第12讲 热量计算专题（暑假预习讲义）新九年级物理新教材苏科版

第12讲 热量计算专题 概｜念｜构｜建 深｜研｜精｜炼 1.单位规范 物理量 符号 国际单位 含义说明 吸收 / 放出的热量 焦耳（J） 物体通过热传递转移的内能多少 比热容 焦耳每千克摄氏度 物质的吸热本领，特性量，与质量、温度无关 质量 千克（kg） 研究对象的质量，计算时必须换算为千克 温度变化量 摄氏度（℃） 温度变化的差值，始终取正值 初温 摄氏度（℃） 物体初始状态的温度 末温 摄氏度（℃） 物体末状态的温度 2.核心公式 类型 公式 变形公式 吸热公式 ；； 放热公式 ；； 核心注意事项：温度变化量一定是高温减低温，结果取正值；质量必须用千克（kg）代入，题目给 “克” 时先除以 1000 换算；比热容是物质特性，不能说 “比热容与热量成正比、与质量成反比”。 3.高频易错点辨析 易错表述 正确解读 常见错误 温度升高了 温度变化量，直接代入公式 误加初温，用末温代入计算 温度升高到 末温为，温度变化量 直接将当作温度变化量代入 温度降低了 温度变化量，直接代入公式 误用初温代入计算 温度降低到 末温为，温度变化量 直接将当作温度变化量代入 4.通用解题四步规范 （1）审题意：明确研究对象、吸热还是放热、已知物理量与待求量。 （2）统单位：将所有物理量统一为国际单位，质量换算为千克。 （3）找变化量：区分初末温，计算温度变化量，确保为正值。 （4）代公式：写出原始公式，代入数值与单位，计算得出结果。 一、吸热计算 1．小林家安装了一台太阳能热水器，容积为80L，将热水器装满水。已知水的密度为，水的比热容为，求： (1)热水器中水的质量是多少？ (2)水温升高20℃，水需吸收的热量是多少？ 2．小星家买了一瓶的某款消毒液，已知该消毒液的密度，比热容，求： (1)瓶内消毒液的质量； (2)瓶内消毒液温度从20℃升高到30℃吸收的热量。 3．质量为1kg的铁锅中放有2kg的水，要把它们从20℃加热到80℃，已知铁的比热容是，水的比热容是，求： (1)水吸收的热量是多少？ (2)铁锅要吸收多少热量？ 二、放热计算 4．地热能是一种可再生能源，人类很早以前就开始利用地热能，例如温泉沐浴、医疗，地下热水取暖、建造农作物温室、水产养殖及烘干谷物等。试计算：【温泉水的密度为 ，比热容为】，求： (1)100L的温泉水的质量； (2)这些水从 80℃下降了50℃放出的热量。 5．一把质量为250g的合金刀，加热到420℃，然后在空气中自然冷却至室温（20℃）。已知c合金=0.42×103J/(kg·℃)，求这把合金刀在冷却过程中放出多少热量？ 6．在热水袋中装入0.2kg的热水，一段时间后，水温从降至，已知水的比热容为，通过计算回答：该过程中水放出的热量是多少？ 三、热平衡计算 7．某学校组织九年级团员志愿者到敬老院参加公益活动，小红想给老人倒一盆60℃的洗脚水泡脚，她先往盆里倒入1.6L，25℃的冷水，然后再加入100℃的沸水混合，不考虑混合过程中的热量散失。已知水的密度为1.0×103kg/m3，比热容为4.2×103J/（kg·℃）。求： (1)盆里冷水吸收的热量； (2)需要100℃沸水的质量。 8．由于天气寒冷，吃早饭时妈妈用热水给小明加热瓶装牛奶。如图所示，热水的质量为，初温为；牛奶的质量为，初温为。最终水和牛奶的温度为50℃。不计热量损失，忽略牛奶瓶质量，，求： (1)这个过程中热水放出的热量； (2)牛奶的比热容。 9．“睡前常泡热水脚，舒筋活络睡眠好”。小丽需用温度为的水泡脚，便把的热水与、的冷水混合。若混合过程中没有热量的损失，求： (1)冷水吸收的热量； (2)所需热水的质量。 四、比热容计算 10．在标准大气压下，将质量为100 g的铜块从沸水中取出，迅速放入质量为100 g、温度为10 ℃的某液体中，混合后的共同温度是25℃。若不计热量损失，求: （1）铜块在这种液体中释放的热量是多少？[c铜=0.4×103 J/(kg·℃)] （2）这种液体的比热容是多少？ 11．已知水的比热容为，为了测定铅的比热容，把质量为的铅块加热到98℃，再投入到的12℃的水中，混合后的共同温度为18℃。若不计热损失，求： （1）水吸收的热量； （2）铅块的比热容。 12．为了测量某种液体的比热容，把质量为100g的铜块从标准大气压下的沸水中取出，迅速投入质量为100g的温度为10℃的待测液体中,混合后的共同温度是25℃。（不计热量损失）【c铜＝0.39×103J/(kg•℃)】求： （1）铜块放出的热量是多少焦耳？ （2）这种液体的比热容是多少？ 五、质量计算 13．由于天气渐凉，妈妈要用热水给小明加热250g的瓶装牛奶，如图所示，要使这瓶牛奶的温度由10℃最终升高到50℃，水的比热容为4.2×103J/（kg•℃），牛奶的比热容为2.1×103J/（kg•℃），不计热量损失，则： (1)牛奶需要吸收多少热量？ (2)若用热水加热牛奶的效率是50%，热水放出了多少热量？ (3)利用（2）的数据，妈妈至少需要用60℃的热水多少千克？ 14．小明妈妈用热水给小明热牛奶喝，袋装牛奶的标签上标明牛奶质量为420g，温度从25℃加热至75℃，所用热水初温为95℃，（水的比热容为，牛奶的比热容为），试求： (1)牛奶吸收了多少热量？ (2)所需热水的质量至少多少kg？ 15．吃早餐时小聪用热水加热牛奶，如图所示，热水从60℃降低至40℃，牛奶的温度由20℃升高到40℃，不计热量损失[，]求： (1)水放出的热量？ (2)牛奶的质量？ 六、温度变化量计算 16．打制铁质工具时要淬火以提高工具的硬度。现将一个质量为420g、温度为的烧红的铁件淬火，淬火后温度降低到。[已知铁的比热容为，水的比热容为，假设整个过程没有热量散失。] (1)此过程中铁件释放的热量为多少？ (2)若这些热量全部用于加热质量为5kg、温度为的水，则水温将升高多少？ 17．已知煤油的比热容为，则质量为2kg、初温为30℃的煤油： (1)当温度降低到10℃时放出的热量是多少？ (2)这些热量如果全部被质量为2kg的水吸收，温度升高多少℃？（水的比热容为） 18．在1个标准大气压下，用电热水壶加热质量为2kg，初始温度为20℃的水。 (1)若水温升高到50℃，求水吸收的热量；【】 (2)若水继续吸收热量，求水变化的温度。 七、末温计算 19．在标准大气压下，将一壶内质量为2kg，初温为30℃的水，加热到80℃。求： (1)水吸收的热量Q吸； (2)接着再继续加热，若水又吸收了3.36×105J的热量，求水的末温t末。 20．如图所示，一个质量为2kg锻好的铁器毛坯，温度为700℃，淬火使它的温度降低到200℃，释放的热量有84%被质量为10kg、初温为20℃的水吸收，[，]。求： (1)铁器毛坯释放的热量； (2)水吸收的热量； (3)水的末温。 21．白天海滩上的沙子热得烫脚，海水却非常凉爽，这是因为海水的比热容较大。若50kg的沙子升高15℃吸收的热量全部被质量为2kg的水吸收，水的初始温度为20℃，已知，。试问： (1)水吸收的热量是多少？ (2)在1个标准大气压下，吸收热量后水的温度是多少？（结果保留整数） 八、图像计算 22．在完全隔热的装置内，用同一电加热器给100g水和100g油分别加热，其温度随加热时间变化的关系如图所示，问：[已知] (1)水在4min内吸收了多少热量? (2)油的比热容是多少? 23．小红在实验室利用电热器加热（电热器相同时间放出的热量相同），完成了冰的熔化实验，并描绘出冰的温度随加热时间变化的关系图像如图所示。实验时，冰的质量为0.5kg，相同时间冰和水吸收的热量相同。[水的比热容为 4.2×103J/(kg·℃)]求： (1)CD段水吸收的热量； (2)冰的比热容。 24．小斌组装了如图甲、乙所示的装置，用相同加热器给初温均为20°C的甲、乙液体加热，其中甲容器中液体是水，乙容器中的液体质量为0.4kg。这两种液体的温度和加热时间的图线如图丙所示，已知水的比热容为。 (1)若水从20°C加热到40°C过程中，共吸收热量1.68×104J，则水的质量为多少？ (2)乙液体的比热容是多少？ 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12讲 热量计算专题 概｜念｜构｜建 深｜研｜精｜炼 1.单位规范 物理量 符号 国际单位 含义说明 吸收 / 放出的热量 焦耳（J） 物体通过热传递转移的内能多少 比热容 焦耳每千克摄氏度 物质的吸热本领，特性量，与质量、温度无关 质量 千克（kg） 研究对象的质量，计算时必须换算为千克 温度变化量 摄氏度（℃） 温度变化的差值，始终取正值 初温 摄氏度（℃） 物体初始状态的温度 末温 摄氏度（℃） 物体末状态的温度 2.核心公式 类型 公式 变形公式 吸热公式 ；； 放热公式 ；； 核心注意事项：温度变化量一定是高温减低温，结果取正值；质量必须用千克（kg）代入，题目给 “克” 时先除以 1000 换算；比热容是物质特性，不能说 “比热容与热量成正比、与质量成反比”。 3.高频易错点辨析 易错表述 正确解读 常见错误 温度升高了 温度变化量，直接代入公式 误加初温，用末温代入计算 温度升高到 末温为，温度变化量 直接将当作温度变化量代入 温度降低了 温度变化量，直接代入公式 误用初温代入计算 温度降低到 末温为，温度变化量 直接将当作温度变化量代入 4.通用解题四步规范 （1）审题意：明确研究对象、吸热还是放热、已知物理量与待求量。 （2）统单位：将所有物理量统一为国际单位，质量换算为千克。 （3）找变化量：区分初末温，计算温度变化量，确保为正值。 （4）代公式：写出原始公式，代入数值与单位，计算得出结果。 一、吸热计算 1．小林家安装了一台太阳能热水器，容积为80L，将热水器装满水。已知水的密度为，水的比热容为，求： (1)热水器中水的质量是多少？ (2)水温升高20℃，水需吸收的热量是多少？ 【答案】(1) (2) 【解析】【小题1】水的体积为，热水器中水的质量 【小题2】水需吸收的热量 2．小星家买了一瓶的某款消毒液，已知该消毒液的密度，比热容，求： (1)瓶内消毒液的质量； (2)瓶内消毒液温度从20℃升高到30℃吸收的热量。 【答案】(1)0.4kg (2) 【解析】（1）消毒液的体积为 瓶内消毒液的质量为 （2）瓶内消毒液温度从20℃升高到30℃吸收的热量为 3．质量为1kg的铁锅中放有2kg的水，要把它们从20℃加热到80℃，已知铁的比热容是，水的比热容是，求： (1)水吸收的热量是多少？ (2)铁锅要吸收多少热量？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）根据得，水吸收的热量 （2）根据得，铁锅吸收的热量 二、放热计算 4．地热能是一种可再生能源，人类很早以前就开始利用地热能，例如温泉沐浴、医疗，地下热水取暖、建造农作物温室、水产养殖及烘干谷物等。试计算：【温泉水的密度为 ，比热容为】，求： (1)100L的温泉水的质量； (2)这些水从 80℃下降了50℃放出的热量。 【答案】(1)100kg (2) 【解析】（1）因为，所以温泉水的体积，温泉水的密度为，100L的温泉水的质量 （2）水从80℃下降了50℃放出的热量 5．一把质量为250g的合金刀，加热到420℃，然后在空气中自然冷却至室温（20℃）。已知c合金=0.42×103J/(kg·℃)，求这把合金刀在冷却过程中放出多少热量？ 【答案】 【解析】合金刀放出的热量 6．在热水袋中装入0.2kg的热水，一段时间后，水温从降至，已知水的比热容为，通过计算回答：该过程中水放出的热量是多少？ 【答案】 【解析】水的比热容，质量，温度变化 水放出的热量 三、热平衡计算 7．某学校组织九年级团员志愿者到敬老院参加公益活动，小红想给老人倒一盆60℃的洗脚水泡脚，她先往盆里倒入1.6L，25℃的冷水，然后再加入100℃的沸水混合，不考虑混合过程中的热量散失。已知水的密度为1.0×103kg/m3，比热容为4.2×103J/（kg·℃）。求： (1)盆里冷水吸收的热量； (2)需要100℃沸水的质量。 【答案】(1) 235200 J (2) 1.4 kg 【解析】（1）冷水的体积 质量 冷水温度变化 因此吸收的热量 （2）沸水与冷水混合后达到热平衡，且不考虑热量散失，因此沸水放出的热量等于冷水吸收的热量。沸水温度变化 由热平衡方程 解得 8．由于天气寒冷，吃早饭时妈妈用热水给小明加热瓶装牛奶。如图所示，热水的质量为，初温为；牛奶的质量为，初温为。最终水和牛奶的温度为50℃。不计热量损失，忽略牛奶瓶质量，，求： (1)这个过程中热水放出的热量； (2)牛奶的比热容。 【答案】(1) (2) 【解析】（1）设热水的质量为m水，初温为t0，末温为t，比热容为c水，热水放出的热量Q放=c水 m水(t0- t)=4.2×103J/(kg·℃)×0.4kg×(60℃-50℃)=1.68×104J （2）设牛奶的质量为m奶，初温为t´0，末温为t´，比热容为c奶，不计热量损失，牛奶吸收的热量等于热水放出的热量，即Q吸=Q放=1.68×10⁴J 牛奶吸收的热量Q吸=c奶m奶(t´-t´0) 所以，牛奶的比热容c奶== 9．“睡前常泡热水脚，舒筋活络睡眠好”。小丽需用温度为的水泡脚，便把的热水与、的冷水混合。若混合过程中没有热量的损失，求： (1)冷水吸收的热量； (2)所需热水的质量。 【答案】(1) (2)2.4kg 【解析】（1）冷水温度变化 根据热量公式，代入数据 （2）热水温度变化 根据条件热水放出的热量，列热平衡方程 解得 四、比热容计算 10．在标准大气压下，将质量为100 g的铜块从沸水中取出，迅速放入质量为100 g、温度为10 ℃的某液体中，混合后的共同温度是25℃。若不计热量损失，求: （1）铜块在这种液体中释放的热量是多少？[c铜=0.4×103 J/(kg·℃)] （2）这种液体的比热容是多少？ 【答案】（1）3000J；（2）2.0×103 J/(kg·℃) 【解析】解：（1）在标准大气压下，铜块从沸水中取出时，温度为100℃，放入某液体后，放出的热量 Q放=c铜m(t-t0)=0.4×103J/(kg·℃)×0.1kg×(100-25)℃=3×103J=3000J （2）不计热损失时，铜块放出的热量等于液体吸收的热量，所以 答：（1）铜球在这种液体中释放的热量是3000J； （2）这种液体的比热容是2.0×103 J/(kg·℃)。 11．已知水的比热容为，为了测定铅的比热容，把质量为的铅块加热到98℃，再投入到的12℃的水中，混合后的共同温度为18℃。若不计热损失，求： （1）水吸收的热量； （2）铅块的比热容。 【答案】（1）；（2） 【解析】解：（1）水吸收的热量 Q吸=c水m水(t-t0水)=4.2×103J/(kg•℃)×0.08kg×(18℃-12℃)=2016J （2）已知不计热损失，则 Q放=Q吸=2016J 由Q放=cm(t0-t)得铅的比热容 c铅== =126J/(kg•℃) 答：（1）水吸收的热量为2016J； （2）铅块的比热容是126J/(kg•℃)。 12．为了测量某种液体的比热容，把质量为100g的铜块从标准大气压下的沸水中取出，迅速投入质量为100g的温度为10℃的待测液体中,混合后的共同温度是25℃。（不计热量损失）【c铜＝0.39×103J/(kg•℃)】求： （1）铜块放出的热量是多少焦耳？ （2）这种液体的比热容是多少？ 【答案】（1）2925J；（2）1.95×103J/(kg·℃) 【解析】解：（1）铜块的质量 m铜＝100g＝0.1kg 铜块放出的热量 Q放＝c铜m铜Δt铜＝0.39×103J/(kg·℃)×0.1kg×(100℃﹣25℃)=2925J （2）若不计热量损失，这些热量被液体吸收 Q吸＝Q放=2925J 由Q＝cmΔt得，这种液体的比热容 答：（1）铜放出的热量为2925J； （2）这种液体的比热容为1.95×103J/(kg·℃)。 五、质量计算 13．由于天气渐凉，妈妈要用热水给小明加热250g的瓶装牛奶，如图所示，要使这瓶牛奶的温度由10℃最终升高到50℃，水的比热容为4.2×103J/（kg•℃），牛奶的比热容为2.1×103J/（kg•℃），不计热量损失，则： (1)牛奶需要吸收多少热量？ (2)若用热水加热牛奶的效率是50%，热水放出了多少热量？ (3)利用（2）的数据，妈妈至少需要用60℃的热水多少千克？ 【答案】(1)2.1×104J (2)4.2×104J (3)1kg 【解析】（1）根据计算牛奶吸收的热量为 （2）根据计算水的放热 （3）根据计算需要60℃热水的质量 14．小明妈妈用热水给小明热牛奶喝，袋装牛奶的标签上标明牛奶质量为420g，温度从25℃加热至75℃，所用热水初温为95℃，（水的比热容为，牛奶的比热容为），试求： (1)牛奶吸收了多少热量？ (2)所需热水的质量至少多少kg？ 【答案】(1)；(2)0.625kg 【解析】解：(1)牛奶吸收的热量为 (2)若热量不损失，则所需热水的质量最少，热水质量为 答：(1)牛奶吸收的热量为； (2)所需热水的质量至少为0.625kg。 15．吃早餐时小聪用热水加热牛奶，如图所示，热水从60℃降低至40℃，牛奶的温度由20℃升高到40℃，不计热量损失[，]求： (1)水放出的热量？ (2)牛奶的质量？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由热量公式可得，热水从60℃降低至40℃时，水放出的热量为 （2）若不计热量损失，水放出的热量被牛奶完全吸收，则牛奶吸收的热量等于水放出的热量。由热量公式可得， 六、温度变化量计算 16．打制铁质工具时要淬火以提高工具的硬度。现将一个质量为420g、温度为的烧红的铁件淬火，淬火后温度降低到。[已知铁的比热容为，水的比热容为，假设整个过程没有热量散失。] (1)此过程中铁件释放的热量为多少？ (2)若这些热量全部用于加热质量为5kg、温度为的水，则水温将升高多少？ 【答案】(1) (2) 【解析】（1）铁件释放的热量 （2）这些热量全部被水吸收后，水升高的温度 17．已知煤油的比热容为，则质量为2kg、初温为30℃的煤油： (1)当温度降低到10℃时放出的热量是多少？ (2)这些热量如果全部被质量为2kg的水吸收，温度升高多少℃？（水的比热容为） 【答案】(1)8.4 × 104J (2)10°C 【解析】（1）温度降低到10℃时，温度的变化量为 温度降低到10℃时放出的热量 （2）热量全部被水吸收，即 水的质量为2kg，水的比热容为，由 可知，水温度升高量 18．在1个标准大气压下，用电热水壶加热质量为2kg，初始温度为20℃的水。 (1)若水温升高到50℃，求水吸收的热量；【】 (2)若水继续吸收热量，求水变化的温度。 【答案】(1)2.52×105J (2)50℃ 【解析】（1）水吸收的热量Q吸=c水mΔt=4.2×103J/(kg·℃)×2kg×(50℃-20℃)=2.52×105J （2）由Q=cmΔt可知，水变化的温度 此时水的末温t末=t初+Δt'=50℃+70℃=120℃ 但在1个标准大气压下，水的沸点是100℃<120℃，所以水的末温应该是100℃，即水实际升高的温度Δt'=100℃-50℃=50℃ 七、末温计算 19．在标准大气压下，将一壶内质量为2kg，初温为30℃的水，加热到80℃。求： (1)水吸收的热量Q吸； (2)接着再继续加热，若水又吸收了3.36×105J的热量，求水的末温t末。 【答案】(1)4.2×105J (2)100℃ 【解析】（1）水吸收的热量为 （2）水升高的温度 则 在一个标准大气压下水的沸点为100℃，所以水的末温为100℃。 20．如图所示，一个质量为2kg锻好的铁器毛坯，温度为700℃，淬火使它的温度降低到200℃，释放的热量有84%被质量为10kg、初温为20℃的水吸收，[，]。求： (1)铁器毛坯释放的热量； (2)水吸收的热量； (3)水的末温。 【答案】(1) (2) (3) 【解析】（1）铁器毛坯释放的热量为 （2）水吸收的热量为 （3）水升高的温度为 水的末温为 21．白天海滩上的沙子热得烫脚，海水却非常凉爽，这是因为海水的比热容较大。若50kg的沙子升高15℃吸收的热量全部被质量为2kg的水吸收，水的初始温度为20℃，已知，。试问： (1)水吸收的热量是多少？ (2)在1个标准大气压下，吸收热量后水的温度是多少？（结果保留整数） 【答案】(1) (2)100℃ 【解析】（1）水吸收的热量等于沙子吸收的热量。沙子吸收的热量为 因此，水吸收的热量为 （2）吸收热量后水的温度升高的度数为 水的末温 在1个标准大气压下，水的沸点为100℃，且水沸腾后温度保持不变，因此吸收热量后水的温度为100℃。 八、图像计算 22．在完全隔热的装置内，用同一电加热器给100g水和100g油分别加热，其温度随加热时间变化的关系如图所示，问：[已知] (1)水在4min内吸收了多少热量? (2)油的比热容是多少? 【答案】(1) (2) 【解析】（1）由图像可知，水在4min内温度从0℃升高到10℃，根据公式可知，水在4min内吸收的热量为 （2）用同一电加热器加热，在相同时间内，水和油吸收的热量相等，则在4min内，油吸收的热量为 由图像可知，油在4min内温度从0℃升高到20℃，根据公式可知，油的比热容为 23．小红在实验室利用电热器加热（电热器相同时间放出的热量相同），完成了冰的熔化实验，并描绘出冰的温度随加热时间变化的关系图像如图所示。实验时，冰的质量为0.5kg，相同时间冰和水吸收的热量相同。[水的比热容为 4.2×103J/(kg·℃)]求： (1)CD段水吸收的热量； (2)冰的比热容。 【答案】(1)4.2×104J； (2)2.1×103J/(kg·℃) 【解析】（1）由题意知，冰的质量为0.5kg，熔化为水后质量不变，CD段水升高的温度为20℃，则水吸收的热量为 Q吸=c水m水Δt=4.2×103J/(kg·℃)×0.5kg×20℃=4.2×104J （2）由题意知，相同时间冰和水吸收的热量相同，而AB段冰吸热时间为CD段水吸热时间的一半，所以AB段吸收的热量为CD段水吸收热量的一半，即 AB段冰升高的温度为20℃，则冰的比热容 24．小斌组装了如图甲、乙所示的装置，用相同加热器给初温均为20°C的甲、乙液体加热，其中甲容器中液体是水，乙容器中的液体质量为0.4kg。这两种液体的温度和加热时间的图线如图丙所示，已知水的比热容为。 (1)若水从20°C加热到40°C过程中，共吸收热量1.68×104J，则水的质量为多少？ (2)乙液体的比热容是多少？ 【答案】(1) 0.2kg (2) 2.1×103J/(kg·°C) 【解析】（1）水的温度变化量为Δt=t-t₀=40°C-20°C=20°C 水的质量为 （2）由题意可知，实验中使用相同的加热器，这意味着在相同的时间内，两种液体吸收的热量是相等的。由图丙可知，当加热时间为60s时，水（甲）的温度从20°C升高到80°C，温度变化量为Δt甲= 80°C-20°C=60°C 根据题意，乙液体的初温也为20°C，从图丙可知，加热60s后其温度也升高到80°C（达到沸点），温度变化量为Δt乙=80°C-20°C=60°C 在60s内，两种液体吸收的热量相等，即Q吸甲=Q吸乙 根据吸热公式可得c水m水Δt甲=c乙m乙Δt乙 代入数据得4.2×103J/(kg·°C) × 0.2kg×60°C= c乙×0.4kg×60°C 解得 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $