高一数学下期末模拟试题

**基本信息** 高一数学下期末模拟卷涵盖统计、复数、向量、立体几何等模块，以真实情境（如电影票房数据）和分层设问（如立体几何多问证明）考查数学眼光、思维与语言，适配期末综合测评需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|分层抽样、复数象限、向量共线|基础概念辨析，如第4题结合斜二测画法考查空间观念| |多选题|3题|频率分布直方图、向量运算、概率事件|情境时代性，如第9题以电影票房数据考查数据分析| |填空题|3题|体积表面积、投影向量、方差计算|公式应用与变形，如第14题考查数据变换的方差性质| |解答题|6题|复数方程、概率统计、立体几何证明|综合能力递进，如第18题三问设计，从体积计算到面面垂直、线面平行证明，体现逻辑推理与空间想象|

高一数学下期末模拟测试试题 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽取一个容量为的样本，应在这三校分别抽取学生（    ） A．人，人，人 B．人，人，人 C．人，人，人 D．人，人，人 2．某人在一次考试中每门课得分如下：则数据的第百分位数为（  ） A．87.5 B．85 C．90 D．100 3．已知为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 4．如图，四边形的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则四边形的面积是（    ） A． B． C． D． 5．已知事件，相互独立，且，，则（     ） A．0.76 B．0.86 C．0.9 D．0.94 6．已知是不共线的向量，且，则（ ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 7．若是平面内的一个基底，则下列四组向量中能作为平面向量的基底的是（ ） A． B． C． D． 8．如图，四边形四点共圆，其中为直径，，则的面积为（    ） A． B． C．3 D． 二、多选题 9．据网络平台最新数据，截止到2025年4月20日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149．81亿元，成为首部进入全球票房榜前六．登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队从观看该电影的所有观众中随机抽取10000人为样本，统计他们的年龄，并绘制如图所示的频率分布直方图，则（   ） A． B．观众年龄的众数估计为35 C．观众年龄的平均数估计为30.2 D．观众年龄的第70百分位数估计为38 10．已知向量，，则（    ） A． B．与夹角为 C． D．与共线的一个单位向量为 11．从某班级中随机抽取2名同学，调查他们的出生月份．设事件“2人恰好同一月份出生”，事件“2人出生月份互不相同”，事件“恰有1人在上半年出生”．则下列说法正确的是（     ） A．事件与是对立事件 B．事件与相互独立 C． D． 三、填空题 12．将一个底面半径为1，高为的圆柱形铁块熔铸成一个实心铁球，则该实心铁球的表面积为_________． 13．已知，，则在方向上的投影向量的坐标为__________． 14．有一组样本数据：6，，，…，，已知它的平均数为6，方差为10，则新数据，，…，的方差为__________. 四、解答题 15．已知复数，（，是虚数单位）． (1)若复数在复平面上的对应点落在第一象限，求实数的取值范围； (2)若虚数是实系数一元二次方程的根，求实数的值． 16．某校全体学生参加体能测试，现用简单随机抽样的方法从中抽取100人的测试分数作为样本，将样本数据分为5组：，，，，，并绘制出频率分布直方图，如图所示．    (1)估计该校学生的体能测试分数的第25百分位数（精确到0.1）； (2)采用比例分配的分层随机抽样方法，在分数段为和的学生中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行访谈，求这2人分数均小于60的概率． 17．已知平面向量，，． (1)若与共线，求； (2)若与的夹角为60°，求k． 18．如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，，，分别为，的中点. (1)求三棱锥的体积. (2)求证：平面平面. (3)求证：平面. 19．已知的内角，，所对的边分别为，，，. (1)求； (2)设，，求. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026年第17周高一数学周练》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C C D A C C B BD CD 题号 11 答案 ACD 1．A 【详解】因为，所以甲校应抽取， 乙校应抽取，丙校应抽取. 2．C 【分析】利用百分位数的概念来求解即可. 【详解】把以上六个数据按从小到大排列：， 由，所以取第5个数作为第75百分位数，即90， 故选：C. 3．C 【详解】复数， 在复平面内对应的点为，位于第三象限. 4．D 【分析】利用几何关系得，利用斜二测画法的规则来还原平面图，根据梯形面积即可求解. 【详解】如图①，过作于E， 由斜二测画法知，，可得是等腰直角三角形， 又是等腰梯形，则，所以， 还原平面图，如下图：为直角梯形， 则， 所以四边形ABCD的面积为． 故选：D 5．A 【详解】，， 因为事件，相互独立，所以事件，相互独立， 所以. 6．C 【详解】假设存在实数，使得，则三点共线， ，而不共线，故，无解，所以假设不成立，故A错误； 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故B错误； C：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，解得，所以假设成立，故C正确； D：， 假设存在实数，使得，则三点共线； ，同理得，无解，所以假设不成立，故D错误． 7．C 【详解】对于选项A，，两向量共线，不符合基底的定义，故A错误； 对于选项B，，两向量共线，不符合基底的定义，故B错误； 对于选项C，不存在实数，使得，故C正确； 对于选项D，，两向量共线，不符合基底的定义，故D错误. 8．B 【分析】应用余弦定理求得，由正弦定理求，最后由共圆、三角形面积公式求面积. 【详解】由，即， 所以题图圆的直径，故，又， 所以，， 由四边形四点共圆，故， 所以. 故选：B 9．BD 【分析】根据频率之和为1求判断A；根据众数定义判断B，根据频率直方图求平均值判断C，根据百分位数的求法判断D. 【详解】由题意知，解得，故A错误； 观众年龄的众数估计是，故B正确； 估计这10000名观众年龄的平均数为，故C错误； 前3组的频率之和为， 前4组的频率之和为， 故第70百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第70百分位数为38，故D正确． 故选：BD 10．CD 【分析】根据数量积的坐标运算可判断A；由即可判断B；根据模长公式计算即可判断C；由与共线的一个单位向量为即可判断D． 【详解】由题意得，， 则，故A错误； 可得，故B错误； 而，故C正确； 与共线的一个单位向量为，故D正确． 11．ACD 【分析】根据对立事件的定义判断A，根据独立事件的定义判断B，利用古典概型概率公式求判断CD. 【详解】对于选项A，根据题目可知，两人月份要么相同，要么不同，且， 因此和对立，A正确， 对于选项B，，， ，因此不相互独立，B错误. 对于选项C，，C正确. 对于选项D，，D正确. 12． 【详解】圆柱形铁块的体积为， 设实心铁球的半径为，则，解得， 故该实心铁球的表面积为. 13． 【详解】因为，，则，， 所以在方向上的投影向量为. 14． 【分析】代入平均数和方差公式，即可求解. 【详解】根据题意新数据的平均数为， 设其方差为， 因为， 所以， 所以. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）由复数的加法求，根据其所在的象限可得，即可求的范围； （2）由是实系数一元二次方程的根，则也是它的根，进而可知，即可求. 【详解】（1）． ∵在复平面内对应的点落在第一象限， ∴，解得：． ∴实数的取值范围是； （2）∵虚数是实系数一元二次方程的根，． ∴也是实系数一元二次方程的根， ∴，可得，. ∴的值为13. 16．(1)62.9 (2) 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质求出，结合百分位数的定义求解即可. （2）根据分层随机抽样方法及古典概型的概率计算公式求解即可. 【详解】（1）由题意得：，解得， 设第25百分位数为，则，解得， 用样本估计总体，所以估计总体的第25百分位数为62.9． （2）按照分层随机抽样，分数位于内有3人，记为，，， 分数位于内有2人，记为，， 则样本空间，共10个样本点， 记两人分数均小于60为事件，则，有3个样本点， 所以． 17．(1) (2) 【分析】（1）由向量加法的坐标运算和向量共线的坐标运算求解即可； （2）利用向量夹角运算的坐标公式求解即可. 【详解】（1）因为向量，，所以， 又，且与共线，所以，解得， 所以，所以． （2）若与的夹角为60°，则， 即，， 由得． 18．(1). (2)∵底面为矩形，∴. 平面平面，平面平面，∴平面. ∵平面， . ，，平面. 平面，平面平面. (3)取的中点，连接，，如图所示， ，分别为，的中点，，. ∵底面为矩形，为的中点，，. ，，得四边形为平行四边形. . 平面，平面， 平面. 【详解】（1），为的中点，，，，. 平面平面，平面平面， 平面. 为的中点，点到底面的距离. 底面为矩形，，，. . 三棱锥的体积为. （2）略 （3）略 19．(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理及诱导公式求解即可. （2）根据余弦定理及三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）由正弦定理得：， 而， 所以，又，，所以， 又，所以. （2）由余弦定理， 又，所以，即，解得. 所以. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $