福建省厦门第一中学2025-2026学年高一下学期数学限时训练23（综合模拟卷）

**基本信息** 厦门一中高一下数学综合模拟卷，涵盖复数、向量、概率、立体几何等核心知识，通过古文化情境（如《九章算术》刍甍体积）、材料阅读题（多项式根与系数）考查数学眼光、思维与语言，梯度合理适配周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|复数实虚部、向量数量积、概率计算|基础概念辨析，如第4题正六边形向量数量积比较| |多选题|3/18|统计百分位数、独立事件概率、三棱柱外接球|选项分层，如第10题独立与互斥事件辨析| |填空题|3/15|分层抽样方差、刍甍体积、四面体外接内切球|文化传承与空间想象，如第13题刍甍体积计算| |解答题|5/77|解三角形、向量共线、概率应用、四棱台证明与计算、多项式根与系数|综合创新，如第19题结合代数基本定理探究根与系数关系|

厦门一中2025级高一（下）数学限时训练23（高一下综合模拟卷） （时间：120分钟 总分150分） 命题：邱春来 审核：林艳华 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 2．已知点在同一平面内，，则（    ） A． B． C． D． 3．从这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 4．如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（    ） A． B． C． D． 5．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 6．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（    ）   A． B． C． D． 7．已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 8．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，. 记边a、b、c的高分别为、、，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若数据的第25百分位数､第50百分位数､第75百分位数分别为，平均数为,则（    ） A． B． C． D． 10．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么， B．如果与互斥，那么， C．如果与相互独立，那么， D．如果与相互独立，那么， 11．已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则（    ） A． B．球的半径为2 C．三棱柱的表面积为 D．点到平面的距离的取值范围是 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________. 13．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中对几种典型的几何体进行了命名，书中对“刍甍”的定义是“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”如图是一种刍甍，四边形为矩形，平面，，平面平面.若，且该刍甍的体积为10，则棱长______. 14．已知四面体满足，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为_______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点O不在直线AB上，满足. (1)求的值； (2)，，，，若的最小值为，求的最大值. 17．某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，，试求甲乙两人共答对了3道题的概率. 18．在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．   (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 19．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 厦门一中2025级高一（下）数学限时训练23（高一下综合模拟卷） （时间：120分钟 总分150分） 命题：邱春来 审核：林艳华 一、单选题 1．若在复平面内，复数所对应的点为，则的实部与虚部的差为（    ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】D 【知识点】复数加减法的代数运算、复数的坐标表示、求复数的实部与虚部 【分析】根据点对应的复数进行复数运算，再根据实部及虚部运算即可. 【详解】因为， 所以的实部为，虚部为， 实部与虚部的差为. 故选：D. 2．已知点在同一平面内，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】向量的线性运算的几何应用、向量减法的法则 【分析】根据向量的线性运算即可求解. 【详解】由可得 故， 故选：C 3．从这四个数字中任意取出两个不同的数字，设取出的两数字之和为，则的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】解不含参数的一元二次不等式、计算古典概型问题的概率 【分析】求出，再写出所有情况和满足题意的情况，最后利用古典概型公式即可. 【详解】由 可得 . 从这四个数字中任意取出两个不同的数字, 有 ，共 6 种不同的结果, 取出的两数字之和 满足 对应的结果有共 3 种, 所以所求概率为 . 故选：B. 4．如图所示，已知正六边形，下列给出的向量的数量积中最大的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】用定义求向量的数量积 【分析】根据正六边形的性质及数量积的定义计算可得； 【详解】解：根据正六边形的几何性质，可知，，，． ，，， ．比较得最大， 故选：A. 5．已知三条互不相同的直线，m，n和三个互不相同的平面α，β，γ，现给出下列三个命题： (1)若与m为异面直线，，则； (2)若，，则； (3)若，，，，则． 其中真命题的个数为（  ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】面面关系有关命题的判断、线面关系有关命题的判断、线面平行的性质 【分析】结合反例可判断（1）（2），利用线面平行的性质可证明（3）. 【详解】对于（1），如图，正方体中，与为异面直线， 平面，平面， 但是平面与平面不平行，（1）不正确； 对于（2），如图，正方体中，平面与平面平行，但是直线与直线不平行，（2）不正确； 对于（3），因为，，且，所以，同理可得，所以，（3）正确. 6．如图所示，为测量河对岸的塔高，选取了与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，则塔高为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】先在中，利用正弦定理求得，再在直角中，利用正切函数的定义，求得的长，即可求解． 【详解】在中，， 所以 所以， 由正弦定理， 可得， 在直角中，因为 所以， 即塔高为． 故选：C． 7．已知在三棱锥中，，且为等边三角形，则二面角的正切值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求二面角 【分析】根据题意可得三角形全等，即可求解长度关系，根据等腰可得即为二面角的平面角，即可利用三角形边角关系求解. 【详解】由以及可得故, 进而可得,不妨设, 取中点，连接, 故,故即为二面角的平面角， 由于平面， 故平面，平面，故, 故选：B 8．在锐角中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足，.记边a、b、c的高分别为、、，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A． 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正余弦定理与三角函数性质的结合应用、三角形面积公式及其应用 【分析】先利用面积公式化简得到，再利用正弦定理和三角恒等变换化简得到，在锐角中， 则在上单调递减，从而，所以. 【详解】由题得到， ∵， ∴， ， 在锐角中，∵，∴，， ∴在上单调递减， 从而， 即， ∴.故选A 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9．若数据的第25百分位数､第50百分位数､第75百分位数分别为，平均数为,则（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【知识点】总体百分位数的估计、计算几个数的平均数 【分析】根据百分位数和平均数的计算，即可结合选项逐一求解. 【详解】将从小到大排列为：0,1,2,5,8,9,10,11,12,17, ，故第25百分位数2，故，，故第50百分位数为，即，，故第75百分位数为11，即， 平均数为， 故AC正确，BD错误， 故选：AC 10．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（    ） A．如果，那么， B．如果与互斥，那么， C．如果与相互独立，那么， D．如果与相互独立，那么， 【答案】BD 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、互斥事件的概率加法公式 【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断. 【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误； B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确； C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误； D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确. 故选：BD. 【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题. 11．已知直三棱柱的各顶点及动点都在球的球面上，，则（    ） A． B．球的半径为2 C．三棱柱的表面积为 D．点到平面的距离的取值范围是 【答案】ABD 【知识点】线面垂直证明线线垂直、求点面距离、多面体与球体内切外接问题 【分析】由直三棱柱概念知正确，由直三棱柱和球的对称性可确定球心位置，构造直角三角形可求出球的半径知正确，计算直三棱柱各个面之和可得表面积知错误，点到平面的距离的最小值为0，最大值为球心到面的距离与之和，计算可得正确. 【详解】根据直三棱柱的概念知侧棱底面，又底面，，故正确； 由知底面是等腰直角三角形，取的中点为， 则为底面的外心，设直三棱柱外接球的球心为，则点位于的中心， 连接，则，由题意，，则，即.故正确； 三棱柱的表面积为：，故错误； 动点在球的球面上，则当点与重合时，点到平面的距离取得最小值为0， 点到平面的距离的最大值为,点到平面的距离的取值范围是，故正确. 故选：. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．某学校共有学生2000人，其中高一800人，高二、高三各600人，学校对学生在暑假期间每天的读书时间做了调查统计，全体学生每天的读书时间的平均数为，方差为，其中三个年级学生每天读书时间的平均数分别为，，，又已知高一年级、高二年级每天读书时间的方差分别为，，则高三学生每天读书时间的方差________. 【答案】3 【知识点】估计总体的方差、标准差 【分析】由题目中的条件以及分层抽样中方差公式即可解答. 【详解】由题意可得，, 解得. 故答案为：3. 13．《九章算术》是我国古代内容极其丰富的数学名著，书中对几种典型的几何体进行了命名，书中对“刍甍”的定义是“刍甍者，下有袤有广，而上有袤无广.刍，草也，甍，屋盖也.”如图是一种刍甍，四边形为矩形，平面，，平面平面.若，且该刍甍的体积为10，则棱长______. 【答案】 【知识点】锥体体积的有关计算、柱体体积的有关计算、求组合体的体积 【分析】作出辅助线，将该几何体分割为一个三棱柱和一个四棱锥，先利用三棱柱和四棱锥的体积公式求体积，进而求得，再利用直角三角形进行求解. 【详解】分别取、的中点、，连接， 过点作平面，则垂足在上， 过点作分别与边、交于、两点. 则 ， 所以，连接， 则， 则. 故答案为：. 14．已知四面体满足，其余五条棱长均为2，该四面体的外接球球心为点，内切球球心为点，过直线的平面截四面体所得的截面的周长为，则的最小值为_______． 【答案】 【知识点】多面体与球体内切外接问题 【分析】由题意可得点是的中点，点在线段上(点是的中点)，作出截面，利用向量的线性运算可得，，由三角形全等可得，，从而得截面关于直线对称，即可得答案. 【详解】由题意可得，为等腰直角三角形，为等边三角形， 所以点是的中点， 取的中点，点在线段上． 设截面与交于点，则截面与相交于点． 设，， 则 ， ，， 又，，， 可证，， ，，即截面关于直线对称， 翻折可得， 所以的最小值为． （若截面与相交，则截面与相交，情况与上面一样） 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．记的内角的对边分别为，若. (1)求； (2)若，线段是的平分线，交于点，求线段的长. 【答案】(1) (2) 【知识点】垂直关系的向量表示、余弦定理解三角形、求三角形中的边长或周长的最值或范围 【分析】（1）根据以及余弦定理即可得到答案； （2）由题意得出的长度，再根据，利用面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，所以，即， 由余弦定理得，因为，所以. （2）由（1）得，又，代入解得或（舍）， 如图所示：， 代入数据得， 解得. 16．在平面直角坐标系中，为坐标原点，，，三点共线，点O不在直线AB上，满足. (1)求的值； (2)，，，，若的最小值为，求的最大值. 【答案】(1)； (2)1. 【知识点】已知向量共线（平行）求参数、分段函数的值域或最值、求二次函数的值域或最值、数量积的坐标表示 【分析】（1）根据给定条件，利用平面向量基本定理推理计算作答. （2）利用向量数量积的坐标表示求出函数，再借助二次函数在闭区间上的最值求出即可求解作答. 【详解】（1）因，，三点共线，即，则有， 依题意，不共线，而，于是得，解得， 所以的值是. （2）因，，由（1）知，，， ，而， 当时，，有， 当时，，有， 当时，，有， 所以的最大值是1. 【点睛】思路点睛：涉及分段函数最值问题，先求出每一段在各自对应区间上的函数值集合，再求出这些集合的并集即可探求出最值. 17．某次数学考试中只有两道题目，甲同学答对每题的概率均为，乙同学答对每题的概率均为，且每人各题答题结果互不影响.已知每题甲､乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为. (1)求和的值； (2)设事件“甲同学答对了道题”，事件“乙同学答对了道题”，，试求甲乙两人共答对了3道题的概率. 【答案】(1) (2) 【知识点】利用互斥事件的概率公式求概率、独立事件的乘法公式、利用对立事件的概率公式求概率 【分析】（1）根据相互独立事件乘法公式和互斥事件加法公式列式求解即可； （2）先求出两人答对1道和答对2到的概率，再结合题意根据互斥事件加法公式和独立事件乘法公式求解即可. 【详解】（1）设甲同学答对第一题乙同学答对第一题，则. 设甲､乙二人均答对第一题甲､乙二人中恰有一人答对第一题， 则. 由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥， 所以 由题意可得，即，解得或， 由于，所以. （2）由题意得，， . 设{甲乙二人共答对3道题，则.由于和相互独立，与相互互斥， 所以. 所以甲乙二人共答对3道题的概率为. 18．在四棱台中，底面，底面是正方形，E为侧棱的中点，，，．    (1)证明：平面． (2)求二面角的正切值． (3)在线段上是否存在点H，使得平面平面？如果存在，求的值；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2) (3)存在，，理由见解析. 【知识点】证明面面垂直、求二面角、证明线面垂直 【分析】（1）由线面垂直的判定定理可证； （2）作出二面角的平面角，在中求值； （3）当时满足条件，由正弦定理求出即得比值. 【详解】（1）因为底面，所以底面，平面， 所以，所以， 又，是中点，所以. 因为底面，平面，所以， 又底面是正方形，所以，，平面， 所以平面，平面，所以， 又，平面，所以平面. （2）因为底面，平面，所以平面⊥底面， 过点作，因为平面平面 所以平面，过作，连接，则， 所以是二面角的平面角.    因为是中点，所以， 设，则，所以， 所以，即二面角的正切值是. （3）对线段上的点，因为平面，平面， 所以，则当时，满足条件. 如图，在四边形中，过作，垂足为，交于， 则， 设，则 因为，所以，所以， 又，所以 所以，又， 所以，此时时，，，平面， 所以平面，平面，所以平面⊥平面.    19．材料一：我们可以发现这样一个现象：随机生成的一元多项式，在复数集中最终都可以分解成一次因式的乘积，且一次因式的个数（包括重复因式）就是被分解的多项式的次数.事实上，数学中有如下定理： 代数基本定理：任何一元次复系数多项式方程至少有一个复数根. 材料二：由代数基本定理可以得到：任何一元次复系数多项式在复数集中可以分解为个一次因式的乘积.进而，一元次多项式方程有个复数根（重根按重数计）.下面我们从代数基本定理出发，看看一元多项式方程的根与系数之间的关系. 设实系数一元二次方程在复数集内的根为，容易得到. 设实系数一元三次方程① 在复数集内的根为，可以得到，方程①可变形为展开得：② 比较①②可以得到根与系数之间的关系：， 阅读以上材料，利用材料中的方法及学过的知识解决下列问题： (1)对于方程在复数集内的根为，求的值； (2)如果实系数一元四次方程在复数集内的根为，根据材料二，试找到该四次方程根与系数之间的关系并说明原因； (3)已知函数，对于方程在复数集内的根为，当时，求的最大值. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【知识点】复数范围内方程的根 【分析】（1）根据题中阅读材料按公式求得三个根之间的关系，再计算的值； （2）根据题意推广得到一元四次方程根与系数的关系； （3）由题有的三个实根为，设，右侧展开利用对应系数相等得，计算并结合即可求最大值． 【详解】（1）由阅读材料可知：，且， 有：； （2）由材料可知：一元四次方程可改写为展开得： ， 故可得：. （3）由题有的三个实根为. 设， 展开得， 故， 则， 又，故， 综上：当时，的最大值为, 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $