第2章 实数的初步认识（暑假单元自测）新八年级数学新教材苏科版

**基本信息** 苏科版新教材“实数的初步认识”单元自测卷，覆盖平方根、立方根、无理数估算等核心知识点，结合秦九韶公式、图形剪拼等情境，基础与探究题梯度分明，适合暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/16|实数大小比较、算术平方根|基础概念辨析，如第3题无理数范围估算| |填空|8/16|平方根性质、科学记数法|融入数学文化，如第15题秦九韶公式应用| |解答|10/68|计算、方程求解、几何应用|探究性强，如22题数形结合估算√10，24题华罗庚立方根速算，培养数学思维与创新意识|

第2章 实数的初步认识 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 2．36的算术平方根是（     ） A．6 B． C．8 D． 3．估计实数的值，它的所在范围是（    ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 4．已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 5．如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 6．已知实数，满足，则代数式的立方根是（ ） A． B． C． D． 7．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 8．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．计算：________． 10．若是的一个平方根，则的平方根是______． 11．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 12．若为正整数，且满足，则的值为_______． 13．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 14．如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 15．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 16．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 三、解答题（共68分） 17．计算：． 18．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 19．已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 20．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 21．按要求完成以下问题 (1)一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ (2)小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 22．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 23．用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 24．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 25．【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 26．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章 实数的初步认识 单元自测卷 【新教材，苏科版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 考前须知： 1．本卷试题共26题，单选8题，填空8题，解答10题，满分100分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共8小题，每小题2分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列四个数中，比小的数是（    ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】先估算出的大小，再运用不等式的性质，得，最后结合选项进行分析，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则， 观察四个选项， 即在四个选项中，比小的数是． 2．36的算术平方根是（     ） A．6 B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据算术平方根定义：若一个正数的平方等于，即，则这个正数叫做的算术平方根，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴36的算术平方根是． 3．估计实数的值，它的所在范围是（    ） A．在5和6之间 B．在6和7之间 C．在7和8之间 D．在8和9之间 【答案】B 【分析】先估算出的取值范围，再对不等式各边同时加2，即可得到的范围． 【详解】∵， ∴，即， 对不等式各边同时加2，得， 即， ∴在6和7之间． 4．已知，则约等于下列值中的（    ） A．265 B．837 C．26.5 D．83.7 【答案】D 【分析】被开方数的小数点向右或者向左移动两位，它的算术平方根的小数点向右或者向左移动一位，据此求解． 【详解】解：∵ ∴ 5．如图所示，从一个大正方形中剪掉两个小正方形，若剪掉的面积分别为和，则剩余（阴影）部分的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正方形面积公式先求得剪掉的两个小正方形的边长，然后可知大正方形的边长，最后根据阴影部分的面积等于大正方形的面积减去剪掉的面积，即可解答． 【详解】解：根据题意可知，剪掉的两个小正方形的边长分别为，； 由图可知，大正方形的边长为， 所以剩余部分的面积为． 6．已知实数，满足，则代数式的立方根是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据非负性，求出的值，再根据立方根的定义，进行求解即可. 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的立方根为2. 7．在如图所示的运算程序中，输入x的值是64时，输出的y值是（     ） A． B． C．2 D．8 【答案】B 【分析】根据算术平方根，立方根，无理数等内容，按照程序框图求解即可． 【详解】解：输入x的值是64时，取算术平方根可得，， 是有理数，则取立方根，可得， 是有理数，则取算术平方根，可得， 为无理数，则输出， 即． 8．如图，四边形，，均为正方形，且正方形的面积为，正方形的面积为，则正方形的边长可以是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的面积公式求出已知两个正方形的边长，结合图形观察出三个正方形边长的大小关系，从而确定中间正方形边长的取值范围，最后判断选项即可． 【详解】解：正方形的面积为，正方形的面积为， 正方形的边长，正方形的边长， 设正方形的边长为，由图可知，点在线段上，点在线段上， ，即， ，，， 选项均不符合题意， ， ， 正方形的边长可以是，选项 D  符合题意． 二、填空题（本题共8小题，每小题2分，共16分） 9．计算：________． 【答案】 【分析】先根据绝对值的性质和立方根的定义化简，再进行有理数的减法运算． 【详解】解：原式 ． 10．若是的一个平方根，则的平方根是______． 【答案】 【分析】根据平方根的定义求出的值． 再计算的值， 最后根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解：是的一个平方根， ， ， 又， 的平方根为，即的平方根是． 11．用四舍五入法，把31485926精确到万位，取得的近似数是__________ （用科学记数法表示）． 【答案】 【分析】本题考查了求近似数． 先确定数字的万位位置，对千位数字进行四舍五入，得到近似数，再转化为科学记数法形式． 【详解】解：数字31485926的万位是8，千位是5， ，向万位进1，万位8变为9，后面数位变为0， 得到31490000， 31490000用科学记数法表示为． 故答案为：． 12．若为正整数，且满足，则的值为_______． 【答案】 【分析】先利用算术平方根的性质估算出的取值范围，再对已知不等式变形，得到的取值范围，结合为正整数即可求解． 【详解】解： ，即 对不等式三边同时加，得 结合可得，且， 解得， 又∵为正整数， ∴． 13．已知实数互为相反数，互为倒数，是的整数部分，是的小数部分，求代数式 ______． 【答案】/ 【分析】根据相反数，倒数的定义，以及无理数的估算得到各未知量的值，再代入代数式计算即可求解． 【详解】解：∵实数、互为相反数， ∴， ∵、互为倒数， ∴， ∵， ∴的整数部分为，即， ∵， ∴的小数部分为，即， ∴ ． 14．如图，由七排小正方形（每个小正方形的边长为1）拼成一个图案．将原图案中所有的小正方形重拼成两个正方形，则其中较大的正方形边长为________． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根的应用，解题的关键是运用面积去估算边长．根据题图可知，原图案面积为，设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，根据原图案和重拼后的图案面积相等可得，根据，且、均为整数进行判断，由此即可得解． 【详解】解：观察图形可知，共有个小正方形， 每个小正方形的边长为， 原图案面积为， 设重拼后较小的正方形边长为，较大的正方形边长为，其中，且、均为整数， 则有：， 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，不是整数，故此情况不满足题意，故舍去； 当时，，则有，是整数，故此情况满足题意； 当时，，则有，故此情况不满足题意，故舍去； 综上，较大的正方形边长为． 故答案为：． 15．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，即三角形的三边长分别为，，，记，那么其面积．如果某个三角形的三边长分别为5，6，7，其面积介于整数和之间，那么的值是______． 【答案】15 【分析】本题考查了算术平方根的定义，无理数的估算，先计算三角形的面积为，再估算出，即可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， ∴ ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∵介于整数和之间， ∴， 故答案为：． 16．观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，…，请根据规律计算的值为______． 【答案】 【详解】解：∵，，，…… 规律为 ∴． 原式 ． 三、解答题（共68分） 17．计算：． 【答案】1 【详解】解： ． 18．求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解： 开平方，得． 当时，解得 ； 当时，解得． 所以或； （2） 解： 整理，得． 开立方，得 ． 解得． 19．已知的立方根是的算术平方根是4，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】 （1）利用立方根、算术平方根的定义求出a和b的值，再通过估算无理数的大小得到它的整数部分c； （2）将的值代入求出，再根据平方根的定义计算结果即可． 【详解】（1）解：的立方根是，的算术平方根是 ， 解方程，得 将代入，得， 解得 的整数部分； （2）解：将，，代入得 的平方根是． 20．（1）如图1，用两个边长为的小正方形纸片剪拼成一个大正方形．求大正方形的边长； （2）如图2，某同学把长为2，宽为1的两个长方形进行裁剪，拼成如图所示的一个正方形，求小长方形的对角线的长度． 【答案】（1）4；（2） 【分析】本题主要考查算术平方根的应用． （1）根据拼接前后的面积相等建立方程求解可得答案． （2）设小长方形的对角线的长度为m，利用面积关系建立方程即可． 【详解】解：（1）设大正方形的边长为x， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：大正方形的边长为4； （2）设小长方形的对角线的长度为m， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：小长方形的对角线的长度为． 21．按要求完成以下问题 (1)一个长方形纸片的长减少，宽增加，就成为一个正方形纸片，并且长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少，求这个长方形纸片的长，宽各是多少？ (2)小明同学想用（1）中得到的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长宽之比为，请问小明能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？请说明理由． 【答案】(1)长方形的长为，宽为 (2)小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片，理由见解析 【分析】（1）设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为，根据“长方形纸片周长比正方形纸片周长的倍少”，列一元一次方程求解即可； （2）设裁出的长方形的长，宽分别为、根据长方形的面积列方程，求出长方形的长，大于正方形的边长，即可得解． 【详解】（1）解：设正方形的边长为，则长方形的长为，宽为， 依题意，得， 解得， ，， 则长方形的长为，宽为． （2）解：设裁出的长方形的长，宽分别为、 长方形面积为， ， ， 又， ， 长方形的长， ， ，即， 长方形的长正方形的边长， 即小明不能用这块纸片裁出符合要求的纸片． 22．【结论初探】小谢利用数形结合的方式探究的近似值，过程如下： ∵面积为的正方形的边长是，且， ∴可以设为以下两种形式： ①；②． 小谢展示了利用②探究近似值的过程． 通过数形结合，可画出正方形的面积示意图． ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【方法运用】 (1)请写出在哪两个连续整数之间： ； (2)类比上述方法，选择其中一种形式，画出示意图，探究的近似值． 【答案】(1)5；6 (2)方法一：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计， ∴，， ∴． 方法二：如图， ， 整理得， ∵， ∴较小，可忽略不计． ∴，， ∴． 【分析】（1）根据即可得出； （2）根据题干提供的方法，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 即； （2）略 23．用如图①所示的个边长为的小正方形，通过剪拼可以得到一个大正方形． (1)求正方形的边长，并求出的长在哪两个连续整数之间； (2)把图①中的正方形放到数轴上，如图②，点表示的数为．若正方形从当前状态沿数轴正方向翻滚，我们把点翻滚到数轴上时，记为第一次翻滚点翻滚到数轴上时，记为第二次翻滚，以此类推． ①第一次翻滚后，点表示的数为多少 ②是否存在正整数，使得该正方形经过次翻滚后，其顶点，，，中的某个点与数轴上的重合若存在，请求出的值若不存在，请说明理由． 【答案】(1)．的长在2和3之间； (2)①第一次翻滚后，点B表示的数为1+；②不存在．见解析． 【分析】（1）根据题意可求出正方形的面积，进而得到正方形的边长，再利用夹逼法即可求出其范围； （2）①根据点表示的数和正方形的边长即可得到一次翻滚后，点表示的数；②设存在正整数，则，由进行判断即可求解 【详解】（1）解：由题意得，正方形的面积为， ∴正方形的边长为， ∵， ∴， ∴的长在和之间； （2）解：①∵点表示的数为，正方形的边长为， ∴第一次翻滚后，点表示的数为； ②不存在，理由如下： 设存在正整数，则， ∴， ∵为正整数， ∴为有理数，而为无理数， ∴上述等式不成立，即不存在正整数． 24．数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）． 【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可； （2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：（1）第一步：，，， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是2，， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 而，则，可得， 由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）第一步：∵ ，，， ∴， ∴能确定85184的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是4，， ∴能确定85184的立方根的个位数是4． 第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85， 而，则，可得， 由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44， 即． 故答案为：44． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键． 25．【阅读材料】 我们利用完全平方公式可以计算无理数的近似值． 例如：求的近似值．     ∵，∴．∴可以表示成以下两种形式： ①，其中；②，其中． 用形式①求的近似值的过程如下： 设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则． ∴． ∴． (1)方法理解：请用形式②求的近似值； (2)比较分析：你认为用哪一种形式得出的近似值的误差更小，请简要说明理由（参考数据：） (3)灵活运用：从形式①或②中，选择恰当的形式，计算的近似值（保留两位小数），要求误差更小． 【答案】(1)的近似值为4.2 (2)解：我认为用形式①得出的近似值误差更小，理由如下： 用形式①得到，则误差为． ∵， ∴． 用形式②得到，则误差为． ∵， ∴． ∵， ∴用形式①得出的近似值误差更小， 即，且17距离16更近，所以更接近于，因此用形式①误差更小． (3)的近似值为8.89 【分析】阅读材料，理解材料中计算无理数近似值的两种方法． （1）按照材料中形式②的方法进行计算； （2）考虑到题干提及“比较分析”，按照材料中形式①和形式②的方法分别进行计算，再进行比较，最后得出结论，但要归纳总结：因为17距离16更近，所以用形式①误差更小； （3）结合（2）归纳的结论，考虑到79距离81更近，所以用形式②误差更小．随后采用形式②进行计算即可． 【详解】（1）解：设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为4.2． （2）略 （3）解： ∵， ∴． ∵79距离81更近，所以用形式②误差更小． 选择形式②，设，其中，则． ∵比较小， ∴将忽略不计，则， ∴， 解得：． ∴． ∴的近似值为8.89． 26．【课本再现】一般地，如果一个正数的平方等于，即，那么这个正数叫做的算术平方根，记为；的算术平方根是，即．∴被开方数为非负数． (1)【探究新知】若，则的取值范围是 ； (2)【知识应用】若，求的值； (3)【拓展应用】若，求的值． 【答案】(1) (2) (3)2026 【分析】本题考查的是算术平方根的含义，算术平方根的双重非负性的应用，二元一次方程组的解法． （1）根据被开方数为非负数可得答案； （2）根据非负数的性质可得，再解方程组，最后代入计算即可； （3）由被开方数为非负数确定的取值范围，进而化简绝对值，再解方程即可得出答案． 【详解】（1）解：，则的取值范围是； 故答案为：； （2）解：， ， 解得：， ； （3）解：， ， ， ， ． 11 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $