1.1 集合的概念 专项训练 -2025-2026学年高一下学期暑期复习数学人教A版必修第一册

**基本信息** 以概念生成逻辑为主线，通过知识清单与分层练习系统覆盖集合的核心要素，强化抽象能力与符号意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识清单|核心概念梳理|元素特征/表示法填空|概念生成（特征→关系→表示法）| |基础辨析|单选3/多选2|集合构成条件判断|数集记法与元素确定性应用| |综合应用|填空6/解答1|集合表示方法转换|从具体到抽象的表示逻辑拓展|

集合的概念 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性． (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 练习 一、单选题 1．（2026·湖南长沙·模拟预测）已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据元素与集合的属于、不属于关系，从的所有可能取值中排除不符合要求的取值，即可确定的值 【详解】由，可知a的可能取值为0,1,2,3； 再由，可排除取值0、1、3； 因此的取值只能为2. 2．（25-26高一上·贵州·期中）若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据集合元素的确定性，即可得答案. 【详解】因为，所以. 故选：C 3．（2026高一·全国·专题练习）下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 【答案】D 【知识点】判断元素能否构成集合 【详解】对于A，“非常接近”不具有确定性，根据元素的确定性可知A错误. 对于B，“著名”不具有确定性，根据元素的确定性可知B错误. 对于C，“视力比较好”不具有确定性，根据元素的确定性可知C错误. 对于D，根据元素的确定性可知D正确， 二、多选题 4．（2026高一·全国·专题练习）(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 【答案】ACD 【知识点】判断元素能否构成集合 【分析】根据集合中元素的确定性逐项判断即可得解. 【详解】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合． 5．（25-26高一上·吉林长春·阶段检测）已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（    ） A．中最大的元素不超过1 B．中最小的元素可以小于 C．若集合中只有一个元素，则或 D．若集合中有两个元素，则 【答案】AC 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、根据集合中元素的个数求参数 【分析】对于A，设为数集中最大的元素，可知也是数集的元素，由,解不等式即可判断； 对于B,设为数集中最小的元素，可知和都是数集的元素，则,解不等式即可判断； 对于C,设为数集中唯一的元素，可知也是数集的元素，则,解方程即可求解； 对于D,举出也满足条件即可判断. 【详解】对于A，设为数集中最大的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素， 则,解得：,所以数集中最大的元素不超过1，故A正确； 对于B,设为数集中最小的元素，根据数集的定义可知和都是数集的元素， 则,即,解得或， 所以数集中最小的元素不小于，故B不正确； 对于C,设为数集中唯一的元素，根据数集的定义可知也是数集的元素 ，则,解得：或,则或，故C正确； 对于D,设集合中有两个元素分别为,， 当时，，，由于，所以，解得或(舍去)，此时； 当，时，，，，所以集合中有两个元素，则也满足条件,故D不正确； 故选：AC 三、填空题 6．（2026·上海·高考真题）已知集合，，则__________． 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【详解】由题意得，解得，经验证此时集合满足题意. 7．（24-25高一上·安徽·期中）若，则_____. 【答案】2 【知识点】利用集合元素的互异性求参数、根据两个集合相等求参数 【分析】由集合相等，求出a，b的值，即可得答案. 【详解】由题意，则，解得， 则，解得（不满足互异性，舍去）， 所以， 故答案为：2 8．（25-26高一上·全国·课前预习）（1）空集：不含____元素的集合叫做空集，记作_____． （2）有限集：含有_____元素的集合叫做有限集． （3）无限集：含有_____元素的集合叫做无限集． 【答案】 任何 有限个 无限个 【知识点】空集的概念以及判断、集合的分类 【分析】略 【详解】略 9．（21-22高一上·重庆九龙坡·期中）若，则___________. 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】 根据元素与集合的关系求出的值，并根据集合中元素的互异性检验. 【详解】因为，所以，或. 当时，，，所以不合题意； 当时，. 当时，集合，符合题意，不合题意. 故答案为:. 10．，1，0,5 【答案】 【知识点】判断元素与集合的关系 【详解】空①：已知左侧为，右侧集合为.，故空①应填入符号. 空②：左侧是1，右侧集合是，不包含任何元素，所以，故空②应填入符号 空③：左侧元素为，右侧为自然数集.属于自然数集，因此，故空③应填入符号. 空④：左侧元素为5，右侧为，右侧集合里含有元素5，因此5，故空④应填入符号. 11．下列叙述正确的是________. ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③1是的元素； ④ 【答案】①③ 【知识点】判断元素能否构成集合、集合的分类 【分析】利用集合的相关概念判断命题①②③④. 【详解】对于①，不等式的所有解可以组成一个集合，①正确； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是有限集，②错误； ③1是的元素，③正确； ④，故④错误， 所以正确的命题是①③. 故答案为：①③ 四、解答题 12．（2026高一·全国·专题练习）把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 【答案】(1)且 (2) (3) (4) (5)用列举法：， 用描述法： 【知识点】自然语言表示集合、描述法表示集合、列举法表示集合 【分析】（1）集合为列举法表示，改为描述法表示； （2）集合为文字描述表示，由列举法表示； （3）集合为描述法表示，改为列举法表示； （4）集合为文字描述表示，由描述法表示； （5）集合为文字描述表示，由列举法和描述法表示． 【详解】（1）集合为列举法，改为描述法为且， 表示小于等于的正偶数． （2）由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数， 由列举法可得： 一位自然数：； 两位无重复：； 三位无重复：； 故集合为：． （3）集合用描述法表示，改为列举法为：． （4）原描述中，表示平面内动点，指点到定点的距离， 距离恒等于5，即为圆周上的点， 故集合． （5）由方程的所有整数解组构成的集合， 改为列举法： ， 用描述法为：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 集合的概念 姓名：___________班级：___________ 思维导图 知识清单 1．集合与元素 (1)集合中元素的三个特征： 、 、 (2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示． (3)集合的表示法： 、 、 ． (4)常见数集的记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 练习 一、单选题 1．已知元素，且，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．若，则（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．下列各对象可以组成集合的是（ ） A．与1非常接近的全体实数 B．中国著名的数学家 C．高一年级视力比较好的同学 D．某学校2026～2027学年度第一学期全体高一学生 二、多选题 4．(多选题)下列各组对象能组成集合的是（ ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．A，B是平面内的定点 ，在平面内与A，B等距离的点 5．已知有限数集中的元素均为实数，且对任意，都有，则下列结论正确的是（    ） A．中最大的元素不超过1 B．中最小的元素可以小于 C．若集合中只有一个元素，则或 D．若集合中有两个元素，则 三、填空题 6．已知集合，，则__________． 7．若，则_____. 8．（1）空集：不含____元素的集合叫做空集，记作_____． （2）有限集：含有_____元素的集合叫做有限集． （3）无限集：含有_____元素的集合叫做无限集． 9．若，则___________. 10．，1，0,5 11．下列叙述正确的是________. ①不等式的所有解可以组成一个集合； ②20世纪在上海出生的所有人组成的集合是无限集； ③1是的元素； ④ 四、解答题 12．把下列集合用另一种方法表示出来： (1)； (2)由1，2，3这三个数字抽出一部分或全部数字（没有重复）所组成的一切自然数； (3)； (4)平面上以点为圆心、半径为5的圆上所有点的集合（这里平面指该平面上所有点组成的集合）； (5)由方程的所有整数解组构成的集合． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $