精品解析：安徽省马鞍山市部分学校2025-2026学年 第二学期期末测试八年级数学（沪科版）试题

八年级数学 下册全部 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 有一个四位数1688，其中数字“8”出现的频数是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 3. 若n为整数，，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 4. 如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）． A. 10 B. 14 C. 24 D. 48 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三个角是直角的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 若a，b，c是一组勾股数，则，，也是一组勾股数 D. 若一组数据，，，的离差平方和为0.24，则该组数据的方差为0.06 6. 某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，这是八年级某班一次数学测试甲、乙两个学习小组成绩的箱线图，根据箱线图的信息，下列说法错误的是（ ） A. 甲组的最低分是60分 B. 乙组的成绩比甲组的成绩更集中 C. 甲组的中位数和乙组的中位数一样 D. 甲组的最高分与最低分均比乙组的大 8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，且E是线段的中点，若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 12. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 13. 在一次演讲比赛中，小逸同学的演讲内容获得98分、演讲能力获得92分，若按照“演讲内容”占、“演讲能力”占的方式计算选手的综合成绩，则小逸同学的综合成绩为________分． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是边，，，的中点， （1）连接，若，，则的长为________． （2）连接，，，．若菱形的面积为50，则四边形的面积为________． 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）在如图所示的网格图中描出边的中点． （2）连接，在线段上描出一点，使得． 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，点O在的内部，且，，，，． （1）求的长． （2）求证：是直角三角形． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若，则方程必有一个根为________． （2）若a，b满足，求一元二次方程的根． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某学校为了解学生某天的课外阅读时间，随机抽取了20名学生进行调查，他们当天的课外阅读时间（单位：）如下： 35，40，55，35，50，70，60，55，70，40，80，50，85，90，55，60，55，85，40，80 （1）这组数据的众数是________，中位数是________ （2）求这组数据的四分位数． （3）请在图中绘制这组数据的箱线图． 20. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 六、（本题满分12分） 21. 观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述等式，解答下列问题： （1）根据上述规律，第6个等式为________． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． （3）计算． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，分别为，的中点，延长到点D，且，连接交于点O．连接，，． （1）求证：． （2）若，四边形的周长为16，求的面积． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 【情境】嘉嘉和淇淇利用不同形状的纸片裁剪拼接得到正方形纸片． 【操作】嘉嘉利用如图1所示的菱形纸片，沿着两条对角线剪成4个三角形，再按图2所示的方式拼接成正方形． 嘉嘉利用如图3所示的矩形纸片，沿虚线，，裁剪，将该纸片剪成①②③④四块，并按图4所示的方式拼成与原纸片面积相等的正方形． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）在图1中，________，线段与满足的数量关系是______． （2）在图1中，若菱形的边长为，求图2正方形的面积． （3）在图3中，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 下册全部 说明：共8大题，计23小题，满分150分，作答时间120分钟． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 每小题都给出A，B，C，D四个选项，其中只有一个是符合题目要求的． 1. 有一个四位数1688，其中数字“8”出现的频数是（ ） A. B. 1 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵四位数1688中的数字依次为1、6、8、8，数字8共出现2次， ∴数字“8”出现的频数为2． 2. 一元二次方程的一次项系数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】一元二次方程一般形式中，是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可解答． 【详解】解：∵一元二次方程为，对应一般形式可得， ∴一次项系数为． 3. 若n为整数，，则n的值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】通过找到与50相邻的两个完全平方数，即可确定的范围，进而求出整数的值． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 即， ∵为整数，且满足 ， ∴． 4. 如图，已知正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的面积为（ ）． A. 10 B. 14 C. 24 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】根据勾股定理，直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方；正方形面积等于边长的平方，因此正方形、的面积对应直角三角形两条直角边的平方，正方形的面积对应斜边的平方，将两个正方形面积相加即可求出正方形的面积． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为，正方形的边长为， 由正方形面积公式得：，， 图中三角形为直角三角形，根据勾股定理得：， 正方形的面积，代入得：． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 三个角是直角的四边形是正方形 B. 对角线相等的四边形是平行四边形 C. 若a，b，c是一组勾股数，则，，也是一组勾股数 D. 若一组数据，，，的离差平方和为0.24，则该组数据的方差为0.06 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查特殊四边形判定、勾股数定义、方差计算，逐一分析选项即可得到正确结论. 【详解】对选项A：∵三个角是直角的四边形是矩形，邻边相等的矩形才是正方形， ∴A错误. 对选项B：∵对角线相等的四边形不一定是平行四边形， 例如等腰梯形对角线相等但不是平行四边形，平行四边形需满足对角线互相平分， ∴B错误. 对选项C：∵勾股数是满足勾股定理的正整数组， 若是勾股数，不一定是正整数，例如是勾股数，不是勾股数， ∴C错误. 对选项D：∵方差等于离差平方和除以数据个数，本题数据个数为， ∴方差为， ∴D正确. 6. 某商品每件的售价为121元，经过两次降价后每件的售价为81元，设该商品两次降价的平均下降率为x，根据题意，下列方程正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解题思路是根据降价过程依次表示两次降价后的价格，再结合题意列方程． 【详解】解：∵已知商品原价为121元，两次降价的平均下降率为， ∴第一次降价后的价格为， 第二次降价是在第一次降价后的价格基础上再次下降， 因此第二次降价后的价格为， 又∵两次降价后售价为81元， ∴可列方程为， 因此选A． 7. 如图，这是八年级某班一次数学测试甲、乙两个学习小组成绩的箱线图，根据箱线图的信息，下列说法错误的是（ ） A. 甲组的最低分是60分 B. 乙组的成绩比甲组的成绩更集中 C. 甲组的中位数和乙组的中位数一样 D. 甲组的最高分与最低分均比乙组的大 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图逐项进行判断． 【详解】解：A.甲组的最低分是60分，该选项正确； B. 由箱线图可知，乙组的成绩比甲组的成绩更集中，该选项正确； C. 由箱线图可知，甲组的中位数和乙组的中位数一样，该选项正确； D. 甲组的最高分为100，乙组的最高分为96，甲组的最高分比乙组的最高分大； 甲组最低分为60，乙组的最低分为70，甲组的最低分比乙组的最低分小，该选项错误． 8. 如图，网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度，A，B，C，D都在格点上，以点A为圆心，的长为半径画弧，交于点E，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用网格构建直角三角形，通过勾股定理求出线段的长度． 【详解】解：根据题意可知，，，连接， ， 在中，根据勾股定理，，代入数值得 ， 点在线段上， ． 9. 如图，将一个正五边形和一个正六边形的底边放在直线上，且为它们的公共顶点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出正五边形和正六边形的一个内角的度数和一个外角的度数，根据三角形的内角和定理以及周角的定义，进行求解即可. 【详解】解：由题意，， ∴， ∴. 10. 如图，在中，平分，且E是线段的中点，若，，则的面积为（ ） A. 12 B. 24 C. 36 D. 48 【答案】B 【解析】 【分析】先由平行四边形的性质得到，，，，然后结合角平分线和平行线得到，利用勾股定理即可得到，然后求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点E是线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ∴ ∴， ∴， ∴的面积为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分） 11. 计算：________． 【答案】2 【解析】 【详解】解： 12. 把5个数据分成和两组，则这种分组情况的组内离差平方和为__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了求一组数据的离差平方和，分别计算两组数据的均值，再求每组数据与其均值之差的平方和，则可得到两组数据的离差平方和，再求和即可得到答案． 【详解】解：组的平均数为， 则组的离差平方和为， 组的平均数为， 则组的离差平方和为， ∴这种分组情况的组内离差平方和为， 故答案为：4． 13. 在一次演讲比赛中，小逸同学的演讲内容获得98分、演讲能力获得92分，若按照“演讲内容”占、“演讲能力”占的方式计算选手的综合成绩，则小逸同学的综合成绩为________分． 【答案】95.6 【解析】 【详解】解：小逸同学的综合成绩为（分）． 14. 如图，菱形的对角线相交于点O，E，F，G，H分别是边，，，的中点， （1）连接，若，，则的长为________． （2）连接，，，．若菱形的面积为50，则四边形的面积为________． 【答案】 ①. ②. 25 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质和勾股定理求出，再根据直角三角形斜边上中线的性质即可得到答案； （2）连接、，交于点O，根据中位线的性质求出四边形是矩形，根据矩形和菱形面积公式即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形，，， ∴，，， ∴， ∴ ∵E是的中点， ∴； （2）∵四边形为菱形， ∴， ∵E，F，G，H分别是边，，和的中点， ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 同理，， ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴ 三、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 15. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． （1）在如图所示的网格图中描出边的中点． （2）连接，在线段上描出一点，使得． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据网格的特点，连接的网格的对角线，与交于点； （2）根据三角形重心的性质，连接边上的中线，交于点，则． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、（本大题共2小题，每小题8分，满分16分） 17. 如图，点O在的内部，且，，，，． （1）求的长． （2）求证：是直角三角形． 【答案】（1） （2）证明：，，， ，， ， 是直角三角形． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理即可证明是直角三角形． 【小问1详解】 解：在中，，， 由勾股定理得． 【小问2详解】 略 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）若，则方程必有一个根为________． （2）若a，b满足，求一元二次方程的根． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）由可知，把中的x换成成立，则可求得答案； （2）根据算术平方根、绝对值可求出a，b的值，解方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴方程必有一根为； 【小问2详解】 解：，，， ，， ，， 一元二次方程为， 解得，． 五、（本大题共2小题，每小题10分，满分20分） 19. 某学校为了解学生某天的课外阅读时间，随机抽取了20名学生进行调查，他们当天的课外阅读时间（单位：）如下： 35，40，55，35，50，70，60，55，70，40，80，50，85，90，55，60，55，85，40，80 （1）这组数据的众数是________，中位数是________ （2）求这组数据的四分位数． （3）请在图中绘制这组数据的箱线图． 【答案】（1）55；55 （2）这组数据的四分位数分别为45，55，75 （3） 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义作答即可； （2）根据四分位数的定义计算即可； （3）根据四分位数及极大值和极小值作图即可． 【小问1详解】 解：将这20个数据从小到大排列： 35，35，40，40，40，50，50，55，55，55，55，60，60，70，70，80，80，85，85，90， 可知这组数据的众数是55，中位数是； 【小问2详解】 解：， 中位数是第10，11个数的平均数，即， ，， 是第5，6个数的平均数， 是第15，16个数的平均数， 因此，这组数据的四分位数分别为45，55，75； 【小问3详解】 略． 20. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】（1） （2）该商品的售价为20元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； 【小问2详解】 解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 六、（本题满分12分） 21. 观察下列等式： 第1个等式：． 第2个等式：． 第3个等式：． 第4个等式：． …… 根据上述等式，解答下列问题： （1）根据上述规律，第6个等式为________． （2）写出你猜想的第n个等式（用含n的式子表示），并证明． （3）计算． 【答案】（1） （2）（n为正整数）． 证明：右边． 左边 ． 左边右边， 等式成立． （3） 【解析】 【分析】（1）观察题目中给出的四个等式，寻找规律，等式左边的根号内包含三项。第一项是常数1，第二项是，第三项是．其中对应等式的序号（第1个等式中，第2个等式中，以此类推）．等式右边由三项组成，分别是常数1，正分数，以及负分数．根据上述规律分析，再得出最终结论． （2）需要证明这个等式成立，可以分别化简等式的左边和右边，看结果是否相等． （3）根据在（2）问中得出的结论，，可以将待求算式中的每一项都用右边的形式替换，计算时将常数项和分数项分开计算，最后应用裂项相消的方法求和即可． 【小问1详解】 【小问2详解】 略 【小问3详解】 根据猜想可得原式 ． 七、（本题满分12分） 22. 如图，在中，，，分别为，的中点，延长到点D，且，连接交于点O．连接，，． （1）求证：． （2）若，四边形的周长为16，求的面积． 【答案】（1）证明，，分别为和的中点， 是的中位线， ，， ，点D在的延长线上， ，， 四边形是平行四边形， ， 在中，，E为的中点， ， ． （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，进而得出，即可证明四边形是平行四边形，得出，根据直角三角形斜边中线的性质得出，即可得出结论； （2）根据平行四边形的性质得出，根据中点的定义及平行线的性质得出，，设，则，利用勾股定理列方程，求出，可求出，根据平行四边形的性质即可得出答案． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 由（1）知四边形是平行四边形． 四边形的周长为， ， ∵分别为的中点，，，， ，， 设，则， 在中，由勾股定理得，即， 解得：， ． 是平行四边形对角线的交点， ， ． 八、（本题满分14分） 23. 综合与实践 【情境】嘉嘉和淇淇利用不同形状的纸片裁剪拼接得到正方形纸片． 【操作】嘉嘉利用如图1所示的菱形纸片，沿着两条对角线剪成4个三角形，再按图2所示的方式拼接成正方形． 嘉嘉利用如图3所示的矩形纸片，沿虚线，，裁剪，将该纸片剪成①②③④四块，并按图4所示的方式拼成与原纸片面积相等的正方形． 【探究】根据以上描述，解决下列问题． （1）在图1中，________，线段与满足的数量关系是______． （2）在图1中，若菱形的边长为，求图2正方形的面积． （3）在图3中，求证：． 【答案】（1）90；． （2） （3）证明：如图，过点E作于点S． 由题意可得，． 设，则， ， ． ， 四边形是矩形， ， ，． 由题意可知，， ． ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）由折叠的性质即可求解； （2）利用勾股定理求得，再求正方形面积即可； （3）过点E作于点S，设，则，进而得到，然后得到，得到，然后可得出结论． 【小问1详解】 解：由折叠可知， ， 按图2所示的方式拼接成正方形， 则，即； 【小问2详解】 解：由题图2正方形可知，， 在中，， 即， ， 题图2正方形的面积为． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $