专题3.1 导数的概念以及几何意义【切线方程问题】讲义-2025届高三数学一轮复习

高考一轮复习考点通关 【专题3.1导数的运算及其几何意义】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：导数的定义与运算】 知识讲解 导数的定义 平均变化率：设函数，，是其定义域内不同的两点，记，，则函数从到的平均变化率为。 瞬时变化率：当趋于时，平均变化率的极限存在，则称此极限为函数在处的瞬时变化率，记作。 导数的定义：函数在处的导数定义为。从几何意义上看，表示曲线在点处切线的斜率。 导数的运算 基本初等函数的导数公式 1. 若（为常数），则。 2. 若（），则。 3. 若，则。 4. 若，则。 5. 若（且），则。 6. 若，则。 7. 若（且），则。 8. 若，则。 导数的四则运算法则 1. 。 2. 。 3. （）。 复合函数求导法则：设函数在点处可导，在点处可导，则复合函数在点处可导，且，即。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题2】多选题（24-25高二上·江苏镇江·期末）下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【例题3】多选（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】多选（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【相似题2】多选（24-25高二上·云南昆明·期末）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【相似题3】（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【题型2：在“某点处”求切线方程】 知识讲解 1. 明确切线的定义：切线是指一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。对于函数，在点处的切线，是当割线的两个端点无限趋近于该点时，割线的极限位置所确定的直线。 2. 求切线斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率。所以，首先需要对函数求导，然后将代入导函数中，得到切线的斜率。 3. 确定切点坐标：已知要求切线方程的点为，其中。这个点既在曲线上，也在切线上。 4. 使用点斜式求切线方程：点斜式方程为，将求得的斜率和切点坐标代入点斜式方程，即可得到曲线在点处的切线方程。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（   ） A． B． C．2 D． 【例题2】（24-25高二上·重庆·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程是 ． 【相似题2】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）曲线在处的切线被圆截得的弦长为 ． 【相似题3】（24-25高二上·广东深圳·期末）函数在处的切线方程为 ． 【题型3：已知切线求切点坐标或参数】 知识讲解 求切点坐标 1. 设切点坐标：一般设切点坐标为，其中。 2. 求导函数：对给定的函数求导，得到导函数。 3. 利用导数的几何意义：根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率。所以切线的斜率。 4. 结合已知条件列方程：如果已知切线的斜率，可直接令等于已知斜率，得到关于的方程；如果已知切线过某一点，则利用两点间斜率公式，结合列出关于的方程。 5. 解方程求：解上述关于的方程，得到的值。 6. 求出切点纵坐标：将的值代入原函数，求出，从而得到切点坐标。 求参数 1. 设切点坐标并求导：设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率。 2. 写出切线方程：根据点斜式写出切线方程。 3. 结合已知条件列方程：将已知条件，如切线过某点、切线与某直线平行或垂直等，转化为关于参数和的方程。例如，若切线与直线平行，则；若垂直，则。如果切线过点，将其代入切线方程可得关于参数和的方程。 4. 利用切点在曲线上：因为切点在曲线上，所以，这又得到一个关于参数和的方程。 5. 联立方程求解：联立上述关于参数和的方程，通过消元、化简等方法求解出参数的值。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河北·期末）函数在点处的切线斜率为2，则a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【例题2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【例题3】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】 （24-25高三上·福建·阶段练习）若直线为函数且的图象的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【相似题2】（24-25高二上·湖南·期末）若曲线的一条切线方程为，则 . 【相似题3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知曲线与直线相切，则 . 【题型4：切线的垂直平行问题】 知识讲解 1. 导数的几何意义：函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率。 2. 两直线平行的性质：若两条直线平行，则它们的斜率相等。在导数的几何意义中，如果曲线在某点处的切线与另一条已知直线平行，那么切线的斜率等于已知直线的斜率。 3. 两直线垂直的性质：若两条直线垂直，且它们的斜率都存在，则斜率之积为。对于曲线的切线与已知直线垂直的情况，切线斜率与已知直线斜率满足此关系。 解题思路分析 求与已知直线平行的切线 1. 求已知直线的斜率：对于给定的直线方程，如，其斜率是已知的。如果直线方程不是这种形式，可将其化为斜截式来确定斜率。 2. 对函数求导：对曲线求导，得到导函数。 3. 设切点并建立方程：设切点坐标为，根据导数的几何意义，切线斜率。因为切线与已知直线平行，所以等于已知直线的斜率，得到方程。 4. 解方程求切点横坐标：解上述方程，求出的值。可能会得到多个解，这意味着可能有多个切点满足条件。 5. 求出切点纵坐标及切线方程：将的值代入原函数，求出，得到切点坐标。然后利用点斜式写出切线方程。 求与已知直线垂直的切线 1. 求已知直线的斜率：同求平行切线时的第一步，确定已知直线的斜率。 2. 求切线斜率：根据两直线垂直斜率之积为，可知切线的斜率。 3. 对函数求导并建立方程：对求导得，设切点为，则，得到方程。 4. 后续步骤同求平行切线：解方程求出，再代入原函数求出，最后写出切线方程。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【例题2】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数= . 【例题3】（24-25高二上·山西晋中·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，求； (2)若在处的切线与直线垂直，求a. 【相似题2】（24-25高三上·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； 【相似题3】（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； 【题型5：“过某点”的切线方程】 知识讲解 1. 判断该点是否在曲线上 把该点的坐标代入曲线方程，如果等式成立，则该点在曲线上；否则，该点不在曲线上。 2. 当点在曲线上时 设切点坐标为，因为点在曲线上，所以。 对函数求导，得到导函数。 根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 当点不在曲线上时 设切点坐标为，则。 对函数求导，得到导函数，那么切线斜率。 由点斜式写出切线方程。 因为切线过已知点，将其代入切线方程可得。 又因为，所以得到关于的方程，解这个方程求出的值。 将的值代入和，再利用点斜式即可写出切线方程。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【相似题2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则 . 【题型6：切线条数问题】 知识讲解 1. 设切点 设切点坐标为，其中。因为切线是在切点处与曲线相切的直线，所以设出切点是解题的关键第一步。 2. 求切线方程 对函数求导，得到导函数。根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 代入已知点 如果是过某已知点作曲线的切线，将该点代入切线方程，得到。 4. 转化为方程求解 将代入上式，得到关于的方程。此时方程的解的个数就是切线条数。一般来说，这个方程可能是一个超越方程或高次方程，需要通过分析函数的性质来确定解的个数。 5. 分析函数性质 构造函数：将关于的方程变形为的形式，构造函数。 求导分析单调性：对求导，分析其单调性和极值情况。通过判断函数的单调性和极值与的关系，来确定函数与轴的交点个数，即方程的解的个数，从而得出切线条数。 例题精选 【例题1】（23-24高三上·辽宁·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题2】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【例题3】（22-23高二下·四川资阳·期末）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【相似题2】（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ． 【相似题3】（22-23高二下·陕西西安·期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 【题型7：公切线的问题】 知识讲解 1. 明确两条曲线的方程 设两条曲线分别为和，清楚它们的具体表达式，以便后续进行求导等运算。 2. 分别求两条曲线的导数 对求导得，对求导得。导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，所以和分别表示两条曲线在任意点处切线的斜率。 3. 设公切线与两条曲线的切点 设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为。 则，。 4. 根据导数几何意义写出公切线方程 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 5. 利用公切线的条件建立等式 因为是公切线，所以两条切线方程表示的是同一条直线，那么它们的斜率和截距都相等。 可得方程组。 6. 分析方程求解及公切线条数 通过解方程组来确定和的值。 一般情况下，将进行变形，用表示（或反之），代入中，得到一个关于（或）的方程。 然后分析这个方程解的个数： 若方程有唯一解，则公切线有条。 若方程有两个不同的解，则公切线有条。 若方程无解，则公切线不存在。 在分析方程解的个数时，可能需要对得到的方程进行进一步的变形和分析，比如构造函数，通过研究函数的单调性、极值、最值等性质来确定函数零点的个数，即方程解的个数，从而确定公切线条数。 例题精选 【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【例题2】（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 【相似题2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 【相似题3】（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 5．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 10．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 11．（2025·山东·一模）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 12．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数图象的一条切线的方程为，则 ． 13．（2025·河北·三模）曲线在处的切线斜截式方程为 . 三、解答题 14．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 16．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 1 学科网（北京）股份有限公司 $$高考一轮复习考点通关 【专题3.1导数的运算及其几何意义】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：导数的定义与运算】 知识讲解 导数的定义 平均变化率：设函数，，是其定义域内不同的两点，记，，则函数从到的平均变化率为。 瞬时变化率：当趋于时，平均变化率的极限存在，则称此极限为函数在处的瞬时变化率，记作。 导数的定义：函数在处的导数定义为。从几何意义上看，表示曲线在点处切线的斜率。 导数的运算 基本初等函数的导数公式 1. 若（为常数），则。 2. 若（），则。 3. 若，则。 4. 若，则。 5. 若（且），则。 6. 若，则。 7. 若（且），则。 8. 若，则。 导数的四则运算法则 1. 。 2. 。 3. （）。 复合函数求导法则：设函数在点处可导，在点处可导，则复合函数在点处可导，且，即。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·浙江舟山·期末）下列求导运算不正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，对； B：，对； C：，错； D：，对. 故选：C 【例题2】多选题（24-25高二上·江苏镇江·期末）下列求导的运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】利用基本函数的导数公式和运算法则逐项求解即可； 【详解】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确； 故选：ACD. 【例题3】多选（24-25高二上·浙江杭州·期末）下列函数的求导运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据初等函数及导数的运算法则求函数的导数判断AB，结合复合函数求导公式及导数运算法则，初等函数求导公式求导判断CD. 【详解】对于A， ，故A错误； 对于B， ，故B正确； ，故C错误； ，故D正确， 故选：BD. 相似练习 【相似题1】多选（23-24高二下·湖北·阶段练习）下列命题正确的有（   ） A．已知函数在上可导，若，则 B．已知函数，若，则 C． D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BD 【分析】通过导数的概念可判断选项，对复合函数求导然后计算可判断选项，直接用除法的求导法则可判断选项，对于选项直接求导然后代数解方程即可. 【详解】对于因为函数在上可导，且， 所以，故错误. 对于因为，若则，即，故正确. 对于因为，故错误. 对于因为,故，故，正确. 故选: 【相似题2】多选（24-25高二上·云南昆明·期末）下列命题正确的是（   ） A． B．已知函数在上可导，若，则 C．已知函数，若，则 D．设函数的导函数为，且，则 【答案】BC 【分析】根据导数基本公式可判断A；根据导数定义可判断B；根据导数求导法则可判断CD. 【详解】对于A，，A错误； 对于B，由导数定义知，B正确； 对于C，，则， 由，得，解得或(舍去)，C正确； 对于D，由，得， 故，D错误， 故选：BC 【相似题3】（24-25高二上·陕西西安·期末）求下列函数的导函数． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】利用导数的运算法则及复合函数求导求解. 【详解】（1）； （2） . 【题型2：在“某点处”求切线方程】 知识讲解 1. 明确切线的定义：切线是指一条刚好触碰到曲线上某一点的直线。对于函数，在点处的切线，是当割线的两个端点无限趋近于该点时，割线的极限位置所确定的直线。 2. 求切线斜率：根据导数的几何意义，函数在点处的导数就是曲线在点处切线的斜率。所以，首先需要对函数求导，然后将代入导函数中，得到切线的斜率。 3. 确定切点坐标：已知要求切线方程的点为，其中。这个点既在曲线上，也在切线上。 4. 使用点斜式求切线方程：点斜式方程为，将求得的斜率和切点坐标代入点斜式方程，即可得到曲线在点处的切线方程。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·江西南昌·期末）已知函数的定义域为，是偶函数，当时，，则曲线在点处的切线斜率为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】对两边求导可得，先求出，进而可得答案. 【详解】函数的定义域为，是偶函数， 则， 两边同时求导可得：， 当时，， 求导可得，则有， 又由， 令可得：， 则曲线在点处的切线斜率为. 故选：A 【例题2】（24-25高二上·重庆·期末）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】求出导数，再利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】由求导得，则，而， 所以所求切线方程为. 故选：A 【例题3】（24-25高二上·浙江杭州·期末）已知曲线，则该曲线在处的切线方程为 【答案】 【分析】先求出导函数，再代入求出切线斜率，最后点斜式得出切线即可. 【详解】曲线，，所以在处的切线斜率为， 切点为，则该曲线在处的切线方程为，即. 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江杭州·期末）曲线在点处的切线方程是 ． 【答案】 【分析】应用导数的几何意义求切线方程即可. 【详解】由题设，则，且， 所以曲线在点处的切线方程是，即. 故答案为： 【相似题2】（24-25高三上·河北秦皇岛·期末）曲线在处的切线被圆截得的弦长为 ． 【答案】 【分析】借助导数的几何意义计算可得曲线在处的切线，再计算出圆的圆心到该切线的距离，最后利用垂径定理计算即可得解. 【详解】，则， 则曲线在处的切线为， 圆的圆心，半径， 则点到的距离， 则弦长. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二上·广东深圳·期末）函数在处的切线方程为 ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义求切线的斜率，再由点斜式求切线方程. 【详解】函数的导函数为， 所以，， 所以函数在处的切线的斜率为，切点为， 所以函数在处的切线方程为. 故答案为：. 【题型3：已知切线求切点坐标或参数】 知识讲解 求切点坐标 1. 设切点坐标：一般设切点坐标为，其中。 2. 求导函数：对给定的函数求导，得到导函数。 3. 利用导数的几何意义：根据导数的几何意义，函数在某点处的导数就是该点处切线的斜率。所以切线的斜率。 4. 结合已知条件列方程：如果已知切线的斜率，可直接令等于已知斜率，得到关于的方程；如果已知切线过某一点，则利用两点间斜率公式，结合列出关于的方程。 5. 解方程求：解上述关于的方程，得到的值。 6. 求出切点纵坐标：将的值代入原函数，求出，从而得到切点坐标。 求参数 1. 设切点坐标并求导：设切点坐标为，对函数求导得，则切线斜率。 2. 写出切线方程：根据点斜式写出切线方程。 3. 结合已知条件列方程：将已知条件，如切线过某点、切线与某直线平行或垂直等，转化为关于参数和的方程。例如，若切线与直线平行，则；若垂直，则。如果切线过点，将其代入切线方程可得关于参数和的方程。 4. 利用切点在曲线上：因为切点在曲线上，所以，这又得到一个关于参数和的方程。 5. 联立方程求解：联立上述关于参数和的方程，通过消元、化简等方法求解出参数的值。 例题精选 【例题1】（24-25高三上·河北·期末）函数在点处的切线斜率为2，则a=（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】求出函数的导函数，求出，即可得解. 【详解】，， 故选：B. 【例题2】（24-25高二上·江苏盐城·期末）若直线是曲线的一条切线，则k的值为（　　） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，解方程可得，可得结果. 【详解】设切点坐标为， 易知，因此， 所以切线方程为，即， 可得，即，可得， 所以. 故选：D 【例题3】（24-25高二上·江苏盐城·期末）已知直线与曲线相切，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点，利用切点处的导数等于切线的斜率，切点既在曲线上，又在直线上，联立求解即可. 【详解】设切点，故， 又切点在直线上，所以. 故选：C. 相似练习 【相似题1】 （24-25高三上·福建·阶段练习）若直线为函数且的图象的一条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设切点为，利用导数的几何意义可得出关于、的方程组，即可解出的值. 【详解】设切点为，因为且，则， 由导数的几何意义可得， 所以，即，故， 所以，解得， 故选：B. 【相似题2】（24-25高二上·湖南·期末）若曲线的一条切线方程为，则 . 【答案】 【分析】求导，根据斜率可得，即可代入求解. 【详解】设，则. 设切点为，由题意，得，即，解得， 所以，所以，解得. 故答案为：. 【相似题3】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知曲线与直线相切，则 . 【答案】 【分析】由的导数出发，设出切点坐标，利用导数方程，由此求得的值. 【详解】由，得， 设切点为， 则，， 消去得， 函数在区间上单调递增，且， ，此时. 故答案为： 【题型4：切线的垂直平行问题】 知识讲解 1. 导数的几何意义：函数在点处的导数表示曲线在点处切线的斜率。 2. 两直线平行的性质：若两条直线平行，则它们的斜率相等。在导数的几何意义中，如果曲线在某点处的切线与另一条已知直线平行，那么切线的斜率等于已知直线的斜率。 3. 两直线垂直的性质：若两条直线垂直，且它们的斜率都存在，则斜率之积为。对于曲线的切线与已知直线垂直的情况，切线斜率与已知直线斜率满足此关系。 解题思路分析 求与已知直线平行的切线 1. 求已知直线的斜率：对于给定的直线方程，如，其斜率是已知的。如果直线方程不是这种形式，可将其化为斜截式来确定斜率。 2. 对函数求导：对曲线求导，得到导函数。 3. 设切点并建立方程：设切点坐标为，根据导数的几何意义，切线斜率。因为切线与已知直线平行，所以等于已知直线的斜率，得到方程。 4. 解方程求切点横坐标：解上述方程，求出的值。可能会得到多个解，这意味着可能有多个切点满足条件。 5. 求出切点纵坐标及切线方程：将的值代入原函数，求出，得到切点坐标。然后利用点斜式写出切线方程。 求与已知直线垂直的切线 1. 求已知直线的斜率：同求平行切线时的第一步，确定已知直线的斜率。 2. 求切线斜率：根据两直线垂直斜率之积为，可知切线的斜率。 3. 对函数求导并建立方程：对求导得，设切点为，则，得到方程。 4. 后续步骤同求平行切线：解方程求出，再代入原函数求出，最后写出切线方程。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·河北保定·期末）已知曲线在点处的切线与直线垂直，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】先求出导函数得出切线斜率，再结合直线垂直得出斜率关系列式求参. 【详解】因为曲线，所以 所以在点处的切线斜率为， 直线的斜率为，又因为两直线垂直，所以，所以. 故选：B. 【例题2】（24-25高三上·江苏·期末）已知函数，若曲线在点处的切线与直线垂直，则实数= . 【答案】 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，再由直线垂直关系得解. 【详解】因为， 所以， 又切线与直线垂直， 所以，解得， 故答案为：1 【例题3】（24-25高二上·山西晋中·期末）若曲线在点处的切线与直线垂直，则 . 【答案】 【分析】利用导函数的几何意义以及两直线的位置关系与斜率的关系求解. 【详解】因为，所以，所以，所以， 直线的斜率为，因为，所以， 故答案为：. 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·浙江宁波·期末）已知函数. (1)若，求； (2)若在处的切线与直线垂直，求a. 【答案】(1) (2)或. 【分析】（1）根据导数的运算来求得正确答案. （2）根据斜率的关系列方程，化简求得的值. 【详解】（1）因为，所以. （2）因为，所以， 由题意知，，即， 所以，所以或. 【相似题2】（24-25高三上·重庆·期末）已知函数在处的切线与直线平行，其中. (1)求的值； 【详解】（1）由题可得：， 则，故； 【相似题3】（23-24高二下·福建福州·期末）已知为函数的导函数． (1)若在处的切线与直线平行，求实数a的值； 【详解】（1），， 又直线的斜率为， 由题意，，即. 【题型5：“过某点”的切线方程】 知识讲解 1. 判断该点是否在曲线上 把该点的坐标代入曲线方程，如果等式成立，则该点在曲线上；否则，该点不在曲线上。 2. 当点在曲线上时 设切点坐标为，因为点在曲线上，所以。 对函数求导，得到导函数。 根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 当点不在曲线上时 设切点坐标为，则。 对函数求导，得到导函数，那么切线斜率。 由点斜式写出切线方程。 因为切线过已知点，将其代入切线方程可得。 又因为，所以得到关于的方程，解这个方程求出的值。 将的值代入和，再利用点斜式即可写出切线方程。 例题精选 【例题1】（24-25高二上·重庆·期末）过点作函数的切线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，利用导数几何意义求切线方程，结合所过的点求参数m，进而确定切线方程. 【详解】由，设切点为，则， 所以，切线方程为，又过点， 所以，整理得， 所以，切线方程为，则. 故选：C 【例题2】（24-25高二上·湖南长沙·期末）已知过点的直线与曲线相切于点，则切点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设切点坐标，利用导数求出过切点的切线方程，代入已知点求出，即可求出切点的坐标. 【详解】设切点坐标为，由，得， 则过切点的切线方程为， 把点代入切线方程得，，即， 又，所以，则， 则切点坐标为. 故选：A 【例题3】（23-24高二下·山西晋城·期末）过原点O作曲线的切线，其斜率为2，则实数（    ） A．e B．2 C． D． 【答案】D 【分析】设出切点，求导，得切点处的切线方程，即可代入原点求解. 【详解】设切点，则， 故切点处的切线方程为，故， 将代入得，故，解得或， 若，则，此时无解，故不符合题意， 若，则，故，此时满足题意， 故选：D 相似练习 【相似题1】（24-25高二上·江苏泰州·期末）过点作曲线的切线，写出其中的一条切线方程 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】设切点坐标，利用导数的几何意义表示出切线方程，将代入解出切点坐标，即可得切线方程. 【详解】由可得， 设过点作曲线的切线的切点为，则， 则该切线方程为， 将点代入切线得，解得或， 所以切点为或， 所以切线方程为或. 故答案为：（答案不唯一） 【相似题2】（23-24高二下·江苏淮安·期末）已知，过点作的切线，若切线斜率为1，则 . 【答案】3 【分析】求导，根据导数的几何意义分析可得，，构建，结合单调性可得，进而可求切线方程，即可得的值. 【详解】因为，则， 设切点坐标为，切线斜率， 由题意可知， 显然当时，则， 可得，不合题意，可知， 令，则， 可知在内单调递增，且， 所以关于的方程的根为， 即切点坐标为，切线斜率，则切线方程为， 所以. 故答案为：3. 【题型6：切线条数问题】 知识讲解 1. 设切点 设切点坐标为，其中。因为切线是在切点处与曲线相切的直线，所以设出切点是解题的关键第一步。 2. 求切线方程 对函数求导，得到导函数。根据导数的几何意义，曲线在点处的切线斜率。 由点斜式可得切线方程为。 3. 代入已知点 如果是过某已知点作曲线的切线，将该点代入切线方程，得到。 4. 转化为方程求解 将代入上式，得到关于的方程。此时方程的解的个数就是切线条数。一般来说，这个方程可能是一个超越方程或高次方程，需要通过分析函数的性质来确定解的个数。 5. 分析函数性质 构造函数：将关于的方程变形为的形式，构造函数。 求导分析单调性：对求导，分析其单调性和极值情况。通过判断函数的单调性和极值与的关系，来确定函数与轴的交点个数，即方程的解的个数，从而得出切线条数。 例题精选 【例题1】（23-24高三上·辽宁·期末）若过点可以作曲线的两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，确定，化简可得，结合题意有，解不等式即可求出的取值范围. 【详解】令，则有，设过点作曲线的切线， 切点为，根据题意有，即， 又，可得，因为，所以上式可化为 ，整理有：，因为过点可以作曲线 的两条切线，所以方程有两解，所以，即， 解得或. 故选：D 【例题2】（2023·全国·模拟预测）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由导数的几何意义表示出切线方程，然后列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】设切点为，由已知得，则切线斜率， 切线方程为． ∵直线过点，∴， 化简得．∵切线有2条， ∴，则的取值范围是， 故选：D 【例题3】（22-23高二下·四川资阳·期末）过坐标原点可以作曲线两条切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为，则，切线斜率, 切线方程为， ∵切线过原点，∴， 整理得：, ∵切线有两条，∴，解得或， ∴的取值范围是, 故选：D 相似练习 【相似题1】（23-24高二上·广东深圳·期末）若曲线有两条过点的切线，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】先利用导数求曲线过坐标的切线方程，再列出关于的不等式，进而求得的取值范围. 【详解】由得，设切点坐标为， 则切线斜率， 切线方程为， 又因为切线过，所以，整理得， 又曲线有两条过坐标原点的切线，所以该方程有两个实数解， 所以，解得或， 所以的取值范围是， 故答案为：. 【相似题2】（23-24高三上·四川内江·期末）已知函数，若过点可作曲线的三条切线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】设出切点坐标，利用导数的几何意义求出切线方程，将问题转化为方程有三个实数根的问题，再利用导函研究函数的极值求解作答. 【详解】设过点作曲线的切线的切点坐标为， 由求导得：，则切线斜率， 切线方程为， 于是，整理得， 令，求导得， 由，得或，由，得， 因此函数在上单调递增，在上单调递减， 当时，函数取得极大值，当时，函数取得极小值， 因为过点作曲线的切线有三条，则方程有3个不等实根， 即函数有3个零点，由三次函数的性质知，，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【相似题3】（22-23高二下·陕西西安·期末）若曲线有三条过点的切线，则实数的取值范围为 . 【答案】 【分析】构造新函数，利用导数求得其单调性和极值，进而求得实数的取值范围. 【详解】设点为曲线上一点，则 又，则， 则曲线在点处的切线方程为 ，又切线过点， 则，即 令，则， 则时，单调递减； 时，单调递增； 时，单调递减， 则时取得极小值，时取得极大值， 又， 当时，恒成立，时，， 又由题意得方程有3个根， 则与图像有3个交点，则. 则曲线有三条过点的切线时实数的取值范围为.      故答案为： 【题型7：公切线的问题】 知识讲解 1. 明确两条曲线的方程 设两条曲线分别为和，清楚它们的具体表达式，以便后续进行求导等运算。 2. 分别求两条曲线的导数 对求导得，对求导得。导数的几何意义是曲线在某点处切线的斜率，所以和分别表示两条曲线在任意点处切线的斜率。 3. 设公切线与两条曲线的切点 设公切线与曲线的切点为，与曲线的切点为。 则，。 4. 根据导数几何意义写出公切线方程 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 对于曲线，在点处的切线方程为，即。 5. 利用公切线的条件建立等式 因为是公切线，所以两条切线方程表示的是同一条直线，那么它们的斜率和截距都相等。 可得方程组。 6. 分析方程求解及公切线条数 通过解方程组来确定和的值。 一般情况下，将进行变形，用表示（或反之），代入中，得到一个关于（或）的方程。 然后分析这个方程解的个数： 若方程有唯一解，则公切线有条。 若方程有两个不同的解，则公切线有条。 若方程无解，则公切线不存在。 在分析方程解的个数时，可能需要对得到的方程进行进一步的变形和分析，比如构造函数，通过研究函数的单调性、极值、最值等性质来确定函数零点的个数，即方程解的个数，从而确定公切线条数。 例题精选 【例题1】（2024高三·全国·专题练习）已知，若直线是曲线与曲线的公切线，则（    ） A． B． C．26 D．28 【答案】C 【分析】根据题意，分别设出与曲线以及与曲线的切点坐标，然后结合导数的几何意义，代入计算，即可求解. 【详解】设直线与曲线相切于点，与曲线相切于点. 由知，又两曲线的公切线斜率为，则，解得或（舍去）. 所以，解得. 由知，又两曲线的公切线斜率为，则，即，故，整理得，故， 所以，故. 故选：C. 【例题2】（23-24高二下·河北·期末）若直线是曲线与的公切线，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出直线与曲线和的切点分别为和，由公切线得到方程解出切点坐标，计算求解即可. 【详解】由，得，由，得. 设直线与曲线相切于点， 与曲线相切于点， 则，故.又， 解得，所以直线过点，斜率为1， 即直线的方程为. 故选：A 【例题3】（24-25高三上·河北石家庄·期末）若函数与在公共点处存在公共的切线，则 ． 【答案】 【分析】设公共点坐标为，由题意可得，进而可得. 【详解】函数与的导数分别为与， 设公共点坐标为，则， 所以，又因为，故，，所以． 故答案为： 相似练习 【相似题1】（24-25高三上·湖南永州·期末）已知直线是曲线和的一条公切线，则 ． 【答案】9 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，再结合切点同时满足直线方程与曲线方程求解即可. 【详解】设直线与曲线相切于点. 由，得. 又∵直线l的斜率为，∴. 又点在直线和曲线上，∴. 联立①②可得，故直线l的方程为. 设直线与曲线相切于点.由，得. 又∵直线l的斜率为3，. 又点在直线和曲线上，∴ 联立，解得，. 故答案：9. 【相似题2】（24-25高二上·江苏淮安·阶段练习）直线与函数和的图象都相切，则 【答案】 【分析】设直线与函数的切点为，与函数的切点为，根据导数的几何意义可求的值. 【详解】， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 设直线与函数的切点为， 又，所以， 由可得， 由，可得， 又，所以， 由，得， 所以. 故答案为：. 【相似题3】（23-24高二下·广东东莞·期末）若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则 . 【答案】 【分析】设直线与和的切点分别为，，分别求出切点处的直线方程，由已知切线方程，可得方程组，解方程可得切点的横坐标，即可得到的值. 【详解】和分布求导，得到和. 设直线与和的切点分别为，， 则切线方程分别为，，， 化简得，，. 依题意上述两直线与是同一条直线， 所以，，解得， 所以 故答案为：. 课后针对训练 一、单选题 1．（2024·全国甲卷·高考真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 3．（2021·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 4．（2020·全国III卷·高考真题）若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ） A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+ 5．（2025·福建莆田·二模）曲线在点处切线的斜率为，则的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．（2025·河北秦皇岛·一模）已知曲线在点处的切线与直线平行，则与之间的距离为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（2024·广东江苏·高考真题）若曲线在点处的切线也是曲线的切线，则 . 8．（2022·新高考全国Ⅱ卷·高考真题）曲线过坐标原点的两条切线的方程为 ， ． 9．（2022·新高考全国Ⅰ卷·高考真题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是 ． 10．（2021·全国甲卷·高考真题）曲线在点处的切线方程为 ． 11．（2025·山东·一模）已知（为自然对数的底数），，请写出与的一条公切线方程 ． 12．（2025·安徽六安·模拟预测）已知函数图象的一条切线的方程为，则 ． 13．（2025·河北·三模）曲线在处的切线斜截式方程为 . 三、解答题 14．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为． (1)求的值； 15．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程． 16．（2023·全国乙卷·高考真题）已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A C D D B B 1．A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即， 令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积. 故选：A. 2．C 【分析】先由切点设切线方程，再求函数的导数，把切点的横坐标代入导数得到切线的斜率，代入所设方程即可求解. 【详解】设曲线在点处的切线方程为， 因为， 所以， 所以 所以 所以曲线在点处的切线方程为. 故选：C 3．D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减， 所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点. 故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 4．D 【分析】根据导数的几何意义设出直线的方程，再由直线与圆相切的性质，即可得出答案. 【详解】设直线在曲线上的切点为，则， 函数的导数为，则直线的斜率， 设直线的方程为，即， 由于直线与圆相切，则， 两边平方并整理得，解得，（舍）， 则直线的方程为，即. 故选：D. 【点睛】本题主要考查了导数的几何意义的应用以及直线与圆的位置的应用，属于中档题. 5．B 【分析】借助导数的几何意义计算即可得. 【详解】，令，则，故， 当时，，即的坐标为. 故选：B. 6．B 【分析】由题知的斜率为，由得，进而可得直线的方程为：，进而由平行线间的距离公式可得. 【详解】由题意，切线的斜率为，则，得， 故，故切线的方程为：，即， 直线，即， 故两直线的距离为， 故选：B 7． 【分析】先求出曲线在的切线方程，再设曲线的切点为，求出，利用公切线斜率相等求出，表示出切线方程，结合两切线方程相同即可求解. 【详解】由得，， 故曲线在处的切线方程为； 由得， 设切线与曲线相切的切点为， 由两曲线有公切线得，解得，则切点为， 切线方程为， 根据两切线重合,所以，解得. 故答案为： 8． 【分析】分和两种情况，当时设切点为，求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 【详解】[方法一]：化为分段函数，分段求 分和两种情况，当时设切点为，求出函数导函数，即可求出切线的斜率，从而表示出切线方程，再根据切线过坐标原点求出，即可求出切线方程，当时同理可得； 解： 因为， 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即；故答案为：； [方法二]：根据函数的对称性，数形结合 当时，设切点为，由，所以，所以切线方程为， 又切线过坐标原点，所以，解得，所以切线方程为，即； 因为是偶函数，图象为： 所以当时的切线，只需找到关于y轴的对称直线即可. 9． 【分析】设出切点横坐标，利用导数的几何意义求得切线方程，根据切线经过原点得到关于的方程，根据此方程应有两个不同的实数根，求得的取值范围. 【详解】∵，∴， 设切点为,则,切线斜率, 切线方程为：, ∵切线过原点，∴, 整理得：, ∵切线有两条，∴,解得或, ∴的取值范围是, 故答案为： 10． 【分析】先验证点在曲线上，再求导，代入切线方程公式即可． 【详解】由题，当时，，故点在曲线上． 求导得：，所以． 故切线方程为． 故答案为：． 11．或（写出其中一个即可）； 【分析】首先设出切点，再分别求切线方程，公切线的性质，列式求解. 【详解】设切线与函数的图象切于点，， 所以切线方程为，即 设切线与函数的图象切于点，， 则切线方程为，即， 若两条切线是一条直线，则，得， 得，解得：或， 当时，切线方程为，当时，切线方程为， 故答案为：或（写出其中一个即可）； 12． 【分析】利用导数的几何意义可求出切点的横坐标，进而可求得切点的纵坐标，将切点的坐标代入切线方程，可得出关于的等式，解之即可. 【详解】对函数求导得， 直线的斜率为，由，可得， 显然，解得， 若切点横坐标为，则， 则切点在直线上， 可得，解得； 若切点横坐标为，， 则切点在直线上， 可得，无解. 综上所述，. 故答案为：. 13． 【分析】求出切点的纵坐标及切线的斜率，即可得答案. 【详解】解：因为， ， 所以切线方程为， 即. 故答案为： 14．(1) 【详解】（1）因为，所以， 因为在处的切线方程为， 所以，， 则，解得， 所以. 15．(1)； 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 所以函数在处的切线方程为，即. 16．(1)； 【详解】（1）当时，， 则， 据此可得， 函数在处的切线方程为， 即. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$