1.1.2成比例的线段（教学课件）数学新教材湘教版九年级上册

该初中数学课件聚焦线段的比、成比例线段及黄金分割，通过身高比实例将实际问题抽象为线段比，衔接生活与数学，以方格纸三角形测量计算为支架，引导学生理解概念形成过程。 其亮点在于融合数学眼光、思维与语言，如黄金分割结合帕提侬神庙等实例培养抽象能力与应用意识，典例分析用设参数法强化推理能力。小结系统梳理要点，助力学生构建知识体系，教师可提升教学效率与学生参与度。

第1章 图形的相似 1.1线段的比 1.1.2 成比例的线段 导入新课 我们测得小花的身高为165cm，小明的身高为170cm。 170cm 165cm 那这两人的身高之比是多少呢？ A B C D 小花的身高 线段AB的长度 小明的身高 线段CD的长度 这两人的身高之比转化成了线段之比 今天，我们来学习成比例的线段 抽象 抽象 学 习 目 标 1 2 3 理解并掌握线段的比与成比例线段的概念（重点） 会判断四条线段是否成比例（重点） 了解黄金分割、黄金分割比的概念及其有关计算（难点） 新知探究 做一做 如图，在方格纸上(设小方格边长为单位1)有△ABC和△ A′B′C′，它们的顶点都在格点上。 问题1：观察或计算出线段AB，BC，AC， A′B′，B′C′，A′C′的长度。 问题2：并计算AB与A′B′、 BC与B′C′、AC与A′C′的长度的比值. 利用勾股定理可以计算得出： AB = ， AC = ， A'B' = 2，A'C' = 2. 4 2 由图可知， BC = 2， B'C' = 4. 你发现了什么？ 新知探究 两条线段的比 A B A′ B′ m n 如果两条线段AB,A′B′的长度分别是m、n，那么把它们的长度的比叫作这两条线段AB与A′B′的比. 记作： = (或AB:A′B′=m:n) 如果的比值为k,那么上述式子也可写成或AB=k·A′B′ 思考：求线段的比要注意哪些问题呢？ 注意： 1.两条线段的比与所采用的长度单位无关，但求比时两条线段的长度单位必须一致； 2.两条线段的比值是一个没有单位的正数 。 新知探究 成比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比,那么这四条线段叫作成比例的线段. = 四条线段a,b,c,d是成比例的线段. 注意：四条线段成比例时要注意它们的排列顺序. a : b = c : d 比例内项 比例外项 若 a:b = b:c，则b叫做a、c的比例中项 如果三组线段的比值相等，那怎样说线段成比例呢？ 三组线段对应成比例线段 例4 已知线段a，b，c，d 的长度分别0.8cm，2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d 是比例线段吗？ 典例分析 解 因为 ， ， 所以 ， 从而 a，b，c，d 是成比例的线段. 判断四条线段是否成比例的步骤: 化成相同的单位 2.按照大小排列 3.分组求比值 4.判断：看是否相等， 相等即成比例， 不等则不成比例。 典例分析 例5 已知△ABC的三边AB,BC,AC与△A′B′C′的三边A′B′,B′C′,A′C′对应成比例.若△ABC的周长为48 cm，且A′B′=3 cm,B′C′=4 cm,A′C′=5 cm，求△ABC的三边的长. AB+BC+CA=48cm 技巧：遇到比例连等问题，通常设参数法（设公比为 k）解决问题。 例5 已知△ABC的三边AB,BC,AC与△A′B′C′的三边A′B′,B′C′,A′C′对应成比例.若△ABC的周长为48 cm，且A′B′=3 cm,B′C′=4 cm,A′C′=5 cm，求△ABC的三边的长. 典例分析 解 由题意可得 ， 因此可以设 AB = 3x cm，BC = 4x cm，AC = 5x cm， 则 3x＋4x＋5x = 48，解得 x = 4， 从而 3x = 12，4x = 16，5x = 20. 所以△ABC 的三边AB，BC，AC 的长分别为12cm,16cm，20cm. 新知探究 古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400一约前347)曾经提出一个问题: 思 考 能否将一条线段AB分成不相等的两部分，使较短线段BC与较长线段AC的比等于较长线段AC与原线段AB的比，即使得成立? C A B 数学上已经证明这能做到。 线段AB被点C黄金分割 线段AB的黄金分割点 黄金分割比 新知探究 帕提侬神庙 泰姬陵 东方明珠 蒙娜丽莎的微笑 黄金分割比被认为是美的比例关系. 研究表明：符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感. 黄金分割的应用 基础巩固题 新知应用 1、一条线段的长度是另一条线段的 5 倍，则这两条线段的比为 。 2、甲乙两地相距35km，图上距离为7cm，则这张图的比例尺为 。 5：1 1：500000 3、下列长度的线段中，能成比例的是（ ） A. 3cm，6cm，8cm，9cm B. 3cm，5cm，6cm，9cm C. 3cm，6cm，7cm，9cm D. 3cm，6cm，9cm，18cm D 注意：求比时两条线段的单位必须一致，先要统一单位。 先排序，再分组求比。 基础巩固题 新知应用 4．已知点C是线段AB上的一个点，且满足AC2＝BC·AB，则下列式子成立的是(　　) B AC2＝BC·AB 转化 基础巩固题 新知应用 5.在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金分割比，已知这本书的长为 20 cm，则它的宽约为( ) A.12.36 cm B.13.6 cm C.32.36 cm D.7.64 cm A 基础巩固题 新知应用 6.已知a,b,c,d是比例线段. （1）若a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求d； （2）若a=12cm，c=3cm，d=15cm，求b； （3）若a=5cm，b=4cm，d=8cm，求c。 解：(1)∵ a,b,c,d是比例线段 ∴∴ ∴d=1.25cm (2)∵ a,b,c,d是比例线段 ∴ ∴ ∴b=60cm (3)∵ a,b,c,d是比例线段 ∴ ∴ ∴c=10cm = 基础巩固题 新知应用 6.已知a，b，c是△ABC的三边长，且. （1）求的值； （2）若△ABC的周长为90，求各边的长． 解：（1）设，则a＝5k，b＝4k，c＝6k， ∴. （2）由（1）得a＝5k，b＝4k，c＝6k， ∵△ABC的周长为90，∴5k+4k+6k=90，解得k=6， ∴a=30，b=24，c=36． 技巧：遇到比例连等问题，用设参数法（设公比为 k） 提分笔记 基础巩固题 新知应用 7.如图，在矩形ABCD中，AB=，AD=2,且四边形ABEF是正方形，请问:点E是线段BC的黄金分割点吗?如果是，请说明理由。 解:点E是线段BC的黄金分割点.理由如下: 由题意,得CE=BC-BE=AD-AB=2-()=3-, 所以. 又因为, 所以， 所以点E是线段BC的黄金分割点。 能力提升题 新知应用 8.已知线段 AB，点 P 是它的黄金分割点，AP＞BP，设以 AP 为边的正方形的面积为 S1，以 PB、AB 为边的矩形面积为 S2，则 S1 与 S2 的关系是（ ） A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1 = S2 D．S1≥S2 P A B C 能力提升题 新知应用 9.已知a，b，c，d是成比例线段． (1)若b＝，c＝2，d＝9，求a； (2)若a＝4 cm，b＝(x1)cm，c＝10 cm，d＝(x＋2)cm，求x. 解：(1)∵a，b，c，d成比例， ∴，即， ∴a＝. (2)由题意有，则4(x＋2)＝10(x－1)，∴x＝3 能力提升题 新知应用 解：根据题意可知，， AB = 15 ， AC = 10 ， BD = 6. 则 AD = AB – BD =15 – 6= 9. 则AE=10=6 10.已知，AB=15，AC=10，BD=6．求AE． A B C D E 能力提升题 新知应用 11.研究表明:标准人体黄金分割点是人的肚脐,即肚脐到脚底的长度与身高的比是黄金分割比.请你计算,身高1.8 m的人,如果肚脐是黄金分割点,那么头顶到肚脐的距离约为多少米?(精确到0.01 m) 解：设头顶到肚脐的距离约为x m，则题意得： 解得x≈0.69. 答:头顶到肚脐的距离约为0.69 m. 课堂小结 两条线段的比 成比例线段 比例线段 ①求两条线段的比时，所使用的长度单位应该统一 ②与单位无关，本身没有单位 ③两条线段有顺序要求 ①概念： ②四条线段有顺序要求 ③黄金分割 感谢聆听! A．eq \f(AC,BC)＝eq \f(\r(5)－1,2) B．eq \f(AC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2) C．eq \f(BC,AB)＝eq \f(\r(5)－1,2) D．eq \f(CB,AC)＝eq \f(\r(5)＋1,2) $