第21讲 任意角（暑假预习讲义）新高一年级数学人教A版

第21讲 任意角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 任意角的概念辨析 题型2 求终边相同的角 题型3 根据阴影图形写出角的范围 题型4 确定已知角所在的象限 题型5 确定n分角与n倍角的象限 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 任意角 正角 负角 象限角 终边相同的角 1. 理解任意角概念：通过实例体会引入任意角的必要性，掌握正角、负角、零角的定义，培养数学抽象素养. 2. 掌握象限角判定：能在直角坐标系中准确表示角，掌握象限角的定义，并熟练判断任意角所在象限. 3. 掌握终边相同角：理解终边相同角的含义，掌握所有与已知角终边相同的角的集合表示方法. 4. 提升核心素养：体会数形结合、由特殊到一般等数学思想，提升逻辑推理和数学运算素养. 学习重点：（1）任意角概念的建构：将角扩充到任意角，准确理解正角、负角、零角的定义. （2）终边相同角的表示：熟练掌握终边相同角的集合表达式及其几何意义. 学习难点：（1）任意角概念的推广：突破初中“静止角”认知，建立动态任意角概念； （2）易混淆概念的辨析：准确区分“第一象限角”、“锐角”及“小于90°的角”等； （3）终边相同角的集合理解：理解终边相同角，并熟练运用集合语言进行表示. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。 知识点02 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为. 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是 知识点03 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。 1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 题型1 任意角的概念辨析 【例1】若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【方法总结】 理解任意角关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可. 【变式1-1】已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 题型2 求终边相同的角 【例2】下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【方法总结】 终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式. 【变式2-1】与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 题型3 根据阴影图形写出角的范围 【例3】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【方法总结】 1.象限角 2.轴线角 【变式3-1】如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ） A． B． C． D． 题型4 确定已知角所在的象限 【例4】在平面直角坐标系中，属于（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【方法总结】 确定已知角所在的象限的方法： （1）去周期：将已知角 写成 （ ， ）的形式，即求 除以 的余数 。 （2）判象限：根据 的范围判断象限： 为第一象限； 为第二象限； 为第三象限； 为第四象限. （3）若 为 等，则角终边在坐标轴上，不属于任何象限. 【变式4-1】下列各角的终边在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 题型5 确定n分角与n倍角的象限 【例5】已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【方法总结】 确定n分角与n倍角的象限的方法： （1）表范围：先写出已知角 的不等式，如第一象限角表示为 ； （2）求分角（倍角）：将不等式两边同时除以 （求 ）或乘以 （求 ），得到关于 （或 ）的不等式； （3）定象限：对 分类讨论（ ， ， ），根据 的取值确定 （或 ）终边所在象限，最后汇总所有可能的象限. 【变式5-1】（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．小于的角是锐角 C．第二象限角必大于第一象限角 D．相等的角终边必定重合 2．时针走过2时40分，则分针转过的角度是　　 A． B． C． D． 3．下面与终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 4．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 6．“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 7．若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 8．下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．角与角的终边相同 C．若，则为第三象限角或第四象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 9．下列说法中正确的有（   ） A．与的终边相同； B．若是第一象限角，则是锐角. C．函数的图像恒过定点. D．函数与的图像关于直线对称，则 三、填空题 10．6．的角是第__________象限. 11．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 12．已知角α与角β的终边关于直线对称，则α与β的关系为___________. 四、解答题 13．已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 14．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)的角． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第21讲 任意角 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型1 任意角的概念辨析 题型2 求终边相同的角 题型3 根据阴影图形写出角的范围 题型4 确定已知角所在的象限 题型5 确定n分角与n倍角的象限 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 任意角 正角 负角 象限角 终边相同的角 1. 理解任意角概念：通过实例体会引入任意角的必要性，掌握正角、负角、零角的定义，培养数学抽象素养. 2. 掌握象限角判定：能在直角坐标系中准确表示角，掌握象限角的定义，并熟练判断任意角所在象限. 3. 掌握终边相同角：理解终边相同角的含义，掌握所有与已知角终边相同的角的集合表示方法. 4. 提升核心素养：体会数形结合、由特殊到一般等数学思想，提升逻辑推理和数学运算素养. 学习重点：（1）任意角概念的建构：将角扩充到任意角，准确理解正角、负角、零角的定义. （2）终边相同角的表示：熟练掌握终边相同角的集合表达式及其几何意义. 学习难点：（1）任意角概念的推广：突破初中“静止角”认知，建立动态任意角概念； （2）易混淆概念的辨析：准确区分“第一象限角”、“锐角”及“小于90°的角”等； （3）终边相同角的集合理解：理解终边相同角，并熟练运用集合语言进行表示. 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 角的概念 1、角的概念：角可以看成平面内一条射线绕其端点从一个位置旋转到另一个位置形成的图形。 2、角的表示： （1）始边：射线的起始位置． （2）终边：射线的终止位置． （3）顶点：射线的端点O． （4）记法：图中的角可记为“角”或“”或“”． 3、角的分类： （1）正角：按逆时针方向旋转形成的角； （2）负角：按顺时针方向旋转形成的角； （3）零角：一条射线没有作任何旋转形成的角。 知识点02 相等角与角的加减 1、相等角：设角由射线绕端点旋转而成，角由射线绕端点旋转而成，如果他们的旋转方向相同且旋转量相等，那么就称. 2、相反角：把射线绕端点按不同方向旋转相同的量所成的两个角叫做互为相反角，角的相反角记为. 3、角的加减：记，是任意两个角，我们规定：把角的终边按逆时针旋转角，这时终边所对应的角是；按顺时针旋转角，这时终边所对应的角是 知识点03 终边相同的角 1、终边相同的角的表示：所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合，它们彼此相差，即. 【要点辨析】相等的角终边一定相同，但终边相同的角却不一定相等，终边相同的角有无数个，它们之间相差360°的整数倍，要注意角的集合的表示形式不是唯一的。 1、象限角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，那么角的终边（除端点外）在第几象限，就说这个角是第几象限； 象限角 集合表示 第一象限角 第二象限角 第三象限角 第四象限角 3、轴线角：当角的顶点与坐标原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合，并且角的终边落在坐标轴上时，称这个角为轴线角，这时，这个角不属于任何象限。 角的终边位置 集合表示 轴的非负半轴 轴的非正半轴 轴上 轴非负半轴 轴非正半轴 轴上 题型1 任意角的概念辨析 【例1】若将钟表调快10分钟，则分针转动的角为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】分针转一圈60min共，将钟表的分针调快10分钟，为顺时针， 则分针转动的角为． 【方法总结】 理解任意角关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，弄清角的始边与终边及旋转方向与大小.另外需要掌握判断结论正确与否的技巧，判断结论正确需要证明，而判断结论不正确只需要举一个反例即可. 【变式1-1】已知集合{是第二象限角}，{是钝角}，{是大于的角}，那么的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据任意角定义，结合集合描述判断各集合的关系即可. 【详解】如是第二象限角且大于，但不是钝角，A错； 由钝角一定大于，但大于角不一定是钝角，故是的真子集，B对，D错； 如是第二象限角，但小于，C错. 题型2 求终边相同的角 【例2】下列各角中与终边相同的角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时，当时，当时， 当且时，当且时， 故符合题意的只有. 【方法总结】 终边相同的角都可以表示成α＋k·360°（k∈Z）的形式. 【变式2-1】与角终边相同的角的集合是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】,所以角与角的终边相同, 所以与角终边相同的角的集合是. 题型3 根据阴影图形写出角的范围 【例3】集合中角表示的范围用阴影表示是图中的（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】集合中， 当为偶数时，此集合与表示终边相同的角，位于第一象限； 当为奇数时，此集合与表示终边相同的角，位于第三象限. 所以集合中角表示的范围为选项B中阴影所示. 【方法总结】 1.象限角 2.轴线角 【变式3-1】如图所示，终边落在阴影部分（含边界）的角的集合是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 题型4 确定已知角所在的象限 【例4】在平面直角坐标系中，属于（ ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】C 【详解】由,所以与终边相同，属于第三象限角. 【方法总结】 确定已知角所在的象限的方法： （1）去周期：将已知角 写成 （ ， ）的形式，即求 除以 的余数 。 （2）判象限：根据 的范围判断象限： 为第一象限； 为第二象限； 为第三象限； 为第四象限. （3）若 为 等，则角终边在坐标轴上，不属于任何象限. 【变式4-1】下列各角的终边在第二象限的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A：，而为第一象限角，所以为第一象限角，故A错误； 对于B：，所以为第三象限角，故B错误； 对于C：，所以为第四象限角，故C错误； 对于D：，而为第二象限角，所以为第二象限角，故D正确； 题型5 确定n分角与n倍角的象限 【例5】已知为第一象限的角，则所在象限为（   ） A．第一象限 B．第一、二象限 C．第一、三象限 D．第一、四象限 【答案】C 【详解】因为是第一象限的角， 所以，， 所以， 当时，，为第一象限角； 当时，，为第三象限角. 【方法总结】 确定n分角与n倍角的象限的方法： （1）表范围：先写出已知角 的不等式，如第一象限角表示为 ； （2）求分角（倍角）：将不等式两边同时除以 （求 ）或乘以 （求 ），得到关于 （或 ）的不等式； （3）定象限：对 分类讨论（ ， ， ），根据 的取值确定 （或 ）终边所在象限，最后汇总所有可能的象限. 【变式5-1】（多选）如图，若角的终边落在阴影部分，则角的终边可能在（    ）    A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【详解】依题意，得， 所以， 当为偶数时，的终边在第一象限；当为奇数时，的终边在第三象限． 【变式5-2】（多选）设为第二象限角，则可能是（    ） A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 【答案】CD 【详解】为第二象限角，故， 所以， 所以可能是第三象限角，也可能是第四象限角,或轴的负半轴. 一、单选题 1．下列说法中正确的是（    ） A．第一象限的角是锐角 B．小于的角是锐角 C．第二象限角必大于第一象限角 D．相等的角终边必定重合 【答案】D 【详解】解：对于A，第一象限的角是指终边落在第一象限的角的集合，有正有负，而锐角仅指大于小于的角，故不相同，故A错误； 对于B，小于的角还包含和负角，而锐角仅指大于小于的角，故不相同，故B错误； 对于C，例如为第二象限的角，为第一象限的角，显然不满足 ，故C错误； 对于D，相等的角终边必定重合，故D正确. 2．时针走过2时40分，则分针转过的角度是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵， 由于时针都是顺时针旋转， ∴时针走过2小时40分,分针转过的角的度数为−2×360°−240°=−960°， 3．下面与终边相同的角是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】与终边相同的角可以表示为， 当时为，当时为， 故符合题意的只有C. 4．若与的终边相同，则角的终边所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】因为，所以因此与终边相同，都位于第三象限； 由题意得，因此， 即，因此与终边相同都在第二象限. 5．下列命题中正确的个数是（    ） ①终边相同的角一定相等；②钝角一定是第二象限角：③第一象限角可能是负角；④小于90°的角都是锐角：⑤与终边相同的角是. A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【详解】终边相同的角可以相差的整数倍，不一定相等，①错； 钝角是大于且小于的角，一定是第二象限角，②正确； 第一象限角可以是正角也可以是负角，③正确； 小于90°的角可以是负角，不是锐角，④错； ，，因此与终边相同，但与终边相同的角是还有其他无数的角，⑤错． 正确个数是2， 6．“角与终边相同”是“角是第三象限角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】若角与终边相同，则，. 当为偶数（设）时，，此时是第一象限角； 当为奇数（设）时，，此时是第三象限角. 充分性不成立. 若角是第三象限角，则， ， 此时角的终边落在第一、第二象限或与终边相同，不一定与终边相同； 必要性不成立. 综上，“角与终边相同”是“角是第三象限角”的既不充分也不必要条件. 二、多选题 7．若，则在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】AC 【详解】当时，，故为第三象限角； 当时，，故为第一象限角． 8．下列说法正确的是（   ） A．若是第二象限角，则是钝角 B．角与角的终边相同 C．若，则为第三象限角或第四象限角 D．若为第二象限角，则为第一象限或第三象限角 【答案】BD 【详解】对于A，是第二象限角，但不是钝角，故A错误； 对于B，∵，故B正确； 对于C，若，则为第三或第四象限角或终边在轴的负半轴上，故C错误； 对于D，若为第二象限角，则，，所以， ，若为偶数时，为第一象限角； 若为奇数时，则，，为第三象限角. 综上，为第一象限或第三象限角，故D正确. 9．下列说法中正确的有（   ） A．与的终边相同； B．若是第一象限角，则是锐角. C．函数的图像恒过定点. D．函数与的图像关于直线对称，则 【答案】ACD 【详解】对于A，判断终边相同的角，需满足两角差是的整数倍， ，故A正确； 对于B，是第一象限角，则 , 例如：是第一象限角，但不是锐角，故B不正确； 对于C，对数函数恒过定点， 令，得，则， 则函数的图像恒过定点，故C正确； 对于D，函数与的图像关于直线对称， 则是的反函数，即， 所以，，故D正确. 三、填空题 10．6．的角是第__________象限. 【答案】四 【详解】因为，所以的终边与的终边重合， 又为第四象限角，所以的终边落在第四象限. 11．已知角的终边在如图所示的阴影区域内，则角的取值范围是________． 【答案】 【详解】终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 终边在角的终边所在直线上的角的集合为， 因此终边在题图中的阴影区域内的角的取值范围是， 所以角的取值范围是， 故答案为： 12．已知角α与角β的终边关于直线对称，则α与β的关系为___________. 【答案】 【详解】若与均在内时， 如图1：则.即 如图2：则，即 由终边相同的角的关系可得：. 所以α与β的关系为： 故答案为： 四、解答题 13．已知． (1)把改写成的形式，并指出它是第几象限角； (2)求，使与终边相同，且． 【答案】(1)，第一象限角；(2)和. 【详解】（1）因为，又， 所以把写成的形式为， 它是第一象限角． （2）与终边相同的角为， 所以当，或时，，或，满足． 即得所求角为和． 14．在与角终边相同的角中，求满足下列条件的角． (1)最大的负角； (2)最小的正角； (3)的角． 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）与终边相同的角的一般形式为， 由于，得， 解得， 故所求的最大负角为． （2）由，得，解得， 故所求的最小正角为． （3）由，得，解得， 故所求的角为． 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $