精品解析：上海市南汇中学2025-2026学年第二学期期末考试高二数学试卷

上海南汇中学2025学年第二学期期末考试 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本题共有12题，满分36分）． 1. 设全集，集合，则__________. 2. 函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 3. 曲线，则______． 4. 已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 5. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答） 6. 已知，若，则的最大值为___________． 7. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为______．（精确到） 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 9. 设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 10. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________. 11. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 12. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为______． 二、选择题（本题共有4题，满分12分） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 14. 上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）． A. B. C. D. 15. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 16. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 三、解答题：（第17、18题每题8分，19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解； （2）若，求不等式的解． 18. 已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由 (2)讨论函数的零点个数 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 20. 已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为. （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程； （3）求证：直线过定点. 21. 已知函数，正常数，记． （1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，都有． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 上海南汇中学2025学年第二学期期末考试 高二数学 满分：100分 完成时间：90分钟 一、填空题：（本题共有12题，满分36分）． 1. 设全集，集合，则__________. 【答案】 【解析】 【详解】由题意可知 2. 函数（且）的图象过定点，则点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】对于指数函数（且），当时恒成立， 因此恒过定点； 对于函数（且），令，代入得， 该结果与参数a的取值无关，因此函数的图象恒过定点A，坐标为. 3. 曲线，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义求解即可. 【详解】由导数的定义可知：， 又，∴，. 故答案为：. 4. 已知，函数在上是严格增函数，且图象关于原点对称，则________． 【答案】 【解析】 【详解】根据幂函数的单调性性质：若幂函数在上严格增，则； 已知，得α的可能取值为； 又函数图象关于原点对称等价于函数为奇函数，且定义域关于原点对称： 当时，，定义域为，不关于原点对称，不符合要求； 当时，，定义域为R，对任意，均满足，是奇函数， 图象关于原点对称，且在上严格增，符合所有条件， 综上，. 5. 盒子里有5个球，其中有2个白球和3个红球，每次从中抽出1个球，抽出的球不再放回，则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为__________.（用数字作答） 【答案】##0.75 【解析】 【分析】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B，求出，，利用条件概率公式求出概率. 【详解】设第1次抽到白球为事件A，第2次抽到红球为事件B， 则，， 则在第1次抽到白球的条件下，第2次抽到红球的概率为. 故答案为： 6. 已知，若，则的最大值为___________． 【答案】##0.0625 【解析】 【分析】根据基本不等式求解即可. 【详解】因为，所以，当且仅当，即时，等号成立. 又，所以，当且仅当时，等号成立. 故的最大值为. 故答案为：. 7. 某公司生产的糖果每包的标识质量是500克，但公司承认实际质量存在误差．已知每包糖果的实际质量服从正态分布，且任意一包的糖果质量介于495克到505克之间的可能性为，则随意买一包该公司生产的糖果，其质量超过505克的可能性约为______．（精确到） 【答案】 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性即可得结论 【详解】设每包糖果的实际质量为，则， 又， 所以， 故质量超过505克的可能性约为. 故答案为：. 8. 若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值三角不等式得到，即可得到，解得即可. 【详解】因为，当且仅当时取等号， 因为不等式恒成立，所以，即或， 解得或，即. 故答案为： 9. 设是抛物线上一点，则点P到椭圆的左顶点的距离的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先确定椭圆左顶点坐标，然后设建立距离平方函数化简，分析的值，即可求得. 【详解】易知椭圆左顶点，因为点在抛物线上，设， 此时， 易知当，即时，取得最小值，最小值为. 故答案为：. 10. 函数在区间上有最小值，则的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】求出函数的单调性，结合最小值的定义即可求解. 【详解】，令得， 时，时，， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 若函数在上有最小值，则其最小值必为， 则必有且， 即且， 则且，解得， 故答案为：. 11. 已知双曲线的右焦点为F，一条渐近线被以点F为圆心，为半径的圆截得的弦长为，则双曲线C的离心率为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意得，再结合即可求解. 【详解】渐近线方程为， ∵点F到渐近线的距离为，∴， 即，所以． 故答案为：. 12. 设集合，那么集合中满足条件“”的元素个数为______． 【答案】938 【解析】 【分析】由题意知的取值只能为，故要满足不等式，只要对取值中的个数进行分类讨论，同时再考虑有两种情况，即可得出结果． 【详解】由可知结果只能为，因此的7个数值中有1个是1，2个是1，3个是1，4个是1四种情况： ①当中有1个取值是1，另外6个0时，共有方法数是； ②当中有2个取值是1，另外5个0时，共有方法数是； ③当中有3个取值是1，另外4个0时，共有方法数是； ④当中有4个取值是1，另外3个0时，共有方法数是； 故总方法数为． 故答案为： 【点睛】本题主要考查排列组合的应用及对集合表示方法的理解，同时考查分类讨论的思想． 二、选择题（本题共有4题，满分12分） 13. 若，，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据不等式的性质求解 【详解】对于A. ，，则，成立 对于B. ，，； 对于C. ，； 对于D. 若，则不成立 故选A. 14. 上海百联集团对旗下若干门店的营业额与三个影响因素分别作了相关性分析，绘制了如下的散点图，则下述大小关系正确的为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据散点图判断两变量的线性相关性，再根据线性相关性与相关系数的关系判断即可. 【详解】由散点图可知，图一两个变量成正相关，且线性相关性较强，故， 图二、图三两个变量都成负相关，且图二的线性相关性更强， 故，，，故，所以. 故选：C. 15. 如图是函数的导函数的图象，则下面判断正确的是（ ） A. 在上是增函数 B. 在上是减函数 C. 当时，取得极小值 D. 当时，取得极小值 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数与函数单调性间的关系及极值的定义，结合图象，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由图知，当时，的符号有正有负， 不是单调的函数，所以选项A错误， 对于选项B，由图知，当时，是增函数，所以选项B错误， 对于选项C，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极大值点，在处取到极大值，所以选项C错误， 对于选项D，由图知，且在左侧附近，，在右侧附近，， 所以是极小值点，在处取到极小值，所以选项D正确， 故选：D. 16. 已知函数的导函数为，，且在R上为严格增函数，关于下列两个命题的判断，说法正确的是（ ） ①“”是“”的充要条件； ②“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件． A. ①真命题；②假命题 B. ①假命题；②真命题 C. ①真命题；②真命题 D. ①假命题；②假命题 【答案】C 【解析】 【分析】对于①，构造函数，结合题设，判断“”和“”之间的逻辑推理关系，可判断其真假；对于②，结合函数单调性，判断必要性；采用反证思想，结合题设推出矛盾，说明充分性成立，判断②的真假. 【详解】对于①： 设，，则， 因为在R上为严格增函数，故， 即，则在R上单调递增， 由于，故，即。 即； 当成立时，即， 由于在R上单调递增，故， 故“”是“”的充要条件，①为真命题； 对于②，当在R上为严格增函数时，由对任意，则都有成立； 当对任意都有时，假设在R上不为严格增函数， 即不恒大于等于0，即，使得， 由于在R上为严格增函数，故时，， 此时在上单调递减，且其图象为一个严格递减的凹型曲线， 故当趋近于负无穷时，的值将趋近于正无穷大， 这与对任意都有矛盾， 则假设不成立，即“在R上为严格增函数”成立， 即“对任意都有”是“在R上为严格增函数”的充要条件，②为真命题， 故选：C 【点睛】关键点睛：解答本题的关键是判断②中命题的充分性成立，解答时采用反证思想，推得矛盾，说明充分性成立. 三、解答题：（第17、18题每题8分，19题10分，第20题12分，第21题14分，共52分） 17. 已知函数，其中． （1）若，求方程的解； （2）若，求不等式的解． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）首先根据求，再根据对数函数的性质，解方程； （2）首先确定函数的单调性，得，再结合对数函数的性质，列式求解. 【小问1详解】 ，因为，所以， 因为，所以， 所以，即，所以， 所以方程的解为； 【小问2详解】 因为，即， 因为，所以函数在单调递减，所以， 则不等式，即， 所以，解得， 所以不等式的解为． 18. 已知函数 (1)判断函数的奇偶性，并说明理由 (2)讨论函数的零点个数 【答案】(1)既不是奇函数也不是偶函数(2)见解析 【解析】 【分析】（1）先确定定义域，再研究与关系，讨论函数奇偶性；（2）利用分离变量法化为函数，根据绝对值定义化为分段函数，结合函数图像确定函数零点个数 【详解】（1）当m=0时，函数f（x）=|x|﹣3，此时f（﹣x）=f（x）函数是偶函数；当m≠0时，∵f（1）=m﹣2，f（﹣1）=﹣m﹣2，∴f（﹣1）≠±f（1），函数是非奇非偶函数． （2）由f（x）=0可得x|x|﹣3x+m=0（x≠0）， 变为m=﹣x|x|+3x（x≠0） 令g（x）=3x﹣x|x|= =， 作函数y=g（x）以及y=m的图象，可得：作y=g（x）的图象及直线y=m，由图象可得： 当m＞或m＜﹣时，f（x）有1个零点． 当m=或m=0或m=﹣时，f（x）有2个零点； 当0＜m＜或﹣＜m＜0时，f（x）有3个零点． 【点睛】本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题的求解，利用参数分离法是解决不等式恒成立问题的基本方法． 19. 近年来，随着智能手机的普及，网上买菜迅速进入了我们的生活，现将一周网上买菜次数超过3次的市民认定为“喜欢网上买菜”，不超过3次甚至从不在网上买菜的市民认定为“不喜欢网上买菜”，某市M社区为了解该社区市民网上买菜情况，随机抽取了该社区100名市民，得到的统计数据如下表所示： 喜欢网上买菜 不喜欢网上买菜 合计 年龄不超过45岁的市民 40 10 50 年龄超过45岁的市民 20 30 50 合计 60 40 100 （1）能否有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关？ （2）社区的市民小张周一、二均在网上买菜，且周一等可能地从两个买菜平台随机选择一个下单买菜.如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，如果周一选择平台买菜，那么周二选择平台买菜的概率为，求小张周二选择平台买菜的概率； （3）用频率估计概率，现从社区随机抽取20名市民，记其中喜欢网上买菜的市民人数为随机变量，并记随机变量，求的期望和方差. 参考公式：，其中. 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【答案】（1）有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关； （2）； （3），. 【解析】 【分析】（1）根据给定数表，求出的观测值，再与临界值表比对作答. （2）根据给定条件，利用全概率公式计算作答. （3）由二项分布的期望、方差公式，结合期望、方差的性质计算作答. 【小问1详解】 零假设：社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄无关， 由给定的数表得，， 于是不成立，所以有的把握认为社区的市民是否喜欢网上买菜与年龄有关. 【小问2详解】 记事件：小张周一选择平台买菜；事件：小张周二选择平台买菜， 则，，， 由全概率公式得， 所以小张周二选择平台买菜的概率为. 【小问3详解】 依题意，喜欢网上买菜的概率为， 显然从社区随机抽取20名市民，喜欢网上买菜的市民人数服从二项分布，即， 因此，而， 则， 所以，. 20. 已知椭圆的左右顶点分别为、，为直线上的动点，直线与椭圆的另一交点为，直线与椭圆的另一交点为. （1）若点的坐标为，求点的坐标； （2）若点的坐标为，求以为直径的圆的方程； （3）求证：直线过定点. 【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】 （1）首先求直线的方程，再令求点的坐标；（2）首先求直线的方程，与椭圆方程联立，求点的坐标，直接写出以为直径的圆的方程；（3）首先设，分别写出直线的方程，并求点的坐标，定点设为，则三点共线，列方程求定点坐标. 【详解】（1）因为，所以直线的方程为， 令，得，所以； （2）因为，所以直线的方程为， 由得，所以， 所以以为直径的圆的方程为，即； （3）设，因为，直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，所以， 所以，同理，直线的方程为， 由得， 由韦达定理得，所以，所以， 由椭圆的对称性知这样的定点在轴上，设为，则三点共线， 所以共线， 所以恒成立， 整理得恒成立，所以，故直线过定点. 【点睛】求解直线过定点问题的基本思路： 1、把直线或曲线方程中的变量当作常数看待，既然过定点，那么这个方程就要对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部为零，得到一个关于的方程组，方程组的解所确定的就是直线或曲线过定点； 2、由直线方程确定定点，若得到了直线方程的点斜式或斜截式方程，则可根据方程的形式，判定直线过定点问题. 21. 已知函数，正常数，记． （1）当时，试判断函数在区间上的单调性，并说明理由； （2）若函数既存在极小值也存在极大值，求实数a的取值范围； （3）求证：对于任意正整数n，都有． 【答案】（1） 函数在区间上单调递增，理由如下： 当时，，定义域为，则， ，且， ，当且仅当时取等号， 函数在区间上单调递增； （2） （3） 由（1）知，当时，，即， 令， 则，即， 将到累加得，， 即， ，得证. 【解析】 【分析】（1）利用导数判断函数的单调性即可； （2）对求导得，将既存在极小值也存在极大值转化为方程在上有两个不同的正实数根即可求解； （3）利用（1）的结论得到，再令进行累加，即可得证. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ，定义域为， 则，设， ，的符号由分子决定， 函数既存在极小值也存在极大值等价于方程在上有两个不同的正实数根， ，解得， 实数a的取值范围是； 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $