命卷大赛 2026届福建省泉州市高考数学自编模拟卷

2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色字迹的签字笔或钢笔将自己的准考证号、姓名、考场号和座位号填写在答题卡上，用2B铅笔在“考场号”和“座位号”栏相应位置填涂自己的考场号和座位号，将条形码粘贴在答题卡“条形码粘贴处”。 2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用塑料橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的签字笔或钢笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上：如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁．考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．（原创）已知A，B是两个点集，定义运算，若，，则中整数元素的个数为 A．1 B．3 C．5 D．7 3．已知是定义在上且周期为3的奇函数，当时，，则 A． B． C． D． 4．已知函数图象相邻的两个对称中心间的距离为，若，则函数图象的一个对称中心为 A． B． C． D． 5. 已知点，，在直线上存在点满足，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 6．（原创）如图，在中，BD平分交AC于D点，E为BC中点，AE交BD于P点，若AB=2BC,则= A． B． C． D． 7．均为正实数，且，，，则的大小顺序为 A． B． C． D． 8．已知，分别为椭圆的左、右焦点，点（不在上）为轴上一点，线段与交于点，，△内切圆的直径为，则椭圆的离心率为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分。 9. （原创）在自然界中，许多植物的叶片或种子在茎干上呈螺旋状排列，以最大化采光面积或空间利用率.这种排列往往遵循特定的数学规律. 现有一种理想化的植物模型，其叶片从下往上生长，相邻两片叶片绕茎干的夹角恒为137.5°（黄金角）. 若将最底层的第一片叶片所在水平面记为基准面0°，第n片叶片绕茎干累积旋转的角度记为，则下列说法正确的是 A. 数列是等差数列 B. 第9片叶片累积旋转的角度 C. 第55片叶片与第一片叶片在同一垂直线上 D. 若第n片叶片与第一片叶片的夹角为，则是周期数列 10．如图，棱长为2斜三棱柱中，，、分别是、的中点.下列说法正确的是 A． B． C．斜三棱柱五个面中，四边形的面积最大 D．与所成角为的余弦值为 11．已知曲线，点在曲线上，下列说法正确的有 A．曲线是中心对称图形 B．存在两个定点，使得为定值 C．若，则有最大值，无最小值 D．若直线与曲线交于两点，与轴交于点，与直线交于点，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．（原创）在中，分别为角所对的边，若，，则的面积为________． 13．（原创）已知等比数列的前n项和为，前n项积为，若，，则__________. 14．有5个相同的球，分别标有数字，从中有放回地随机取3次，每次取1个球.记为标有数字的球被取出的次数，，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 新型模型是近年来针对数据降噪任务研发的算法工具，通过创新神经网络结构，优化传统模型难以处理的高噪声数据．实验人员用含噪声的图像数据对一种新型降噪模型进行实验，对使用该模型后，图像中的噪声残留量y（单位：个/像素）进行检测，统计得到下表： 第x轮迭代 1 2 3 4 5 噪声残留量y（个/像素） 67 57 50 42 34 并计算得：． （1）计算变量x（迭代轮数）和变量y（噪声残留量）的样本相关系数r（r的值精确到0.001）； （2）若图像中的噪声残留量不高于10个/像素，则说明数据降噪完成．用最小二乘法求y关于x的经验回归方程，并预测该模型至少需要迭代多少轮才可以完成降噪？ 参考数据及公式：样本数据的相关系数，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计值分别为：，，． 16．（15分） 如图，在多面体中，四边形为正方形，且平面． （1）求证：； （2）若，再从条件①、条件②、条件③中选择一个作为已知，使得多面体唯一确定，求平面与平面夹角的余弦值． 条件①：； 条件②：直线与平面所成角为； 条件③：的面积为． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 17．（15分） 已知函数，记，且，． （1）求，； （2）设，， （ⅰ）证明数列是等差数列，并求数列的前项和为； （ⅱ）证明：． 18．（原创）（17分） 已知抛物线C：的焦点到其准线的距离为2，过点且斜率为的直线与C相交于A，B两点． （1）求C的方程； （2）已知点，若，求； （3）分别过A，B两点作的垂线，并与轴相交于M，N两点，记与的外接圆半径分别为． （i）试用表示； （ii）当时，证明：． 19．（17分） 已知函数，． （1）关于x的不等式有解，求a的取值范围； （2），，有成立，证明：； （3），令，证明：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 参考答案 一、选择题：本题共8个小题，每小题5分，共40分。 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C A B A D D A 二、选择题：本题共3个小题，每小题6分，共18分。 题号 9 10 11 答案 ACD BC ABD 3、 填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分。 12． 13． 14． 四、解答题：5个小题，共77分。 15．（满分13分） 【答案】（1）（6分）由题可得：， 1 ， 3 样本相关系数； 6 （2）（7分）噪声残留量y的取值为67，57，50，42，34， 所以， 7 根据题意可得， 10 所以y关于x的经验回归方程为， 11 要使图象中的噪声残留量不高于10个/像素，则， 即，所以该AI模型至少需要迭代8轮才可以完成降噪． 13 16．（满分15分） 【答案】 （1）（5分）因为四边形为正方形，所以. 1 因为平面，平面，所以. 2 因为，所以共面. 又，平面，所以平面. 4 因为平面，所以. 5 （2）（10分）四边形为正方形，且平面所以易得两两垂直. 6 选条件①： 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由得：， 由，设. 由，得恒成立. 此时多面体并不唯一确定，因此条件①无效. 选条件②： 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由得：， 7 由，设，所以 直线与平面所成角为，易得平面的一法向量为. 故，解得（舍去负值）, 9 设平面的法向量.向量，. 由法向量定义得方程组：，. 解得，取，则. 10 求平面的法向量. 向量，. 由法向量定义得方程组：，. 令，则，，即. 12 设平面夹角为，则. 平面与平面夹角的余弦值为. 15 选条件③： 以为原点，分别以的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系. 由得：， 7 由，设，所以， ， 解得（舍去负值） 9 设平面的法向量.向量，. 由法向量定义得方程组：，. 解得，取，则. 10 设平面的法向量，向量，. 由法向量定义得方程组：，. 令，则，，即. 12 设平面夹角为，则. 平面与平面夹角的余弦值为 15 17．（满分15分） 【答案】 （1）（4分）因为，所以， 2 . 4 （ⅰ）（6分）因为， 所以， 又，所以，； 6 由（1）可知，，所以，， ，所以是以为首项和公差的等差数列， 8 ，所以. 9 ,, 10 两式相减可得 , 11 . 10 （ⅱ）（5分），， 12 所以 13 14 因为，所以. 15 18．（满分17分） 【答案】 （1）（3分）由抛物线的定义可知焦点到其准线的距离为p，故， 2 所以抛物线的标准方程为C:. 3 （2）（5分）由题意，设直线的方程为，设， 联立方程组，消去整理得， 则，所以，， 4 5 所以PQ平分∠AQB，由角平分线性质可知：, 6 又因为，所以，则， 7 因为，所以，则. 8 （i）（4分）由（2）中，，得直线MA的方程为， 令得，同理可得， 9 10 则 11 韦达定理代入： 12 （ii）（5分）因为与是直角三角形， 所以 13 记，由（i）得 14 又，且 代回得： 16 当时，单调递增，故 即：，得证. 17 19．（满分17分） 【答案】 （4分）有解，即需， 1 设， ，在上小于0，在上大于0， 2 ∴在上单调递减，上单调递增， 3 ∴，故． 4 （2）（5分）令，，，． 令，． 5 在上单调递增．∵，， 根据零点存在定理，在上存在唯一，使得， 6 即，，两边取对数有， 7 在上小于0，在上大于0， 在上单调递减，上单调递增， 8 ∴ ，即． 9 （3）（8分）原命题等价于， 令，将s看作定值，t看作变量． ． 10 ， 即， 11 第一部分：， 因为，所以，且，函数单调递增， 故，因此：， 12 即； 13 第二部分：， 利用经典不等式，得，因此：， 14 又因为，交叉相乘易证，即， 故：， 15 两部分均为正，故，即在上单调递增， 则， 16 恒成立，故原命题成立，证毕． 17 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年福建省命卷比赛作品 2026届福建省高考数学自编模拟卷 多维细目表 题型 题号 分值 考查载体情境 模块 必备知识 考查点 设问关键 关键能力 核心价值 学科素养 基础 综合 创新 命题指向 单 选 题 1 5 复数运算平面坐标 复数 复数模、共轭复数、复平面点坐标 复数化简、共轭复数几何意义 求共轭复数对应象限 数学运算 逻辑推理 理性思维 数学抽象直观想象 √ 基础运算巩固 2 5 自定义集合运算、三角参数方程 集合 三角 函数 圆参数方程、集合新定义、整数判定 新型集合运算规则、三角函数值域、整数计数 求集合内整数元素个数 数学抽象 数学运算 逻辑推理 创新探究 数学建模逻辑推理 √ √ 新定义创新题 3 5 函数性质综合 函数与导数 奇函数、周期函数、指数函数求值 周期性、奇偶性分段代换计算 求函数式之和 数学运算 逻辑推理 严谨求真 逻辑推理数学运算 √ √ 函数性质综合 4 5 正切函数图像性质 三角 函数 正切周期、对称中心、初相求解 由对称中心距离求ω，利用f(0)求φ，找对称中心 选出符合条件的对称中心 直观想象 数学运算 数形结合 直观想象数学运算 √ 三角函数图像 5 5 直线与距离轨迹 解析 几何 两点距离公式、圆方程、直线与圆位置关系 阿波罗尼斯圆、直线与圆有交点求参数范围 求实数b取值范围 数学建模 逻辑推理 数学运算 转化思想 数学建模逻辑推理 √ √ 轨迹与直线交汇 6 5 平面向量几何 平面 向量 角平分线定理、向量线性表示 基底分解、平面几何比例转化 求线性表达式 逻辑推理 数学运算 几何直观 直观想象逻辑推理 √ √ 向量几何应用 7 5 指对函数图像比较大小 函数 指数函数、对数函数单调性 数形结合判断指对交点横坐标大小 比较a,b,c大小 直观想象 逻辑推理 数形结合 直观想象逻辑推理 √ √ 函数图像估值 8 5 椭圆几何性质 解析 几何 椭圆定义、焦点、向量垂直、内切圆、离心率 垂直条件、内切圆直径与面积、离心率推导 求椭圆离心率 数学运算 逻辑推理 数学审美 数学抽象逻辑推理 √ √ √ 圆锥曲线综合 多 选 题 9 6 植物叶片黄金角数列 数列 等差数列、周期、角度旋转模运算 等差定义、角度累加、周期判定、整除分析 选出正确结论 数学建模 逻辑推理 生活应用 数学建模数据分析 √ √ √ 生活情境数列创新 10 6 斜三棱柱空间几何 立体几何 线面平行、线线垂直、面面面积、异面角 中点辅助线、空间向量、面面面积比较、异面角余弦 判断命题正误 直观想象 逻辑推理 数学运算 空间观念 直观想象逻辑推理 √ √ 空间向量立体几何 11 6 二次曲线综合 解析几何 曲线对称、定点、距离最值、直线相交中点 中心对称、双曲线型曲线、中点等分线段 判断曲线性质命题 数学抽象 逻辑推理 数学运算 代数几何融合 数学抽象逻辑推理 √ √ √ 曲线创新综合 填 空 题 12 5 解三角形 解三角形 余弦定理、三角形面积公式 已知两边一角求面积 计算△ABC面积 数学运算 数学应用 数学运算 √ 解三角形基础 13 5 等比数列 数列 等比通项、前n项和、项积、倒数和 等比性质、项积转化、倒数数列求和 求 逻辑推理 数学运算 转化思想 逻辑推理数学运算 √ √ 等比数列综合 14 5 有放回古典概型+期望 概率统计 离散型随机变量、最大值、数学期望 重复抽样、最大值分布、期望计算 求E(X) 数据分析 数学运算 统计应用 数据分析数学建模 √ √ √ 概率创新应用题 解 答 题 15 13 AI迭代降噪实验 统计 相关系数、线性回归方程、不等式估算 协方差、回归系数、预测求解轮次 求相关系数、回归方程、迭代轮数 数据分析 数学运算 科技情境 数据分析数学建模 √ √ √ 统计实际应用 16 15 正方形折叠多面体立体几何 立体几何 线线垂直证明、空间二面角、线面角、面积条件 几何垂直证明， 空间向量求二面角余弦 证明垂直+选条件求夹角余弦 直观想象 逻辑推理 数学运算 空间建模 直观想象逻辑推理 √ √ 立体几何综合大题 17 15 指数函数高阶导数、数列证明 导数、数列 求导法则、递推数列、等差数列证明、裂项放缩 高阶导表达式、等差证明、不等式放缩证明 求导、证等差、证明求和不等式 数学运算 逻辑推理 严谨论证 逻辑推理数学运算 √ √ √ 导数+数列综合 18 17 抛物线直线相交综合 解析几何 抛物线标准方程、直线与圆锥曲线联立、韦达定理、直角三角形外接圆 抛物线求解、距离比例求斜率、外接圆半径、最值证明 求方程、求k、表示乘积、证明范围 数学建模 逻辑推理 数学运算 数形结合 数学抽象逻辑推理 √ √ √ 圆锥曲线压轴大题 19 17 对数与指数函数综合 函数导数 指对函数、不等式有解、恒存在性证明、函数等式证明 值域分析、构造函数证明不等式、函数运算验证 求参数范围、证明n−m>1、证明等式成立 逻辑推理 数学运算 数学抽象 函数探究 数学抽象逻辑推理 √ √ √ 函数导数压轴大题 / 学科网（北京）股份有限公司 $