专题 1-3 集合的概念与表示【9类题型】- 2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019）

2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-3 集合的概念与表示 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 【题型2】 元素与集合的关系判断 【题型3】确定集合中的元素 【题型4】用列举法表示集合 【题型5】用描述法表示集合 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 【题型7】利用集合相等求参数 【题型8】利用集合中元素的个数求参数 【题型9】集合中的新定义问题 【课后作业】 模块二 核心题型突破·举一反三 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 1、元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2、元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 1． （2024·高一·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【巩固练习1】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【巩固练习2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【题型2】 元素与集合的关系判断 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2． 下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 3． 集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【巩固练习1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．都不属于 【巩固练习4】（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【题型3】确定集合中的元素 确定集合中的元素个数时要考虑互异性 4． （2024·高一·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【巩固练习1】已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【巩固练习2】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【巩固练习3】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【题型4】用列举法表示集合 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来. 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 5． 已知集合，用列举法表示为 . 6． 用列举法表示集合_______． 【巩固练习1】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【巩固练习2】集合可用列举法表示为 ． 【巩固练习3】用列举法表示集合=_______． 【题型5】用描述法表示集合 描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 描述法示例： 【注意】有限集且元素数量不多时选用列举法，其余选择描述法. 7． （23-24高一上·河北·月考）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【巩固练习1】所有正偶数组成的集合是 ． 【巩固练习2】用描述法表示下列集合： （1）不等式的解组成的集合； （2）被除余的正整数的集合； （3）； （4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况 8． 已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【巩固练习1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【巩固练习2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【巩固练习3】已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【题型7】利用集合相等求参数 集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。 集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 9． 已知集合，集合，且，则实数 . 10． 若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 11． 已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【巩固练习1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【巩固练习2】设a，，若集合，则 . 【巩固练习3】已知，若，则实数的值为 ． 【题型8】利用集合中元素的个数求参数 利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参一元二次方程解的个数问题为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等 12． 已知集合，集合A中恰有3个元素，则的取值范围为 . 13． 集合中只有一个元素，则实数的值是 . 14． 已知集合，其中. （1）若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. （2）若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【巩固练习1】（23-24高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【巩固练习3】已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【题型9】集合中的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： 第一点：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； 第二点：用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 15． 定义运算，若集合，则 . 【巩固练习1】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【巩固练习2】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【巩固练习3】定义集合运算，设集合，则集合 . 模块三 【课后作业】 1． 下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 2． 用符号“”或“”填空： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 3． （2024·高一·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 4． 已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 5． 试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 6． 已知，用列举法表示A. 7． 定义集合､的一种运算：，若，，则 . 8． 用列举法表示集合_______． 9． （多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 10． （2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 11． 已知集合，集合A中恰有4个元素，则的取值范围为 . 12． 已知，且，则＝ ． 13． （2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若为单元素集合，求实数的值；(2)若为双元素集合，求实数的取值范围. 10 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025学年 新高一数学暑假衔接与新课重难点预习（人教A版2019） 专题1-3 集合的概念与表示 模块一 总览 热点题型解读（目录） 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 【题型2】 元素与集合的关系判断 【题型3】确定集合中的元素 【题型4】用列举法表示集合 【题型5】用描述法表示集合 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 【题型7】利用集合相等求参数 【题型8】利用集合中元素的个数求参数 【题型9】集合中的新定义问题 【课后作业】 模块二 核心题型突破·举一反三 【题型1】判断是否构成集合(确定性) 1、元素与集合的概念及表示 (1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，元素常用小写的拉丁字母a，b，c，…表示． (2)集合：把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，集合通常用大写的拉丁字母A，B，C，…表示． 2、元素的特性 (1)确定性：给定的集合，它的元素必须是确定的．也就是说，给定一个集合，那么任何一个元素在不在这个集合中就确定了．简记为“确定性”． (2)互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． (3)无序性：给定集合中的元素是不分先后，没有顺序的．简记为“无序性”． 1． （2024·高一·广东深圳·阶段练习）给出下列表述：①联合国常任理事国；②坪高全体游泳健将；③方程的实数根；④全国著名的歌手，以上能构成集合的是（    ） A．①③ B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】A 【解析】①联合国常任理事国有5个国家，满足确定性，可以构成集合； ②坪高全体游泳健将，元素不具有确定性，不能构成集合； ③方程的实数根，具有确定性，能构成集合； ④全国著名的歌手，元素不具有确定性，不能构成集合. 【巩固练习1】（2024·高一·江苏淮安·开学考试）下列对象能构成集合的是（    ） A．我国近代著名的数学家 B．的所有近似值 C．所有的欧盟成员国 D．2023年全国高考数学试题中所有难题 【答案】C 【解析】A、B、D：由于描述中标准不明确，无法确定集合； C：所有欧盟成员国是确定的，可以构成集合. 【巩固练习2】(多选)下列各组对象能组成集合的是（    ） A．大于6的所有整数 B．高中数学的所有难题 C．被3除余2的所有整数 D．函数图象上所有的点 【答案】ACD 【解析】选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性； 而选项B中，“难题”没有标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合．故选：ACD 【题型2】 元素与集合的关系判断 1．元素与集合的关系 (1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A． (2)不属于：如果a不是集合A的元素，就说a不属于集合A，记作a∉A． 【注】符号“∈”和“∉”只能用于元素与集合之间，并且这两个符号的左边是元素，右边是集合，具有方向性，左右两边不能互换. 2．常用的数集及其记法 集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 符号 N N*(或N＋) Z Q R 2． 下列关系中，正确的个数为（    ） ①；②；③；④；⑤；⑥. A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【解析】由元素与集合的关系，得：在①中，，故①正确； 在②中，，故②正确；在③中，不正确，故③错误；在④中，，故④错误； 在⑤中，，故⑤错误；在⑥中，，故⑥正确.所以正确的个数为3.故选：D. 3． 集合，又则（   ） A． B． C． D．任一个 【分析】根据元素与集合的关系求得正确答案. 【解答】集合的元素是所有的偶数、集合的元素是所有的奇数， 奇数+偶数=奇数，所以，， 如，但.所以B选项正确. 【巩固练习1】（23-24高一上·湖南株洲·月考）下列元素与集合的关系中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】对于选项A，因不是正整数，故A项错误； 对于选项B，是无理数，故必是实数，故B项正确； 对于选项C，是分数，故不是整数，故C项错误； 对于选项D，是自然数，故D项错误.故选：B. 【巩固练习2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，故当时，，从而点在抛物线上，即.故选:C. 【巩固练习3】已知集合，，，若，，则必有（        ） A． B． C． D．都不属于 【答案】B 【分析】设出的表示形式，计算后比较各集合的代表元形式可得． 【详解】由题意设，，其中都是整数， 则，其中是整数，可以是奇数也可以是偶数， ∴ 【巩固练习4】（多选）已知集合，，．若，，．则下面结论中一定正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据集合的定义，设出的形式，计算后再根据集合中代表元素形式判断． 【详解】由题意，设，，下面的均为整数， 则，， ，不是偶数时，， ， 故选：AB． 【题型3】确定集合中的元素 确定集合中的元素个数时要考虑互异性 4． （2024·高一·云南昆明·期中）英文单词interesting的所有字母组成的集合共有（    ） A．7个元素 B．8个元素 C．9个元素 D．11个元素 【答案】A 【解析】interesting的所有字母组成的集合为，共有7个元素． 故选：A 【巩固练习1】已知正数集合，则以，，，为边长构成的四边形可能是（    ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．梯形 【答案】D 【解析】根据集合中元素互异性可知，构成的四边形边长不相等， 其中平行四边形，矩形和菱形对边均相等，不合要求，梯形的四边可能互不相等，故可能为梯形. 【巩固练习2】集合中的三个元素分别表示某一个三角形的三边长度，那么这个三角形一定不是（　　） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】根据集合中元素的互异性得， 故三角形一定不是等腰三角形. 【巩固练习3】已知集合，则集合中元素的个数是（    ） A．1 B．3 C．6 D．9 【分析】根据，采用列举法表示集合B 即可求解. 【解答】根据题意 ， 所以集合B中共有6个元素 【题型4】用列举法表示集合 列举法：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号“｛ ｝”括起来. 注意：(1)元素与元素之间必须用“，”隔开． (2)集合中的元素必须是明确的． (3)集合中的元素不能重复． (4)集合中的元素可以是任何事物． 5． 已知集合，用列举法表示为 . 【答案】 【解析】. 6． 用列举法表示集合_______． 【答案】 【分析】对整数取值，并使为正整数，这样即可找到所有满足条件的值，从而用列举法表示出集合． 【详解】因为且 所以可以取，2，3，4. 所以 【巩固练习1】用列举法表示下列集合： (1)大于1且小于6的整数； (2)； (3)． (4)． 【解析】（1）大于1且小于6的整数组成的集合为； （2） （3） （4） 【巩固练习2】集合可用列举法表示为 ． 【答案】 【解析】由可知， 所以只能取，又，所以， 即集合中的元素为，故列举法表示为. 【巩固练习3】用列举法表示集合=_______． 【答案】 【分析】利用列举法求解即可. 【详解】因为,所以且,即且, 又因为,所以,对应的, 其中,所以只能取, 故 【题型5】用描述法表示集合 描述法 (1)定义：一般地，设A表示一个集合，把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A|P(x)}，这种表示集合的方法称为描述法．有时也用冒号或分号代替竖线． (2)具体方法：在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值(或变化)范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征． 描述法示例： 【注意】有限集且元素数量不多时选用列举法，其余选择描述法. 7． （23-24高一上·河北·月考）用性质描述法表示平面内第二象限的点构成的集合，正确的是（    ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【解析】表示平面内第二象限的点构成的集合为且.故选：D. 【巩固练习1】所有正偶数组成的集合是 ． 【答案】 【解析】所有正偶数组成的集合是． 【巩固练习2】用描述法表示下列集合： （1）不等式的解组成的集合； （2）被除余的正整数的集合； （3）； （4）平面直角坐标系中第二象限内的点组成的集合． 【答案】（1）；（2）； （3）；（4） 【解析】（1）因为不等式的解组成的集合为，则集合中的元素是数. 设代表元素为x，则x满足， 所以，即． （2）设被3除余2的数为x，则． 又因为元素为正整数，故． 所以被3除余2的正整数的集合 （3）设偶数为x，则． 但元素是2，4，6，8，10，所以． 所以． （4）因为平面直角坐标系中第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，即， 故第二象限内的点的集合为． 【题型6】已知一个元素属于集合，求集合中所含的参数值（互异性） 互异性：一个给定集合中的元素是互不相同的．也就是说，集合中的元素是不重复出现的．简记为“互异性”． 注意：通过互异性求参数要检验看集合中的所有元素是否有重复的情况 8． 已知集合有三个元素.若，则实数的值为（    ） A． B．1 C．或1 D．0或1 【答案】C 【解析】因为，所以或. 当即时，，满足题意； 当即时， 若，则，满足题意；若，则，不满足题意； 综上，实数的值为或1.故选：C 【巩固练习1】（23-24高一上·广东韶关·月考）已知集合，若，则实数的值为（    ） A．2 B． C．2或 D．4 【答案】B 【解析】由， 若，则，不符合集合元素的互异性； 若，则或（舍），，此时符合集合元素的特性； 若，即，则不符合集合元素的互异性. 故.故选：B. 【巩固练习2】（23-24高一上·广东江门·阶段练习）已知集合，，则（    ） A． B．或1 C．3 D． 【分析】根据元素与集合的关系求出值，然后代入检验即得. 【解答】因，，故有：或， 由解得：或，由解得：， 又因时，，与集合元素互异性矛盾，故舍去，而时，符合题意. 【巩固练习3】已知，则的取值为（   ） A．1 B．1或2 C．0或2 D．0或1或2 【分析】根据条件，利用元素与集合的关系及集合的性质即可求解. 【解答】由元素和集合关系可知：或或， 解的或或， 由集合的性质可知，当时，不满足互异性， 所以的取值为或. 【题型7】利用集合相等求参数 集合相等：两个集合的元素是一样的，我们就称两个集合是相等的。 集合A与集合B相等记作A=B. 【注意】（1）两个集合相等时，这两个集合的元素个数相等；（2）两个集合是否相等，不能只从集合的形式上看，比如构成的集合与构成的集合相等． 9． 已知集合，集合，且，则实数 . 【答案】 【分析】由集合相等可构造方程求得的可能的取值，代回集合验证可得结果. 【详解】，，解得：或； 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去； 当时，，满足题意； 综上所述：. 10． 若，则的值是（    ） A．0 B．1 C． D． 【解题思路】根据得到或，然后解方程根据元素的互异性进行取舍即可. 【解答过程】因为，所以①或②，由①得或，其中与元素互异性矛盾，舍去，符合题意，由②得，符合题意，两种情况代入得. 11． 已知，，若集合，则的值为（    ） A．-2 B．-1 C．1 D．2 【解题思路】结合已知条件，利用集合的互异性即可求解. 【解答过程】∵集合，分母， ∴，，且，解得， ∴. 【巩固练习1】含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为 . 【答案】 【分析】根据集合相等的定义及集合中元素的互异性即可求解. 【详解】解：由题意，若，则或， 检验可知不满足集合中元素的互异性， 所以，则， 所以，则， 故. 【巩固练习2】设a，，若集合，则 . 【答案】0 【分析】利用集合相等以及，可得，即，代入原式可得的值，进而求出答案． 【详解】由题意可知：， 因为，则，可得， 则，可得，且满足， 所以. 【巩固练习3】已知，若，则实数的值为 ． 【答案】 【解析】由题意知集合， 所以当时，得，所以，故满足； 当时，得，所以，故不满足； 当时，无解，故不满足； 综上，可得实数的值为. 【题型8】利用集合中元素的个数求参数 利用集合中元素的个数求参数的问题往往以含参一元二次方程解的个数问题为背景，注意平方项的系数是否可以去取0，以及验证是否能取等 12． 已知集合，集合A中恰有3个元素，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】且集合A中恰有有3个元素，则， 13． 集合中只有一个元素，则实数的值是 . 【答案】 【解析】因为集合中只有一个元素， 则，解得. 14． 已知集合，其中. （1）若集合中有且仅有一个元素，求实数组成的集合. （2）若集合中至多有一个元素，求实数的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【解析】（1）若，方程化为，此时方程有且仅有一个根； 若，则当且仅当方程的判别式，即时， 方程有两个相等的实根，此时集合A中有且仅有一个元素， ∴所求集合； （2）集合A中至多有一个元素包括有两种情况， ①A中有且仅有一个元素，由（1）可知此时或， ②A中一个元素也没有，即，此时，且，解得， 综合①②知的取值范围为或. 【巩固练习1】（23-24高一·浙江·期末）已知集合，集合A中至少有3个元素，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】且集合A中至少有3个元素，.故选：C. 【巩固练习2】已知集合，若集合A中至多有一个元素，则实数a应满足（    ） A． B． C．或 D．不确定 【答案】C 【解析】因为集合中至多有一个元素，则： ①当时，只有一个元素，符合题意； ②当时，方程有两个相等的实数根或没有实数根， 于是，即，解得， 所以实数a应满足或．故选：C 【巩固练习3】已知集合． （1）若A中没有元素，求的取值范围； （2）若A中只有一个元素，求的值，并求集合A； （3）若A中至少有一个元素，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）当时，集合，当时，集合；（3） 【解析】（1）中没有元素，且， ，解得， 所以的取值范围为：； （2）①当时，集合， ②当时，， ，解得，此时集合， 综上所述，当时，集合，当时，集合； （3）中至少有一个元素，则当中只有一个元素时，或； 当中有2个元素时，则且，即，解得且； 综上可得，时中至少有一个元素，即. 【题型9】集合中的新定义问题 解决以集合为背景的新定义问题，要抓住两点： 第一点：紧扣新定义，首先分析新定义的特点，把定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到具体的解题过程之中，这是新定义型集合问题难点的关键所在； 第二点：用好集合的性质，解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素，在关键之外用好集合的运算与性质. 15． 定义运算，若集合，则 . 【答案】 【解析】依题意，由，当时，，则， 当时，，则，当时，，则， 所以. 故答案为： 【巩固练习1】定义集合的一种运算：，若，则中的所有元素之和为 ． 【答案】26 【解析】． 故答案为：26 【巩固练习2】设，为两个非空实数集合，定义集合，若，，则中元素的个数是 ． 【答案】8 【解析】因为定义集合， 又，，，，，，，，， 所以集合中的元素分别为1，2，3，4，6，7，8，11共8个. 【巩固练习3】定义集合运算，设集合，则集合 . 【答案】 【解析】由题意可知， ①当时，则； ②当，时，； ③当，时，. 综上所述，. 【课后作业】 模块三 【课后作业】 1． 下列各组对象可构成一个集合的是（    ） A．与10非常接近的数 B．本班视力差的女生 C．中国漂亮的工艺品 D．我校学生中的女生 【答案】D 【解析】由集合的确定性可得，仅“我校学生中的女生”满足确定性. 故选：D 2． 用符号“”或“”填空： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【答案】（1）∉；（2）∈；（3）∉；（4）∈；（5）∉；（6）∈ 3． （2024·高一·山东烟台·期中）若集合，且，则m的值为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或﹣1 【答案】B 【解析】因为，所以或，解得，或或， 当时，，又集合中不能有相同的元素，所以 4． 已知集合，且，则取值构成的集合为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为集合，且， 所以或. 当时，解得：或. 而，不符合元素的互异性，故或. 5． 试用描述法表示下列集合. (1)方程的所有实数根组成的集合； (2)由大于10且小于20的所有整数组成的集合； (3)二次函数图象上的所有点组成的集合. 【分析】直接用描述法得到答案. 【解答】（1）设方程的实数根为，并且满足条件， 用描述法表示为. （2）设大于10且小于20的整数为x，它满足条件，且， 故用描述法表示为. （3）二次函数图象上的所有的点用描述法表示为. 6． 已知，用列举法表示A. 【解析】由，则， 所以，，，，，，， 则列举法表示A为. 7． 定义集合､的一种运算：，若，，则 . 【答案】 【解析】∵ ，，， ∴ 8． 用列举法表示集合_______． 【答案】 【分析】利用题目条件，依次代入，使， ，从而确定的值，即可得到所求集合． 【详解】，为的正因数， ， 故答案为 9． （多选）已知集合，，，且，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】由描述法得各集合中元素的共同特征，由，，，分别设出的特征表达式，通过运算及变形整理找到新元素的特征归属即可. 【详解】因为，可设，，， 选项A，， 则，故A正确； 所以， 则，故B正确； 所以，其中， 则，故C错误； 所以，其中， 则，故D正确. 10． （2024·高一·青海西宁·期中）集合用列举法表示为 . 【答案】 【解析】时，；时，；时，；时，； 可得. 故答案为： 11． 已知集合，集合A中恰有4个元素，则的取值范围为 . 【答案】 【解析】且集合A中恰有有4个元素，则， 12． 已知，且，则＝ ． 【答案】或1 【分析】根据集合相等得到方程组，求出，舍去不合要求的根，得到答案. 【详解】因为，所以①或②， 解①得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 解②得或，其中不符合集合元素的互异性，舍去； 所以或. 13． （2024·高一·江苏·专题练习）已知集合中的元素满足，. (1)若为单元素集合，求实数的值； (2)若为双元素集合，求实数的取值范围. 【解析】（1）当时，方程变为，得，满足题意； 当时，要使为单元素集合，则方程有两个相等的实数根， ，解得； 综上所述：或时为单元素集合. （2）若为双元素集合，则方程有两个不相等的实数根， 故且，解得且. 1 / 20 学科网（北京）股份有限公司 $$