第4章 相似三角形（暑假单元自测）新九年级数学新教材浙教版

**基本信息** 浙教版新教材相似三角形单元卷，90分钟120分，24题覆盖比例性质、相似判定与性质、位似等重难点，注重几何直观与推理能力，适配暑假巩固提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|10/30|比例性质、黄金分割、平行线分线段成比例|基础巩固，梯度合理，如第3题黄金分割结合实际应用| |填空|6/18|比例中项、相似面积比、镜面反射|联系生活，第14题镜面反射体现模型意识| |解答|8/72|菱形中相似证明、圆内接四边形综合、网格作图|综合应用，20题网格作图发展几何直观，24题多问设计提升推理能力|

第4章 相似三角形 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）若，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了比例的性质，利用比例的性质逐一判断即可．熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：A．因为，所以，，故A不符合题意； B．因为，所以，，故B不符合题意； C．因为，所以，故C符合题意； D．因为，所以，，故D不符合题意； 故选：C． 2．（3分）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知条件得出，再代入要求的式子进行计算即可得出答案． 此题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 【详解】解：， ， 故选：D 3．（3分）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查黄金分割，把线段分成两条线段和 ，且使是和的比例中项，即，叫做把线段黄金分割，点C叫做线段的黄金分割点．其中，并且线段的黄金分割点有两个． 直接利用黄金分割的定义计算出即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点，且， ∴． 故选A． 4．（3分）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（ ） A．6 B．8 C．9 D．12 【答案】D 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据，即可得出，求出，进而可得出． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， 故选：D 5．（3分）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，等腰三角形的性质，是等腰三角形，顶角是，看各个选项是否符合相似的条件即可． 【详解】解：∵由图可知，， A、三角形各角的度数都是， B、三角形各角的度数分别为， C、三角形各角的度数分别为， D、三角形各角的度数分别为， ∴只有C选项中三角形各角的度数与题干中三角形各角的度数相等， 故选：C． 6．（3分）如图，在中，点，分别在的边，上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定：“①有两个对应角相等的两个三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等的两个三角形相似”．根据相似三角形的判定方法逐一判断即可． 【详解】解：由题意得：， A、当时，，故该选项不符合题意； B、当时，，故该选项不符合题意； C、当时，，故该选项不符合题意； D、当时，不能推出与相似，故该选项符合题意； 故选：D． 7．（3分）如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，由作图可判定①；进而可得，再根据相似三角形的性质可判定②③④，据此即可求解，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解析：①由尺规作图可得，，故①正确； ② ，， ， ， 故②错误； ③ 当与重合时，最大，此时， 由，得， 解得，故③正确； ④ 当为中点时，，由尺规作图可得， 由 ，可得， ∴，故④正确； 综上所述，①③④正确， 故选：． 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了位似三角形的性质，根据题意可得位似比为，将点的横纵坐标都乘以，即可求解． 【详解】解：和是位似三角形，且，则位似比为，点， ∴点B的坐标为， 故选：A． 9．（3分）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质．掌握位似图形的对应边互相平行是解题的关键． 根据题意求出，根据相似三角形的性质求出，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵， ， ∵和是以点为位似中心的位似图形， ， ， ， 故选：D． 10．（3分）如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 连接，根据直径所对的圆周角是直角可得：，然后利用等腰三角形的三线合一性质可得，再利用圆的内接四边形对角互补可得：，最后利用等角的补角相等可得，从而证明，再利用相似三角形的性质进行计算，即可解答． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 第II卷 二、填空题（共18分） 11．（3分）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为________． 【答案】 【分析】本题考查了成比例的线段．熟练掌握比例中项是解题的关键．根据题意得出，代入数据进行计算即可求解． 【详解】解：依题意， ∴（负值舍去） 故答案为：． 12．（3分）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，先求出，再根据平行线分线段成比例定理即可求解． 【详解】∵，，， ∴， ∵ ∴ 故答案为：． 13．（3分）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为_______． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的性质，理解相似三角形面积比等于相似比的平方是解题关键．根据相似三角形面积比等于相似比的平方进行解答即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的相似比是， ∴它们的面积之比为． 故答案为：． 14．（3分）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 【答案】/ 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是根据物理性质找到求得的长度．设米，则米，由物理性质可得入射角等于反射角、，证明，得出，代入数据求得，即可求解． 【详解】解：设米， 米， 米， 由物理性质可得入射角等于反射角，， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴， ∴， 即， 解得，即米． 故答案为：． 15．（3分）如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为、的中点，的面积分别为．若，则_______． 【答案】4 【分析】本题考查三角形的中位线定理，相似三角形的判定和性质，易得是的中位线，进而得到，证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，求出的面积，根据平行四边形的性质，得到的面积为平行四边形的面积的一半，进而求出的值即可． 【详解】解：∵E、F分别为、的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵P为平行四边形边上一点， ∴平行四边形的面积， ∴； 故答案为：4． 16．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么_____． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 由题意得，进而得出，计算即可得到答案． 【详解】解：. ， ， ， （负值舍去）， ， ， 故答案为： ． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的度数是． 【分析】此题重点考查角平分线的定义、相似三角形的判定与性质、三角形内角和定理等知识． （1）由，得，由平分，得，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明； （2）由相似三角形的性质得，则，所以． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴的度数是． 18．（8分）如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质． （1）由，易证，，由相似三角形的性质得，，得出，从而可得结论； （2）由（1）知，推出，求出 ，再根据，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴，， ∴ ，， ∵是的中点，即， ∴，即， ∴即； （2）解：由（1）知， ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴． 19．（8分）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． （1）根据和的长度，再结合平行线分线段成比例即可解决问题； （2）根据题意得出，进而得出，再结合的长即可解决问题． 【详解】（1）解：因为， 所以． 又因为， 所以， 故答案为：； （2）解：因为， 所以， 因为， 所以， 又因为， 所以． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了作图-相似变换，相似三角形的判定和性质等知识点，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法． (1)根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，进行画图即可； (2)取格点，连接，交于点，则点即为所求作的点． 【详解】（1）解：如图，，点即为所求作的点（任需画出一个即可）， ，， ， ，， ； （2）解：如图， ， ， ， ， 点即为所求作的点． 21．（10分）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据相似三角形的性质找边之间的关系． 根据垂直定义可知，又因为是公共角，可证； 根据可证，根据对顶角相等可知，从而可证，根据相似三角形对应边成比例可知，根据对顶角相等可知，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可证，从而可证，又因为是公共角，可证，根据相似三角形对应边成比例可证结论成立． 【详解】（1）证明：于点， ， 于点， ， 在和中，，， ； （2）证明：， ， 又， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ． 22．（10分）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)或 【分析】（1）利用两角相等即可证得； （2）连结，利用角平分线的定义和相似三角形的性质证出角相等，再加上公共边即可证得，进而即可得解； （3）分①当和②当时，两种情况讨论即可得解． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：连结． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：连结． ， ， ， ，， ， ， ， ， ①当时， 是的黄金分割点， ， ， ， ， ，， 设，则， 在中，， ， 解得． ． ②当时， 是的黄金分割点， ，即， ， ， ， 在上截取，则有， ， ， ，即 ， ， ， ， 设，则，， 在中，， 解得， ， ， ， . 综上所述，或． 23．（10分）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，菱形的性质，平行线分线段成比例定理，等腰三角形的性质，熟练掌握以上内容以及熟练进行中间比转化证明比例式是解题关键． （1）由菱形性质知，由知，，由菱形对角相等可得，从而． （2）由，可得，则，，由，可得，，因为，则，再证明，，从而． （3）由菱形性质证明，再证明，列出比例式，由（2）中知，故，化为乘积式即． 【详解】（1）解：，， ， ， ， ， 由菱形对角相等可得， ； （2）解：， ， ， ， ∵， ∴， ， ， ， ， ， ， 故； （3）证明：由菱形性质知， ， ， ， ． ， ， ， 由（2）中知， ， ． 24．（10分）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． (1)求证：． (2)如图2，若点为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出； （2）先证，得到，再根据，证出，，即可得证； （3）连接 ，作，证明，得出，得出，设，得出，根据勾股定理得出，求出（舍去），设，根据勾股定理得出．根据，得出，求出t即可． 【详解】（1）解： ， ， ， ， ， ∵， ， ． （2）证明：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，连接 ，作， ， ， ∴， ， 又， ， ， ， 设， ， 在中，， ， 解得：（舍去）， ， 设， 在 中， ． ， ， 解得 （舍去）， 的长为 ． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 相似三角形 单元自测卷 【新教材，浙教版】 （考试时间：90分钟 试卷满分：120分） 考前须知： 1．本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时90分钟。 2．本卷选题均为重难点题型，考点全覆盖，旨在检测学习成果。 第Ⅰ卷 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）若，则下列等式成立的是（ ） A． B． C． D． 2．（3分）已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．（3分）已知线段，点C是线段的黄金分割点，且，则线段的长是（ ） A． B． C． D． 4．（3分）如图，直线，分别交，，于点A，B，C；分别交，，于点D，E，F．若，，，则的长为（ ） A．6 B．8 C．9 D．12 5．（3分）已知如图所示，则下列三角形中，与相似的是（ ） A． B． C． D． 6．（3分）如图，在中，点，分别在的边，上，如果添加一个条件，不一定能使与相似，那么这个条件可能是（ ） A． B． C． D． 7．（3分）如图，点为边上一点（可与点重合），已知．以点为圆心，适当长为半径作弧，分别交于点；再以点为圆心，长为半径作弧，交于点（点在点下方）；最后以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点，连结并延长且交于点．以下个结论：①；②；③的最大值为；④若为中点，则．其中正确的结论有（ ） A．个 B．个 C．个 D．个 8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，和是位似三角形，且，若点，则点B的坐标为（　　） A． B． C． D． 9．（3分）如图，和是以点为位似中心的位似图形，点在线段上．若，则和的面积之比为（　　） A． B． C． D． 10．（3分）如图，中，，，以为直径的分别交于点，连接，则的长为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 第II卷 二、填空题（共18分） 11．（3分）已知线段，线段，则线段，的比例中项线段的长度为________． 12．（3分）如图，，与相交于点（点在，之间），若，，，则的值为________． 13．（3分）已知两个相似三角形的相似比是，则它们的面积之比为_______． 14．（3分）如图，地面上的点处放置平面镜，光线从点射出经平面镜（点处）反射后照射到点．已知，，垂足分别为、，米，米，米，则长为__________米． 15．（3分）如图，P为平行四边形边上一点，E、F分别为、的中点，的面积分别为．若，则_______． 16．（3分）如图，在中，点，分别在边，上，，，，那么_____． 三、解答题（共72分） 17．（8分）如图，在四边形中，平分，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 18．（8分）如图，在中，是的中点，，交于点为上一点，连结，交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 19．（8分）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． (1)求的值； (2)求的长． 20．（8分）如图是由边长为1的小正方形组成的的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，三个顶点都是格点．仅用无刻度的直尺在给定网格中完成两个画图任务． (1)在图1中，画，使点E在格点上，且与相似；（只需画出一个即可） (2)在图2中，线段上找一点D，使． 21．（10分）如图，中，于，于，设与相交于点． (1)求证： (2)求证：． 22．（10分）如图，内接于，的角平分线交于点，交于点，点在边上，且． (1)求证：． (2)求证：． (3)若，点是的黄金分割点，求的度数． 23．（10分）如图，在菱形中，连接对角线，点在边上，过点作交于点，连结交于点． (1)若，，求的度数． (2)若，，求的长． (3)求证∶ ． 24．（10分）如图1，四边形为圆内接四边形，对角线与交于点，点在上，． (1)求证：． (2)如图2，若点为的中点，求证：． (3)在（2）的条件下，的面积为2，求的长． 2 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $