精品解析：湖南衡阳市耒阳市第二中学2025-2026学年高二下学期5月期中数学试题

高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】． 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先用一元二次不等式及分式不等式的解法求解两个集合，然后再求交集. 【详解】因为集合， 所以可得， 因此． 3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线方程，令可得轴上的截距. 【详解】，，又， 所以处的切线为， 令，可得， 故函数的图象在处的切线在轴上的截距为. 4. 已知向量，，，若，则实数的值（ ） A. B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面向量的坐标运算和两向量平行的充要条件列式计算求解 【详解】因为，， 又，所以，解得. 5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 【答案】B 【解析】 【分析】确定六旋翼无人机、四旋翼无人机所排的位置，结合分步乘法计数原理可得结果. 【详解】由题意可知，两种无人机必须交错排列， 即架不同型号的六旋翼无人机分别排在第、、号位； 架不同型号的四旋翼无人机排在第、、、号位， 所以不同的飞行队形种数为种. 6. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 【答案】D 【解析】 【详解】如图1，在圆台的轴截面中作于点. 设，由题意得，， 由勾股定理可得，解得，所以. 侧面展开图如图2，的长为，的长为， 所以，又，所以， 所以，所以. 7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，利用组合计数问题求出每轮游戏甲或乙胜的概率，再利用概率的加法公式、乘法公式求解. 【详解】每轮游戏甲胜或乙胜的概率均为，平局的概率为， 第3轮抛掷后游戏结束，若第3轮甲胜，则第2轮甲胜，第1轮乙胜或平局，概率为， 同理第3轮抛掷后游戏结束且第3轮乙胜的概率也为，所以所求概率为． 8. 若、，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，，，其中，利用导数分析这两个函数的单调性，可得出，再结合函数的单调性判断可得出、的大小关系，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，结合零点存在定理得出的范围，再利用函数的单调性并结合零点存在定理可得出的范围，据此可判断D选项. 【详解】因为，则，， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数，即当时，，即， 因为，则，所以， 构造函数，其中，则， 故函数在上为增函数， 由题意可知，，故， 因为，，故， 构造函数，其中，则， 所以函数在上为增函数，且， 因为，则， 所以， 又因为，所以，故，D错. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（ ） 参考数据：若，则，0.9973． A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 【答案】AC 【解析】 【详解】由题意知，， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2，方差为0.09. 所以A正确，B错误. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为， 所以C正确. 因为， 所以该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为，所以D错误. 10. 已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】分焦点在轴上和轴上两种情况，把点代入得到关系求出离心率范围即可． 【详解】解：若焦点在轴上，设双曲线方程为， 代入，整理可得， 所以， 从而离心率； 若焦点在轴上，设双曲线方程为， 代入，整理可得， 所以， 从而离心率． 综上可知． 11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先由已知等式结合平方差公式和余弦定理求得角；再利用正弦定理结合锐角三角形条件求出边的取值范围，进而分析面积、周长的范围；最后利用重心性质与余弦定理，通过二次函数求最值得到的最小值，逐项判断选项. 【详解】对于A，由，可得，即， 由余弦定理可得， 又为锐角三角形，所以，A正确； 对于B，由正弦定理，可得 ， 因为为锐角三角形，所以，解得， 则，所以，故， 因为，所以的取值范围为，B错误； 对于C，由余弦定理可得， 因为，所以，即， 所以周长，C正确； 对于D，设的中点为，因为是的重心，所以， 在中，由余弦定理可得， 故当时，取得最小值，此时的最小值为，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，，则______． 【答案】0 【解析】 【分析】 首先根据题意得到，再解方程组即可. 【详解】由题知：，解得. . 故答案为： 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据抛物线定义，由在抛物线上可得等于点到准线的距离．再结合，通过直角三角形求出角平分线与轴负方向所成的角，进而得到直线的方程，最后与抛物线方程联立求出点，即可求得． 【详解】由，得焦点，准线． 设，其中．因为三点共线，且在线段上，又，所以. 过点作，垂足为． 因为点在抛物线上，所以由抛物线定义得. 在直角三角形中，. 所以. 又因为，且三点共线，所以. 因为是的平分线，所以. 故直线与轴正方向所成的角为，其斜率为． 又直线过点，所以直线的方程为. 联立直线与抛物线的方程，得. 整理得. 解得或. 因为点位于第一象限，且在点的右上方，所以，从而. 于是. 14. 如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求与； （2）若，求的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列出关于首项、公差的方程组，再利用等差数列通项公式及前项和公式求解. （2）由（1）的结论，利用裂项相消法求和即得. 【小问1详解】 设的公差为，由，得，解得， 所以， . 【小问2详解】 由（1）得，， 则， 所以 . 16. 已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． （1）求的方程； （2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求出双曲线的焦点坐标，结合椭圆离心率求出即可. （2）求出双曲线渐近线的斜率，进而求出直线的方程并与椭圆方程联立求出三角形面积. 【小问1详解】 双曲线的焦点坐标为，则椭圆的焦点为， 即有，由的离心率为，得，解得， 所以的方程为. 【小问2详解】 依题意，双曲线的渐近线的斜率为，设， 由对称性，不妨设直线的方程为，即， 由消去，得 ，则，， 因此， 所以的面积. 17. 如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. （1）若为棱的中点，证明：平面； （2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）找PA的中点F，证明即可得出证明. （2）建立空间直角坐标系，求出平面EBC和平面ABCD的法向量，然后根据向量法求两平面夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 如图，取的中点，连接. 由为的中点，为的中点，，且， 可得，. 所以四边形为平行四边形，故. 又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 取的中点，连接. 由为等边三角形，得， 又平面平面，平面平面，平面， 所以平面. 由，，得四边形是平行四边形 于是，又，则，直线两两互相垂直. 以为坐标原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 则， 所以. 设平面的法向量为， 则，即， 令，可得. 易知平面的一个法向量为. 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为． （1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率． （2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和． （i）求的分布列； （ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围． 【答案】（1） （2）（i） 0 1 2 （ii）．【解析】 【分析】（1）根据给定条件，利用全概率公式及条件概率公式求解. （2）（i）求出的可能值及各个值对应的概率列出分布列；（ii）由（i）求出的期望、方差即可. 【小问1详解】 记事件“第一个量子比特测量结果为0”，事件“第二个量子比特测量结果为0”， 事件“两个量子比特测量结果相同”，则， 则，， 所以在两个量子比特测量结果相同的条件下，第一个量子比特测量结果为0的概率为 ． 【小问2详解】 （i）的所有可能取值为，，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 （ii）由（i）得， ， 所以 ， 所以的取值范围是. 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若方程有实根，求的取值范围； （3）若函数有个极值点、，证明： ． 【答案】（1）当时，的增区间为，无减区间；当时，的减区间为，增区间为 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）求出函数的定义域，求导，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （2）由结合参变量分离可得，令，利用导数求出函数的值域，即可得出实数的取值范围； （3）利用极值点的定义可得出，，结合可得出，求得，，化简得出，构造函数，其中，利用导数分析该函数的单调性，即可证得结论成立. 【小问1详解】 由题知的定义域为，， 若，则，此时函数的增区间为，无减区间； 若，由可得，由可得. 此时函数的减区间为，增区间为. 综上所述，当时，函数的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. 【小问2详解】 由得，参变量分离可得， 令，则， 当时，，，则， 当时，，，则， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值为， 又当时，，所以的取值范围是． 【小问3详解】 由题可知， 则， 由题知、是方程的两根，即方程的两个根， 所以，由韦达定理可得，， 所以，，， 所以 ， 令，其中， 则， 令，其中， 则对任意的恒成立， 故函数在上为增函数，则， 所以在上单调递减，则， 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学 注意事项： 1．答题前，务必将自己的个人信息填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. B. C. D. 2. 若集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 函数的图象在处的切线在轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 已知向量，，，若，则实数的值（ ） A. B. C. D. 2 5. 为助力城市低空经济发展，某科技公司计划开展无人机编队飞行表演．现有架不同型号的四旋翼无人机和架不同型号的六旋翼无人机，将它们排成一列进行飞行展示．要求任意两架相邻无人机的旋翼数不同，则不同的飞行队形共有（ ） A. 种 B. 种 C. 种 D. 种 6. 如图，圆台的高为，是母线，，.现在将圆台的侧面沿剪开，并展开成平面图形，点在侧面展开图中对应的点为，，则线段的长度为（ ） A. 8 B. C. 16 D. 7. 甲、乙两人进行抛骰子游戏，每轮游戏甲、乙各抛掷骰子1次，向上点数较大的一方获胜（向上点数相等为平局），然后继续下一轮游戏，当一方连胜两轮时游戏结束，则第3轮抛掷后游戏结束的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 若、，且，则下列各式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 大量临床数据显示，某年龄段人群空腹血糖检测值（单位：）近似服从正态分布，则（ ） 参考数据：若，则，0.9973． A. 该年龄段人群空腹血糖检测值的均值为5.2 B. 该年龄段人群空腹血糖检测值的方差为0.3 C. 该年龄段人群空腹血糖检测值在的比例约为 D. 该年龄段人群空腹血糖检测值高于6.1的比例约为 10. 已知双曲线关于轴、轴均对称，若过点，则的离心率可能为（ ） A. B. C. D. 11. 在锐角中，内角所对的边分别是，记的面积为，周长为，重心为，若，，则（ ） A. B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在等差数列中，若，，则______． 13. 已知抛物线的焦点为，准线为，点在上且位于第一象限，为坐标原点，设的平分线交于点，交于点，若，则________. 14. 如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知等差数列的前项和为，，． （1）求与； （2）若，求的前项和． 16. 已知椭圆的离心率为，且的焦点与双曲线的焦点重合． （1）求的方程； （2）若过点且与的一条渐近线平行的直线与交于，两点，为坐标原点，求的面积． 17. 如图，在四棱锥中，侧面底面是边长为2的等边三角形，四边形为直角梯形，且，是棱上一动点. （1）若为棱的中点，证明：平面； （2）若为棱上靠近点的三等分点，求平面与平面夹角的余弦值. 18. 在量子机器学习中，数据常被编码为量子态的叠加．考虑一个由两个纠缠量子比特构成的系统，对其进行投影测量，每个量子比特的测量结果记为0或1．已知第一个量子比特测量结果为0的概率为，测量结果为1的概率为．若第一个量子比特测量结果为0，则第二个量子比特测量结果为0的概率为；若第一个量子比特测量结果为1，则第二个量子比特测量结果为0的概率为． （1）在两个量子比特测量结果相同的条件下，求第一个量子比特测量结果为0的概率． （2）设，随机变量表示两个量子比特的测量结果之和． （i）求的分布列； （ii）在量子纠错编码中，需控制测量结果的波动，若可通过调整量子纠缠强度改变，，且， ，， ，求的取值范围． 19. 已知函数，． （1）讨论的单调性； （2）若方程有实根，求的取值范围； （3）若函数有个极值点、，证明： ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $