福建省福州第四中学2025-2026学年高三第一学期第二次月考数学试卷

福州四中2025-2026学年第一学期第二次月考试卷 高三数学 一、选择题：（每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。） 1.己知集合A={xlog2x<1},B={x|x<1,则A∩B=() A.(-0,1) B.(0,1) C.(-0,2) D.(0,2) 2.已知复数z满足1-)1+iP,其中i为虚数单位，则z的虚部为() A.-1 B.-i C.1 D.i 3.己知等比数列{a}中，4=2,4a4=16,则4=() A.4 B.±4 C.8 D.±8 4.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），满足(PB-PA-(PB+PA-2PC=0,则△ABC 必定是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 5.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其 中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有() A.36种 B.72种 C.144种 D.288种 6.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f"(x)>f(x),若f(2)=0,则不等式 xf(x)>0的解集为() A.{x|-2<x<0或0<x<2} B.{x|x<-2或x>2} C.{x|-2<x<0或x>2} D.{x|x<-2或0<x<2} 7.己知a,B∈(0，)，a≠B,若e-e°=cosa-2cosB,则下列结论一定成立的是() A.sina<sin B B.cosa<cos B C.sina sinB D.cosa>cosB 高三数学第1页共4页 8.在△ABC中，sim(B-④=-，d2-b=2c2,则sinC=() 4 A B.V3 c. D.1 2 二、选择题：（每题6分，共18分，每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对 得6分，选对但不全得部分分，有选错得0分) 9.设α，B,y表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得/1B的是() A.//a,//B B.⊥a,m⊥B C.ylla,y//B D.y⊥a,y⊥B 10.设等差数列{a}的前n项和为S,若4>0，S2=S,则() A.d<0 B.4=0 C.S,n最大时，n=15 D.S,>0的整数n的最大值为14 1.设函数f)=mhr-x,8)=-了3+x+a,则下列结论正确的是() A.当m=1时，f(x)在点1，f(1))处的切线方程为y=-1 B.当-1<a<1时，8(x)有三个零点 C.若F)=f)-g(x)有两个极值点，则0<m< 8 D.若f(x)≥e-x在(0，+o)上有解，则正实数m的取值范围为[e,+o) 三、填空题：（每题5分，共15分) 12.若双曲线C焦点在x轴上，渐近线为y=士5 ,则C离心率为一 2 13.已知tan(a+=，则cos2a=— 42 14。某个封闭圆锥容器的箱裁面是边长为4的等边三角形，一个表面积为号：的小球在该容器内 自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为 四、解答题：（共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 高三数学第2页共4页 15.(1B3分)已知函数f)=5n(:-)+m写+)-1 (1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=1,a=7,c=8,求△ABC 的面积. 16.(15分)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=12,E是AB的中点，D在AC上， DE⊥AB,以DE为折痕把△ADE折起，使点A到达点A的位置，且二面角A一DE-B的大小为 60°. (1)求证：AC⊥BE: A (2)求直线AE与平面ACD所成角的正弦值. 17.(15分)已知抛物线C:y=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C相交于A,B 两点，且AB=25,线段AB中点的横坐标为 7 4 8 (1)求抛物线C的方程： (2)若直线1的倾斜角为锐角，O为坐标原点，求△AOB外接圆的一般方程. 高三数学 第3页 共4页 18.(17分)已知数列{a}的前n项和为S,且Sn=2a.-n-2(n∈N). (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列bn=g的前n项和T; (3)若正整数m,r,k成等差数列，且m<r<k，试判断4,4，a能否构成等比数列，并 说明理由. 19.(17分)已知函数f(x)=ax+x-1,其中a∈R. (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)≥0恒成立. (i)求实数a的值； ()判断方程f(x)=cosx的根的个数，并说明理由， 高三数学 第4页 共4页 福州四中2025-2026学年第一学期第二次月考试卷 高三数学参考答案 一、选择题： 1.己知集合A={xlog2x<1,B={xx<1,则A∩B=() A.(-0,1) B.(0,1) C.(-0,2) D.(0,2) 【解答】解：因为集合A={xlog2x<1}={x0<x<2},所以A∩B=(0,1). 故选：B. 2.已知复数z满足=1-)1+i,其中i为虚数单位，则z的虚部为() A.-1 B.-i C.1 D.i 【解答】解：因为z0-)=1+i=(N+1P)2=2, 所以2=2、 20+)=1+i.所以z的虚部为1. 1-i(1-i)1+) 故选：C 3.己知等比数列{a}中，4=2,4,44=16，则4=() A.4 B.±4 C.8 D.+8 【解答】解：等比数列{a}中，4=2,444=16， 由等比数列下标和性质可得G=4,a4=16, 又4=aq=2q2>0,所以44=4. 故选：A. 4.已知P为三角形ABC内部任一点（不包括边界），满足(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0,则△ABC 必定是() A.直角三角形 B.等边三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰三角形 高三数学 第5页共4页 【解答】解：，PB-PA=AB=CB-CA,PB+PA-2PC=PB-PC+PA-PC=CB+CA, .(PB-PA)(PB+PA-2PC)=0, ∴.(CB-CA-(CB+CA=0, .CB2-CA=0,即1 CB-cA, ∴.△ABC一定为等腰三角形. 故选：D, 5.某学校在读书节活动中，甲，乙，丙3个班各有2名同学获奖，现将这6人站成一排拍照，其 中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻的站法种数共有() A.36种 B.72种 C.144种 D.288种 【解答】解：将6人站成一排拍照，其中甲班的2名同学相邻，且乙班的2名同学不相邻， 可以分两步完成： 第一步，将甲班的2人捆绑，连同丙班的2人作全排列，有AA=12种站法： 第二步，将乙班的2人插入前后4个空档，有A=12种站法. 根据分步乘法计数原理，不同的站法共有12×12=144种. 故选：C. 6.己知函数f(x)是定义在R上的偶函数，当x>0时，f(x)>f(x),若f(2)=0,则不等式 xf(x)>0的解集为() A.{x|-2<x<0或0<x<2} B.{x|x<-2或x>2} C.{x|-2<x<0或x>2} D.{x|x<-2或0<x<2} 【解答】解：由题意，令g)=四 x>0时，g)=()f①>0.g的在(0，+∞)递增， x2 :f(-x)=f(x),∴g(-x)=-g(x), 则g(x)是奇函数，且g(x)在(-0,0)递增， 高三数学 第6页 共4页 又g(2)=f②=0， 3 当0<x<2时，8(x)<0,当x>2时，g(x)>0; 根据函数的奇偶性，可得当-2<x<0时，g(x)>0,当x<-2时，g(x)<0. .不等式xf(x)>0的解集为{x-2<x<0或x>2}. 故选：C. 7.已知a,B∈(0，)，a≠B,若e-e°=cosa-2cosB,则下列结论一定成立的是() A.sin a<sin B B.cosa<cosB C.sin a>sin B D.cos a>cos B 【解答】解：构造函数f(x)=e-cosx,x∈(0，)，则f'(x)=e+sinx>0, .函数f(x)在(0，)上单调递增， 又e-e=cosa-2cosB,即e-cosa=e-cosB-coSB,亦即f(a)=f(B)-cosB, ①当a,B∈(0，)时，cosB>0,则f)>f( .B>a: ②当a,Be(兮)时，osp<0,则f)<fa, ∴.a>f; 又函数y=simx在O,孕单调递增，在（写）单调递减， 故由①②可知，选项A一定成立. 故选：A 8.在AAc中，mB-0-年2--，则smC-0 A含 B.3 2 C.1 D.1 1 【解答】解：在三角形ABC中，由己知以及正弦定理可得：sinA-sinB=二sinC, 2 厅以(simA+simB)(sin4-sinB)=,simC 即2×2in4+Bcos4,B2cos4+Bsm4,B -COS- -sin- 2 =sin'C, 2 2 2 高三数学第7页共4页 2sin(A+B)sin(A-B)=sin2C, 又因为sin(A+B)=sinC,得：2simC.sin(A-B)=sinC, 在△ABC中，sinC≠0，sin(B-A0=- 4 所以sinC=2sin(4-B)=-2sin(B-A0=}。 故选：C. 二、选择题： 9.设a,B,y表示三个不同的平面，m表示直线，则下列选项中，使得α/1B的是() A.m/1a,m11BB.⊥a,⊥BC.y/1a,y/BD.y⊥a,y⊥B 【解答】解：若/1a,/1B,则a11B不一定成立，所以A选项错误： 若l⊥a,⊥B,则a//B,所以B选项正确： 若y11a,y/1B,则a11B,所以C选项正确： 若y⊥a,y⊥B,则a/1B不一定成立，所以D选项错误. 故选：BC 10.设等差数列{a}的前n项和为Sn,若a4>0,S=S,则() A.d<0 B.4g=0 C.S,最大时，n=15 D.S,>0的整数n的最大值为14 【解答】解：等差数列{a}的前n项和为Sn,若4>0，S=S3, 所以2a+d=13a+78d,从而4=-7d,d=-14 4, 因为4>0，所以d<0,A正确：4=4+7d=0,B正确： 因为4=0，d<0,所以a,>0,4,<0,所以S,=S为Sn的最大值，C错误： S=m+”0,-D。d,令S>0,解得0<n<15,所以整数n的最大值为14，D正确。 2 故选：ABD. 高三数学第8页共4页 11.设函数f()=mhx-x,g)=-x+x+a,则下列结论正确的是（） A.当=1时，f(x)在点1，f(1))处的切线方程为y=-1 B.当-1<a<1时，g(x)有三个零点 C.若F)=f)-g'()有两个极值点，则0<m P D.若f(x)≥e-x在(0，+o)上有解，则正实数m的取值范围为[e,+o) 【解答】解：f)=mlx-x,g()=-}x+x+a, 3 选项A,当m=1时，)=h-x,f)=-1,了(1)=0， 又f(1)=-1,所以f(x)在点1，f(1))处的切线方程为y=-1,故A正确： 选项B,，g'(x)=-x+1, 当x∈(-0，-1)八1，+w)时，g'(x)<0,当x∈(-1,1)时，g'(x)>0, 所以g(x)在(-1,1)上单调递增；g(x)在(-w,-1),1,+∞)上单调递减： g)的极小值为g(-)=-2+a,g)的极大值为3⑩=2+a, 3 3 2 要使8)有三个零点，则8(-)<0， +a<0 (80s0,即3 ,解得-？<4<2，故B错误. 3 3 2+a>0 3 选项C,F=f-g()=mlhm-x+r2-1,则F(=+2x-1=2x2-x+m, 若F(x)有两个极值点，则2x2-x+m=0在(0，+o)有两个不同的正根， △=1-871L>0 则+名=2>0，解得0<m< 。,故C正确； 5=>0 2 选项D,令h(x)=f(x)-e+x=mlx-e，则lx≥e, 高三数学第9页共4页 所以ur≥e,即hm+hm≥e, nL 可整理为x+hr>ex-mm+x-w, 即ex+lx>e-m+x-lL, 令g(x)=e+x,因为g'(x)=e+1>0, 所以g(x)单调递增， 所以lx>-lwm,即lw≥x-lx, 令p()=x-hm,所以p()=1-1=-l 当0<x<1时，p'(x)<0,p(x)单调递减，当x>1时，p'(x)>0,p(x)单调递增， 所以p()nm=p（1)=1,即ml, 所以心e,所以m的取值范围为[e,+o),所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题： 12者双线C岳点在：抽上.南近线为=+汽，则口离心率为—》一 3 【解答】解：因为双曲线C焦点在x轴上，一条渐近线方程为=5 ,所以=5 a 2 所以双自我c的离心*为：后，+令多 故答案为： 3-2 13.己知tan(a+= -3则cos2a: 5 20 一29 ,π、5tana+1 【解答】解：因为tan(a+)= 3 4-21-tan 所以tama=7' 9 cos2a= cos'a-sina 1-ta'a 1- =49 20 cos a+sina 1+tom'a 1+ 929 49 故答案为： 20 29 高三数学 第10页 共4页 14.某个封闭圆锥容器的轴截面是边长为4的等边三角形，一个表面积为号x的小球在该容器内 自由运动，则小球能接触到的圆锥容器内壁总面积为_5π一· 【解答】解，表面积为：的小球，其半径r满足4r-4,解得，5 3 3 如图，圆锥的轴截面△4B是边长是4的正三角形， 半径为5的小球在这个封闭圆锥容器内自由运动，小球能接触到的圆锥容器内壁， 3 有如下两种情况： ①小球紧靠圆锥的顶点S,以球M与圆锥侧面相切的小圆为上底面， 球N与圆锥的底面、侧面均都相切时，以圆锥侧面切点的轨迹围成的圆为下底面的圆台的侧面： ②小球与圆锥的底面、侧面均都相切时，球N在圆锥底面切点的轨迹围成的圆O, 小球紧靠圆锥的项点S时，设球心为M,且球M与圆锥的侧面相切， 则cM= 3 ∠SC=30°，Mc1M,所以sC=CM =1, tan30° 小球与圆锥的底面、侧面均都相切时，设球心为N, DW=3,可得AD三=1，SD=M-AD=3,CD=SD-3C tan30° 分别过点C、D作SO的垂线CH、DK,垂足分别为H、K, 的上底面圆半径=CH=SCsm30P下底面圆半轻方三DK:☑ 所以0部分圆台的侧面积8-x×号+2x×宁2=4标， 1 1 3 2 由对称性可得AQ=AD=1, 所以底面的圆0的半径为万=5-24Q)-1,可得圆0的面积为码=店=不， 因此，小球能接触到的圆锥容器内壁的最大面积为S+S,=4π+π=5π. 故答案为：5π. D 四、解答题： 15.已知函数f)=V5m(红-0+sin(+-1. (1)求函数f(x)的单调递增区间： 高三数学 第11页 共4页 (2)在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若f(A)=1,a=7,c=8,求△ABC 的面积. 【解答】解：(1)因为函数fy=V5sin(a-)+sin(石+x)-1=√5sinx+cosx-1=2sin(x+)-1, 6 令-号+2kx+名+2xez, 62 解得-2π+2k<+2k元，k∈Z, 3 3 可得0的单润递增区间为机-2号+2元号+2冰网小ke: (2)由(1)可得0=2sn4+2-1=1,所以sm1+爱=1， 6 因为1c0,所以4+君e传爱， 66 所以A+管至故4管 因为ad2=b2+c2-2 bc cosA,且a=7,c=8, 所以b2-8b+15=0,解得b=3或b=5. 当b=3时，△MBC的面积Sec-bc5imA=×3×8×5-65, 1 2 2 当b=5时，△1BC的面积Sc=be=X5x8× =10W3. 2 故△MBC的面积为6√3或10W3. 16.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=2BC=12,E是AB的中点，D在AC上，DE⊥AB, 以DE为折痕把△ADP折起，使点A到达点A的位置，且二面角A-DE-B的大小为60°. (1)求证：AC⊥BE; (2)求直线AE与平面ACD所成角的正弦值. 高三数学 第12页共4页 A B D C 【解答】解：(1)证明：由题意得DE⊥BE,DE⊥AE,BE∩AE=E, .DE⊥平面AEB, .∠AEB是二面角A-DE-B的平面角，.∠AEB=60°， :EA=EB,∴.△BEA是等边三角形， 取BE中点O,连接OA,OC,CE,则BE⊥AO, :BC=BE=CE,∴.BE⊥OC, OC∩OA=0,∴BE⊥AC. (2)DE⊥EB,DE⊥AE,EB∩AE=E, ∴.DE⊥BE,BE⊥OC,.DE//CO,.CO⊥AO, ∴.OC,OB,OA两两垂直， 以O为坐标原点，建立空间直角坐标系O-z,如图， A A B X 则A(0,0,3W3),C(33,0,0),D(23,-3,0),E(0,-3,0), 高三数学第13页共4页 E4=(0,3,3W3),4C=3V3,0,-33),CD=(V3,-3,0), 设平面ACD的一个法向量为=(3,1，-√3)， 设直线AE与平面ACD所成角为0， 则sim8=14m=6-V7 1EA6W万7’ 直线4B与平面ACD所成角的正弦值为 71 17.己知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,过点F的直线1与抛物线C相交于A,B两点， 1 且A草，线段AB中点的横坐标为 (1)求抛物线C的方程； (2)若直线l的倾斜角为锐角，O为坐标原点，求△AOB外接圆的一般方程. 【解答】解：(1)设A(,),B(2,), 因为A8上草，线段AB中点的使坐标为 8 +3-17 所以 2 8 解得p=2, 25 +3+卫= 4 则抛物线C的方程为y2=4x: (2)易知直线1不与x轴重合，又F1,0), 设直线1的方程为x=y+1, 联立2=4 ,消去x并整理得y-4-4=0, x=y+1 由韦达定理得为+y2=4L, 又x+=(+)+0,+1)=m0y+)+2=4m2+2= 4 高三数学第14页 共4页 所以m=± 4 因为直线的倾斜角为锐角，所以m=: 将m=3代入y-4-4=0中，解得y=-1或y=4, 设点A在x轴下方，此时4A2-1),B(4,4), 设△AOB外接圆的一般方程为x+y2+Dx+Ey+F=0, 「F=0 所以 D-B+F+1=0, 41 16 4D+4E+F+32=0 Ds、29 4 3 解得E=- 4 F=0 则△4OB外接圆的一般方程为x+y_2x-3 44y0. 18.已知数列{a}的前n项和为S,且S,n=2a-n-2(n∈N). (1)求数列{4}的通项公式： (2)求数列b,n=的前n项和Tn: (3)若正整数m,r,k成等差数列，且m<r<k,试判断am,4,a,能否构成等比数列，并 说明理由. 【解答】解：(1)当n≥2时，由S,n=2a,-n-2(n∈N), 可得4=Sn-Sn-1=(2a-n-2)-[2a-1-(n-1)-2]=2a-2a-1-1, 整理得a,=2a1+1,即a,+1=2a1+),所以+1-2， a-1+1 当n=1时，由Sn=2a,-n-2(n∈N),可得a=2a-3,解得4=3； 高三数学第15页共4页 所以数列{a+1)是首项4+1=4，公比为2的等比数列， 由等比数列的求和公式，可得a+1=4×2”-1=21, 所以a=21-1. （2)由(1)知a,=2m+1-1,可得b,=0=n(2+1-1)=n.2+1-n, 设T'n=1.22+223+3.24++01-1)-2”+2, 则2Tn=1·22+2.24+3.2++(0n-1)21+n.2+2, 两式相减，可得-Tn=1.22+(2+24++2+1)-n.2+2 =4+20-2-n2*=4+0-0-2*, 1-2 所以Tn=4+(n-1).2m+2, 所以Z=0+-0m-D-2*_0+D+4. 2 2 (3)由题意，正整数m,r,k成等差数列，则2r=+k, 若an，a,a,构成等比数列，则满足(a)}=a·a, 因为a=21-1,可得(2+1-1)2=(2m+1-1)-(2+1-1), 整理得22+2-2+2+1=2m++2-2mH-2H+1,即22r+2-2+2=2++2-2mH-2+1, 又因为2r=m+k,可得22r=2m+，所以21=2m+2*,即2.2'=2m+2, 两边同除以2m,可得2-"+1=2.2'-m, 因为m<r<k,且m,r,k∈N,所以k-m∈N,r-m∈N, 所以2-m与2'-m均为偶数，则2-m+1为奇数，2·2”-m为偶数， 所以等式2-m+1=2·2-m不成立，所以4m,4,4.不能构成等比数列。 19.已知函数f(x)=al+x-1,其中a∈R. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)≥0恒成立. 高三数学第16页 共4页 ()求实数a的值； ()判断方程f(x)=cosx的根的个数，并说明理由. 【解答】解：(1)f)=+1=x+0,x>0. 当a>0时，对x∈(0，+0)，f(x)>0, 所以f(x)的单调递增区间为(0，+)，无递减区间： 当a<0时，令f(x)=0,得x=-a. 因为x∈(0，-时，f(x)<0;x∈(-a,+w)时，f"(x)>0. 所以f()的单调递减区间为(0，-四，单调递增区间为（←4+）， 综上所述，当心0时，f(x)的单调递增区间为(0，+w),无递减区间； 当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，-a),单调递增区间为(-a,+o); (2)(①)由（I)知，当a>0时，f(x)的单调递增区间为(0，+o), 所以当x∈(0,1)时，有f(x)<∫(1)=0，不符合题意： 当a<0时，f(x)的单调递减区间为(0，-)，单调递增区间为(-a,+), 所以f)a=f←a四=an(-0-a-1=a((←a四-1-马， a 令g=m(-x)-1-1<0,g)= x2 g(x)与g'(x)在区间(-o,0)上的情况如下： (-0,-1) -1 (←1,0) 8(x) 0 8(x) 递减 0 递增 所以g(x)≥8(-1)=0， 所以ae(-o,-1U(-1,0)时，a(-a-1-分<0， a=-1时，a0m-m-1-马)=0， 所以a=-1: (i)方程f(x)=cosx有两个根，证明如下： 高三数学 第17页 共4页 h()=x-Imx-1-cosx(x>0).W(x)=1-+sinx, 12 ①x∈0)时，令p)=)-1-名+sn06)=是+csx, xE(0,1),p(x)>0,qx)单调递增， 3=-1+m200=nl0, 所以3∈(0,1)，h()=0, (0,x) 0 (,1) h(x) 0 + h(x) 递减 0 递增 h)=-cosl<0,()<h)<0,h(e2)=e2+1-cose2>0, 所以x)在区间(0,1)上有一个零点. ②x∈[，)时，1<Lsinx>0,所以)>0，所以)递增， h=-oel<0.h9号n经1， 由@知牙m行-1>0，所以()在区间L孕上有一个零点. 2 2 @xe写劳时，由0知x-a-10,cs0,所以)>0， 所以(x)无零点. ①x=宁国时，因为h=K-m-1-m-2. 且由(1)知y=x--2在+)上混增， 所学-m-2号2-2-0 2 所以h()无零点。 综上可知函数(x)有两个零点. 高三数学 第18页 共4页