福建省福州第四中学2025-2026学年高三上学期数学周测（2）

逐梦级高三（上)数学周测(2) 一.选择题每小题5分 1.已知集合P={x∈Z1-2<x<4,2={xx2+2x-3≤0}，则P∩2=（) A.(-2,1] B.[3,4) C.{-1,1 D.{-1,0,1} 2.已知sin(a-巧=3 6 则sin(2a+乃)=( 5 6 A.8 25 B.-18 25 C.Z D.- 25 3.设a=()8,b=log30.2,c=log30.4,则a,b,c的大小关系为() 4 A.a>b>c B.b>azc C.c>a>b D.b>cza 4.在A4BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c= 二a,2sinB=3sinC,则cosA的 4 值为() A.-1 4 c. D 5.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是() A.120 B.210 C.211 D.216 6.如图，OO的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O,此时直线 y=-x+m与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为() y A c.g D.1 二.多选题每小题5分，漏选扣3分 7.函数)-4sin(@x+4>0a>0水孕的部分图象如图所示，则下列结论正确的是() y 个N 123 A.0=2 B.y=f)的图象关于直线x=-5π对称 12 C.将y=f)的图象向右平移艺个单位长度后，得到的图象关于原点对称 D.若y=f2x2>0在0，网]上有且仅有一个零点，则元〔 8.已知函数f)的定义域为R,对任意实数，y满是：f+)=/+f0)+片且=0，当x>0 时，f(x)>f(0),则() A0月 B0= C.f(x)为R上的减函数 D.寸)+号为奇函数 三.填空题每小题5分 9.己知点F为抛物线y=2x(p>0)的焦点，第一象限的点A(4,m)在该抛物线上，且|AF=5,则 m=一 l0.已知函数f(x)=2+x,g(x=log2x+x,h(x)=x3+x的零点分别a,b,c,则a,b,c的大小顺序为_ 山.已知双面线号芳-1a>060的一条新线被圆-十)广=4所截符的孩长为2，则双由线的 离心率为一 四.解答题每小题15分 12.已知S为等差数列{a}的前n项和，b.= 20,为奇数，b4=32,S=20 2,n为偶数 (1)求{a}的通项公式： （2)记Tn为数列{b}的前n项和，若2Im-Sm>0,求n的最小值. 3双曲线C:-片1a>0.b>0)的离心率为3，点ZN2,2)在C上 (1)求C的方程： (2)设圆O:x2+y2=2上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点. 14.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△EAB为等边三角形，∠ABC=60°， BC-CE-2AB.EF-B+ADQ)FBC 4 (1)求证：EB⊥AC; (2)若FD=FC, ①判断直线EF与直线BC的位置关系，并说明理由； ②求平面ABE与平面FCD的夹角. A ->D C 参考答案与试题解析 一.选择题 题号 y 4 5 6 答案 D D D B 二.多选题 题号 9 10 答案 ABD ABD 一.选择题 1.已知集合P={xeZ1-2<x<4),2={xx+2x-3<0},则P∩0=() A.(←-2,1] B.[-3,49 C.{-1,1} D.{-1,0,1} 【分析】先求出集合P,Q,再结合交集的定义，即可求解。 【解答】解：集合P={x∈Z|-2<x<4}={-1,0,1,2,3},Q={x|x2+2x-3≤0}={x-3≤}， 则∩2={-1,0,1} 故选：D 【点评】本题主要考查交集及其运算，属于基础题， 2.已知sma-寻=子则a+爱=( ) A袋 B.8 25 c. 25 D. 【分析】根据诱导公式，结合余弦二倍角公式进行求解即可. 【解答】解：sim(2a+石=sin5+2a-引=cos[2(a-1=1-2sr(a-=3 6 2 6 6 6 25 故选：C. 【点评】本题考查两角和的正弦及二倍角公式的应用，是基础题 3.设a=(白，b=1og30.2,c=lbg304,则a,b,c的大小关系为() 41 A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a 【分析】利用对数函数、指数函数的单调性求解. 【解答】解：0<a=<宁5-号 b=1oe0.2>log:0.3=1>c=10g04>ogo3V03=} ..b>c>a. 故选：D. 【点评】本题考查对数函数、指数函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，是基础题 △4BC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知b-c=a,2sinB=3sinC,则cos 值为( ) A.- 4 B. 4 c. 3 D.- 3 3 【分析】由条件利用正弦定理求得a=2c,b=二c,再由余弦定理可得cosA= b+c2-2的值. 2 2bc 【解答】解：在△4BC中，b-c=a,2sinB=3sinC, 3 利用正弦定理可得2b=3c,求得a=2c,b=一c· 2 再由余弦定理可得o4-公+c2-口_C0+e4 2bc 2x o 、1 -×c 2 故选：A. 【点评】本题考查正弦定理和余弦定理的运用，将α，b统一由c表示是解题的关键. 5.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是() A.120 B.210 C.211 D.216 【分析】共有三种情况，3人各站一个台阶，或2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，或3人站一个台 阶，然后根据分类计数原理即可求解， 【解答】解：由题意分三种情况： 第一种情况是3人各站一个台阶，有A种： 第二种情况是2人站一个台阶，另1人站另一个台阶，有C?·A种， 第三种情况是3人站一个台阶，有C·种， 所以根据分类计数原理知共有不同的站法种数是A￡+C·A+C·A=216种. 故选：D 【点评】本题考查排列组合相关知识，属于中档题 6.如图，OO的半径等于2，弦BC平行于x轴，将劣弧BC沿弦BC对称，恰好经过原点O,此时直线 y=-x+m与这两段弧有4个交点，则m的可能取值为() y个 B A. 3 c. D.1 【分析】由题意，分别求出直线过点C以及与劣弧BC相切时m的值，再结合图形，即可得解. 【解答】解：因为圆O的劣弧BC关于弦BC对称的图形恰好经过坐标原点O, 所以B(-V3,-1),C(3,-1), 如图所示，当直线过C(W3,-1)时，将C(W3,-1)代入y=-x+m中，故-1=-√3+，解得m=-1+V3, 由对称性可知，圆弧BOC对应的圆的圆心在y轴上，设为T(O,), 则|oTTC1,即V02+P=V0-√3)2+t+1)2, 解得t=-2,且劣弧BC对应的圆的半径为2， 故劣弧BC对应的圆方程为x2+(y+2)2=4, 当直线1与劣弧BC相切时，由-2-m=2,解得m=25-2m=-22-2舍). √2 结合图形可知，当-1+√3<<22-2时，直线y=-x+m与两段弧有4个交点，可排除B、D, 由子-1+5,9>25-2,1>25-2，可排除4CD 由-1+6<号25-2，故m的取值可能是号 故选：B. 2 二.多选题（共2小题） (多选)7.函数fx)=Asin(ar+p)(A>0,w>0,pk)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是(） y个 2 Oππ 123 -2 A.0=2 B.y=f)的图象关于直线x=-5匹对称 12 C.将y=f(w)的图象向右平移亚个单位长度后，得到的图象关于原点对称 2 D.若y=20在D,对上有且议有-个零点，则e名 【分析】由最值求A,由周期求0，再由受=2，可求p,进而可求函数解析式，然后结合正弦函数的 性质检验各选项即可判断， 【解答】解：由题意可得，4=2苔吾牙故7=云，。2，=2m2+的，4正确： 又因为r原=2血（后0=2.故石+0-2x+号ke2, 所以p-=号+2kxke2,k号所以f00=2sm(2x+孕 对于B,当x=-5π时，2x+=- 12 35,y=)的图象关于直线x=对称，B正确： 12 对于C,将y=f(x)的图象向右平移严个单位长度后， y=2sin(2x-孕+孕=2si血2x-孕得到的图象不关于原点对称，c错误： 对于D,-22+专在0，月上有且仅有-个要点，xe®2x+号e写2+孕， 3 3 1 5 元≤21r+元<2π，·3≤1<，D正确 3 6 故选：ABD 【点评】本题主要考查由y=Asi(ox+p)的部分图象确定其解析式，考查运算求解能力，属于中档题. （多选)8已知函数)的定义城为R,对任意实数x,y清足：+)=了+0)+分且=0， 当x>0时，f(x)>f(0),则() A0=月 B0- C.f(x)为R上的减函数 Df+为奇函数 【分析】利用赋值法求出f(O)的值，然后结合已知求出f(-)的值，结合定义可判断函数的单调性，奇偶 性. 【解答】解，令x=y=0,则@=子故4正确 令=安安则0=号片因为=0，故1 所以)-2水片含故正确： 结合4,8可如，0=片心宁-1c错送 令=，则0+片++)+号0，放+片)+宁 2 故fx)+为奇函数，故D正确。 故选：ABD. 【点评】本题考查抽象函数的性质以及函数的奇偶性、单调性的定义，属于中档题. 三.填空题（共1小题） 9.已知点F为抛物线y2=2P(p>0)的焦点，第一象限的点A(4,m在该抛物线上，且|AF5,则m= 4- 【分析】求出抛物线的焦点坐标和准线方程，利用抛物线的定义列式求解p的值，即可得到答案. 【解答】解：抛物线y2=2(p>0)的焦点为F化，O),准线为x=-, 2 由抛物线的定义可得，1AF上4+=5，解得p=2, 2 故抛物线的方程为y2=4x. 故m2=16,可得m=4(-4舍). 故答案为：4. 【点评】本题考查了抛物线标准方程的求解，考查计算能力，属于基础题， 10.已知函数f(x)=2+x,g(x)=log2x+x,h(x)=x+x的零点分别a,b,c,则a,b,c的大小顺序 为·（按从小到大写) 【分析】利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题，利用数形结合进行求解即可. 【解答】解：由f(w)=2+x=0得2=-x,g(x)=log2x+x=0得1og2x=-x,h()=x+x=0得x3=-x, 分别作出函数y=2,y=log2x,y=X和y=-x的图象如图， 由图象知a<c<b, 故选：B. 【点评】本题主要考查函数零点的求解和判断，利用函数与方程之间的关系，转化为两个函数的交点问题， 利用数形结合是解决本题的关键。 山.已知双自俊二芳-a>Q6~0的一条新近线被圆《-2-广=1所盆剂的法长为2，则双由线的 离心率为 【分析】算出圆心到双曲线的一条渐近线的距离，设出渐近线方程y=x+b,再结合点到直线的距离公式 列方程解出k,进一步可求双曲线的离心率， 【解答】解：双曲线渐近线被圆所截得的弦长为2，圆的半径为2，设圆心到渐近线的距离为d, 由垂径定理可得d=√4-1=√， 不纺设渐近线方程为：-y=0(其中处-日之： b2 又圆(x-2)2+y2=4的圆心坐标为圆(2,0)， 由点到直线的距离公式有d=2 Nk2+1 则21=5，解得K=3,又2= Vk2+1 b2 双线的离率为e-合小年=1：==2 故选：B· 四.解答题 12.已知S为等差数列{a}的前n项和，b,= a,-301,n为奇数，b,=32,$=20. 2,n为偶数 (1)求{a}的通项公式： (2)记T为数列{b}的前n项和，若2Tm-Sm>0,求n的最小值. 【分析】(1)由已知结合等差数列的通项公式及求和公式即可求解； (2)先求出Tm,S,代入己知不等式，结合数列的单调性即可求解. 【解答】解：(1)设数列{a}的公差为d, 依题意，b,=24=32,即44=5=4+3d, 因为5=20=54+a1=54, 2 即4=4+2d=4, 解得d=1,4=2, 所以{a}的通项公式是a=2+m-1)=n+1: (2)由(1)知4=n+1, 所以b= 「n-300,n为奇数 2,n为偶数 则-2ma,+a）-22+2n+D=W2n+3》. 2 2 T3m=(6+b+…+bm-1)+(亿+b4++bn), -M-299+21-30,20=42-0n-300+2-8 2 1-4 3 2五.-.-4,16-6030>0恒成立， 3 令c.=4-16 3 603n, 由Cn-Cn-1=41-603>0得n>4, 所以C1>C2>C3<C4<C5< 所以n的最小值为5. 【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式与求和公式的应用，还考查了数列单调性的应用，属于中档 题. B,双曲线C名a0b>0)的离心为VB,点7W2,V在C卫 (1)求C的方程： (2)设圆O:x2+y2=2上任意一点P处的切线交C于M、N两点，证明：以MN为直径的圆过定点. 【分析】(1)由已知点的坐标及双曲线方程可求a,b,进而可求双曲线方程： (2)结合直线斜率的存在情况分类讨论，当直线的斜率存在时，联立直线与双曲线方程，结合方程的根 与系数关系及圆的对称性，向量数量积极的坐标表示即可证明，当直线的斜率不存在时，可直接求证 (2_2=1 2b2 【解答】解：(1)依题意： =3 1 a2+b2=c2 解得：2=1，b2=2, 厅以双曲线方程为2-戈=1 证明：(2)设M(,),N(x2,y2), ①当切线斜率存在时，设直线方程为y=+m, 因为直线与圆相切，所以=√2，整理得m=2+2k2, V1+k2 [y=+m 联立女-y=1可得亿-k)P-2x-2+m)=0, 2 2-’55=0-2 则+5=2m 2-R,△=4k+40-k0m+2)=8+2-k. 由对称性知，若以N为直径的圆过定点，则定点必为原点， 则OM.O=xx2+yy2,=x5+(+m(+m=1+k2)x63+mk(+)+m 2+k,2咖+m-m-2-2水 =1+2)r-2】 2-k2 2-k2 又m2=2+2k2,所以OM.ON=0 所以OM LON,故以MN为直径的圆过原点， ②当直线斜率不存在时，直线方程x=±√2，此时圆方程为(x±√2)+y2=2,恒过原点， 综上所述，以N为直径的圆过原点. 【点评】本题主要考查了双曲线的性质在方程求解中的应用，还考查了直线与曲线位置关系的应用，属于 中档题， 14.如图，在四棱锥E-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，△EAB为等边三角形，∠ABC=60°， BC=CB=2AB,丽=MB+uADu>0,Br -BC. (1)求证：EB⊥AC; (2)若FD=FC, ①判断直线EF与直线BC的位置关系，并说明理由； ②求平面ABE与平面FCD的夹角. E A -->D B C 【分析】(1)先证AC⊥平面AEB,再利用线面垂直的性质定理即可得证： (2)①建立空间直角坐标系，先证出EF和平面ABCD共面，根据E在平面ABCD外，得出EF/平面 ABCD,进而EF与BC不相交，即可得证： ②分别求出平面℉CD和平面AEB法向量，利用向量的夹角公式即可求解. 【解答】解：(1)证明：不妨设AB=2,则BC=CE=4, 因为∠ABC=60°，BC=2AB, 所以∠BCA=30°，∠BAC=90°， 即AB⊥AC, 所以AC=2√5， 又因为AC2+AE2=12+4=CE2, 所以AC⊥AE,AB∩AE=A, 所以AC⊥平面AEB,BEC平面AEB. 所以EB⊥AC; (2)①EF与BC异面，理由如下： 取AB的中点为O,连结EO,△EAB为等边三角形， 所以EO⊥BA,EO=V3, 由(1)知AC⊥平面AEB, 所以EO⊥AC,AB⊥AC, AB∩AC=A, 所以EO⊥平面ABC, 以A为原点，AB,AC所在直线分别为x轴，y轴，以过A平行于EO的直线为z轴，建立空间直角坐标 系， 则A(0,0,0),B(2,0,0),D(-2,2√3,0)，C(0,2N3,0),E1,0,V3), 设Fx,y,V3),则EF=(x-1,y,0), AB=(2,0,0),AD=(-2,2V5,0),DC=(2,0,0),CF=(x,y-25,V5), 因为EF=√7，所以(x-1)2+y2=7, 因为FD=FC,所以Vx2+y-23)+3=V+2}+0y-23+3, 所以 =士g'又u>0,所以1原，A, x=-1 所以EF=(-2,V3,0),BC=(←2,2W3,0), 所以EF≠kBC,EF与BC不平行， 又因为EF=AB+AD, 则EF和平面ABCD共面， 则EF在平面ABCD内，或EF/I平面ABCD, 又E在平面ABCD外，所以EF/I平面ABCD, 所以EF与BC不相交， 即EF与BC异面： ②由(1)知AC=(0,2V3,0)为平面AEB的法向量， 设平面FCD的法向量为=(，，3)， DF=1,-√3，V3),DC=(2,0,0), 则mD丽-0，即5%+g=0, 1m.Dc=0’2=0 取片=1，则名=1， 所以m=(0,1,1), 设平面ABE与平面FCD夹角为O, 则c0 s0-cos(4C,mH， 2√5，√2 2√5V2-21 所以8=π 4 所以平面ABE与平面FCD的夹角为 4 R D B 【点评】本题考查空间线线位置关系以及二面角的求法，属于中档题.