可得出、、的大小顺序. 【解答过程】由题意可得，，可得，， 因为对数函数为上的增函数，则， 幂函数在上为增函数，则， 故. 故选：D. 【题型4 解对数不等式】 13．（2026·四川成都·一模）已知集合，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据不等式的解法和对数函数的性质，求得集合，结合集合交集的定义与运算，即可求解. 【解答过程】由不等式，可得，即， 又由，可得，解得，即， 所以. 故选：A. 14．（2026·辽宁·模拟预测）已知函数则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分和两种情况，解不等式，得到不等式解集. 【解答过程】由题意可知当时，,故，满足题意； 当时，令，即，解得，所以. 综上，. 故选：C. 15．（2026·海南·模拟预测）若集合，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解对数不等式求出集合，再由交集运算可得结果. 【解答过程】由题意可得， 解得或，即或； 又，可得. 故选：B. 16．（25-26高二上·浙江杭州·开学考试）设函数，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先分段作出函数的图象，结合图象得函数为上的增函数，再判断函数的奇偶性，再利用单调性与奇偶性性质将不等式转化为，化简求解可得. 【解答过程】，，则， 作出函数的图象，可知是上的增函数. 又，是奇函数. 不等式可化为， 所以，则，即，解得， 不等式的解集是. 故选：B. 【题型5 对数（型）函数的单调性问题】 17．（2026·山东泰安·模拟预测）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据复合函数单调性确定内层函数与外层函数的单调性，结合函数的定义域列不等式组即可得的取值范围. 【解答过程】由函数在上单调递增， 可得在上单调递增， 且在上恒成立，故需满足，解得. 故选：B. 18．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先求函数的定义域，再求函数在定义域上的增区间即可. 【解答过程】解：由已知得，解得或，函数的定义域为， 因为总为增函数，要求函数的单调递增区间， 由同增异减可得即求函数在上的增区间 由二次函数的性质可得在上的增区间为， 故函数的单调递增区间是. 故选：A. 19．（2026·江苏南通·二模）已知函数，则“”是“函数在上单调递减”的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，结合对数复合函数单调性求出的范围，再利用充分条件、必要条件的定义判断得解. 【解答过程】令，函数在上单调递增， 由函数在上单调递减，得函数在上单调递减，且当时，， 因此，解得， 所以“”是“函数在上单调递减”的必要不充分条件. 故选：C. 20．（2026·广东·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由复合函数的单调性得到在上单调递增，列出不等式组，解之即得参数范围. 【解答过程】因为在上单调递增，由函数在上单调递增， 可得在上单调递增且恒成立， ，解得， 即实数的取值范围是. 故选：C. 【题型6 对数函数性质的综合应用】 21．（25-26高一上·湖南娄底·阶段检测）已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．若，则在上单调递增 B．若，则的值域为 C．若，则在上单调递减 D．若，则的值域为 【答案】D 【解题思路】求出函数的定义域，可判断A选项；利用复合函数的单调性可判断C选项；利用对数函数的基本性质求出函数的值域，可判断BD选项. 【解答过程】对于函数，有，解得， 故函数的定义域为，A错； 当时，， 因为，则，所以，则， 故当时，的值域为，B错； 当时，内层函数在上为减函数，外层函数为减函数， 由复合函数法可知，若，则在上单调递增，C错； 若，因为，则，即函数的值域为，D对. 故选：D. 22．（2026·河北·模拟预测）已知函数，若的值域为，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据指数函数性质分析可知的值域为，结合题意可得，结合对数函数性质列式求解即可. 【解答过程】设的值域分别为， 当时，则，可得； 因为的值域为，可知， 则，且，可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故选：D. 23．（25-26高一上·全国·单元测试）已知（，且）． (1)判断的奇偶性； (2)若在区间内的最大值为2，求． 【答案】(1)是偶函数 (2) 【解题思路】（1）根据函数奇偶性的定义判断即可； （2）根据复合函数的单调性，结合题设讨论求解即可. 【解答过程】（1）由题意得解得， 则的定义域为，关于原点对称， 且， 所以是偶函数． （2）， ①当时，函数在上单调递增， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最大值为， 因为在区间单调递减， 所以， 解得（负值舍会），与矛盾，舍去； ②时，函数在上单调递减， 则在区间内的最大值为2可转化为在区间内的最小值为， 因为在区间单调递减， 所以，解得（负值舍会），满足． 综上，． 24．（25-26高一下·海南海口·期中）已知函数. (1)设. （i）计算的值，并求的最小值； （ii）求的单调递减区间. (2)对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）的单调递减区间为 (2) 【解题思路】（1）（i）换元令将原函数化为二次函数，代入计算函数值，通过二次函数配方求最小值. （ii）利用复合函数单调性法则，结合二次函数与对数函数的单调区间，求解原函数的单调递减区间. （2）换元转化为区间上的二次函数，根据对称轴与区间的位置分类讨论最值，由最值差≤8解出的范围. 【解答过程】（1）（i）将代入得. 令，则. . 因为，，当且仅当即时取等号，所以. （ii）在上单调递增. 在上单调递减，在上单调递增. 由得. 所以由复合函数“同增异减”可知的单调递减区间为. （2）对任意，恒成立，求的取值范围. 令，，，即，. 题意等价于在上恒成立. 函数图像开口向上，对称轴为. ①当时，在上单调递增，，，，与矛盾，舍去. ②当时，，. 若，，. 若，，. ③当时，在上单调递减，，，，与矛盾，舍去. 综上，的取值范围是. 一、单选题 1．（2026·江西·模拟预测）若，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】C 【解题思路】利用换底公式得，令，即得解出即可. 【解答过程】由有，令， 则， 所以， 故选：C. 2．（2026·山东泰安·模拟预测）已知集合，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】解一元二次不等式、对数不等式求集合，再由集合运算求交集. 【解答过程】由题设，所以. 故选：B. 3．（2026·陕西西安·模拟预测）函数的定义域为（    ） A． B． C． D．且. 【答案】D 【解题思路】根据真数大于零，分母不为零求解. 【解答过程】由题意得，且，则且， 则函数的定义域为且. 故选：D. 4．（2026·云南·模拟预测）已知函数（且）的图象关于轴对称，且，则（　　） A． B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据题意，函数为偶函数，可求得的值，再结合，代入即可求解. 【解答过程】因为函数的图象关于轴对称， 所以函数为偶函数，所以，即， 即，即，即， 所以，又，解得． 故选：B. 5．（2026·浙江·一模）已知函数是奇函数，则（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解题思路】根据奇函数定义域关于原点对称得出，再应用奇函数定义结合对数运算得出参数，最后计算求解. 【解答过程】的定义域，由， 若，由不等式可解得函数定义域为，不关于原点对称，不可能为奇函数， 若，解得函数定义域为， 若为奇函数，必有，解得； 又， 解得， 故选：C. 6．（2026·甘肃武威·模拟预测）如图所示的函数图象对应的函数解析式可能为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】应用函数对称性判断C，D，再根据时，排除A. 【解答过程】由图可知函数图象关于原点对称，所以该函数为奇函数， 中，，，不相等，所以C选项错误； 中，，，不相等，所以D选项错误； 对于，当时，，与图象不符，故排除A. 故选：B. 7．（2026·四川绵阳·一模）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】对于对数函数和指数函数的值比较大小，通常可以利用函数的单调性以及中间值来进行判断. 【解答过程】因为， 又因为对数函数在上单调递增，且， 所以，即. ，，由于，，且函数在上单调递增， 所以，即. 综合以上两个比较结果，可得. 故选：A. 8．（2026·上海嘉定·一模）若实数x、y、z满足，则x、y、z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，求出的函数关系，再在同一坐标系内作出函数图象，数形结合即可判断. 【解答过程】令，得， 在同一直角坐标系内作出函数的图象， 则分别是函数，的图象与直线交点的纵坐标， 设点的横坐标为，点的横坐标为，观察图象得当时，， 当时，，当时，， 所以ABD是可能的，C不可能. 故选：C. 二、填空题 9．（2026·河南开封·模拟预测）设、为正数，若，且，则__________． 【答案】 【解题思路】根据换底公式以及对数的运算性质可得出关于的方程，解出的值，可得出的值，即可得出的值. 【解答过程】因为、为正数，若，且，即，即， 即，即， 整理可得，即， 解得或，故有或，故. 故答案为：. 10．（2026·湖南永州·模拟预测）已知正数满足，则__________. 【答案】16 【解题思路】根据对数的运算性质和换底公式化简计算即得. 【解答过程】因为 ， 所以. 故答案为：16. 11．（2026·吉林长春·模拟预测）已知函数在区间上单调递增，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解题思路】根据给定条件，利用复合函数单调性，结合对数函数、二次函数单调性及真数恒正列式求解. 【解答过程】函数在上单调递增，由函数在上单调递增， 得函数在上单调递增，且，恒成立， 因此，解得，所以实数的取值范围为. 故答案为：. 12．（2026·上海嘉定·一模）已知，且，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解题思路】根据题意求函数的定义域，并判断的奇偶性和单调性，结合函数性质解不等式即可. 【解答过程】令，等价于，可得，解得， 可知函数的定义域为， 因为，即， 可知函数为奇函数， 且， 因为在内单调递增，则在内单调递减， 且在定义域内单调递增，可知函数在内单调递减， 若，则， 可得，解得， 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 一、单选题 1．（2026·山东聊城·模拟预测）若，则下列式子可能成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，得到，所以，分别作出指数函数、对数函数和幂函数的图象，结合图象，即可求解. 【解答过程】因为，可得，所以， 作出函数，，，以及的大致图象， 如图所示，当取不同值时，可能得到：， 可得均不可能成立， 只有可能成立. 故选：B. 2．（2026·湖北黄冈·一模）酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：血液中酒精含量达到的驾驶员即为酒后驾车，及以上认定为醉酒驾车．某天，驾驶员张某在家喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量达到了，如果停止喝酒以后，他血液中酒精含量会以每小时的速度减少，那么他至少经过几个小时才能安全驾驶？（结果取整数，参考数据：（　　），） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】设至少经过小时后才能安全驾驶，由题意可得，进而求解即可. 【解答过程】设至少经过小时后才能安全驾驶， 则满足：，化简得：， 根据是增函数可得：，即， 因为，所以， 所以他至少要经过2小时后才能驾驶. 故选：B. 3．（2026·广东深圳·模拟预测）若正实数a，b满足，且，则下列不等式一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】因为，为单调递增函数，故，由于，故，或.对于ABC，分、，结合对数函数的性质及作差比较法即可判断；对于D，由两边取自然对数得到，即，构造函数（且），通过导数判断单调性即可判断. 【解答过程】因为，为单调递增函数，故， 由于，故，或， 当时，，此时； ，故； ，即，得，但的大小不确定， 当时，，此时， ，故； ，即，得，但的大小不确定， 所以ABC均不正确； 对于D，，两边取自然对数，， 因为不管，还是，均有， 所以，故只需证即可， 设（且），则， 令（且），则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以在且上恒成立， 故在定义域上单调递减， 因为，所以，结论得证，D正确． 故选：D． 4．（2026·四川资阳·一模）已知函数，，的零点分别为，，，则，，的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先令三个函数式等于0，然后对等式分别化简，使得它们都等于同一函数式，进而可画出图象，比较零点的大小. 【解答过程】令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则，化简得， 即，换底后得到； 令，则；化简得， 即，换底后得到； 分别画出它们的图象为：      由图可以看出. 故选：A. 二、解答题 5．（2026·上海闵行·一模）已知函数是定义在上的奇函数，当时，. (1)求的值； (2)若，求函数的值域. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用奇函数的定义求解； （2）由的表达式求出的表达式，利用换元法将设为，求出的取值范围，利用二次函数的图象求值域即可得解. 【解答过程】（1）函数是定义在上的奇函数， ， 当时，，， ； （2）当时，，， ， 令， ，， ， 函数图象开口向上，对称轴为， ，   函数的值域为. 6．（2026·上海浦东新·三模）已知（且）． (1)若，解方程，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）将代入函数，再代入方程中，结合对数函数的运算化简即可得关于的方程,解方程即可求解. （2）根据对数函数的性质，分和两种情况讨论，由单调性解不等式即可求得的取值范围; 【解答过程】（1）当时，则，因为， 所以，化简可得， 即，化简得， 所以，所以， 解得或，即或； （2）当时，函数在上单调递减，若， 则，解得； 当，函数在上单调递增，若， 则，解得， 综上所述：的取值范围为． 7．（25-26高三上·江苏·阶段检测）已知函数. (1)若在区间上的最大值是，求实数a的值； (2)若函数的值域为，求不等式的实数t的取值范围． 【答案】(1)或 (2) 【解题思路】(1) 分两种情况讨论，利用对数函数单调性和最值，即可求解； (2) 设，则因为函数的值域为，求的值，利用单调性和定义域解对数不等式. 【解答过程】（1））① 当时，在上单调递减， 所以,解之可得， ② 当时，在上单调递减， 所以，可得， 综上所述：或. （2）设，则， 因为函数的值域为，即， 所以， 即，得， 根据是单调递增函数，设 则， 所以实数t的取值范围是. 8．（25-26高一下·湖北十堰·阶段检测）已知函数. (1)若的定义域为，求，的值. (2)当时，是否存在，使得在内存在最大值，且最大值大于2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由. (3)若在上单调，求的最小值. 【答案】(1)， (2)不存在，理由见解析 (3) 【解题思路】（1）根据真数大于0，结合一元二次不等式的解法及韦达定理，即可得答案. （2）分析可得函数，的最大值大于，根据二次函数的性质，分析求解，即可得答案. （3）由复合函数单调性可知，在上单调，且在上恒成立，根据二次函数的性质，分类讨论，分析求解，即可得答案. 【解答过程】（1）由题可知，的解集为， 所以1和2是方程的两根， 由韦达定理得，解得，. （2）当时，，要使在内存在最大值且大于2， 只需函数，的最大值大于， 则，即，无实数解， 故不存在实数，使得在内存在最大值，且最大值大于2. （3）若在上单调，记， 则由复合函数单调性可知，函数在上单调，且在上恒成立 则或， ①当时，，， 此时， 当且仅当，时，等号成立； ②当时，，， 此时，当且仅当，时，等号成立. 综上，的最小值为. 一、单选题 1．（2026·天津·高考真题）已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【解答过程】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 故选：A. 2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（   ） A．2h B．4h C．20h D．40h 【答案】B 【解题思路】由题给条件列出不同训练数据量时所需的时间，结合对数的运算性质即可求解. 【解答过程】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为, 由题意，， ， ， 因为，所以， 所以， 所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时. 故选：B. 3．（2025·全国一卷·高考真题）已知，则x，y，z的大小关系不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】法一：设，对讨论赋值求出，即可得出大小关系，利用排除法求出； 法二：根据数形结合解出. 【解答过程】法一：设，所以 令，则，此时，A有可能； 令，则，此时，C有可能； 令，则，此时，D有可能； 故选：B． 法二：设，所以， 根据指数函数的单调性，易知各方程只有唯一的根， 作出函数的图象，以上方程的根分别是函数的图象与直线的交点纵坐标，如图所示： 易知，随着的变化可能出现：，，，， 故选：B． 4．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在R上单调递增，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据二次函数的性质和分界点的大小关系即可得到不等式组，解出即可. 【解答过程】因为在上单调递增，且时，单调递增， 则需满足，解得， 即a的范围是. 故选：B. 5．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据指数函数和对数函数的单调性结合基本不等式分析判断AB；举例判断CD即可. 【解答过程】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即， 对于选项AB：可得，即， 根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误； 对于选项D：例如，则， 可得，即，故D错误； 对于选项C：例如，则， 可得，即，故C错误， 故选：B. 6．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数 是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意分析可得，消去即可求解. 【解答过程】由题意得，则，即，所以. 故选：D. 7．（2024·天津·高考真题）设，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用指数函数和对数函数的单调性分析判断即可. 【解答过程】因为在上递增，且， 所以， 所以，即， 因为在上递增，且， 所以，即， 所以， 故选：D. 二、填空题 8．（2024·上海·高考真题）函数的定义域为___________. 【答案】 【解题思路】由对数函数性质即可得. 【解答过程】由题意可得，即的定义域为. 故答案为：. 9．（2024·全国甲卷·高考真题）已知且，则___________． 【答案】64 【解题思路】将利用换底公式转化成来表示即可求解. 【解答过程】由题，整理得， 或，又， 所以，故 故答案为：64. 三、解答题 10．（2024·上海·高考真题）已知函数． (1)若函数的图象经过点，求解不等式； (2)若存在，使得、、依次成等差数列，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）代入点坐标计算求出，根据定义域和单调性即可求出的解集； （2）根据的定义域将问题转化为时，得出有解，再结合分离常数法和换元，最后借助一元二次函数的性质进行求解即可. 【解答过程】（1），则， ，，， ，定义域为， 要解不等式，则，． 又在定义域内是严格增函数， 由，则，解得． 综上所述，不等式的解集为． （2）的定义域为，存在，使得、、依次成等差数列， 则在方程中，应满足， 由，解得，问题转化为时，方程有实数解． 又，则， 即． 为严格单调函数， ， ，两边同除以得，． 令，由，则， 在有解． 又在上是严格增函数， ，即， 又，则. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $